Álgebra Abstracta/Estructuras

Introducción

Cuando a un conjunto lo proveemos de una o más operaciones, obtenemos una estructura algebraica. En este capítulo, veremos algunas de las estructuras clásicas con una o dos operaciones.

Las estructuras se clasifican por la cantidad de operaciones que aparecen en la estructura, las propiedades de esas operaciones, la existencia de elementos o subconjuntos destacados y las relaciones (de orden u otras) entre los elementos del conjunto base.

Presentaremos diversos tipos de estructuras con ejemplos de cada uno de esos tipos. Resultará importante familiarizarse con esos ejemplos, ya que nos referiremos a la mayoría de ellos en capítulos posteriores.

Estructuras Algebraicas

Una Estructura Algebraica o Sistema Algebraico es un lista de la forma <E, p₁, p₂ , ...> donde E es un conjunto (llamado el conjunto base o portador de la estructura) y p₁, p₂ , ... son los parámetros de la estructura. Dichos parámetros son usualmente operaciones en E, incluyendo operaciones externas (operaciones tales como la multiplicación por constante de una función, o escalar por matriz). También puede haber relaciones entre los elementos de E.

Las operaciones pueden ser de varios tipos. Además de las operaciones vistas en el capítulo anterior, que son operaciones binarias porque tienen dos operandos, hay operaciones unarias, ternarias, etc.

El Álgebra Abstracta es el estudio de las diferentes estructuras---definiciones, propiedades, relaciones entre ellas, etc--- independiente de la naturaleza de los elementos del conjunto base. Como veremos en el texto, varios conjuntos diferentes sirven de conjunto base de una misma estructura. A medida que avancemos en el texto, discutiremos más detalles acerca de las estructuras. Una discusión más detallada puede hallarse en el apéndice sobre la Teoría de Estructuras Algebraicas.

Estructuras con una Operación

Nuestro estudio empezará con estructuras muy simples ya que la lista de parámetros incluye solamente a una operación. Veremos las estructuras de magma, semigrupos, monoides y grupos.

Definición de Magma

La estructura algebraica más simple que consideraremos, magma, fue introducida en el capítulo anterior. Recordaremos a continuación su definición.

Definición. (Magma) Llamamos magma a un par <E,*> donde E es un conjunto no vacío y $*$ es una operación en el conjunto.

Ejemplos.

1. Los Enteros con la suma, $<\mathbb {Z} ,+>$, o con la multiplicación, $<\mathbb {Z} ,\cdot >$.
2. Los Racionales, los Reales, los Complejos con respecto a la suma y también a la multiplicación.
3. Los Enteros con la resta.

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Sea <E,*> un magma. Cuando no haya ambigüedad acerca de la operación de un magma, podremos hablar simplemente del magma E. Otras veces, podremos hablar del magma E con la operación *.

Definiciones de Semigrupo, Monoide y Grupo

Definición. (Semigrupo, Monoide, Grupos)

• Un semigrupo es un magma con operación asociativa.
• Un monoide es un semigrupo con elemento neutro.
• Un grupo es un monoide cuyos elementos son todos invertibles respecto a la operación.

Un magma (resp. semigrupo, monoide, grupo) es conmutativo (o abeliano) cuando la operación es conmutativa.

Un magma (resp. semigrupo, monoide, grupo) es finito, cuando el conjunto base lo es.

Decimos que un magma (resp. semigrupo, monoide, grupo) es aditivo (resp. multiplicativo) cuando la operación se denote como una suma (resp. multiplicación). Usualmente, cuando la operación es conmutativa se denota aditivamente.

Ejemplos.

1. Los Enteros con la resta forman un magma que no es un semigrupo, ya que la resta no es asociativa.
2. Los Naturales positivos con la suma forman un semigrupo (la suma es asociativa) que no es un monoide, ya que el neutro 0 no está en el conjunto.
3. Los Naturales con la suma forman un monoide que no es grupo, ya que los opuestos aditivos de los naturales positivos no están en el conjunto.
4. Los Enteros con la suma forman un grupo abeliano.
5. Los Racionales, Los Reales y los Complejos, con la suma determinan grupos abelianos.
6. Los Racionales, los Reales y los Complejos no nulos, con la multiplicación usual, determinan grupos abelianos.

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Observaciones acerca de las estructuras y de la terminología asociada.

• En rigor, debiéramos decir, por ejemplo, que $<\mathbb {Z} ,+>$ "tiene o posee una estructura de grupo", o que es una "instancia de la estructura de grupo", pero simplemente decimos $<\mathbb {Z} ,+>$ es un grupo o hablamos del grupo (aditivo) de los Enteros.
• En rigor, deberíamos especificar a un monoide como (que tiene) una estructura $<M,*,e>$ para indicar la existencia del neutro e. Igualmente, un grupo debiera especificarse como $<G,*,e,x\mapsto x^{-1}>$ para indicar que hay, además, inversos para cada elemento. Sin embargo, cuando no haya riesgo de confusión mencionamos solamente el conjunto, la operación y el tipo de estructura.
• (Descendientes, Ascendientes, Subyacentes) Observemos que hemos definido a las estructuras magma, semigrupos, monoides y grupos, como que cada una es un caso especial de la anterior. Decimos que una estructura es descendiente de una segunda estructura, cuando sea un caso especial de la otra. En tal situación, decimos que la segunda estructura es un ascendiente de la primera. Por ejemplo, las estructuras de semigrupos, monoides y grupos son descendientes de la estructura de magma. Cuando una estructura es descendiente de otra, podemos ignorar lo que la hace distinta de la segunda, y decimos que tiene una estructura \textit{subyacente} del tipo de la segunda. Por ejemplo, el grupo $<\mathbb {Z} ,+>$, o sea, $<\mathbb {Z} ,+,0,x\mapsto -x>$ tiene una estructura subyacente de monoide $<\mathbb {Z} ,+,0>$ (nos olvidamos de los opuestos aditivos). También tiene una estructura subyacente de semigrupo, $<\mathbb {Z} ,+>$. Cuando una estructura es descendiente de otra, podemos ignorar lo que la hace distinta de la segunda, y decimos que tiene una estructura \textit{subyacente} del tipo de la segunda.
• (Herencia) La razón de llamar descendientes a las estructuras especiales es para señalar que las propiedades de una estructura son heredadas por sus descendientes.
  En Álgebra Abstracta, se prefiere siempre enunciar y probar los enunciados en la estructura más general posible, para que sirva para todos sus descendientes.

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Sigue de la observaciones anteriores que todas las propiedades de magmas probadas en el capítulo anterior son válidas para semigrupos, monoides y grupos.

Propiedades de Monoides

Un monoide puede contener elementos invertibles, aunque no sea un grupo. Por ejemplo, los Enteros no nulos con la multiplicación forman un monoide que no es grupo, ya que los enteros diferentes de 1, -1 no tienen recíprocos. Sin embargo, 1 y -1 tienen inversos que son ellos mismos. Esto implica que el conjunto U = {1,-1} determina con la multiplicación un grupo. La situación es bastante general, como lo muestra la siguiente proposición.

Proposición 1. (Grupo de invertibles de un Monoide) Sea <M,*> un monoide y sea U_M el conjunto formado por todos los elementos de M que son invertibles. Entonces < U_M, *> es un grupo.

Demostración: Como el producto de invertibles es invertible, U_M es cerrado respecto a la operación, por lo que la restricción de la operación a U_M define allí una operación. El neutro siempre es invertible, por lo que el neutro es un elemento de U_M. Finalmente, los inversos de elementos invertibles son invertibles, por lo que cada elemento de U_M tiene inverso en U_M. Es decir que < U_M, *> es efectivamente un grupo.

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Ejemplos.

• Los Reales con la multiplicación forman un monoide cuyo grupo de invertibles esta determinado por los Reales no nulos. Igualmente, para los Racionales y los Complejos.
• Las matrices cuadradas con la multiplicación forman un monoide, cuyo grupo de invertibles, está formado por las matrices invertibles.

Orden de un Elemento

Definición. (Orden de un Elemento) Sea $M$ un monoide (o grupo) con neutro $e$ y $a$ un elemento de $M$, Cuando haya un número natural positivo $n$ tal que $a^{n}=e$, llamaremos orden de $e$ al menor entero positivo con esa propiedad. Cuando el conjunto de potencias de un elemento consista de elementos diferentes entre si, diremos que el elemento tiene orden infinito. Notación: $o(a)$.

Ejemplos.

1. El número imaginario $i$ es tal que $i^{2}=-1,\quad i^{3}=-i,\quad i^{4}=1$. Por lo que su orden es 4.
2. En un grupo aditivo, los múltiplos son las potencias. Por lo que un elemento a tiene orden finito n, cuando na = 0. En los Enteros, no hay números n positivos tales que $n\cdot 1$, por lo que el orden de 1 es infinito. En los Enteros módulo m, todos los elementos tienen orden finito respecto a la adición.

Proposición 2. Sea a un elemento de un monomio M con $o(a)=n$, o sea, tal que hay un entero positivo n tal que $a^{n}=e.$ Entonces, a es invertible con inverso $a^{n-1}.$

Demostración: $a*a^{n-1}=a^{n}=e=a^{n-1}*e.$

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Ejemplos.

• En los Enteros $(-1)^{2}=1$ Luego, $-1$ es invertible y su inverso es $(-1)^{2-1}=(-1)^{1}=-1$,
• E los Entremos módulo 5, se tiene que $2^{4}=16=1$. Luego, 2 tiene recíproco allí. Su recíproco es $2^{3}=8=3.$

Ejemplos

El Álgebra Abstracta como su nombre lo indica tiene su origen en la abstracción de propiedades de ejemplos existentes. Esta (relativamente larga sección, quiere mostrar algunos de esos ejemplos). Es importante que los lectores se familiaricen con ellos. Deben procurar, además, identificar las nociones vistas en el capítulo anterior: elementos neutros, invertibles, cancelables, partes cerradas.

Los Sistemas Numéricos

Nuestros sistemas numéricos son los Naturales, Enteros, Racionales, Reales y Complejos. A ellos siempre agregaremos los Enteros módulo cierto número.

Los principales resultados que el lector deberá examinar cuidadosamente para ver la validez de lo afirmado.

• <X, +> es un grupo abeliano, cuando $X=\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} .$
  Las relaciones de inclusión entre esos conjuntos producen subestructuras. (cuya definición formal veremos posteriormente). Como se trata de la misma operación, el mismo neutro y los mismos opuestos, decimos que los Enteros son un subgrupo aditivo de los Racionales (y de los Reales y de los Complejos). Igualmente, los Racionales son un subgrupo de los Reales y Racionales. Finalmente Los Reales forman un subgrupo de los Complejos.
• <X^*, $\cdot$> es un grupo abeliano cuando $X=\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} .$ X^* indica los elementos no nulos de X.
• Los Enteros módulo m son un grupo respecto a la adición. Con respecto a la multiplicación, sus elementos no nulos, en general, forman un monoide.

El Grupo Simétrico

En el capitulo "Las Operaciones" destacamos al ejemplo $F(X,X)$ formado por todas las funciones de $X$ en si mismo. Vimos que dicho conjunto con la composición de funciones tiene una estructura de monoide. Por lo tanto, de acuerdo a la proposición 1, los elementos invertibles de dicho conjunto determinan con la composición un grupo al que llamamos el grupo simétrico de $X$ y que denotamos por ${\textsf {S}}_{X}$. Notemos que los elementos invertibles de $F(X,X)$ son las funciones biyectivas de $X$ en si mismo. Se puede verifica que cuando el conjunto $X$ tiene más de dos elementos, dicho grupo no es conmutativo.

Cuando $X=I_{n}:=\{1,2,\dots ,n\}$ es el conjunto formado por los primeros $n$ números naturales positivos, denotamos a ${\textsf {S}}_{X}$ por ${\textsf {S}}_{n}$ y le llamamos grupo de las permutaciones de n símbolos o grupo simétrico de grado n. Una permutación, en este contexto, es una función biyectiva de cualquier conjunto finito en si mismo.

Grupo de Permutaciones En forma general, llamamos grupo de permutaciones a un grupo G, tal que G es un subconjunto de algún ${\textsf {S}}_{n}$. Históricamente, estos fueron los primeros grupos estudiados.

Representación matricial de permutaciones. Cuando $f$ sea una función de I_n en si mismo, escribiremos la tabla de valores de la función de la siguiente manera

${\begin{pmatrix}1&2&3&...&n\\\sigma (1)&\sigma (2)&\sigma (3)&...&\sigma (n)\end{pmatrix}}$

Por ejemplo, todas las biyecciones de $I_{3}$ en si mismo son:

$\scriptstyle {\begin{matrix}f_{0}={\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}}&f_{1}={\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix}}&f_{2}={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{pmatrix}}\\[5mm]f_{3}={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}}&f_{4}={\begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix}}&f_{5}={\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}}\end{matrix}}$

Las permutaciones están asociadas, usualmente, con reordenamientos. Mirando a la segunda fila, vemos porque llamamos permutaciones a esas funciones. La siguiente tabla muestra los resultados de la composición de esas funciones, es decir la tabla del grupo.

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La tabla de S_3. ${\begin{array}{c|cccccc}\circ &f_{0}&f_{1}&f_{2}&f_{3}&f_{4}&f_{5}\\\hline f_{0}&f_{0}&f_{1}&f_{2}&f_{3}&f_{4}&f_{5}\\f_{1}&f_{1}&f_{0}&f_{4}&f_{5}&f_{2}&f_{3}\\f_{2}&f_{2}&f_{3}&f_{0}&f_{1}&f_{5}&f_{4}\\f_{3}&f_{3}&f_{2}&f_{5}&f_{4}&f_{0}&f_{1}\\f_{4}&f_{4}&f_{5}&f_{1}&f_{0}&f_{3}&f_{2}\\f_{5}&f_{5}&f_{4}&f_{3}&f_{2}&f_{1}&f_{0}\end{array}}$

Mirando la falta de simetría respecto a la diagonal principal, vemos que la operación no es conmutativa. Claramente, f₀ es la identidad (como función) que es el neutro del grupo.

¿Cómo obtuvimos los resultados? Simplemente por composición de funciones. Veamos el cómputo de $f_{2}\circ f_{3}$

$f_{2}(f_{3}(1))=f_{2}(2)=1,\quad f_{2}(f_{3}(2))=f_{2}(3))=3,\quad f_{2}(f_{3}))=2.$

Luego, el producto es igual a f₁

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¿Cuántos elementos tiene ${\textsf {S}}_{n}$?

Razonando como reordenamiento de I_n, vemos que debemos ubicar los n elementos de ese conjunto en n posiciones. Tenemos n posibilidades para la primera posición, (n-1) para la segunda, (n-2) para la tercera, etc. Luego,

$|S_{n}|=n*(n-1)*\cdots 2*1=n!$

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Las Matrices 2 x 2

Denotamos por $M_{2}(\mathbb {R} )$ al conjunto formado por todas las matrices 2 x 2 con entradas o componentes números reales. Hay operaciones de suma y producto de matrices que recordamos a continuación.

${\begin{array}{lcl}{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}x&y\\z&w\end{bmatrix}}&=&{\begin{bmatrix}a+x&b+y\\c+z&d+w\end{bmatrix}}\\[5mm]{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}x&y\\z&w\end{bmatrix}}&=&{\begin{bmatrix}ax+bz&ay+bw\\cx+dz&cy+dw\end{bmatrix}}\end{array}}$

Dichas operaciones tienen las propiedades que indicaremos a continuación. La verificación de la validez de las mismas queda al cuidado de los lectores.

1. La suma de matrices es asociativa, conmutativa, tiene neutro ${\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}$ y cada matriz A tiene opuesto aditivo -A. Lo que nos dice que las matrices con la suma determinan un grupo abeliano.
2. La multiplicación de matrices es asociativa, pero no conmutativa. Tiene neutro $I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$. Por lo que las matrices con la multiplicación determinan un monoide. Las matrices con la multiplicación no determinan un grupo, porque no todas las matrices no nulas tienen inverso. En, efecto se sabe que únicamente las matrices con determinante no nulo son invertibles. Se sabe que si la matriz $A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$ tiene determinante (ad- bc) no nulo, su inversa es $A^{-1}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}}$

Las matrices invertibles determinan un grupo ya que el producto de invertibles es invertible con inversa igual al producto de las inversas de los factores, pero con orden invertido.

$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1};$

y la inversa de una matriz invertible tiene como inversa a la matriz original.

Dicho grupo se llama grupo lineal (de dimensión 2) sobre los Reales y se denota por $GL_{2}(\mathbb {R} )$.

Ejercicios

1. Verificar la validez de las afirmaciones sobre las propiedades de las operaciones con matrices.
2. Para cada uno de los siguientes conjuntos de matrices, investigar si son cerrados respecto a la multiplicación, si la identidad pertenece al conjunto y si el inverso de cada elemento en el conjunto pertenece al conjunto ${\begin{bmatrix}a&b\\0&d\end{bmatrix}}:a,b\in \mathbb {R}$ ${\begin{array}{rcl}B&=&\{{\begin{bmatrix}a&b\\0&d\end{bmatrix}}:a,b\in \mathbb {R} \}.\\T&=&\{{\begin{bmatrix}a&0\\0&(1/a)\end{bmatrix}}:a\in \mathbb {R} \}.\\U&=&\{{\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}}:a\in \mathbb {R} \}.\end{array}}$
3. Sea $GL_{2}(\mathbb {Q} )$ el subconjunto formado por todas las matrices invertibles cuyas entradas son todas números racionales. Probar que dicho conjunto con la multiplicación tiene una estructura de grupo.
4. Sea ${\mathcal {C}}$ el conjunto de matrices de la forma ${\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}}.$ Probar que las matrices no nulas de ${\mathcal {C}}$ forman un grupo con la multiplicación.

Los Enteros módulo m

En esta sección, construiremos de manera formal el conjunto de los Enteros módulo $m$, así como sus operaciones de adición y multiplicación. Esta construcción servirá de modelo más adelante en la construcción de los llamados grupos cocientes.

Definición. (Congruencia módulo m en los Enteros) Sea m un entero positivo. Decimos que dos enteros x, y son congruentes módulo m, ssi, x - y es un múltiplo de'm

Notación: $x\equiv _{m}y\quad$ o $\quad x\equiv y{\pmod {m}}.$

Claramente, esa relación es reflexiva y simétrica. Probaremos la transitividad.

$x\equiv _{m}y,y\equiv _{m}z\implies x-y=sm,y-z=tm,\ s,t\in \mathbb {Z} .$

Luego $x-z=x-y+y-x=sm+tm=(s+t)m$, lo que prueba la transitividad. Nos referiremos a esta relación como la congruencia módulo m.

Supongamos que tenemos una relación de equivalencia en un conjunto $X$. Llamando clase de equivalencia de un elemento $x$ al subconjunto formado por todos los elementos relacionados con $x$ y que denotamos por $x$, se sabe que dichas clases forman una \text it{partición} del conjunto $X$. Es decir que son disjuntas dos a dos y que su (re)unión es todo $X$. Ver los detalles en el apéndice \ref{chRelaciones}.

Las clases de equivalencia con respecto a la relación de congruencia se llaman también clases de congruencia. La clase de congruencia módulo $m$ de un número $x$ está formado por todos aquellos números $y$ tales que $y-x$ es un múltiplo de $m$, o sea tales que $y=x=km$, para algún $m$.

Simbolizaremos por $\mathbf {\mathbb {Z} _{m}}$ al conjunto formado por todas las clases de equivalencia módulo $m$ y diremos que sus elementos son los \textit{enteros módulo $m$}. Cada elemento de una clase es un \textit{representante} de la clase. Simbolizaremos por $\mathbb {Z} _{m}$ el conjunto formado por todas las clases de equivalencia módulo m y diremos que sus elementos son los Enteros módulo m. Cada elemento de una clase es un representante de la clase.

Ejemplo (Enteros módulo 2).

En este caso dos elementos son equivalentes, o lo que es lo mismo definen la misma clase de equivalencia cuando su diferencia es un múltiplo de 2 (o sea un número par). Por lo que la clase del 0, [0] está formado por todos los x tales que x - 0=x es un número par, por lo que la clase del 0 está formada por todos los números enteros pares.

$[x]=\{0,2,-2,4,-4,\dots \}.$

Por su parte, la clase del 1, está formada por enteros cuya diferencia con 1 sea par, o sea los impares.

$[1]=\{1,-1,3,-3,\dots \}.$

Luego, $\mathbb {Z} _{2}=\{[0],[1]\}$ ,

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Ejemplo (Enteros módulo 5).

En este caso, dos números son equivalentes cuando su diferencia es un múltiplo de 5. Construyamos las clases de equivalencia. La clase del 0 está formado por todos aquellos números cuya diferencia con 0 es un múltiplo de 5, o sea todos los múltiplos de 5.

$[0]=\{0,\pm 5,\pm 10,\pm 15,...\}.$

Busquemos ahora la clase de equivalencia del 1. Como $x\equiv _{5}1$ , ssi, $x=1+5s$ , ssi, $x=1+5s$ . La clase del [1] estará formada por todos los enteros que son 1 más que un múltiplo de 5.

$[1]=\{1,6,-4,11,-9,16,-14,....\}$

Análogamente, obtenemos que

$[2]=\{2,7,-3,12,-8,17,-13,...\}$

$[3]=\{3,8,-2,13,-7,18,...\}$

$[4]=\{4,9,-1,14,-6,19,...\}$

Notemos que $[5]=[0]$ , $[6]=[1]$ etc. Es decir que hay solamente cinco clases diferentes.

$\mathbb {Z} _{5}=\{[0],[1],[2],[3],[4]\}.$

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Operaciones en $\mathbb {Z} _{m}$.

Queremos definir operaciones de suma y multiplicación en $\mathbb {Z} _{m}$ por

$[x]+[y]:=[x+y]\qquad [x]\cdot [y]=[x\cdot y].$

Es decir que la suma de la clase de x con la clase de y sea la clase de x+y y análogamente para la multiplicación. Hay, sin embargo, un problema con tal definición. La suma (y, lo mismo, el producto) se obtienen sumado (resp. multiplicando) dos representantes, uno de cada clase; por lo que resulta natural preguntar, ¿qué pasaría si escogiéramos otras representantes? La siguiente proposición no asegurará que no importa los representantes que escojamos, siempre obtendremos el mismo resultado.

Proposición 3. (Compatibilidad con las operaciones) Sean a, b, c, d números enteros tales que $a\equiv _{m}b$ y $c\equiv _{m}d.$ Entonces,}}

1. $a+c\equiv _{m}b+d$.
2. $ac\equiv _{m}bd$

Demostración. Tenemos que $a\equiv b\implies a-b=sm$, para algún $s$. $c\equiv d\implies c-d=tm$, para algún $t$. Luego, como $(a+c)-(b+d)=(a-b)+(c-d)=sm+tm=(s+t)m$ tenemos que $a+c\equiv _{m}b+d$, lo que prueba la parte a. Para la multiplicación, tenemos que: $ac-bd=ac-bc+bc-bd=(a-b)c+b(c-d)=smc+btm=(sc+bt)m.$

Es decir que $ac\equiv _{m}bd$.

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Corolario. Suponer que $[a]=[b]$ y que $[c]=[d].$ Entonces,

$[a+c]=[b+d]$ y $[ac]=[bd].$

El grupo aditivo de los Enteros módulo m

Veremos que $\mathbb {Z} _{m}$ con suma forman un grupo abeliano.

Necesitamos verificar que la suma es asociativa, conmutativa, con neutro y que cada elemento tiene un opuesto aditivo.

Sean $a,b,c$ números enteros.

${\begin{array}{rcl}[a]+([b]+[c])&=&[a]+[b+c]=[a+b+c]\\([a]+[b])+[c]&=&[a+b]+[c]=[a+b+c]\end{array}}$

Lo que prueba la asociatividad.

$[a]+[b]=[a+b]=[b+a]=[b]+[a]$, lo prueba conmutatividad.

Claramente, $[a]+[0]=[a]$, lo que muestra que la clase del 0 es el elemento neutro.

Finalmente, para cada $a$, tenemos que $[a]+[m-a]=[m]=[0]$, lo que prueba que $[m-a]=-[a].$ Es decir cada elemento tiene un opuesto. Esto concluye la prueba.

El monoide multiplicativo de los Enteros módulo m

Veremos que los Enteros módulo m con la multiplicación forman un monoide. La asociatividad y la conmutatividad se prueban de manera análoga al caso de la suma. Además, $[a][1]=[a\cdot 1]=[a]$, por lo que [1] es un neutro.

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Se puede verificar que cuando m es un número primo, $\mathbb {Z} _{m}^{*}$, los elementos no nulos de $\mathbb {Z} _{m}$, forman un grupo abeliano respecto a la multiplicación. Cuando m es compuesto aparecen unas cosas raras en la multiplicación. Por ejemplo, en $\mathbb {Z} _{6}$, la clase del 2 y la clase del 3 son distintas de la clase del 0, ya que ninguno de ellos es un múltiplo de 6, pero $[2]\cdot [3]=[6]=[0]$. Dos elementos no nulos al multiplicarse producen el elemento nulo.

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Ejercicios

1. Construir las tablas de operaciones (adición y multiplicación) de $\mathbb {Z} _{10}$ Usar la tabla para evaluar las expresiones siguientes.

   a. [7]+ [2]	b. [8]*[5]	c. -([3]*[6])
   d. 1/[3]	e. 1/[5]	f. 1/[7]

2. Hallar los cuadrados y los cubos de todos los elementos de $\mathbb {Z} {10}$.
3. Hallar los recíprocos de todos los elementos no nulos de $\mathbb {Z} _{[}13]$.
4. Resolver la ecuación $x^{2}+[3]x+[15]=0$ en $\mathbb {Z} _{11}$.
5. Resolver en $\mathbb {Z} _{5}$, el sistema de ecuaciones ${\begin{array}{rcrcl}3x&+&2y&=&3\\2x&+&y&=&0\end{array}}$

Estructuras algebraicas con dos operaciones

Las estructuras con dos operaciones, que veremos a continuación, puede que tengan un sabor más familiar. Por ahora, sin embargo, su aparición se debe a que nos proveen de ejemplos de las estructuras con una operación. Las estructuras con dos operaciones se verán detalladamente en capítulos posteriores.

Definición (Anillos, Cuerpos) Un anillo es un trío $<A,+,\cdot >$ tales que

1. $<A,+>$ es un grupo abeliano (grupo aditivo del anillo).
2. $<A,\cdot >$ es un semigrupo (semigrupo multiplicativo del anillo.
3. La multiplicación es distributiva respecto a la adición.

   $a(b+c)=ab+ac\qquad$ y $(b+c)a=ba+ca$,

   
   

Un anillo con identidad es un anillo con un neutro 1 para la multiplicación (llamado identidad del anillo). Un anillo conmutativo con identidad es un anillo con la multiplicación conmutativo y con un neutro 1 (llamado identidad del anillo)

Un cuerpo es un anillo conmutativo con identidad donde cada elemento no nulo tiene recíproco.

Los Enteros son un ejemplo de anillo conmutativo con identidad. Los Racionales, Reales y Complejos serán, por ahora, nuestros ejemplos de cuerpos.

Proposición 4. Cuando p es un número primo, los Enteros módulo p son un cuerpo.

Demostración: Vimos anteriormente que para cualquier $m$ los Enteros módulo m está provisto de operaciones de suma y multiplicación definidas por

$[x]+[y]=[x+y]\quad {\text{ y }}\quad [x]\,[y]=[xy]$.


Es fácil ver que con esas operaciones, $\mathbb {Z} _{m}$ es un anillo conmutativo con identidad. Probaremos que cuando p es un número primo, los elementos no nulos de $\mathbb {Z} _{p}$. El resultado sigue de la identidad de Bezout para los números enteros que establece que el máximo común divisor de dos números se puede expresar como una combinación lineal de los números . Si $[a]$ es un elemento no nulo de $\mathbb {Z} _{p}$, el número a no pude ser n múltiplo de p, por lo que el máximo común divisor de a y p debe ser 1. Luego, por la identidad de Bezout, hay enteros x, y tales que

$ax+py=1$

(*)


Pasando a clases de equivalencias, tenemos que

${\begin{array}{lrcl}&ax+py&=&1\\\implies &[ax+py]&=&[1]\\\implies &[ax]+[py]&=&[1]\\\implies &[a]\,[x]+[p][y]&=&[1]\\\implies &[a]\,[x]&=&1.\end{array}}$

Lo que muestra que $[a]$ tiene a $[x]$ como recíproco. {{QED}

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Matrices con entradas en un anillo

Queremos aumentar nuestro caudal de ejemplos, definiendo matrices con entradas en un anillo con identidad o cuerpo cualquiera. Notemos que las definiciones de suma y multiplicación de matrices con entradas reales lo único que requieren de los Reales es que se pueden sumar y multiplicar. Como esto pasa en cualquier anillo, podemos considerar matrices cuyas entradas pertenecen a un anillo cualquiera.

Sea A un anillo con identidad o un cuerpo. Simbolizaremos por $M_{2}(A)$ el conjunto de todas las matrices 2 x 2 cuyas entradas son elementos de A. Es un ejercicio largo, pero fácil, probar que <math<M_2(A)</math> con esas propiedades determina un anillo con identidad. El anillo no es conmutativo.

Se define el determinante de $A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$ como es usual, esto es $\det(A)=ad-bc$. Se verifica que

$\det(AB)=\det(A)\det(B).$

Sea K un cuerpo, por $GL_{2}(K)$ simbolizamos al grupo de matrices invertibles con entradas en K. Cuando K sea los enteros módulo p, p primo, $GL_{2}(\mathbb {Z} _{p})$ es un grupo finito, que se prueba que tiene $(p^{2}-1)(p^{2}-p)$ elementos.

Ejercicios

1. Probar que $\mathbb {Z} _{m}$ es un anillo conmutativo con identidad.
2. Probar que cuando m no es un número primo, en $Z_{m}$ hay elementos no nulos $[x],[y]$ tales que $[x][y]=[0]$
3. Probar que las matrices 2 x 2 con coeficientes en un anillo conmutativo con identidad determinan un anillo con identidad, pero que no es conmutativo.
4. Sea $A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$. Probar o verificar las siguientes afirmaciones.
   1. Si una de las filas o una de las columnas de la matriz es 0 0 , entonces el determinante es cero.
   2. Si hay un número p tal que c = pa y d = cb entonces el determinante de la matriz es cero.
   3. Si el determinante de A es cero, probar que hay un número p tal que c=pa y d = pb.
5. Usar el ejercicio anterior para hallar la formula para la cantidad de elementos de $GL_{2}(\mathbb {Z} _{p})$, p primo. (Sugerencia. Cualquier par de elementos que no sean ambos nulos sirven para la primera fila. ¿Cuántos pares de elementos hay que no sean ambos nulos? La segunda fila no puede ser un múltiplo de la primera, por lo que hay que tomar un par de elementos que no sea un múltiplo de la primera fila ¿cuántos de esos pares hay?)

Estructuras con una operación externa

Presentaremos, como ilustración, algunas estructuras donde aparece una operación externa.

Definición (Módulo, Espacio vectorial, Álgebra)

• Sea A un anillo con identidad. Llamamos A--módulo a un grupo abeliano <E,+> provisto de una operación externa

  $\bullet :A\times E\longrightarrow E::(\alpha ,x)\mapsto \alpha \bullet x.$

  
  que es compatible con la estructura de grupo abeliano. Es decir que

  1. $(\alpha +\beta )\bullet x=\alpha \bullet x+\beta \bullet x$.
  2. $(\alpha \beta )\bullet x=\alpha \bullet (\beta \bullet x)$
  3. $1\bullet x=x$.
  4. $\alpha \bullet (x+y)=\alpha \bullet x+\alpha \bullet y$.

  Los elementos del anillo se dice que son los escalares y los de E los vectores. La operación externa se llama multiplicación por escalar y usualmente, cuando no hay riesgo de confusión, se omite el símbolo de la operación.

• Un Espacio vectorial sobre un cuerpo K, es un K-módulo (o sea los escalares forman un cuerpo).
• Un Álgebra sobre un anillo (o cuerpo) A es un A-modulo E provisto de una multiplicación tal que $<E,+,\cdot >$ es un anillo y se cumple que $\alpha (a\cdot b)=(\alpha a)\cdot b=a\cdot (\alpha B)$.

Los principales ejemplos que posiblemente el lector debe conocer:

• El álgebra de polinomios, la multiplicación por constantes es la operación externa.
• El álgebra de matrices, la operación externa es la multiplicación por escalar (por constante).
• El plano cartesiano es un espacio vectorial sobre $\mathbb {R}$> los elementos del plano son pares ordenados de números reales, la suma se hace coordenada a coordenada y la multiplicación por escalar, es multiplicar cada coordenada por el escalar.

${\begin{array}{rcl}(x_{1},x_{2})+(y_{1},y_{2})&:=&(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2})\\\alpha (x_{1},x_{2})&:=&(\alpha x_{1},\alpha x_{2})\end{array}}$.

Claramente, las definiciones anteriores se pueden extender a $\mathbb {R} ^{n}$ (Espacio vectorial d dimensión n).

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El álgebra de polinomios tiene un capítulo en este texto. Espacios vectoriales, Algebras son materias de un curso de Álgebra Lineal. Módulos generales se estudian en cursos avanzados de Álgebra Lineal o de Álgebra Conmutativa.

Una introducción a esos temas se puede hallar en Wikipedia:Vector o Espacio Vectorial

Ejercicios del Capítulo

1. (Potencias Naturales en un Semigrupo.) Probar que para todo a, $b$ elementos de $S,$,y $m$, $n$ naturales, se cumple que
   1. $a^{m+n}=a^{m}a^{n}.$
   2. $(a^{m})^{n}=a^{mn}.$
   3. Si $ab=ba$ entonces $(ab)^{n}=a^{n}b^{n}.$
2. (Potencias en un Monoide.) Si $S$ tiene un neutro $e,$ entonces definimos $a^{0}:=e.$ Probar que con estas definiciones, se continúan cumpliendo las propiedades del ejercicio 1.
3. (Potencias Negativas.) Sea <M,*> un monoide y sea a un elemento invertible de cualquiera de S. Como S es un monoide, aⁿ está definido, según los ejercicios anteriores, para todo $n\geq 0.$ Cuando a es invertible, podemos además definir potencias con exponentes negativos. Supongamos que a' es el inverso de a y n un número entero positivo. Entonces,

   $a^{-n}:=(a')^{n}$

   
   

   1. Probar que a elevado a -1 es igual al inverso de a; lo que prueba que la notación a^-1 no es ambigua.
   2. Probar que para todo m, n enteros se cumplen las relaciones del ejercicio 1.
4. Sea S un semigrupo con neutro $e.$ Sea a un elemento de $S$ tal que $a^{n}=e$ y 12. es el menor entero positivo con esa propiedad. Probar las siguientes afirmaciones.
   1. Hay elementos $b,$ $c$ y $d$ tales que $b^{4}=c^{3}=d^{2}=e.$
   2. Si $m$ es un múltiplo de 12, entonces $a^{m}=e.$
   3. Si el residuo de la división de un entero positivo m por 12 es r, entonces $a^{m}=a^{r}$
   4. Expresar $a^{-1},a^{-2}$ como potencias positivas de a.
5. (Subgrupos del grupo ${\textsf {GL}}_{2}(\mathbb {R} )$).
   Sea $\alpha ={\begin{bmatrix}\cos(120^{\circ })&-\operatorname {sen}(120^{\circ })\\\operatorname {sen}(120^{\circ })&\ \cos(120^{\circ })\end{bmatrix}},$ una rotación por 120 grados, y sea $\beta ={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}$, la reflexión entorno al eje X. Probar las afirmaciones siguientes.
   1. $\alpha ^{3}={I},$, $\beta ^{2}={I},$ y $\beta \alpha \beta ^{-1}=\alpha ^{2}.$.
   2. Sea $H=\{{I},\alpha ,\alpha ^{2}\}$. H es un conjunto cerrado respecto a la multiplicación de matrices (construir la tabla de operaciones), y que cada elemento de $H$ es invertible. Es decir que H es un grupo respecto a la multiplicación de matrices.
   3. Sea $G=\{{I},\alpha ,\alpha ^{2},\beta ,\alpha \beta ,\alpha \beta ^{2}\}$. G es un conjunto cerrado respecto a la multiplicación y cada elemento de G tiene inverso en G. Luego G es un grupo respecto a la multiplicación de matrices.

   Comentarios

   La evolución del Álgebra desde el estudio de ecuaciones polinómicas al estudio de las estructuras fue lenta. Primeramente, se estudiaron instancias de forma separada, para posteriormente darse cuenta que eran ejemplos de algo más abstracto.

   La observación de que el Álgebra trata más de las propiedades de las operaciones que de los números en que se opera fue explícitamente observado por la llamada Escuela de Algebristas ingleses, alrededor del 1840.

   Finalmente, en la década de los 40 del siglo XX, Bourbaki (seudónimo de un grupo ilustre de matemáticos) trajo a primer plano del Álgebra la noción que el Álgebra se trataba del estudio de las estructuras.

   Notas