En esta sección se estudian sistemas realimentados. En la parte de electrónica estos sistemas son muy importantes ya que, sacrificando parte de la ganancia total se puede aumentar al ancho de banda y permitir mayor estabilidad del sistema.
Considere el sistema realimentado que se muestra en la figura
La relación entre la entrada y salida del sistema está dada por:
El otro bloque es una simple ganancia.
Determine:
El diagrama de polos y ceros de
Usando Routh Hurwitz, el rango de valores de que hacen al sistema estable
Calcule la función de transferencia del lazo realimentado (lazo cerrado) en función de
Seleccione un valor de que haga al sistema estable y redibuje el diagrama de polos y ceros
Para el mismo valor de dibuje los diagramas de Bode real y aproximación en línea recta del lazo realimentado
Haga un estimado, en función del polo dominante, del tiempo esperado de respuesta (establecimiento) del sistema a lazo cerrado y grafique la respuesta a un escalón del lazo
Si la relación entrada salida del sistema cambia a:
¿cambiará el rango de para asegurar la estabilidad? Justifique su respuesta.
¿cambiará el diagrama (Bode) de magnitud del lazo cerrado? Justifique su respuesta y dibuje el nuevo diagrama si hace falta.
¿cambiará el diagrama (Bode) de fase?. Justifique su respuesta y grafique el nuevo diagrama si hace falta.
¿cambiará sensiblemente el tiempo de respuesta? Justifique su respuesta
¿qué cambio en la respuesta temporal esperaría del nuevo sistema? Justifique su respuesta y grafique la respuesta al escalón del lazo.
En primera instancia, nos damos cuenta de que el operador S equivale al operador diferencial, por lo que la relación para queda:
De aquí podemos obtener
El diagrama de polos y ceros sería
Con esto podemos ver que hay un polo en -6 y en +1. Al haber un polo en el semiplano derecho, sabemos que el sistema será inestable.
Realizado por: Victor Hernandez. Carnet: 05- 38316
Como se puede observar el sistema es del tipo Retroalimentado y cumpliendo con la formula
, además considerando la ganancia K y el
Nos quedaria los siguiente:
En este punto aplicamos la Tecnica de Routh-Hurtwitz tenemos:
Finalmente, para la obtencion de un sistema estable es necesario que , y por lo cual y , la prioridad entonces es (la ganancia K>3 asegura mas estabilidad que el sistema inicial inestable por su polo=1 en la parte real).
Ahora procederemos a calcular la función de transferencia de lazo cerrado. Recordando que si el sistema realimentado es la función de transferencia de lazo cerrado será
Para nosotros, será . Así, después de los cálculos pertinentes, obtendremos:
Aplicamos el arreglo de Routh Hurwitz al polinomio del denominador
Sabemos que
Sabiendo el valor de podemos determinar las condiciones de para que no hayan cambios de signo en la columna 1.
De esta manera,
lo que implica que
Análogamente
lo que implica que , la cuál será la condición que impondremos para que el sistema sea estable.
A partir de la relación entre la entrada y la salida dada por la ecuación diferencial, tenemos en el dominio laplaciano:
Para la función de transferencia , la
Adicionalmente,
A continuación se presenta un diagrama de polos y ceros de la función de transferencia
Ahora procedemos a calcular la función de transferencia del lazo cerrado generada por el sistema retroalimentado :
Usando Routh Hurwitz, planteamos el arreglo:
Entonces los valores de validos son los pertenecientes al intervalo .
Para un valor de se tiene que la función de transferencia del sistema está dada por,
Para la nueva función de transferencia , la
A continuación se presenta un diagrama de polos y ceros de la función de transferencia ,
A continuación se presentan los diagramas de Bode(Magnitud y Fase) para el sistema ,
-Bode Real:
-Bode usando Aproximación en Linea Recta:
Para hacer un estimado del tiempo de respuesta (establecimiento) del sistema , usamos el polo dominante, el cual esta dado por el polo más cercano al eje imaginario,
En este caso usamos
Entonces,
Finalmente, la respuesta al escalón del lazo cerrado(graficamente) será:
Parte 2
Si la relación entrada salida del sistemas cambian por la Segunda Ecuación Diferencial se tiene:
Para la función de transferencia , la
Adicionalmente,
A continuación se presenta un diagrama de polos y ceros de la función de transferencia
Ahora procedemos a calcular la función de transferencia del lazo cerrado generada por el sistema retroalimentado :
Usando Routh Hurwitz, planteamos el arreglo:
Para determinar los valores de que permiten que el sistema sea estable, hay que evitar que existan cambios de signos en la primera columna de términos del arreglo, por lo tanto:
Entonces los valores de validos son los pertenecientes al intervalo , lo que evidencia que el rango de validos cambia.
Para un valor de se tiene,
Para la función de transferencia , la
A continuación se presentan los diagramas de Bode(Magnitud y Fase) para el sistema del nuevo lazo, el cual se diferencia a los diagramas Bode presentados en la parte 1, debido a que se tienen polos complejos conjugados.
-Bode Real:
-Bode usando Aproximación en Linea Recta:
Debido a que se tienen polos complejos conjugados, se utiliza la parte real de dichos polos para determinar el tiempo transitorio:
, lo cual se diferencia notablemente con el tiempo obtenido para el sistema de la primera parte.
Finalmente, se puede concluir que se espera obtener una respuesta oscilante que se estabilice en aproximadamente 8 segundos. Por lo tanto, la respuesta al escalón del lazo cerrado(graficamente) será:
Debido a que es un sistema realimentado, se tiene lo siguiente:
Haciendo los calculos se obtiene que el sistema es:
Haciendo el criterio de ROUTH-HURWITZ se llega a la conclusión que: 5K>0 para que la primera columna de la matriz no cambie de signo, y así el sistema sea estable.
Así, K>0 para garantizar la ESTABILIDAD del sistema.
2. Para que el sistema sea estable se puede aplicar el arreglo de Routh Hurtwitz, en el cual debe cumplirse que en la primera columna no haya cambios de signos ni ceros.
Se tiene que para todo K mayor a cero el sistema es estable.
Aunque ambos sistemas culminan los efectos transitorios al mismo tiempo, el segundo es más rápido ya que, el aumento en la ganancia ocasiona una mayor frecuencia del ancho de banda, lo cual produce un retardo por las oscilaciones.
Los sistemas que se muestran a continuación se incluyen en un esquema de realimentación como el que se muestra en la figura . En cada caso determine el rango de valores de K positivos que hacen al sistema estable. En cada caso seleccione un valor de K que asegure que el sistema de lazo cerrado sea o bien más rápido que el sistema sin realimentación o que asegure la estabilidad. En todos los casos (salvo de inestabilidad) calcule y grafique la respuesta de los sistemas (abierto y cerrado) y compárelas.
Al ser un sistema realimentado de esa forma, se puede colocar su ecuación como:
Para
Haciendo el criterio de ROUTH-HURWITZ se obtiene lo siguiente que: K+5>0 y que K+2>0
Al final quedaría que K>-5 y que K>-2 como son valores de K positivos (así lo piden en el enunciado de la pregunta) entonces se garantiza estabilidad del sistema cuando K>0.
Para
Haciendo el criterio de ROUHT-HURWITZ se obtiene que K+2>0 y que 5-K>0
Al final se obtiene que K>-2 y K<5. Como son los K positivos, entonces el sistema es estable cuando 0<K<5.
Para
Haciendo el criterio de ROUTH-HURWITZ se obtiene que K-2>0 y que K+5>0.
Resolviendo esas inecuacion se obtiene que el rango de estabilidad del sistema es para K>2 y K>5. Por lo que por intersección de ambas inecuaciones, K debe ser K>5 para conseguir la estabilidad del sistema.