Problemario de Señales y Sistemas/Respuesta temporal de sistemas

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Problemario de Señales y Sistemas


Respuesta temporal de sistemas

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En esta sección se estudian las respuestas temporales de sistemas a diferentes señales de entrada.



Problemas

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Problema #1

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Calcule la salida   dadas las siguientes entradas y respuestas al impulso

  1.  ,  
  2.  ,  
  3.   un pulso de amplitud uno entre   y  
  4. usando el teorema del valor final, en los casos en los que los límites existan, determine el valor final y compare con las respuestas temporales.

respuesta de la pregunta 1-aBenjamin Meza 0538553

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La entrada es #  , y su trasformada de laplace es  

Ahora a el sistema al que se le aplica esta entrada es h(t) y su trasformada de laplace es  

Al multiplicar ambas funciones por propiedades de Laplace, se obtiene

1/(s+1)-2/((s+1)(s+2))

El segundo termino se puede resolver por fracciones simples

A/(S+1)+B/(S+2)=2 Donde A=2 Y B=-2

Obteniendo se como resultado total 1/(s+1)-4/(s+1)+4(s+2)

Y Y(t)=#    ,

==Problema #2== Solucion: Marianela Mendoza 06-39906.

Sea  . y la respuesta al impulso  .

La transformada en el dominio de frecuencia de   queda como un pulso de altura 1 comprendido entre -0,25 y 0,25.


  o  

Luego se sabe que en dominio de frecuencia de h(t)es un señal triangular centrada en 2 y comprendida entre 1,5 y 2,5.


 

Aplicando la propiedad de: Convolucion en el tiempo es Multiplicacion en frecuencia. Queda que:

Y( .) = 0.

Problema #2

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Considere el sistema que se muestra   en el que la función de transferencia del sistema viene determinada por:  

Determine:

  1. La respuesta al impulso del sistema
  2. La respuesta al escalón del sistema
  3. Grafique el diagrama de polos y ceros, señale el polo dominante y, suponiendo que cuando estamos a menos del 2% del valor   ya alcanzamos el valor de estado estacionario, establezca una relación entre el tiempo que tarda en llegar al estado estacionario y el inverso del polo dominante.
  4. Dibuje el diagrama de Bode del sistema (puede ser la aproximación en línea recta).
  5. ¿Cuál es el valor de la salida en estado estacionario ( ) cuando  ?
 Nota: Cuando usamos la transformada de Laplace unilateral para calcular respuestas temporales
 estamos suponiendo que la señal es aplicada a partir de  , así que, formalmente,
 en la pregunta anterior la señal   debería comenzar en   o, lo
 que es lo mismo, estár multiplicada por  . Ahora bien, como lo que se pide es la
 respuesta en estado estacionario, i.e.,  , en este caso, esa
 diferencia es irrelevante, ¿por qué?

Subsección Solución 1

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Por: Simara Pérez Carnet: 04-37413

1.

Se sabe que:  .

Como   es un impulso, y la Transformada de Laplace del impulso es igual a 1, se tiene que:

 .

Descomponiento   en fracciones simples se obtiene:

 

Calculando A y B se tiene que:  , 

Así,  

Se sabe que la Tranformada de Laplace de la función   es  . Así, aplicando la Tranformada Inversa de Laplace se obtiene:

 


Subsección Solución 2

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Por Vanessa Ventosa #04-37699

2. sabemos que:   y   un escalón, cuya transformada es igual a  , luego se tiene:

 , que descomponiendo en fracciones simples:  

Calculando, los coeficientes resultan:  , , , entonces:

 

si aplicamos la transformada inversa a  , sabiendo que la transformada inversa de   es   nos queda finalmente la respuesta al escalón:

 


Subsección Solución 3

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Por Carlos Rizzo, carnet #04-37496.

Solución a la parte 4:

Como podemos, observar, la función de transferencia del sistema es:

 

De esta forma, visualizamos claramente las raíces.

El diagrama de Bode de magnitud viene dado por:

Archivo:Diagrama mag.JPG

Observamos que las frecuencias representadas en el eje “x” son:   y   respectivamente, como consecuencia de los polos de la función de transferencia.


La ecuación de la recta (1) es:  .

La ecuación de la recta (2) es:  .

Observese que el punto de corte con el eje “y” viene dado por la expresión  , correspondiente a la magnitud del numerador, y que el eje de corte con el eje “x” se obtiene igualando la ecuación de la recta (2) a y = 0.

De esta forma:  .

que luego de despejar, se obtiene:  


El diagrama de Bode de fase viene dado por:

Archivo:Diagrama fase.JPG

Nuevamente, observamos que las frecuencias representadas en el eje “x” son:   ,  y   para el polo 10; y  ,  y   para el polo 5.

Subsección Solución 5

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Por: Oriana Vásquez 04-37692

5.  

 

 

 

Para la frecuencia de   se tiene:

Atenuación= 

Desfase= 

Para la frecuencia de   se tiene:

Atenuación= 

Desfase= 

 

Subsección Solución 4

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Gustavo Méndez 0134141

3. Las gráficas son las mismas del apartado 4, con la salvedad que en el caso del escalón hay un polo en cero que contribuye con -20 dB en el diagrama de magnitud y con -45 grados en el diagrama de fase.


Si consideramos que la señal está a menos del 2 % del valor  , implica que es 3.92 o 4.08. Tomemos 3.92 e igualemos a la solución del apartado 2,

 

donde obtenemos que t= 46 segundos.

Por otra parte consideremos el polo dominante se encuentra ubicado en 0.1,

 

 

se puede deducir que,

 

Esto nos da a conocer que el tiempo estacionario es de 40 segundos, lo que es aproximadamente igual al valor obtenido previamente.



Problema #3

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Considere el sistema que se muestra   en el que   y la transformada de Laplace de la respuesta al impulso (la función de transferencia) del sistema es:

 

Determine:

  1. La respuesta del sistema a una entrada escalón unitario
  2. La respuesta del sistema a  
  3. Para determinar las respuesta frecuencial del sistema sólo se requiere substituir, en la función de transferencia  , ¿por qué?. Dibuje el diagrama de Bode de magnitud y fase del sistema. Determine el ancho de banda del sistema.
  4. Si, modificando los parámetros del sistema, usted desea hacer que el sistema sea más rápido, y puede elegir entre llevar el polo que está en -1 a -0.1 ó a -5, ¿cuál configuración elegiría y por qué?. ¿que sucede con el ancho de banda del sistema?

Subsección solución 1

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Por: Elaine Rojas carnet:0437523

1.

Tenemos que   , si   entonces tenemos que:

  , así mismo sabemos que:

   

Sabiendo que  , tenemos que:

 

Hacemos descomposición por fracciones simples:

  +   +  

Tenemos que:  ,   ,  

De donde tenemos que:   +   +  

Además sabemos que la transformada de Laplace de   es  ,.

Entonces aplicando la transformada inversa de Laplace a   tenemos que:

             , t>0

Subsección Solución 2

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Por: Sarah Spadavecchia #04-37632

como   luego   Ahora sabemos que:   Luego tenemos que   entonces queda:   Ahora descomponemos en fracciones simples:   +   +   +   Luego tenemos que los coeficientes son:

 

 

 

 

Ahora escribimos

  +   +   +  

Sabemos que la transformada de Laplace de una función del tipo   es  

Aplicando la transformada inversa a  encontramos que :

    +   +   ,t>0

Subsección Solución 3

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Por: Hugo Negrette carnet: 04-37339

A partir de la función de transferencia:    

Podemos obtener la respuesta frecuencial, si sustituimos s=σ+jw, con σ=0. Es decir llevamos la función de transferencia que obtenemos con Laplace, a una respuesta frecuencial que se obtiene con fourier, haciendo sigma igual a cero.

  =>  

DIAGRAMA DE BODE:

MAGNITUD:

Archivo:Magnitudnew.PNG

FASE:

Archivo:Fasenew.PNG



Subseccion solucion pregunta 4

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Oswaldo Gonzalez #0335981


Buscaremos primero la respuesta general a la siguiente función de transferencia siendo X el polo a ser desplazado:

  


Hacemos descomposición por fracciones simples obteniendo:

  +  


  y  

Sabemos que la transformada de Laplace de   es  , por lo que anti-transformando obtenemos:

por lo tanto:

 

Se debe escoger el mayor valor de   posible, entiéndase  , para que los efectos transitorios del sistema desaparezcan lo mas rápido posible. De tal manera las ecuaciones quedarían de la siguiente forma:

        
  +   


Para encontrar el ancho de banda del sistema tenemos que:

 

por definicion tenemos    

consiguiendo,luego de simplificar, el siguiente polinomio :  

haciendo el cambio   obtenemos la siguiente ecuación cuadrática:

  cuyas raices son   y  

así, devolviendo el cambio, se encuentra como valida unicamente     pues   debe ser real y positiva.

Por lo tanto el ancho de banda aumenta significativamente.

Problema #4

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Considere el circuito inactivo de la figura


en t=0 el interruptor se cierra con  .

  1. Calcule la expresión analítica para las corrientes  . Grafique sus respuestas
  2. Cuando ha pasado suficiente tiempo (digamos t= ) el voltaje de entrada se lleva a cero. En esas condiciones, calcule y grafique la nueva evolución de las mismas corrientes.


Solucion problema 4

Por:Orlando Diaz

Carnet:0538117


1.

las condiciones iniciales del circuito son: i1(t)=0; i2(t)=0

Utilizando metodo de mallas en el circuito nos queda el siguiente sistema de ecuaciones:

 

 

Utilizando la transformada de Laplace el sistema se convierte en:

 

 


Despejando   nos queda:


 


 


Si:

  entonces su transformada de Laplace es :  


Sustituyendo en las ecuaciones de las corrientes se convierten en:


 

 


Al descomponer en fracciones simples y hallar las constantes nos queda:


 

 


al Utilizar la transformada inversa tenemos la respuesta del circuito a la entrada que es:



 


 


sus graficas son: i1(T)

Archivo:Grafica corriente 1 respuesta temporal de sistemas problema 4.png

i2(t)

Archivo:Grafica corriente 2 respuesta temporal de sistemas problema 4.png


2.

Ahora supongamos que después de haberse estabilizado la respuesta a la entrada. pongamos dicha entrada bruscamente a cero.

Tendremos que volver a analizar el circuito con la nueva situacion:


Nuestras nuevas condiciones iniciales son i1(t)=1/4 e i2(t)=1/40


El nuevo sistema de ecuaciones es:


 

 


que al transformarlo a Laplace es:


 

 

La nueva respuesta del sistema es:



 

 

aplicando transformada inversa la respuesta temporal es:



 


 


y sus graficas son:

i1(t)

Archivo:Grafica corriente 1 problema respuesta temporal problema4-2.png


i2(t)

Archivo:Grafica corriente 2 problema respuesta temporal problema4-2.png