Considere el sistema que se muestra
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)\,}
p
(
t
)
{\displaystyle p(t)\,}
z
(
t
)
(
=
x
(
t
)
p
(
t
)
)
{\displaystyle z(t)(=x(t)p(t))\,}
z
(
t
)
{\displaystyle z(t)\,}
h
(
t
)
{\displaystyle h(t)\,}
Se desea que determine y grafique el par:
(
z
(
t
)
,
Y
(
j
ω
)
)
{\displaystyle (z(t),Y(j\omega ))\,}
En este caso
h
(
t
)
=
3
e
−
5
t
u
(
t
)
{\displaystyle h(t)=3e^{-5t}u(t)\,}
p
(
t
)
=
cos
(
2
π
t
)
{\displaystyle p(t)=\cos(2\pi t)\,}
x
(
t
)
=
{
1
0
<
t
<
0.5
0
0.5
<
t
<
1
{\displaystyle x(t)=\left\{{\begin{matrix}1&0<t<0.5\\0&0.5<t<1\end{matrix}}\right.}
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Por: Pedro Torruella #04-37657
z
(
t
)
=
c
o
s
(
2
π
t
)
⋅
∑
k
=
−
∞
∞
u
(
t
−
k
)
−
u
(
t
−
k
−
0.5
)
(
1
)
{\displaystyle z(t)=cos(2\pi t)\cdot \sum _{k=-\infty }^{\infty }u(t-k)-u(t-k-0.5)\qquad (1)}
Resulta más sencillo trabajar en el dominio de la frecuencia, se deben obtener los coeficientes de la serie de fourier para z(t). Esto por medio de
A
n
=
∫
T
z
(
t
)
⋅
e
−
j
n
ω
o
t
d
t
(
2
)
{\displaystyle An=\int _{\mathrm {T} }z(t)\cdot e^{-jn\omega _{o}t}\,dt\qquad \qquad (2)}
A
n
=
∫
0
0.5
c
o
s
(
2
π
t
)
⋅
e
−
j
n
ω
o
t
d
τ
(
3
)
{\displaystyle An=\int _{0}^{0.5}cos(2\pi t)\cdot e^{-jn\omega _{o}t}\,d\tau \qquad \qquad (3)}
Despues de integrar por partes y despejar, obtengo:
z
(
t
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
j
n
2
π
(
1
−
n
)
⋅
[
e
j
n
π
+
1
]
⋅
e
j
n
ω
o
t
(
4
)
{\displaystyle z(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {jn}{2\pi (1-n)}}\cdot \left[e^{jn\pi }+1\right]\cdot e^{jn\omega _{o}t}\qquad \qquad (4)}
Aplicando la transformada de Fourier obtengo
Z
(
J
ω
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
j
n
2
π
(
1
−
n
)
⋅
[
e
j
n
π
+
1
]
⋅
2
π
δ
(
ω
−
2
π
n
)
(
5
)
{\displaystyle Z(J\omega )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {jn}{2\pi (1-n)}}\cdot \left[e^{jn\pi }+1\right]\cdot 2\pi \delta (\omega -2\pi n)\qquad \qquad (5)}
Ahora solo multiplico por H(jw) para obtener Y (jw)
Y
(
J
ω
)
=
[
∑
n
=
−
∞
∞
j
n
2
π
(
1
−
n
)
⋅
[
e
j
n
π
+
1
]
⋅
2
π
δ
(
ω
−
2
π
n
)
]
⋅
3
5
+
j
ω
(
6
)
{\displaystyle Y(J\omega )=\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {jn}{2\pi (1-n)}}\cdot \left[e^{jn\pi }+1\right]\cdot 2\pi \delta (\omega -2\pi n)\right]\cdot {\frac {3}{5+j\omega }}\qquad \qquad (6)}
en el que la señal de entrada, , es modulada por una señal para producir la señal . La señal pasa a través de un sistema lineal invariante en el tiempo cuya respuesta el impulso es .
![{\displaystyle z(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {jn}{2\pi (1-n)}}\cdot \left[e^{jn\pi }+1\right]\cdot e^{jn\omega _{o}t}\qquad \qquad (4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f5ea3e0d095cde294cc7de72ba8ea49930ef1df)
![{\displaystyle Z(J\omega )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {jn}{2\pi (1-n)}}\cdot \left[e^{jn\pi }+1\right]\cdot 2\pi \delta (\omega -2\pi n)\qquad \qquad (5)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec48fddd2bd61b987eb5600675274f575964b5b1)
![{\displaystyle Y(J\omega )=\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {jn}{2\pi (1-n)}}\cdot \left[e^{jn\pi }+1\right]\cdot 2\pi \delta (\omega -2\pi n)\right]\cdot {\frac {3}{5+j\omega }}\qquad \qquad (6)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4629da6b2d6405b6f974cdeeb94513fe2aab217e)