Problemario de Señales y Sistemas/Respuesta temporal de sistemas I

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Problemario de Señales y Sistemas


Respuesta temporal de sistemasEditar

En esta sección se estudian las respuestas temporales de sistemas a diferentes señales de entrada.



ProblemasEditar

Problema #1Editar

Considere el sistema que se muestra   en el que la función de transferencia del sistema viene determinada por:  

Determine:

  1. La respuesta al impulso del sistema
  2. La respuesta al escalón del sistema
  3. Grafique el diagrama de polos y ceros, señale el polo dominante y, suponiendo que cuando estamos a menos del 2% del valor   ya alcanzamos el valor de estado estacionario, establezca una relación entre el tiempo que tarda en llegar al estado estacionario y el inverso del polo dominante.
  4. Dibuje el diagrama de Bode del sistema (puede ser la aproximación en línea recta).
  5. ¿Cuál es el valor de la salida en estado estacionario ( ) cuando  ?
 Nota: Cuando usamos la transformada de Laplace unilateral para calcular respuestas temporales
 estamos suponiendo que la señal es aplicada a partir de  , así que, formalmente,
 en la pregunta anterior la señal   debería comenzar en   o, lo
 que es lo mismo, estár multiplicada por  . Ahora bien, como lo que se pide es la
 respuesta en estado estacionario, i.e.,  , en este caso, esa
 diferencia es irrelevante, ¿por qué?

Subsección Solución 1Editar

Por: Simara Pérez Carnet: 04-37413

1.

Se sabe que:  .

Como   es un impulso, y la Transformada de Laplace del impulso es igual a 1, se tiene que:

 .

Descomponiento   en fracciones simples se obtiene:

 

Calculando A y B se tiene que:  , 

Así,  

Se sabe que la Tranformada de Laplace de la función   es  . Así, aplicando la Tranformada Inversa de Laplace se obtiene:

 


Subsección Solución 2Editar

Por Vanessa Ventosa #04-37699

2. sabemos que:   y   un escalón, cuya transformada es igual a  , luego se tiene:

 , que descomponiendo en fracciones simples:  

Calculando, los coeficientes resultan:  , , , entonces:

 

si aplicamos la transformada inversa a  , sabiendo que la transformada inversa de   es   nos queda finalmente la respuesta al escalón:

 


Subsección Solución 3Editar

Por Carlos Rizzo, carnet #04-37496.

Solución a la parte 4:

Como podemos, observar, la función de transferencia del sistema es:

 

De esta forma, visualizamos claramente las raíces.

El diagrama de Bode de magnitud viene dado por:

Archivo:Diagrama mag.JPG

Observamos que las frecuencias representadas en el eje “x” son:   y   respectivamente, como consecuencia de los polos de la función de transferencia.


La ecuación de la recta (1) es:  .

La ecuación de la recta (2) es:  .

Observese que el punto de corte con el eje “y” viene dado por la expresión  , correspondiente a la magnitud del numerador, y que el eje de corte con el eje “x” se obtiene igualando la ecuación de la recta (2) a y = 0.

De esta forma:  .

que luego de despejar, se obtiene:  


El diagrama de Bode de fase viene dado por:

Archivo:Diagrama fase.JPG

Nuevamente, observamos que las frecuencias representadas en el eje “x” son:   ,  y   para el polo 10; y  ,  y   para el polo 5.

Subsección Solución 5Editar

Por: Oriana Vásquez 04-37692

5.  

 

 

 

Para la frecuencia de   se tiene:

Atenuación= 

Desfase= 

Para la frecuencia de   se tiene:

Atenuación= 

Desfase= 

 

Subsección Solución 4Editar

Gustavo Méndez 0134141

3. Las gráficas son las mismas del apartado 4, con la salvedad que en el caso del escalón hay un polo en cero que contribuye con -20 dB en el diagrama de magnitud y con -45 grados en el diagrama de fase.


Si consideramos que la señal está a menos del 2 % del valor  , implica que es 3.92 o 4.08. Tomemos 3.92 e igualemos a la solución del apartado 2,

 

donde obtenemos que t= 46 segundos.

Por otra parte consideremos el polo dominante se encuentra ubicado en 0.1,

 

 

se puede deducir que,

 

Esto nos da a conocer que el tiempo estacionario es de 40 segundos, lo que es aproximadamente igual al valor obtenido previamente.




Problema #2Editar

Considere el sistema que se muestra   en el que   y la transformada de Laplace de la respuesta al impulso (la función de transferencia) del sistema es:

 

Determine:

  1. La respuesta del sistema a una entrada escalón unitario
  2. La respuesta del sistema a  
  3. Para determinar las respuesta frecuencial del sistema sólo se requiere substituir, en la función de transferencia  , ¿por qué?. Dibuje el diagrama de Bode de magnitud y fase del sistema. Determine el ancho de banda del sistema.
  4. Si, modificando los parámetros del sistema, usted desea hacer que el sistema sea más rápido, y puede elegir entre llevar el polo que está en -1 a -0.1 ó a -5, ¿cuál configuración elegiría y por qué?. ¿que sucede con el ancho de banda del sistema?

Subsección solución 1Editar

Por: Elaine Rojas carnet:0437523

1.

Tenemos que   , si   entonces tenemos que:

  , así mismo sabemos que:

   

Sabiendo que  , tenemos que:

 

Hacemos descomposición por fracciones simples:

  +   +  

Tenemos que:  ,   ,  

De donde tenemos que:   +   +  

Además sabemos que la transformada de Laplace de   es  ,.

Entonces aplicando la transformada inversa de Laplace a   tenemos que:

             , t>0

Subsección Solución 2Editar

Por: Sarah Spadavecchia #04-37632

como   luego   Ahora sabemos que:   Luego tenemos que   entonces queda:   Ahora descomponemos en fracciones simples:   +   +   +   Luego tenemos que los coeficientes son:

 

 

 

 

Ahora escribimos

  +   +   +  

Sabemos que la transformada de Laplace de una función del tipo   es  

Aplicando la transformada inversa a  encontramos que :

    +   +   ,t>0

Subsección Solución 3Editar

Por: Hugo Negrette carnet: 04-37339

A partir de la función de transferencia:    

Podemos obtener la respuesta frecuencial, si sustituimos s=σ+jw, con σ=0. Es decir llevamos la función de transferencia que obtenemos con Laplace, a una respuesta frecuencial que se obtiene con fourier, haciendo sigma igual a cero.

  =>  

DIAGRAMA DE BODE:

MAGNITUD:

Archivo:Magnitudnew.PNG

FASE:

Archivo:Fasenew.PNG



Subseccion solucion pregunta 4Editar

Oswaldo Gonzalez #0335981


Buscaremos primero la respuesta general a la siguiente función de transferencia siendo X el polo a ser desplazado:

  


Hacemos descomposición por fracciones simples obteniendo:

  +  


  y  

Sabemos que la transformada de Laplace de   es  , por lo que anti-transformando obtenemos:

por lo tanto:

 

Se debe escoger el mayor valor de   posible, entiéndase  , para que los efectos transitorios del sistema desaparezcan lo mas rápido posible. De tal manera las ecuaciones quedarían de la siguiente forma:

        
  +   


Para encontrar el ancho de banda del sistema tenemos que:

 

por definicion tenemos    

consiguiendo,luego de simplificar, el siguiente polinomio :  

haciendo el cambio   obtenemos la siguiente ecuación cuadrática:

  cuyas raices son   y  

así, devolviendo el cambio, se encuentra como valida unicamente     pues   debe ser real y positiva.

Por lo tanto el ancho de banda aumenta significativamente.