Problemario de Señales y Sistemas/Muestreo de señales y respuesta de sistemas LTI

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Problemario de Señales y Sistemas


Muestreo de señales y respuesta de sistemas LTIEditar



ProblemasEditar

Problema #1Editar

Considere el sistema que se muestra   en el que la señal de entrada,  , es muestreada con un tren de pulsos   para producir la señal  . La señal   pasa a través de un sistema lineal invariante en el tiempo cuya respuesta el impulso es  .

Se desea que determine y grafique el par:  .

En este caso  ,   y  

Nota: Para efectos de la solución, puede suponer que,    , donde  . Igualmente  , donde  . Esto es, que, para todo fin práctico, la respuesta al impulso y la respuesta en frecuencia del sistema se consideran cero cuando alcanzan el 10% de su valor en cero.

Subsección solución 1Editar

Hecho por: Pedro Torruella #04-37657

1) Primero elijo trabajar sobre la base de la frecuencia, ya que por las propiedades de la transformada de Fourier puedo hacer los cálculos fácilmente.

Primero convierto

 

Que por propiedades de la transformada de fourier queda como:


 

Luego transformo

 

que por tablas obtenemos

 

Al convolucionar con la función   obtenemos unos deltas con módulos de   de la siguiente forma


 

o lo que es lo mismo

 

Al convertir   al dominio del tiempo por las tablas de transformadas, obtenemos un tren de pulsos

 

 

Para obtener y(t) tengo que convolucionar z(t) con h(t). Como z(t) es un tren de impulsos, lo que voy a obtener es una repetición de h(t) por cada pulso, por otro lado, los pulsos tienen un espaciado de 0,5, como h(t) es nula para valores mayores a 0,46 unidades de tiempo, una no se sobrepone con la otra cuando se convoluciona con el tren de pulsos, por lo tanto obtendremos algo como esto:

 

 

Subsección solución 2Editar

Por: Alejandro González 04-37066

Trabajando en la base del tiempo, se tiene para  :

 

Esto, gráficamente, es algo así:

Archivo:Tren de pulsos por coseno.png

Esta función se puede reescribir como:

 


Con la suposición,    , donde  

se calcula  :


 

luego,  

finalmente:


 


y se puede reescribir   como:  

Ahora, convolucionando la función   con la función  , se tiene:

 

 

finalmente:

 

y su representación gráfica:

Archivo:Yt pulsos por exponencial negativa.png


Subsección solución 3Editar

Por: Pedro Torruella #04-37657

Para determinar Y(t) también se puede aplicar una forma intuitiva y rápida que es la siguiente.

Si nos olvidamos de la sumatoria y convolucionamos h(t) para una sola delta, obtenemos la misma h(t), luego sabemos que h(t) está definida desde 0 a 0.46 y que cada delta está espaciada una de la otra 0.5, entonces una función no entorpece a la otra y es fácil imaginar cómo se repite la misma función h(t) una y otra vez cambiando de signo junto con las delta.