Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos/Texto Completo

Introducción

El objetivo de este capítulo es presentar algunos resultados “intuitivos”, cuya formalización condujo al desarrollo de los Espacios Métricos Y la Topología.

Generalidades

Recordemos que, en los cursos de Cálculo, se define la noción de derivada de una función como un cierto límite; donde por límite de los valores de una función se entiende un cierto número al que se aproximan dichos valores cuando el argumento de la función se restringe adecuadamente.

¿Qué significa exactamente lo anterior? En la mayoría de los textos de Cálculo no se desarrolla una teoría profunda acerca de los límites, ya que el interés primario está en la manipulación de funciones derivables e integrables: cómo “calcular” una derivada o hallar una integral, así como en sus aplicaciones (máximos y mínimos, por ejemplo).

Tras bastidores, por así decirlo, están las funciones continuas, que para nosotros serán las más importantes. Generalmente, tales funciones aparecen definidas en términos de límites, diciendo que el limite de los valores de la función en un cierto número es precisamente el valor de la función en ese número. Intuitivamente, se dice que una función es continua en un punto de su dominio cuando su gráfica no tiene “saltos” en dicho punto. Si la función está definida sobre un intervalo, continuidad en el intervalo significa, intuitivamente, que podemos dibujar la gráfica de la función sin necesidad de tener que levantar el lápiz.

Cuando examinamos un texto de Cálculo, especialmente en el área de aplicaciones de las derivadas, usualmente hallamos los enunciados de algunos teoremas, con las pruebas omitidas por pertenecer a matemáticas más avanzadas. Este texto provee esas "matemáticas más avanzadas". Una notable excepción a lo anterior es el texto de Cálculo de Spivak [16].

Examinaremos, a continuación, algunos de esos teoremas.

Teorema A. (Teorema del Valor Intermedio) Sea f : [a, b] → R una función continua tal que f(a) y f(b) tienen signos opuestos. Entonces, hay un c tal que a < c < b y f(c) = 0.

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Teorema B.) (Acotamiento de Funciones) Sea f : [a, b] → R una función continua, entonces hay un real positivo M tal que para todo x en [a, b] se cumple que −M ≤ f(x) ≤ M. En palabras, la función f es acotada.

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Teorema C. (Existencia de Máximos y Mínimos Absolutos) Sea f : [a, b] → R una función continua, entonces hay números c y d tales que a ≤ c, d ≤ b con f(c) ≤ f(x) ≤ f(d), para todo x en [a, b]. En palabras, la función f alcanza máximos y mínimos absolutos.

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Gráficas de Funciones

Figura 1.1: Gráficas de Funciones

Examinemos tales teoremas. Veamos primeramente su plausibilidad, o sea ¿por qué creemos que pueden ser válidos? Mirando a la parte (a) de la figura 1.1, y usando la intuición de que la gráfica no tiene saltos, vemos que yendo de (a, f(a)) (que está por debajo del eje X) a (b, f(b)) (que está por encima del eje X) tenemos que cruzar al menos una vez el eje, que es precisamente lo que dice el teorema A.

Igualmente, mirando a la parte (b) de la figura, podemos razonar que por mucho que suba o baje la gráfica, debe finalmente llegar al punto (b, f(b)), que nos dice lo que enuncia el teorema B. Dicha figura también ilustra lo indicado por el teorema C.

La discusión heurística anterior, puede conducirnos a una serie de preguntas interesantes. ¿Por qué no aparece una demostración de esos teoremas, que parecen tan obvios? Inicialmente, los matemáticos tomaron a esos resultados como “evidentes”, razonando gráficamente como arriba. Varios tropiezos posteriores con tales argumentos gráficos, llevó a los matemáticos del siglo XIX a estudiar seriamente como probar lógicamente dichos teoremas. Fue solamente en las décadas finales de ese siglo que se obtuvo una teoría que permitió tales demostraciones.

Volviendo a los teoremas, notemos que los tres tienen una hipótesis común: “sea f : [a, b] → R una función continua.” ¿Por qué el dominio de la función tiene que ser un intervalo cerrado y acotado? ¿Qué pasa si tomamos un intervalo que no sea cerrado o acotado o un dominio que no sea un intervalo?

(♠) Usaremos, en algunos de los ejemplos posteriores, el teorema que establece que cuando una función tiene derivada, la función es continua.

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Ejemplo 1.1.1. Sea A =]0, 1] = {x ∈ R : 0 < x ≤ 1}. Notemos que la única diferencia con el intervalo [0, 1] es que A no contiene el punto 0, o sea que es un intervalo abierto en 0.

Sea f : A → R tal que f(x) = 1/x. Esta función es continua en A (porque tiene derivada, f′(x) = −1/x²) Tal función no es acotada superiormente, ya que si x = 1/n, n entero positivo, f(x) = n, o sea que alcanza valores tan grande como queramos. Por la misma razón, no alcanza un valor máximo.

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El ejemplo anterior ilustra que la ausencia de un punto del dominio hace que los teoremas B y C no sean válidos.

Moraleja: un sólo punto puede hacer una gran diferencia!!!!

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Ejemplo 1.1.2. Sea B =]0, 1[= {x ∈ R : 0 < x < 1}. Sea f : B → R tal que f(x) = x. Esta función es continua en A (porque tiene derivada, f′(x) = 1). Es fácil ver que esa función es acotada, ya que para todo x en B se cumple que, digamos −2 < f(x) < 2; sin embargo, la función no alcanza valor máximo ni mínimo. (Los valores candidatos están fuera del dominio de la función.)

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Ejemplo 1.1.3. En los ejemplos anteriores, hemos quitado un punto del extremo de un intervalo cerrado, ¿qué pasará si quitamos un punto dentro del intervalo?

Figura 1.2: Gráfica de una función

Sea C = {x ∈ R : −1 ≤ x < 0 o 0 < x ≤ 1, o sea el intervalo [−1, 1] menos el 0. Sea f : C → R tal que f(x) = 1 cuando x > 0 y, en caso contrario, f(x) = −1.

Mirar la gráfica en la figura 1.2. Claramente la función tiene derivada en todo su dominio, derivada que es nula. Notemos que f(−1) = −1 < 0 y f(1) = 1 > 0, pero no hay un número c entre −1 y 1 donde f(x) = 0. (Ver el teorema A).

Recordemos, también que hay un teorema de Cálculo que dice que una función con derivada nula es constante. Nuestra función tiene derivada nula en todo su dominio, pero no es constante.

¿Qué sucede?
Simplemente, que el teorema que la derivada nula implica función constante requiere en su hipótesis que el dominio sea un intervalo, o sea que no puede haber un punto faltante entre los extremos. En este caso el dominio está desconectado (consiste de dos partes que no tienen punto común) y como consecuencia, su gráfica también.

Los ejemplos anteriores muestran que la conducta de una función (es o no acotada, alcanza un cierto valor o tiene máximos o mínimos, etc.) depende no solamente de la regla o fórmula de la función, sino que también es muy importante el conjunto donde está definida la función.

Los ejemplos anteriores, y muchos otros más, condujeron a un estudio matemático formal de las situaciones envueltas. Nuevas teorías fueron creadas: Análisis para formalizar los procesos de derivación e integración, Geometría Multidimensional (geometría y Cálculo de varias variables), Espacios Métricos, la teoría de Conjuntos y finalmente la Topología.

Los Espacios Métricos y la Topología estudian la noción de proximidad, ¿qué quiere decir estar cerca de un punto o de un conjunto? ¿Cuándo un conjunto tiene partes separadas? ¿Cuál es la diferencia entre intervalos cerrados y abiertos? Los espacios métricos lo hacen usando una noción de distancia entre puntos, los espacios topológicos lo hacen sin recurrir a la noción de distancia. Hay situaciones donde no hay una métrica o distancia posible o donde la métrica no es lo más natural, por lo que se recurre a la noción de “vecindad” (espacios topológicos). Dos puntos de la misma vecindad están “cercanos”, puntos pertenecientes a diferentes vecindades estarán más separados. La habilidad de los matemáticos ha sido crear un lenguaje formal para estudiar adecuadamente dichas intuiciones. Para entender un poco los problemas que trata la teoría de los espacios métricos y la topología, veamos la siguiente situación.

Consideremos el círculo unitario del plano cartesiano, o sea al conjunto

$C=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}\leq 1\}.$

Sea p = (a, b) un punto del plano. Tratar de responder a las siguientes preguntas sin mirar a un dibujo de la situación, o sea solamente usando la definición de C.

1. ¿Qué condiciones deben satisfacer a y b para que p sea un punto en el interior de C? ¿en el borde de C? ¿en el exterior de C?
2. ¿Cómo definir que p es un punto en el interior (resp. borde, exterior) de C sin usar las ecuaciones? (Sug. Mirar que pasa con los vecinos de p (los puntos suficientemente cercanos a p.)

No olvidar de leer la sección Convenios del Prefacio

Los Números Reales

Introducción

La historia de los espacios métricos empieza con los (números) Reales. Representamos intuitivamente a los Reales mediante la llamada línea numérica, equipada con la distancia entre números definida como el valor absoluto desu diferencia. Informalmente hablando, un espacio métrico será un conjunto provisto con una noción de distancia; los Reales con la distancia mencionada seránn el ejmeplo básico de espacio métrico (las definirionaes formales aparecerán en capítulos posteriores). Las propiedades de subconjuntos de los Reales y de las funciones definidas sobre ellos fueron generalizadas o abstraídas a las teorías de los espacios métricos y de los espacios topológicos.

En este capítulo revisaremos las propiedades relevantes de los Reales. Recomendamos a los lectores que revisen lo expuesto, aunque será muy probable que lo hayan visto con anterioridad. Es muy importante que revisen las secciones dedicadas a la completitud, el axioma del supremo y sus consecuencias, especialmente cuando la palabra "supremo" les sea deconocida. El énfasis de la exposición será en aquellos aspectos útiles para el resto del texto.

La segunda sección es un resumen muy breve de las propiedades generales de los Reales. La tercera sección presenta las consideraciones métricas de los Reales. En la cuarta sección, presentamos/revisamos la noción de supremo, que completa la presentación de la estructura de los Reales y que será muy importante en nuestro estudio. En las últimas secciones, veremos relaciones entre los Racionales y los Reales.

Los Números Reales

Formalmente, los Reales están caracterizados por las propiedades de sus operaciones, las propiedades del orden y la completitud. Revisaremos primeramente lo referente a las operaciones y al orden.

La Estructura de Cuerpo

En los Reales, R, hay definidas dos operaciones a las que llamamos adición ($+$) y multiplicación (*). Tales operaciones satisfacen los siguientes axiomas o postulados.

• (Axiomas de la Adición) La adición es asociativa, conmutativa, tiene un neutro 0 (a+0=a) y cada número a tiene un opuesto aditivo -a tal que a + (-a) = 0.
• (Axiomas de la Multiplicación) La multiplicación es asociativa, conmutativa, tiene neutro 1 (a*1=a) y cada número a ≠ 0 tiene un recíproco 1/a tal que a * (1/a) = 1).
• (Axiomas MIxtos) La multiplicación es distributiva respecto a la adición. Los neutros 0 y 1 son diferentes.

Cuando en un conjunto cualquiera K haya definidas operaciones con las propiedades anteriores, decimos que K tiene o posee con dichas operaciones una estructura de cuerpo o simplemente que K es un cuerpo. Por lo que, los postulados anteriores dicen que R es un cuerpo.

Otros cuerpos importantes que seguramente el lector conoce son los Racionales, Q, que es un subconjunto de los Reales y los Complejos, C, que contienen a los Reales.

En un cuerpo, se definen dos operaciones auxiliares: substracción y división.

$a-b:=a+(-b),\qquad a\div b=a/b=a*(1/b).$

Como es costumbre, escribiremos xy en lugar de x * y.

Los Reales contienen algunos subconjuntos especiales que recordamos a continuación.

• Los Naturales, N, caracterizado por ser el subconjunto más pequeño de los Reales que satisface las siguientes propiedades

  (i) 0 es un número natural;

  (ii) Si k es un número natural, también lo es k+1.

• Los Enteros, Z, que está formado por los naturales y sus opuestos aditivos.
• Los Racionales, Q, cuyos elementos son fracciones de enteros.

La Estructura de Cuerpo Ordenado

Tenemos para el orden los siguientes axiomas.

Axiomas del Orden. Hay una relación "≤" entre números reales, tal que

• (i) Si (x ≤ y) y (y ≤ z) entonces (x ≤ z) (transitividad).
• (ii) (x ≤ y) y (y ≤ x) <==> x=y.
• (iii) para todo x, y se cumple que (x ≤ y) o que (y ≤ x).
• (iv) si (x ≤ y) entonces (x + z ≤ y + z).
• (v) si (0 ≤ x) y (0 ≤ y) entonces (0 ≤ xy).

Cuando en un cuerpo hay una relación como la anterior, (llamada relación de orden), se dice que se trata de un cuerpo ordenado. Los Reales y los Racionales forman un cuerpo ordenado, mientras que los Complejos no.

(Relaciones de orden asociadas) Asociada con la relación ≤ tenemos "x < y" que quiere decir que (x ≤ y) pero que (x ≠ y). Suponemos conocido por los lectores los significados de "x > y" y de "x ≥ y", así como la terminología acerca de positivos y negativos.

Notación de Intervalos. Simbolizaremos los extremos abiertos de intervalos usando "]" para el extremo inferior y "[" para el extremo superior. Así, por ejemplo, ]3, 6[ = {x ∈ R: 3 < x < 6}. Usamos esta notación, para distinguir intervalos abiertos de pares ordenados.

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Hay una propiedad muy importante que aparecerá frecuentemente en nuestras discusiones.

(Tricotomía) Para todo a, b en R, se cumple una, y solo una, de las siguientes afirmaciones.

${\begin{array}{ccc}a>b,\quad &a=b,\quad &a<b.\end{array}}$

Principio del Buen Orden (PBO) Esta es una propiedad del orden referentes a los Enteros que establece que:

Cualquier subconjunto de enteros no-negativos tiene un primer elemento, o sea un elemento que es menor o igual que cualquier otro elemento del conjunto.

Ejercicios 2.2.

1. Sean x, y tales que x < y, sea z = (x+y)/2. Probar que x < z < y.
2. (Demostraciones de que un número es igual a 0)
   1. Si x + y = x entonces y = 0.
   2. Si x + x = x entonces x = 0.
   3. a ∗ 0 = 0. (aplicar lo anterior).
3. (Opuestos aditivos).
   1. Si x + y = 0 entonces y = −x.
   2. −(−x) = x (evaluar −x + x).
   3. −(a + b) = −a + (−b.1
   4. (−a)b = −ab (evaluar ab + (−a)b).
   5. (−a)(−b) = ab.
4. Hallar el conjunto solución de la siguientes inecuaciones.
   1. 2x − 3 < 5.
   2. x² + 12 ≤ 7x.
5. Probar que todo número natural se cumple que n ≥ 0 y si n 6= 0, n > 0.
6. Probar que para todo número natural n se cumple que n < 2n.

Nociones Métricas en los Reales

Llamaremos nociones métricas a nociones asociadas al valor absoluto, ya que dicho valor absoluto nos permite definir una distancia entre puntos de R. Recordemos, primeramente, la definición de valor absoluto.

Definición. (Valor Absoluto) Llamamos valor absoluto de un número real x, al número real $|x|$ tal que $|x|=x$, cuando $x\geq 0$; e igual a $-x$, en caso contrario.

Notemos que para todo a, se cumple que -|a| ≤ a ≤ |a|.

Lema Sea a un número real positivo. Entonces,

1. |x|<a, ssi, -a < x < a.
2. |x|=a, ssi, x = $\scriptstyle \pm$ a.
3. |x|>a, ssi, x < -a o x > a.

Demostración.

Probaremos (a) y el resto queda de ejercicio. Por tricotomía se tiene que x>0 o x=0 o x<0.

Supongamos que |x|< a (*). Si x es positivo, (*) es equivalente a x<a; si x=0, (*) es equivalente a 0<a; finalmente, si x es negativo, (*) es equivalente a -x<a, o sea que x>-a. Por lo tanto, (*) es equivalente a -a < x < a.

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Proposición 2.3.2. (Propiedades Básicas del Valor Absoluto) Para todo a, b reales se cumple:

(VA1) |a| ≥ 0.

(VA2) |a|=0, ssi, a=0.

(VA3) |-a| = |a|.

(VA4) |a+b| ≤ |a|+|b|.

(VA5) |ab| = |a| |b|.

Demostración. (VA1), (VA2) y (VA3) siguen en forma directa de la definición. (VA4) Sigue de la definición que (1) -|a| ≤ a < |a| y que (2) -|b| ≤ b ≤ |b|. Sumando miembro a miembro en las desigualdades anteriores, obtenemos que

-(|a|+|b|) ≤ a + b ≤ |a| + |b|.

El resultado deseado sigue del lema.

(VA5) sigue de un análisis de casos de los signos de a y b.

Si a, b>0 entonces |ab| = ab = |a| |b|.

Si a= o b=0 el resultado es trivial.

Si a < 0 y b >0 entonces, |ab| = -a *b = |a| \, |b|.

Si a <0 y b<0 entonces |ab| = ab = (-a)(-b) = |a|\,|b|.

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La noción de valor absoluto se usa en los cursos básicos para definir una distancia entre números reales a y b, por

$d(a,b):=|a-b|.$

Proposición 2.3.3 (Propiedades de la Distancia). Sean a,b,c reales. Se cumple:

(D1) d(a,b) ≥ 0.

(D2) d(a,b) = 0, ssi, a=b.

(D3) d(b,a) = d(a,b).     (Simetría)

(D4) d(a,b) ≤ d(a,c) + d(c,b).    (Desigualdad Triangular)

Demostración. Las demostraciones siguen directamente de las propiedades correspondientes del valor absoluto.

(D1) d(a,b) = |a-b| ≥ 0. (VA1)

(D2) d(a,b)=0 ,ssi, ax-b|=0, ssi, a-b=0, ssi, a=b. (VA2)

(D3) d(b,a) = |b-a| = |-(a-b)| = |a-b| = d(a,b). (VA3)

(D4) d(a,b) = |a-b| = |(a-c) + (c-a)| ≤ |a-c|+|c-b|=d(a,c) + d(c,b). (VA4)

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Lo que es importante es mirar siempre a |a-b| como indicando distancia del punto a al punto b. Esto permite visualizar expresiones que contienen valor absoluto.

Ejemplo 2.3.1.

1. Hallar todos los x tales que |x-3| = |x + 5|.
   Resolución: Reescribiendo la ecuación como |x-3| = |x -(-5)|, vemos que se trata de hallar un punto o puntos cuya distancia a 3 sea igual a su distancia a -5. Es fácil, entonces ver que la única solución posible es x=-1.
2. Hallar todos los x tales que |x-5| < 3.
   Resolución. Buscamos x cuya distancia a 5 sea inferior a 3. Fácil de ver que se trata de los x tales que 2=5-3< x < 5+3= 8, o sea que el conjunto solución es el intervalo abierto ]2,8[.

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Ejercicios 2.3

1. (Desigualdades)
   1. Probar que para todo número real a, a² ≥ 0 y que a² = 0, ssi, a = 0.
   2. Usar lo anterior para probar que |a| = √(a²).
   3. Cuando a y b son números positivos o cero, entonces 2ab ≤ a² + b².
      (Sug: Usar que (a − b)² ≥ 0) ¿Cuándo la desigualdad es igualdad?
   4. Cuando a y b son números positivos o cero, entonces

      √ab ≤ (a + b)/2.

2. Sabemos que |a + b| ≤ |a| + |b|. Investigar cuando se tiene la igualdad.
3. Probar que ||a| − |b|| ≤ |a − b|. (Sug. Usar que x = y + (x − y) y que y = x + (y − x).)

Completitud

Esta sección está dedicada al actor principal en el drama de los Reales: el supremo, Si la lectora o lector sabe lo que supremo e ínfimo significan, puede ir a mirar el Postulado del Supremo en la sección 2.4.2, el teorema 2.4.4 y sus corolarios. Si siente que está suficientemente familiarizada o familiarizado con esas nociones puede saltarse esta sección e ir al próximo capítulo. Siempre será posible volver a consultarlo.

Suponemos conocido por los lectores que además de los números racionales (iguales a una fracción de enteros) hay otros que no lo son, los irracionales. Algunos irracionales famosos: ${\sqrt {2}}$, $\pi$, $e$, etc.

Observamos anteriormente que tanto los Racionales como los Reales son cuerpos ordenados, lo que implica que los axiomas de cuerpo ordenado no pueden dar cuenta de los irracionales. Necesitaremos axioma o axiomas adicionales. Tales axiomas se llaman axiomas de completitud. Hay varias versiones posibles para lograr ese objetivo, como veremos más adelante.

Revisaremos, primeramente, las bases intuitivas de la completación.

Suponemos conocido que cada número real $\alpha$ tiene una expansión decimal. Es decir, suponiendo que $\alpha \geq 0$, podemos hallar un entero positivo $M$ y una sucesión infinita $(a_{i})$ de dígitos (decimales)---$0\leq a_{n}\leq 9$---tales que

$\alpha =M+{\frac {a_{1}}{10}}+{\frac {a_{2}}{10^{2}}}+\dots +{\frac {a_{n}}{10^{n}}}+\cdots ;$

(1)

lo que usualmente se escribe abreviadamente como

$\alpha =M.a_{1}a_{2}a_{3}\ldots a_{n}\dots$

(2)

donde llamamos numeral decima} a la expresión de la derecha. Lo anterior es más fácil escribirlo que explicarlo lógicamente, ¿cuál es el significado de un numeral decimal? La notación en (2) oculta el hecho de que se trata de una suma infinita. Podemos, además, preguntarnos, ¿cómo se obtiene el numeral digital asociado a un número real? ¿será siempre posible esa asociación? ¿dada una expansión decimal cualquiera hay un número real asociado? La búsqueda de una respuesta a esas preguntas, fue el origen de la teoría de los espacios métricos. Hemos intencionalmente llamado "numeral decimal" a la expresión en (2), para insinuar que no estamos seguro de que se trate de un número real.

Ejemplo 2.4.1.. Antes de pasar adelante, para ilustrar que las consideraciones anteriores no son una cosa trivial, consideremos los numerales decimales siguientes:

$\alpha =0.123456789101112\dots$

$\beta =0.1010010001000\dots$

Las expresiones anteriores se han construido no--periódicas, porque se sabe que cuando tales expansiones son periódicas representan a números racionales.

Si alguien supone que las consideraciones anteriores y otras posteriores son triviales, suponga que $\alpha$ y $\beta$ representan números reales, y calcule $\alpha +\beta$ y $\alpha *\beta$. \end{ejemplo}

Supondremos conocido que cuando el numeral decimal es finito (a partir de un cierto subíndice todos los $a_{i}'s$ son nulos), entonces el numeral decimal representa a un número racional, ya que

$M.a_{1}a_{2}\dots a_{k}=M+{\frac {a_{1}}{10}}+\dots +{\frac {a_{k}}{10^{k}}}.$

(3)

Sea $\alpha$ un numeral decimal como en (2) y sea $\alpha _{k}$ la truncación (eliminar la cola) del numeral después de la posición $k$), o sea que $\alpha _{k}$ es lo que aparece en (3). Si ponemos que $\alpha _{0}=M$, vemos que el numeral $\alpha$ da origen a una sucesión $\alpha _{0}$, $\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$, \ldots de números racionales tales que

$\alpha _{0}\leq \alpha _{1}\leq \alpha _{2}\leq \cdots \leq \alpha _{k}\leq \cdots$

(4)

Se puede, además, verificar que para todo $k$ se cumple que $\alpha _{k}\leq M+1$.

¿Define el numeral decimal o equivalentemente la sucesión en (4), a un número real?

Si se piensa en la expansión decimal de un irracional, por ejemplo ${\sqrt {2}}=1.41423561\ldots$, vemos que no podemos obtener una respuesta lógicamente válida usando solamente los postulados de cuerpo ordenado. Este razonamiento heurístico muestra que necesitamos algo más: postulados de completitud.

\medskip Una solución simple es postular que "cada numeral decimal define a un número real, lo que llamaremos la ""completitud ingenua. Tal completitud es la que se usa en cursos primeros de matemáticas/ Una solución más formal requiere (entre otras opciones) la introducción de la noción de supremo.

Supremos, Ínfimos, Axioma del Supremo

Sea A un subconjunto de los Reales.

Cota Superior, Cota Inferior. Decimos que un número real M es una cota superior del conjunto A, ssi, para todo x se cumple que

x ∈ A ⇒ x ≤ M.

Tenemos un concepto dual.
Decimos que un número real m es una cota inferior del conjunto A, ssi, para todo x se cumple que

x ∈ A ⇒ m ≤ x.

Ejemplo 2.4.2. Sea A=]0,1]. Entonces 1, 2, 100, etc. son cotas superiores de A, mientras que 0, -1, -5 son cotas inferiores de A.

Notemos que cuando un conjunto tiene una cota $C$, digamos superior, cualquier número mayor que $C$ es también una cota superior, por lo que cuando un conjunto tiene una cota superior, tiene infinitas cotas superiores. Dualmente, cuando un conjunto tiene una cota inferior, cualquier número inferior a esa cota, es también una cota inferior. Notemos, también, que las cotas pueden o no pertenecer al conjunto.

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Conjunto Acotado. Decimos que un subconjunto está acotado superiormente (resp. inferiormente) cuando haya una cota superior (resp. inferior) del conjunto. Un conjunto es acotado, ssi, es acotado superior e inferiormente.

Usando la noción de cota definiremos supremo e ínfimo.

Definición. (Supremo, Ínfimo) Sea A un subconjunto de los Reales.

• Llamamos supremo de A a una cota superior que sea menor o igual que cualquier otra cota superior.
• Llamamos ínfimo de A a una cota inferior que sea mayor o igual que cualquier otra cota inferior.

Proposición 2.4.1. Cuando un conjunto tiene un supremo (resp. ínfimo) dicho supremo es único.

Demostración. Sea S y S' supremos de un conjunto A. Aplicando la definición de supremo a S y viendo a S' como una cota superior, tenemos que S ≤ S'. Invirtiendo los roles, se tiene que S' ≤ S. Por lo que se concluye que S=S'. La parte del ínfimo queda de ejercicio.

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El supremo de un conjunto es la menor de sus cotas superiores, mientras que el ínfimo es la mayor de sus coptas inferiores.

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Notación. Denotaremos el supremo de A (cuando exista) por sup(A) o
sup{x ∈ A}. Por su parte, inf(A) será el ínfimo de A.

Postulado del Supremo

Nuestro postulado simplemente asegura la existencia de supremos para ciertos conjuntos.

Axioma del Supremo Todo subconjunto de los Reales no vacío y acotado superiormente tiene un supremo.

Sigue de forma inmediata que dado un numera decimal α el conjunto de las truncaciones

{α₀, α₁, ..., α_k, ...}

es acotado superiormente (por α₀+1), por lo que tiene un supremo; que será el número real representado por ese numeral. En breve, cada numeral decimal produce un número real.

Para finalizar, digamos que se puede probar que hay a lo más un cuerpo ordenado completo (que cumpla con el axioma del supremo) y que hay una construcción comenzando con los llamados axiomas de Peano para los Naturales para construir desde cero a un cuerpo ordenado completo. Ver un desarrollo completo en WEB .

Finalmente, podemos resumir nuestras suposiciones sobre los Reales en el siguiente enunciado

Los Reales son un cuerpo ordenado completo.

El siguiente resultado será usado frecuentemente.

Proposición 2.4.2. Sea S = sup(A), A un conjunto no vacío. Entonces, para todo número real positivo ε hay un x de A tal que S-ε < x ≤ S.

Demostración. En caso contrario, S-ε sería una cota superior de A menor que el supremo; lo que es imposible.

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Proposición 2.4.3. Sean A, B subconjuntos de R tales que A ⊂ B y B es acotado superiormente. Entonces, el supremo de A existe y es menor o igual que el supremo de B.

Demostración. Por la hipótesis, cualquier cota superior de B es una cota superior de A, por lo que A es acotado superiormente; de donde sabemos, por el postulado del supremo, que A tiene un supremo. Como sup(B) es una cota superior de B, también lo es de A. Luego, sup(A) ≤ sup(B), ya que sup(A) es la menor cota superior de A.

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Ejemplo 2.4.3. Este ejercicio servirá para mostrar que hay un número real positivo cuyo cuadrado es igual a 2. Es decir probaremos que √2 es un número real.

Sea A = {x ∈ Q: x ≥ 0, x² < 2}, es decir el conjunto de los racionales no negativos cuyo cuadrado es menor que 2. Probaremos que A tiene un supremo tal que su cuadrado es 2.

Resolución. Como 1 es un racional positivo tal que 1²<2, tenemos que A no es vacío. Notemos que todo x en A debe ser menor que 2, ya que en caso contrario, x ≥ 2 implica que x² ≥ 4. Por lo que 2, es una cota superior del conjunto A. Por el axioma del supremo, A tiene un supremo, digamos S. Probaremos que S²=2.

Supongamos que S² < 2. Buscaremos un número 0<h<1 tal que (S+h)² < 2. La suposición de que h<1 implica que h²<h. Tenemos, entonces que

$(S+h)^{2}=S^{2}+2sh+h^{2}<S^{2}+2Sh+h=S^{2}+(2S+1)h.$

(*)

Resolviendo S² + (2S+1)h < 2, obtenemos que h < (2-S²)/(2S+1) Por lo que tomando un h satisfaciendo la última desigualdad y que, a la vez, sea menor que 1, obtendremos que (S+h)² < 2. Luego, S+h sería un elemento de A. Como S+h >S, esto es imposible, porque S es una cota superior de A. Por lo tanto, $\scriptstyle S^{2}\nless 2$.

Supongamos, ahora, que S² > 2. Buscaremos un k>0 tal que S-k sea cota superior de A. Si probamos lo anterior, tendríamos la contradicción de que habría una cota superior menor que el supremo. Por lo que S² ≯ 2. Por tricotomía, se concluye que S²=2 (ya que no puede ser ni menor ni mayor que 2).

Buscaremos un k > 0 tal que (S-k)² > 2.

$(S-k)^{2}=S^{2}-2Sk+k^{2}>S^{2}-2Sk>2\implies S^{2}-2>2Sk.$

Tomando, k < (S² -2)/(2S), se tiene que (S - k)² >2. Si hubiera un x en A tal que x > S-k, entonces x²>(S-k)² >2, lo que no puede ser. Luego, para todo x en A, x ≤ S-k, o sea S-k es una cota superior de A. Como esto es absurdo, concluimos que $\scriptstyle S^{2}\ngtr 2$.

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Consecuencias del Axioma del Supremo

Consideremos al conjunto de los Naturales, N, como subconjunto de los Reales.

Teorema 2.4.4. Los Naturales no están acotados superiormente.

Demostración. Supongamos que lo estuvieran. Como el conjunto no es vacío, tendría un supremo, digamos S. Consideremos al número S-1. Debe haber al menos un natural n tal que S-1< n ≤ S, si no S no será la menor cota superior. Pero, S-1< n implica que S < n+1 y, como n+1 es un número natural, esto es imposible ya que S es una cota superior de N. Como hemos llegado a una contradicción, nuestra suposición inicial era falsa, por lo que se tiene lo dicho en la proposición.

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Corolario 2.4.5 (Propiedad Arquimediana I). Sea a un número real positivo.
Hay un número natural n tal que a < n.

Demostración. Si no lo hubiera, a sería una cota superior de los naturales.

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Corolario 2.4.6 (Propiedad Arquimediana II). Sea a un número real positivo.
Hay un número natural n tal que 1/n < a.

Demostración. Si no lo hubiera, para todo n>0, se tendría que a≤1/n, de donde n ≤ 1/a, y 1/a sería una cota superior de los Naturales.

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Nos referiremos a los resultados de los corolarios como las propiedades arquimedianas.

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Proposición 2.4.7. Sea x un número real no negativo tal que para todo n en N⁺ (Naturales positivos)se cumple que 0 ≤ x < 1/n.
Entonces, x = 0.

Demostración. Si x > 0, por la propiedad arquimediana habría un natural tal que 1/n < x.

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Ejemplo 2.4.4. Probar que el conjunto A = {2ⁿ : n natural positivo} no es acotado superiormente.

Resolución. Probaremos que para todo n ≥ 1, 2ⁿ > n. Por lo que si hubiera una cota superior para A, dicha cota sería una cota de los Naturales. Si n = 1 entonces 2¹ = 2 > 1. Suponer que tenemos para un k ≥ 1 que se cumple 2^k ≥ k.
Entonces, 2^k+1 = 2 ∗ 2^k > 2k = k +k ≥ k +1. El resultado sigue por inducción.

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Ejercicios 2.4

1. Probar los enunciados siguientes.
   1. Sean A, B subconjuntos de R tales que A ⊂ B y B es acotado, entonces A es acotado.
   2. Los intervalos con extremos finitos son acotados.
   3. Un conjunto de números reales es acotado, ssi, está contenido en un intervalo cerrado acotado.
2. Hallar el supremo e ínfimo de cada conjunto, cuando existan. Probar sus afirmaciones.
   1. A = {x ∈ R : 0 ≤ x < 1}.
   2. B = N.
   3. C = {1/n :n natural positivo}.
   4. D = {x² − 4x + 7 : x ∈ R}.
   5. E = {x² − 4x + 7 : −5 < x < 5}.
3. Hallar el supremos e ínfimo (cuando existan) de los siguientes conjuntos.
   1. {x ∈ R : x² < 5}.
   2. {x ∈ R : x² > 11},
   3. {0.3, 0.33, 0.333, . . .}.
4. Probar que todo subconjunto de los Reales no vacío y acotado inferiormente tiene un ínfimo.
5. Sean A y B subconjuntos no vacíos de los Reales disjuntos y cuya reunión es R. Si para todo a en A y b en B se cumple que a ≤ b. Entonces, sup(A) = ínf(B)
6. Sea a < 0. Probar que hay un natural n tal que −n < a.
7. Sea a < 0. Probar que hay un natural n tal que a < −1/n.
8. Sean x, y números reales tales que para todo real positivo r se cumple que x ≥ y + r.
   Entonces, x = y.
9. Sean A, B subconjuntos de R. Examinar la validez de los siguientes enunciados.
   1. sup(A ∩ B) ≤ mín{sup(A), sup(B)}.
   2. sup(A ∩ B) = mín{sup(A), sup(B)}.
   3. sup(A ∪ B) ≥ máx{sup(A), sup(B)}.
   4. sup(A ∪ B) ≥ máx{sup(A), sup(B)}.
10. Sea I_n =]- 1/n, 1/n[, n ≥ 0. Sea I la intersección de todos los I_n. Describir al conjunto I.
11. Sea A_n =]0, n[, n ≥ 1 natural. ¿Cuál es la reunion de todos los A_n?
12. Probar que el conjunto {10ⁿ : n ∈ N}, no es acotado superiormente. Hallar conclusiones semejantes a las propiedades arquimedianas para este conjunto.
13. Probar que la reunión de los intervalos ]−n, n[, n natural es igual a todo R.

Aproximaciones Racionales de Números Reales

Parte Entera. Sea a un número real positivo cualquiera. Como los Naturales no están acotados superiormente, habrá un número entero n tal que a < n. Por el Principio del Buen Orden, hay un menor entero positivo con esa propiedad. Llamando m+1 a ese entero, tendremos que se cumple que m ≤ a < m+1. Llamamos parte entera del número a al entero m.

La noción se puede extender a los números negativos y al cero, como lo haremos en la siguiente definición.

Definición. (Parte Entera) Llamamos parte entera de un número real a, al mayor entero que es menor o igual que el número. Notación: ${\textsf {pe}}(a)$.

Observemos que se cumple que ${\textsf {pe}}(a)\leq a<{\textsf {pe}}(a)+1$. La desigualdad de la izquierda es igualdad, ssi, a es un número entero.
Ejemplo 2.5.1. ⌊5⌋ = 5, ⌊π = 3⌋, ⌊-3.5⌋ = −4. La noción es bastante clara, solamente para mantener la logicidad de esta exposición,

debemos probar que cada número real a tiene una parte entera. Sea a un número real positivo cualquiera. Como los Naturales no están acotados superiormente, habrá un número entero positivo n tal que a < n. Por el Principio del Buen Orden habrá un menor entero positivo con esa propiedad. Llamando m+1 a ese entero, tendremos que m ≤ a < m+1. Tal m es precisamente la parte entera de a.

Cuando a = 0 su parte entera es 0. ¿Qué pasa cuando a es negativo? Si a es entero, coincide con su parte entera. Si a no es entero es fácil verificar (ejercicio) que su parte entera es igual a -⌊-a⌋ -1.

Densidad de los Racionales

Sea $\alpha$ un número real cualquiera y sea $n$ un número entero positivo. Sea $m$ la parte entera de $n\alpha$. Por lo que tenemos que $m\leq n\alpha <m+1$, de donde

${\frac {m}{n}}\leq \alpha <{\frac {m+1}{n}}.$

Sigue de lo anterior que

$|\alpha -{\frac {m}{n}}|=\alpha -{\frac {m}{n}}<{\frac {m+1}{n}}-{\frac {m}{n}}={\frac {1}{n}}.$

Es decir que la distancia de $\alpha$ a $m/n$ es inferior a $1/n$, por lo que decimos que $m/n$ es una aproximación raciona} al número real $\alpha$ con un error de a lo más $1/n$ ($|\alpha -m/n|<1/n)$ . Lo anterior tiene la siguiente importante consecuencia.

Proposición 2.5.1 (Densidad de los Racionales). Sea a un número real. Entonces, para todo r>0, hay un racional q tal que |a-q|<r.

Demostración. Sea r >0 dado. Por la propiedad arquimediana, podemos hallar un n tal que 1/n <r y, en consecuencia, tal que
|a-m/n|<1/n < r.

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En otras palabras, dado un número real a, podemos hallar un número racional q que está tan cerca de a como queramos. “Como queramos” quiere decir que podemos escoger r > 0 arbitrariamente pequeño. Este es un resultado de tipo topológico, ya que nos habla de proximidad de puntos de un conjunto. Esta propiedad se conoce como la densidad de los Racionales en los Reales.

La densidad de los Racionales en los Reales tiene una gran cantidad de aplicaciones, entre ellas la posibilidad de computar con los Reales aproximándolos por Racionales. Otra interesante aplicación está contenida en la siguiente proposición.

Proposición 2.5.2. Entre dos números reales, siempre hay un número racional.

Demostración. Sean a, b números reales tales que a < b. Sea c = (a+b)/2, el punto medio entre a y b. Sea r = (b-a)/2 (= |c-a| =|c-b|). Entonces, en ]c-r,c+r[, hay un racional q. Luego ${\begin{array}{lcl}\scriptstyle |q-c|<r&\iff &\scriptstyle c-r<q<c+r\\&\iff &{\frac {a+b}{2}}-{\frac {b-a}{2}}<q<{\frac {a+b}{2}}+{\frac {b-a}{2}}\\&\iff &\scriptstyle a<q<b.\end{array}}$

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Los Reales Extendidos

Los lectores seguramente habrán encontrado, anteriormente, los símbolos ±∞ de manera informal. Algunas veces, especialmente calculando límites en infinito, podía ser conveniente tratar a ±∞ como “números”. Mostraremos en esta sección como formalmente hacer lo anterior, mediante la introducción de los Reales Extendidos. Se trata de un conjunto denotado por R^# y que estará formado por todos los reales (ordinarios) y los símbolos +∞ y −∞. Para nosotros, los Reales Extendidos nos servirán para ilustrar nociones métricas y topológicas que veremos más adelante. A continuación, extenderemos (aunque sea parcialmente) las operaciones de R y el orden de R, a R^#.

R^# := R ∪ {+∞,-∞}.

Extensión de las Operaciones

Suponemos válidas para R^# la asociatividad y la conmutatividad de la suma y la multiplicación. Igualmente, la distributividad de la multiplicación. Supondremos, además, lo siguiente: para cada número real a se cumple:

+∞ ± a = +∞	+∞∗ a = +∞, a > 0
-∞ ± a = −∞	+∞∗ a = +∞, a < 0
	−∞∗ a = −∞, a > 0
	−∞∗ a = +∞, a < 0
+∞+∞ = +∞	+∞∗ +∞ = +∞
−∞−∞ = −∞	−∞∗ −∞ = +∞

Además, −∞ < a < +∞. El resto de las combinaciones psobles queda indefinido.

Definiremos también que |+∞| = |-∞| = +∞; y, agregaremos el siguiente convenio

sup(∅) := +-∞, ınf(∅) = +∞.

Cualquier subconjunto no vacío de R^# tiene como cota superior a +∞; además cuando se trate de un subconjunto no acotado en R, esa sera su única cota superior, es decir que será su supremo. Análogas observaciones para −∞. Cuando A sea vacío, su supremo será −∞ (Notemos que cuando A es vacío, para todo real a se cumple que x ∈ A =⇒ x ≤ a (Un condicional es siempre válido cuando su antecedente es falso). Análogamente,ınf(∅) = +∞. Sigue de lo anterior, que cualquier subconjunto de R^# tiene supremo e ínfimo.

Proposición 2.6.1. Sean A y B subconjuntos no vacíos de R^# tales que A ⊂ B. Entonces

ınf(B) ≤ inf(A) ≤ sup(A) ≤ sup(B).

Demostración. Ejercicio.

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Ejercicios 2.6.

1. Probar la proposición 2.6.1.
2. Hallar en R^# el conjunto solución de
   1. |x| < 5.
   2. |x| > 5.
   3. |x| < +∞.
   4. |x| > +∞.

Ejercicios del Capítulo 2

1. Sea α un número real cualquiera y sea A =]-∞, α[= {x ∈ R : x < α}. Probar que
   a) Si x está en A y y < x entonces y está en A.
   b) El conjunto A no es ni vacío ni igual a R.
   c) Si x está en A hay un y en A que es mayor que x.
2. Hallar sup(A) e ínf(A) para cada uno de los siguientes conjuntos.
   1. A = {x ∈ R : x² - 4x < 21}.
      
   2. A = {x ∈ R : x² < 5}.
      
   3. A = {x ∈ R : x² > 11}.
      
   4. A = {2 + 1/n : n ∈ N}.
3. Sea A ⊂ R. s es un supremo de A, ssi, s es una cota superior de A y para todo ε > 0 hay x en A tal que x > s - ε.
4. Sea A ⊂ R. m es un ínfimo de A, ssi, s es una cota inferior de A y para todo ε > 0 hay x en A tal que x − ε < m.
5. Investigar la validez de los siguientes enunciados.
   1. Para todo número real x > 0 hay un número irracional y tal que 0 < y < x.
      
   2. Para todo número real x > 0 hay un número irracional y tal que y < x.
6. Sea A un conjunto no vacío acotado superiormente de los Reales. ¿Cuáles de los conjuntos siguientes son acotados superiormente? En caso afirmativo, cuál es la relación entre su supremo y el supremo de A.
   1. 5A = {5a : a ∈ A}.
   2. A + b = {a + b : a ∈ A}, b número real cualquiera.
      
   3. A² = {a² : a ∈ A}.
7. Sean A y B subconjuntos acotados superiormente de los Reales. ¿Cuáles de los conjuntos siguientes son acotados superiormente. En caso afirmativo, cuál es la relación entre su supremo y los supremos de A y de B. Repetir para los ínfimos.
   1. A ∗ B = {ab : a ∈ A, b ∈ B}.
      
   2. −A = {-a : a ∈ A}.
      
   3. A ∪ B.
      
   4. A ∩ B.
8. Sea f : [0, 1] → [a, b], a < b, tal que f(t) = (b − a)t + a. Probar que
   1. f es biyectiva con imagen [a, b].
      
   2. La restricción de f a ]0, 1[ tiene como imagen a ]a, b[.
9. (Biyecciones entre intervalos reales)
   1. Probar que si A = [a, b] y B = [c, d], a < b y c < d, hay una función biyectiva de A en B. Además, dicha función se puede escoger de modo que preserve el orden (s, t ⇒ f(s) < f(t)).
      
   2. (♠) Sea f : R → R tal que f(t) = arctan(t). Probar que f es biyectiva con imagen ]-π/2, π/2[.a) 5A = {5a : a ∈ A}.

Los Espacios Normados

En este capítulo presentamos varios ejemplos de espacios provistos de una noción de distancia. Uno de los ejemplos más importantes es toda una familia de espacios que nos acompañará a lo largo de este texto: los espacios Euclídeos n--dimensionales, $\mathbb {R} ^{n}$. Además de la métrica o distancia euclídea tradicional, veremos que hay otras posibles distancias en esos conjunto.

Usaremos la noción de norma (generalización del valor absoluto de los Reales) para definir la noción abstracta de espacios normados, que incluirán como ejemplos a los $\mathbb {R} ^{n}$, y a algunos espacios de funciones. La distancia en esos espacios está definida en total analogía a la distancia en los Reales a partir del valor absoluto.

Nuestro principal interés reside en los espacios vectoriales $\Rn$ con la norma euclídea, pero también exploraremos otros espacios, especialmente algunos espacios de funciones.

Los Espacios Rⁿ

Los espacios Rⁿ aparecen inicialmente en los cursos de Cálculo Vectorial (o de varias variables) y en los cursos de Álgebra Lineal.

El conjunto Rⁿ está formado por todas las n--uplas ordenadas de números reales, a las que, usualmente representaremos como (x₁,x₂, ... , x_n), o simplemente por (x_i), o $(x_{i})_{1\leq i\leq n}$ cuando necesitemos especificar el valor de n.

Cuando x = (x_i), los números que aparecen en la n--upla se llaman las coordenadas de x, recibiendo los nombres de primera, segunda, ... , i--ésima, ... , n--ésima coordenada para x₁, x₂, ... , x_i, ... , x_n respectivamente.

El caso más simple es R¹, que identificaremos con los Reales. Por su parte, R² se puede identificar con el plano cartesiano usual; etc.

La regla de oro en el trabajo con los espacios Rⁿ es considerar el caso n = 2. Si uno entiende lo que pasa en ese caso, resultará, a menudo, fácil de entender el caso general.

Ilustración de un vector del plano

Vector de R²

Observemos, de partida, que las n--uplas presentan una doble personalidad: puntos y vectores. Consideremos el caso de R²; allí un par ordenado representa,

por una parte, a un punto del plano y, por la otra, a la punta de una flecha que comienza en el origen, en cuyo caso hablamos de vector. Los vectores a diferencias de los puntos tiene largos asociados (el largo de la flecha). Normalmente, hablamos de puntos cuando se trata de nociones geométricas, mientras que hablamos de vectores para consideraciones algebraicas. En consecuencia, en este texto la mayoría del tiempo hablaremos de puntos.

La Estructura de Espacio Vectorial

Podemos proveer a los conjuntos Rⁿ con dos operaciones algebraicas: la suma de vectores y la multiplicación por un escalar (en este contexto, se llama escalares a los números reales). Las operaciones se definen como operaiones en las coordenadas.

Recordemos que cuando x=(x_i), y=(y_i) son vectores de Rⁿ, decimos que x=y, cuando se cumple que x_i=y_i, para todo i=1, ... , n.

Sean x=(x_i), y=(y_i) dos vectores de Rⁿ, a un escalar.

${\begin{array}{rcl}x+y&\ :=\ &(x_{i}+y_{i})=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},...,x_{n}+y_{n})\\ax&\ :=\ &(ax_{i})=(ax_{1},ax_{2},...,ax_{n}).\end{array}}$

Ejemplo 3.1.1. En R³ tenemos que:

• (3,-2,0,1) + (4,3,-2,5) = (7,1,-2,6).
• 4(3,-2,0,1) = (12,-8,0,4).

Propiedades Básicas de la Suma. La suma es asociativa, conmutativa, tiene neutro al vector nulo o cero u origen (el vector cuyas coordenadas son todas cero), y para cada vector x = (x_i) hay un opuesto aditivo, -x=(-x_i) tal que x + (-x) =0.

Propiedades básicas de la multiplicación por escalar. Sean x, y vectores, a y b escalares. Se cumple que:

1. (a+b)x = ax +bx.
2. (ab)x = a(bx)
3. 1x = x.
4. a(x+y) = ax + ay.

Las propiedades son fáciles de recordar y de aplicar, ya que semejan a las propiedades usuales de la suma y la multiplicación. En los ejercicios, al final de la sección, se pide probar formalmente dichas propiedades. Para ilustrar como proceder, probaremos la asociatividad de la suma de vectores.

Para todo x=(x_i), y=(y_i) y z=(z_i) se cumple que (x + y) + z = x + (y + z).

Demostración. (Idea: Evaluar ambos lados y comparar) ${\begin{array}{rcl}(x+y)+z&=((x_{i})+(y_{i}))+(z_{i})=(x_{i}+y_{i})+(z_{i})=((x_{i}+y_{i})+z_{i})\\x+y)+z&=(x_{i})+((y_{i})+(z_{i}))=(x_{i})+(y_{i}+z_{i})=(x_{i}+(y_{i}+z_{i})).\end{array}}$

Por la asociatividad de la suma de los números reales, los dos vectores al final de las líneas son iguales—ya que tienen iguales coordenadas, lo que prueba que los vectores al comienzo de las líneas son iguales. Lo que concluye la prueba de la asociatividad de la suma

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Las propiedades indicadas de suma y multiplicación en Rⁿ se abstraen en la siguiente definición.

Definición. (Espacio Vectoriales) Llamamos espacio vectorial a un trio $\scriptstyle <E,+,\cdot >$ donde E es un conjunto, + es una suma en E, y $\cdot$ es una multiplicación por escalares, tales que satisfacen las propiedades básicas de la suma y de la multiplicación por escalar dadas más arriba.

• Los espacios Rⁿ con las operaciones definidas arriba son espacios vectoriales.
• Sea $\scriptstyle M_{m\times n}(\mathbb {R} )$ el conjunto de todas las matrices de tamaño m x n con entradas números reales. La suma de matrices junto con la multiplicación por constante (escalar) proveen a dicho conjunto con una estructura de espacio vectorial. Poniendo las filas una tras otra, vemos que podemos considerar a $\scriptstyle M_{m\times n}(\mathbb {R} )$ como $\scriptstyle \mathbb {R} ^{mn}.$ Cuando m = n (matrices cuadradas) hay definida, además, una multiplicación que es distributiva respecto a la suma; por lo que hablamos de una álgebra de las matrices. (álgebra = espacio vectorial + multiplicación distributiva)

El Álgebra Lineal es el área de las matemáticas que estudia a los espacios vectoriales. En este texto, necesitaremos solamente algunas propiedades elementales que recordaremos oportunamente, aunque es recomendable tener un texto de Álgebra Lineal a mano, para consultas.

Definición. (Subespacio vectorial) Sea E un espacio vectorial. Un subconjunto no vacío H de E determina un subespacio de E cuando con las operaciones restringidas a H tiene una estructura de espacio vectorial. Tal evento pasa cuando H es cerrado respecto a la suma (suma de vectores en H están en H) y a los múltiplos por escalares ( producto de cualquier escalar por elementos de H) están en H. Notación: H < E.

Ejemplo 3.1.2. Sea E = R³ y H = {(x₁,x₂,x₃) : x₃ = 2x₁ + 3x₂ }. Probar que H es un subespacio vectorial de R³.

Resolución. El subconjunto H no es vacío porque (0,0,0) es claramente un elemento de H. Sean x = (x₁,x₂,x₃) y y=(y₁,y₂,y₃) elementos de H, o sea que x₃ =2x₁+3x₂, y y₃=2y₁+3y₂. Entonces, x + y = (x₁ +y₁, x₂ + y₂, x₃ + y₃) y x₃ + y₃ = 2x₁+3x₂ + 2y₁+3y₂ = 2(x₁+y₁) + 3(x₂+y₁), lo que prueba que x + y está en H. Análogamente, como ax₃ = a(2x₁+3x₂) = 2(ax₁)+3(ax₂), tenemos que ax está en H. Conclusión: H < R³.

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Ejemplo Trabajaremos en R³. Sean e₁ := (1,0,0), e₂:=(0,1,0) y e₃:=(0,0,1). Sea x=(x₁,x₂,x₃) un vector cualquiera de R³, entonces,

${\begin{array}{rcl}x\ &=&\ (x_{1},x_{2},x_{3})=(x_{1},0,0)+(0,x_{2},0)+(0,0,x_{3})\\&=&\ x_{1}(1,0,0)+x_{2}(0,1,0)+x_{3}(0,0,1)\\&=&\ x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+x_{3}.\end{array}}$

El resultado del cómputo anterior se expresa diciendo que cualquier vector de R³ es una combinación lineal de e₁, e₂, e₃.

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El ejemplo anterior se generaliza de la siguiente manera.

Combinaciones lineales, Bases. Sea E un espacio vectorial cualquiera. Sea {f₁, f₂, ... , f_k} una familia finita de vectores.

• Decimos que un vector x de E es una combinación lineal de los f_i's, cuando hay escalares a_i, con 1 ≤ i ≤ k, tales que: $x=\sum _{i=1}^{k}a_{k}f_{k}=a_{1}f_{1}+\dots +a_{k}f_{k}.$
• Decimos que la familia f₁, ... , f_k es una base del espacio E, ssi, cada vector del espacio puede representarse como una combinación lineal de los f_k's, de una única manera.

El ejemplo anterior muestra que {e₁, e₂, e₃} es una base de R³.

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Resultados del Álgebra Lineal

• Cada espacio vectorial tiene una base.
• Dos bases de un mismo espacio tienen igual cantidad de elementos. Dicha cantidad se llama la dimensión del espacio.
• Los espacios Rⁿ tienen a los vectores e₁, ... , e_i, ... e_n como una base, donde e_i es un vector cuyas coordenadas son todas nulas, excepto la i--ésima que es 1. Luego, la dimensión de Rⁿ es n.
• Nuestro interés principal reside en los espacios vectoriales Rⁿ, que son el modelo de todos los espacios cuya dimensión es finita. Hay, sin embargo, espacios vectoriales que no tienen dimensión finita, por lo que decimos que tiene dimensión infinita. Más adelante encontraremos ejemplos de tales espacios.

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Transformaciones Lineales. Una transformación lineal de un espacio vectorial E en un espacio vectorial F es una función L : E → F tal que

• (i) L(x + y) = L(x) + L(y)
• (ii) L(αx) = αL(x),

para todo x, y en E, y escalares α, β.

Cuando una transformación lineal es biyectiva como función, se verifica que su inversa es lineal. En tal situacíón, llamamos isomorfismo lineal a la transformación.

Resultados del Álgebra Lineal

• La imagen por una transformación lineal de un subespacio es un subespacio,
• La preimagen por una transformación lineal de un subespacio es un subespacio.
• La preimagen de {0} se llama el núcleo de la transformación. Notación: ker(L).
• La composición de transformaciones lineales es una transformación lineal .
• La imagen por un isomorfismo de la base de un espacio es una base de la imagen del espacio.
• Cualquier espacio de dimensión n es isomórfico a Rⁿ.

Teorema 3.1.1 (Teorema Fundamental del Álgebra Lineal). Sea L : E → F lineal. Entonces,

dim(ker(L)) + dim(L(E)) = dim(E).

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Ejercicios 3.1.

1. Probar las propiedades básicas de la suma de vectores en Rⁿ
2. Probar las propiedades básicas de la multiplicación por escalar en Rⁿ.
3. Sea H = {(x,y) ∈ R² : y=x}. Probar que H es un subespacio de R².
4. Sea E un espacio vectorial cualquiera. Usar las propiedades básicas de espacio vectorial para probar los enunciados siguientes.
   1. Si x + x = x entonces x = 0 (vector nulo).
   2. Si a = 0 entonces ax = 0.
   3. Si ax = 0 entonces a = 0 o x = 0.
   4. Si x + y = 0 entonces y = -x.
   5. a(-x) = -ax.
5. Probar que los e_i's forman una base de Rⁿ.
6. Sean f₁ = (1, 1, 0), f₂ = (1, 0, 1) y f₃ = (0, 1, 1). Sea v = (−1, 6, 1). Hallar escalares t₁, t₂, t₃ tales que v = t₁f₁ + t₂f₂ + t₃f₃.
7. Probar que L : R²_{s,t} → R³ tal que L(s, t) = (3s−2t, 2s+t, 5s−t) es una transformación lineal.
8. La imagen de una combinación lineal por una transformación lineal es una combinación lineal.

Los Espacios Euclídeos

Los espacios euclídeos son las generalizaciones n–dimensionales del plano y Del espacio tridimensional de la Geometría Clásica. Las nociones principales son: norma, distancia y producto interior.

La Norma Euclídea

Usando el teorema de Pitágoras para computar largo

Consideremos el plano R² y un vector v = (a,b) del plano. Mirando a la figura, vemos que podemos computar el "largo" de la flecha usando el teorema clásico de Pitágoras. Así, obtendremos que

Largo(v) = ${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.$

Inspirados en la relación anterior definiremos "largo" para vectores en Rⁿ.

Definición. (Norma de un Vector) Sea x=(x_i) un vector de Rⁿ. Llamamos norma de x o largo del vector x al número real denotado por $||x||$ y definido como

$||x||\ :=\ {\sqrt {x_{1}^{2}+...+x_{i}^{2}+...+x_{n}^{2}}}.$

Claramente, la definición es una generalización de lo que obtuvimos para R². Notemos, además, que si aplicamos la definición con n=1, o sea a los Reales, obtenemos que

$||a||\ =\ {\sqrt {a^{2}}}\ =\ |a|.$

Es decir que podemos considerar a la norma como una generalización del valor absoluto usual. Dicha consideración se ve reforzada por las siguientes propiedades, que se cumplen para todo vector x y escalar a:

Proposición 3.2.1. (Propiedades de la Norma)

N1. $||x||\ \geq \ 0$, para todo vector x.

N2. $||x||\ =\ 0$, ssi, x=0.

N3. $||ax||\ =\ |a|\,||x||$.

N4. $||x+y||\leq ||x||+||y||$.

Las propiedades siguen de forma inmediata de la definición. Por ejemplo para N3 tenemos que

${\begin{array}{rcl}||ax||\ &=&{\sqrt {(ax_{1})^{2}+(ax_{2})^{2}+...+(ax_{n})^{2}}}\\&=&{\sqrt {a^{2}x_{1}^{2}+a^{2}x_{2}^{2}+...+a^{2}x_{n}^{2}}}\\&=&{\sqrt {a^{2}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{n}^{2})}}\\&=&|a|\,{\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{n}^{2}}}\\&=&|a|\,||x||.\end{array}}$

Para completar el parecido con el valor absoluto necesitamos que se cumpla la desigualdad en N4 $||x+y||\ \leq \ ||x||+||y||$, llamada desigualdad de Minkowski.

Verificaremos que esa desigualdad es válida. Una demostración usará la noción de producto interior que veremos en la próxima sección.

El Producto Interior

Introduciremos la noción de producto interior que nos ayudará a desarrollar una variedad de cosas interesantes.

Definición. (Producto Interior) Sea E un espacio vectorial. Un producto interior en E es una función $E\times E\rightarrow \mathbb {R}$ que envía el par (x,y) en el número real simbolizado por $<x|y>,$ que es bilineal, simétrica y positivamente definida. Es decir que

PI1. $<x+x'|y>\ =\ <x|y>+<x'|y>.$

PI2. $<ax|y>\ =\ a<x|y>.$

PI3. $<y|x>\ =\ <x|y>.$ (Simetría)

PI4. $<x|x>\ >\ 0$, cuando $x\neq 0.$ (Definición positiva)

Las condiciones PI1 y PI2 especifican la linealidad en el primer argumento; por la simetría se tiene la linealidad en la segunda variable; de donde lo bilineal.

Producto Interior Canónico

Es posible definir varios productos interiores para Rⁿ, sin embargo para nuestos propósitos bastará con aquel llamado producto interior canónico que definiremos a continuación. Además, en los cursos de Álgebra Lineal se prueba que todos los productos interiores son, en un cierto sentido, equivalentes a dicho producto interior.

$x\cdot y:=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+...+x_{n}y_{n}.$

(Tradicionalmente, se usa $x\cdot y$ en vez de $<x|y>$ para el producto interior canónico, por lo que algunas veces se le llama también el "producto punto".)

Notemos inmediatamente que $x\cdot x=x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}$ coincide con el cuadrado de la norma de x definida arriba.

Para probar la desigualdad de Minkowski, desarrollaremos algunos resultados previos.

3.2.2 (Cuadrado del Binomio). Sean x, y vectores de Rⁿ,

$||x+y||^{2}\ =\ ||x||^{2}+2x\cdot y+||y||^{2}.$

Demostración. ${\begin{array}{rcl}(x+y)y\cdot (x+y)&=&x\cdot (x+y)+y\cdot (x+y)\\&\ =\ &x\cdot x+x\cdot y+y\cdot x+y\cdot y\\&\ =\ &||x||^{2}+2x\cdot y+||y||^{2}.\end{array}}$

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Corolario 3.2.3. El producto interior puede expresase en términos de los largos.

$x\cdot y={\frac {1}{2}}(||x+y||^{2}-||x||^{2}-||y||^{2}).$

Proposición 3.3.4 (Desigualdad de Cauchy—Schwarz). Sean x, y vectores de Rⁿ.

$|x\cdot y|\ \leq \ ||x||\,||y||.$

Demostración. Sea w = tx + y, t un número real. Usando el tenemos que $||tx+y||^{2}=t^{2}||x||^{2}+2t\,x\cdot y+||y||^{2}.$

Observemos que la expresión de la derecha se puede considerar como una expresión cuadrática en t. Como las normas nunca son negativas, tal expresión cuadrática nunca es negativa, lo que implica que su discriminante nunca es positivo, es decir que

$(2x\cdot y)-4||x||^{2}\,||y||^{2}\ \leq \ 0.$

de donde, $4(x\cdot y)^{2}\ \leq \ 4||x||^{2}\,||y||^{2}$.

Dividiendo por 4 y tomando raíz cuadrada en ambos lados de la desigualdad, obtenemos el resultado deseado.

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Proposición 3.2.5 (Desigualdad de Minkowski). Sean x, y vectores de Rⁿ.

$||x+y||\ \leq \ ||x||+||y||.$

Demostración. ${\begin{array}{rclcl}||x+y||^{2}&\ =\ &||x||^{2}+2x\cdot y+||y||^{2}&&{\text{ anterior}}\\&\leq &||x||^{2}+2||x||\,||y||+||y||^{2}&&{\text{Cauchy--Schwarz}}\\&\ =\ &=(||x||+||y||)^{2}.\end{array}}$

Tomando raíz cuadrada en ambos lados, obtenemos el resultado deseado.

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Norma y Distancia Euclídea

Norma Euclídea. Llamamos norma euclídea de Rⁿ a la norma $||\cdot ||$ estudiada arriba, esto es

$||x||\ =\ {\sqrt {x\cdot x}}={\sqrt {x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}}.$

La distancia Euclídea en Rⁿ

Usando la norma euclídea, podemos definir "distancia"" entre puntos x, y en total analogía a la distancia en R , o sea como la norma de la diferencia entre x y y. Es decir que la distancia euclídea entre x y y será

$(x,y)\ =\ {\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}+\dots +(x_{n}-y_{n})}}.$

$\spadesuit$ Geométricamente, la distancia de x a y es el largo de x-y, o sea el largo del segmento que une x con y.

Usando las propiedades de norma, se verifica que la definición anterior tiene formalmente las propiedades de la distancia en los Reales ( la demostración de lo anterior es totalmente análoga a la proposición 2.3.3, reemplazando valor absoluto por norma).

Propiedades de la Base Canónica.
Notemos que los vectores de la base canónica de Rⁿ, {e_1, e₂, ... , e_n}, satisfacen lo siguiente:

• cada e_i es un vector unitario, o sea $||e_{i}||\ =\ 1$.
• el producto interior entre dos vectores diferentes es 0.

Bases con esas propiedades se llaman bases ortonormales.

Algunos nociones de la Geometría Euclídea

Revisaremos brevemente algunas nociones de la Geometría Euclídea. Sea E = Rⁿ (se prueba que cualquier espacio vectorial de dimensión n es esencialmente (isomórfico) a Rⁿ).

Sea L : E → F una trasformación lineal. Sea b un elemento de F, se prueba en cursos de Álgebra Lineal que la ecuación L(x) = b tiene como conjunto solución, cuando hay al menos una solución x_p a un conjunto de la forma

x_p + ker(L).

La solución x_p es una solució particular y los elementos del núcleo son las soluciones de la ecuación homogénea asociada L(x) = 0. Tales conjuntos soluciones son llamados variedades (afines). Variedades. Una variedad lineal de dimensión r de E es un subconjunto V de la forma

a + H, donde H es un subespacio vectorial de E de dimensión r. Esto equivale a decir que hay una base {v₁, ... , v_r} de H, tal que que cada elemento x de V = a + H puede escribirse de la forma

$x=a+\alpha _{1}v_{1}+\dots +\alpha _{r}v_{r},$

para escalares únicos α₁, ... , α_r.

Cuando V = a + H decimos que H es la dirección de V y a es un punto por donde pasa la variedad.

Paralelismo, Dos variedades son paralelas cuando la dirección de una está contenida en la otra.

Variedades especiales. Una variedad de dimensión 1 (resp.2) se llama línea (resp. plano).
Sea L una línea, digamos que L = {x ∈ E : x = a + αv, v ≠ 0,α en R }. Entonces, una línea M := {x ∈ E : x = b + βw,w ≠ 0} es paralela a L, ssi, w es un múltiplo escalar de v. Simbolizaremos a la línea L superior como L : a + αv.

Notemos que cuando b es un punto de L diferente de a, b = a + αv, para algún vector no nulo v. Entonces, b−a = αv, lo que nos dice que la línea L′ : a+β(b−a) es paralela a L y pasa por a, lo que implica que L = L′. Es decir que la única línea que pasa por a y b es L_a,b : a + α(b − a).

Notemos que z ∈ L_a,b ⇐⇒ z = a + t(b − a), para un cierto escalar t, o sea, ssi, z = (1 − t)a + tb.

Observemos que si ponemos x(t) = (1−t)a+tb podemos pensar la ecuación de definición de L_{a, b} como especificando la trayectoria de un móvil que está al tiempo t en x(t). Notemos que x(0) = a y x(1) = b. Por lo que a tiempos 0 < t < 1, x(t) está entre a y b. El segmento que une a con b es

{x ∈ E : x = (1 - t)a + tb, 0 ≤ t ≤ 1. }

Perpendicularidad.
Decimos que dos vectores son ortogonales o perpendiculares cuando su producto interior es nulo. Dos variedades son ortogonales, cuando cada vector de la dirección de una es perpendicular a un vector de la dirección de la otra.

Por ejemplo, los vectores de la base canónica de Rⁿ son mutuamente ortogonales

Ángulo entre vectores
Sigue de la desigualdad de Cauchy, ver 3.2.2. que

−||x|| ||y|| ≤ x · y ≤ ||x|| ||y||.

De donde, cuando x y y no son nulos se tiene que

−1 ≤ x · y ||x|| ||y|| ≤ 1.

Luego, podemos definir el ángulo entre el vector x y el vector y como

$\angle (x,y):=\arccos({\frac {x\cdot y}{||x||\ ||y||}})$

Finalmente, revisemoos un resultado clásico.

Proposición 3.2.6 (Teorema de Pítágoras). Sean A, B y C los vértices de un triángulo tal que los lados B-A y C-B son ortogonales. Entonces,

$||C-A||^{2}=||B-A||^{2}+||C-B||^{2}.$

Demostración. Aplicando el teorema del binomio, tenemos que ${\begin{array}{rcl}||C-A||^{2}&=&||(C-B)+(B-A)||^{2}\\&=&||C-B||^{2}-2(C-B)\cdot (B-A)+||B-A||^{2}\\&=&||C-B||^{2}-2(C-B)\cdot (B-A)+||B-A||^{2}.\end{array}}$

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Ejercicios 3.2

1. Hallar la distancia (en R³ del punto (1, 1, 1) a (3, 4, 5).
2. Mostrar que si y = tx, t escalar no nulo (o sea geométricamente, ambos son vectores en una línea que pasa por el origen), entonces ||x+y|| = ||x||+||y||. ¿Es válido el recíproco?
3. Probar que | ||a|| − ||b|| ≤ | ≤ ||a − b||.
4. Probar, usando cuadrado del binomio, que en Rⁿ se cumple que
   1. $2||x||^{2}+2||y||^{2}\ =\ ||x+y||^{2}+||x-y||^{2}$ (Ley del Paralelogramo)
   2. $||x+y||\,||x-y||\ \leq \ ||x||^{2}+||y|^{2}$.
   3. $x\cdot y\ =\ {\frac {1}{4}}(||x+y||^{2}-||x-y||^{2}.$
5. Sea d la distancia euclídea de Rⁿ. Probar las siguiente afirmaciones usando solamente las propiedades de la norma euclídea. Para todo x, y y z.
   

   (D1) d(x, y) ≥ 0.

   (D2) d(x, y) = 0, ssi, x = y.

   (D3) d(y, x) = d(y, x).

   (D4) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y). Desigualdad Triangular.

6. Sean $(x_{i}),(y_{i}),1\leq i\leq n$ sucesiones finitas de números
   1. $\sum _{i}(x_{i}+y_{i})^{2}=\sum _{i}x_{i}^{2}+2\sum _{i}x_{i}y_{i}+\sum y_{i}^{2}$.
   2. $|\sum _{i}x_{i}y_{i}|\leq {\sqrt {\sum _{i}x_{i}^{2}}}{\sqrt {\sum _{i}y_{i}^{2}}}$.
   3. ${\sqrt {\sum _{i}(x_{i}+y_{i})^{2}}}\leq {\sqrt {\sum _{i}x_{i}^{2}}}+{\sqrt {\sum _{i}y_{i}^{2}}}$.
      (Sug: Después de lo hecho en esta sección, los resultados deben ser fáciles de probar.)

Los Espacios Normados

Generalizaremos la noción de norma vista para Rⁿ, usando como base las propiedades de la prroposición 3.2.1

Definición. (Espacio Normado) Llamamos espacio normado a un espacio vectorial E provisto de una función $x\mapsto ||x||$ de E en los Reales, tal que para todo x, y vectores, a escalar, se cumple que

N1. $||x||\ \geq \ 0.$

N2. $||x||\ =\ 0$, ssi, x=0.

N3. $||ax||\ =\ |a|\,||x||$.

N4. $||x+y||\ \leq \ ||x||+||y||$.

Asociamos con cada norma, una distancia $d(x,y):=||x-y||$.

Proposición 3.3.1. Sea E un espacio normado. La distancia $d(x,y)=||x-y||$ tiene las siguientes propiedades, para todo x, y se cumple que:

D1. $d(x,y)\ \geq \ 0$.

D2. $d(a,b)\ =\ 0$, ssi, a=b.

D3. $d(b,a)\ =\ d(a,b)$. (Simetría)

D4: $d(a,b)\ \leq \ d(a,c)+d(c,b)$. (Desigualdad Triangular)

Demostración. Ejercicio.

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El ejemplo básico de espacio normado es Rⁿ con la norma euclídea. Sin embargo, como veremos más adelante hay otros espacios normados. A continuación, veremos otras normas posibles para Rⁿ.

Es posible que, por nuestra experiencia con la geometría elemental, nos parezca que la norma y la distancia euclídea son la manera más natural de definir esas nociones. Sin embargo, como veremos en esta sección, es posible definir otras normas y distancias asociadas con ellas, que son diferentes del caso euclídeo, pero que son útiles en algunas consideraciones.

La Norma--ciudad

La norma (no euclídea) ciudad o del taxi.

Consideremos la situación ilustrada en la figura lateral, que Consideraremos como la representación del plano de una ciudad. ¿Cuál es la distancia entre el punto A y el punto B? Computando la distancia euclídea obtenemos una posible respuesta, que es correcta desde el punto de vista de la geometría euclídea; pero, si preguntáramos cuántos bloques debo caminar para ir de A hasta B, la distancia euclídea no sería la respuesta correcta. Una mejor respuesta consistiría en sumar la cantidad de bloques caminando (en la dirección horizontal del mapa) más la cantidad de bloques caminando verticalmente. Es decir,

$|x_{1}-x_{2}|+|y_{1}-y_{2}|.$

Inspirados en estas consideraciones, definiremos una nueva norma en Rⁿ, a la que nos referiremos como norma--ciudad.

$||x||_{c}:=\sum _{i}|x_{i}|=|x_{1}|+|x_{2}|+...+|x_{n}|$

Es fácil probar que se cumplen las propiedades N-1 a N-4 de normas. La desigualdad de Minkowski proviene de la desigualdad triangular del valor absoluto. Asociada con esa norma, tendremos una distancia

$d_{c}(x,y):=||x-y||_{c}=\sum _{i}|x_{i}-y_{i}|=|x_{1}-y_{1}|+|x_{2}-y_{2}|+...+|x_{n}-y_{n}|.$

La Norma--maxima

Pensemos en un rectángulo y los vértices de una de sus diagonales. La distancia euclídea es el largo de esa diagonal. La distancia--ciudad (d_c) es la suma del largo más el ancho. Ahora introduciremos una distancia a la que solamente le interesa cuál es es el lado más largo. Comenzamos con la definición de una norma, para luego pasar a la distancia asociada.

Sean x, y vectores de Rⁿ.

$||x||_{\text{max}}:={\text{max}}\{|x_{i}|:1\leq i\leq n\}.$

Nuevamente, tenemos que se cumplen trivialmente las propiedades N-1 a N-3 de normas. Para N4, tenemos que

$|x_{i}+y_{i}|\leq |x_{i}|+|y_{i}|\leq ||x||_{\text{max}}+||y||_{\text{max}};$

de donde obtenemos que

$\max\{|x_{i}+y_{i}|\ :\ 1\leq i\leq n\}\leq \ ||x||_{\text{max}}+||y||_{\text{max}}.$

Como consecuencia, tenemos también una distancia (máxima)

$d_{\text{max}}(x,y)\ :=\ {\text{max}}\{|x_{i}-y_{i}|:1\leq i\leq n\}$

Notación. En este contexto, cuando estemos considerando varias normas o distancias en Rⁿ, denotaremos por ||*||_e a la norma euclídea definida anteriormente, d_e será la correspondiente distancia.

Ejemplo 3.1.3. Sean x = (1,2,3), y = (3,-2,4). Entonces,

• $\scriptstyle d_{e}(x,y)={\sqrt {(1-3)^{2}+(2-(-2))^{2}+(3-4)^{1}}}={\sqrt {21}}$.
• $\scriptstyle d_{c}(x,y)=|1-3|+|2-(-2)|+|3-4|=8$.
• $\scriptstyle d_{\text{max}}(x,y)=\max {|1-3|,|2-(-2)|,|3-4|}=4$.

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Ejercicios 3.3

1. Sean x₁, x₂, ... , x_n, y₁, y₂, ... , y_n, z₁, z₂ , ... ,. z_n sucesiones finitas de números reales. Probar que
   1. $|\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}|\leq {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}}}$.
   2. ${\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}+y_{i})^{2}}}\leq {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}+{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}}}$
2. Sea E = Rⁿ. Probar que para todo x en Rⁿ se cumple que:

   a) ||x||_max ≤ ||x||_ciudad ≤ n||x||_max.

   b) ||x||_max ≤ ||x||_euclídea ≤ √n||x||_max.

3. (La distancia d_p) Se puede verificar que la siguiente definición provee a Rⁿ con una norma. Sea p un entero positivo, $||x||_{p}:={\sqrt[{p}]{|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dots +|x_{n}|^{p}}}.$

   Verificar que cuando p=1 (resp. p=2) obtenemos la norma--ciudad (resp. norma euclídea) vista anteriormente. Los detalles (para la desigualdad de Minkowski) son eleborados, por lo que no los incluimos aquí. Ver Kolmogoroff [7].

Espacios de Funciones

El objetivo de esta sección es mostrar que además de los Rⁿ, hay otros espacios normados. En cursos de Cálculo y otros previos, considerábamos funciones desde un intervalo [a,b] en los Reales. Para tales funciones había definidas sumas, productos y multiplicación por constantes; tales operaciones aparecían en teoremas tales como "la derivada de la suma de dos funciones es igual a ... ",.

Generalizaremos esas consideraciones a funciones con valores reales, pero con un dominio cualquiera.

Sea X un conjunto no vacío. Simbolizaremos por F(X,R ) al conjunto formado por todas las funciones de X en R . Se definen operaciones de suma, multiplicación y multiplicación por constantes (números reales) punto a punto. Es decir tales que

${\begin{matrix}(f+g)(x):=f(x)+g(x)&&(fg)(x):=f(x)g(x)&&(af)(x):=af(x).\end{matrix}}$

F(X,R ) con las operaciones indicadas tiene una estructura de espacio vectorial con multiplicación (álgebra de funciones).

Una función f: X → R es acotada cuando hay un número M (cota) tal que para todo x en X se cumple que |f(x)| ≤ M. Las funciones constantes siempre son acotadas. Simbolizaremos por B(X,R ) el subconjunto de F(X,R) formada por las funciones acotadas. Sean f y g funciones acotadas con cotas M_f y M_g respectivamente. Entonces, para todo x en X se cumple que

• $|f(x)+g(x)|\leq |f(x)|+|g(x)|\leq M_{f}+M_{g}$, lo que muestra que f+g es acotada.
• $|af(x)|=|a||f(x)|\leq aM_{f}$, lo que prueba que af es acotada.

Los resultados anteriores implican que B(X,R) es un espacio vectorial, subespacio de F(X,R).

Una propiedad fundamental de los Reales es que cada conjunto no vacío acotado superiormente tiene un supremo (= cota superior estricta o menor cota superior). Definiremos, para f en B(X,R),

$||f||:=\sup\{|f(x)|:x\in X\}.$

Proposición 3.4.1. La función $f\mapsto ||f||$ es una norma en B(X,R).

Demostración. Sean f y g funciones en B(X,R). (N1)Como tomamos supremos de un conjunto de números no negativos, dicho supremo nunca negativo, por lo que se cumple N-1, ||f|| ≥ 0.
(N2)Si ||f||= 0, quiere decir que todos los |f(x)| son nulos, es decir que f(x) \equiv 0. o sea que f=0. La otra mitad de N-2, es trivial.
(N3) |af(x)| = |a| |f(x)| ≤ |a| ||f(x)|| y |a| |f(x) = |af(x)| ≤ ||af|| implican que ||af|| = |a| ||f(x)||.
(N4) |f(x) + g(x)| ≤ |f(x)|+ |g(x)| ≤ ||f|| + ||g||, luego ||f+g|| ≤ ||f|| + ||g||.

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Sucesiones. Una sucesión (de números reales) es una familia de números reales con conjunto de índices igual a los Naturales. Una sucesión es, por lo tanto, una función de N en R tal que tradicionalmente, escribimos $s_{n}$ en lugar de s(n). Luego, el conjunto de todas las sucesiones de números reales es F(N,R).

$(s_{n})=(s_{0},s_{1},...,s_{n},...).$

sigue de lo anterior que las sucesiones acotadas determinan un subespacio que es un espacio normado para la norma ||(s_n)|| := sup{|s_n|:n \in R}.

Se puede verificar qu el espacio de las sucesiones no tiene una base finita., por lo que es un espacio de dimensión infinita.

Ejercicios 3.4

1. Verificar que F(X,R ) es un espacio vectorial con una multiplicación distributiva con respecto a la suma.
2. Hallar la norma de las siguientes funciones en F([0,1],R ).
   1. $f(t)=t^{2}-t$
   2. $g(t)=\sin(2\pi t)$
   3. $h(t)=t-2t^{2}$.
3. Sea X = R, ¿cuáles de las siguientes funciones son acotadas sobre X? En caso afirmativo, ¿cuál es su norma?
   1. $f(t)={\dfrac {t}{1+t^{2}}}$.
   2. $f(t)=e^{t}.$
   3. $f(t)=\arctan(t).$
4. Hallar la norma de las siguientes sucesiones, cuando sean acotadas.
   1. 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, ....
   2. 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ....
   3. 1, 2, 4, 8, 16, ....
   4. 0.9, 0.99, 0.999, ...

Los Números Complejos

Los números complejos son expresiones de la forma $a+bi$ donde $a$ y $b$ son reales, el número $i$ es tal que $i^{2}=-1$ (la unidad imaginaria). La correspondencia $a+bi\rightleftarrows (a,b)$ permite identificar al conjunto de los complejos, $\mathbb {C}$, con $\mathbb {R} ^{2}$, lo que será útil para muchas consideraciones acerca de los complejos.

Hay definidas operaciones de suma y multiplicación en $\mathbb {C}$ que lo proveen con una estructura de cuerpo; pero tal cuerpo no es ordenado, ya que hay cuadrados de complejos que son negativos.

Se define una valor absoluto en los complejos, también llamado \textit{módulo} en este contexto, por

$|a+bi|_{\mathbb {C} }:={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.$

Notemos que usando la identificación anteriormente mencionada, dicho valor absoluto coincide con la norma euclídea en $\mathbb {R} ^{2}$.

Hay toda una teoría de espacios vectoriales con escalares complejos cuyos prototipos de dimensión finita son los espacios $\mathbb {C} ^{n}$, $n$-uplas de números complejos. Dichos espacios pueden identificarse de manera natural con $\mathbb {R} ^{2n}$

$(a_{1}+b_{1}i,\dots ,a_{j}+b_{j}i,\dots ,a_{n}+b_{n}i)\rightleftarrows (a_{1},b_{1},\dots ,a_{j},b_{j},\dots ,a_{n},b_{n}).$

Cada número complejo $z=a+bi$, tiene asociado un conjugado, ${\overline {z}}=a-bi$.

Se cumple, para todo par de complejos $z$, $w$ que

a)\ ${\overline {z+w}}={\overline {z}}+{\overline {w}},$

b)\ ${\overline {zw}}={\overline {z}}\,{\overline {w}},$

c)\ $z{\overline {z}}=|z|_{\mathbb {C} }.$

Notemos que cuando $z=a+bi$ es real, o sea cuando $b=0$, se cumple que $|z|_{\mathbb {C} }=|a|$, por lo que se puede eliminar el subíndice $\mathbb {C}$, sin problemas.

Hay un producto "interior" definido en $\mathbb {C} ^{n}$ llamado producto hermitiano,

$\langle {z|w}\rangle :=z_{1}{\overline {w_{1}}}+\dots +z_{n}{\overline {w_{n}}}$

cuyos valores son números complejos y tiene propiedades básicas análogas al producto interior de los espacios reales, excepto que

$\langle {w|z}\rangle ={\overline {\langle {z|w}\rangle }}.$

Cada $\mathbb {C} ^{n}$, $n\geq 1$, es un espacio normado con norma $||x||:=\langle {z|z}\rangle$. Cuando identificamos $\mathbb {C} ^{n}$ con $\mathbb {R} ^{2n}$ dicha norma coincide con la norma euclídea de $\mathbb {R} ^{2n}$.

Ejercicios del Capítulo 3

1. Sea E un espacio normado para todo a en E, sea τ_a la función de E en si mismo que envía x en a+x (traslación por a). Probar que τ_a preserva distancia entre puntos, $d(\tau _{a}(x),\tau _{a}(y)=d(x,y).$
2. Sea E=R². La línea que pasa por p y q es el conjunto de puntos x tales que x = p + t(p-q), t \in R . Esta es la trayectoria de un móvil que al tiempo t=0 está en p y que se mueve con velocidad dada por q-p. El punto x está entre p y q cuando 0 < t < 1.
   1. Probar que cuando x está entre p y q se cumple que d(p,q) = d(p,x) + d(x,q), para cualquier norma de R².
   2. Cuando la norma es euclídea, si x no está entre p y q, la desigualdad triangular con punto intermedio x es estricta, d(p,q) < d(p,x) + d(x,q). (Sug. Usar teorema de Pitágoras.)
   3. (Norma--ciudad) Sean A=(0,0) y B=(4,3). Probar que si C=(x,y) tal que 0 ≤ x ≤ 4 y 0 ≤ y ≤ 3, entonces d_c(A,B) = d_c(A,C) + d_c(C,B).
   4. (Norma--max) Sean A=(0,0) y B=(4,3). Hallar puntos C tales que $\scriptstyle d_{\max }(A,B)=d_{\max }(A,C)+d_{\max }(C,A).$. Verificar que (2,1) es uno de esos puntos.
   5. ¿Qué pasa si reemplazamos R² por Rⁿ o por un espacio normado cualquiera?

   
   

3. Probar la identidad de Lagrange

   $\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}\,=\,\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i})^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right)-\sum _{1\leq i<j\leq \leq n}(x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i})^{2}.$

   
   (Sug: la prueba es puramente algebraica,tratar primero el caso n = 2.)

4. Sean a₁ ≥ a₂ ≥ ··· ≥ a_n y b₁ ≥ b₂ ≥ ··· ≥ b_n. Probar que

   $(\sum _{i=1}^{n}a_{n})(\sum _{i=1}^{n}b_{n})\ \leq \ \sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}.$

Introducción

Un espacio métrico es básicamente un conjunto provisto con una (noción de) distancia, formalmente semejante a aquella de los espacios normados vistos en el capítulo anterior. Los espacios métricos son una abstracción de dichos espacios y de otras situaciones que irán apareciendo en este capítulo y los siguientes.

Daremos primeramente una definición abstracta de espacio métrico, para luego examinar algunas de sus propiedades básicas.

Las Definiciones Básicas

Definición. (Métrica, Distancia}) Una métrica o distancia en un conjunto E es una función d:E x E → R tal que para todo x, y, z en E se cumple que

D1 d(x,y) ≥ 0. (la distancia entre dos puntos nunca es negativa).

D2 d(x,y) = 0, ssi, x=y.

D3 d(x,y) = d(y,x). (simetría)

D4 d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,x). (desigualdad triangular)

Definición. (Espacio Métrico) Un espacio métrico es un par <E,d> donde E es un conjunto no vacío y d es una distancia (métrica) en E.

Cuando no haya riesgo de confusión sobre la distancia envuelta, podremos hablar simplemente del espacio métrico E, en vez de <E,d>.

Ejemplos de Espacios Métricos

1. Los Reales, ℝ con la distancia definida a partir del valor absoluto, d(s,t) := |s -t| . Nos referiremos a este espacio como la línea real.
2. Los diferentes espacios normados en Rⁿ con la distancia asociada con la norma. Este ejemplo muestra la necesidad de, algunas veces, de usar el par <E,d>, ya que puede haber diferentes métricas en un mismo conjunto. (Convenio.) Cuando no especifiquemos la norma o distancia de Rⁿ, siempre supondremos que se trata del espacio Euclídeo .</math>
3. Los Complejos y los $\mathbb {C} ^{n}$ con la métrica deducida de su norma hermitania.
4. En general, cualquier espacio normado tiene asociada una distancia que los hace un espacio métrico
5. (Espacio Discreto) Cualquier conjunto no vacío $X$ admite trivialmente una métrica, definiendo para todo $x<$, $d(x,y)={\begin{cases}0,&{\text{si x=y}};\\1,&{\text{ en caso contrario.}}\end{cases}}$ Llamaremos espacio discreto a este espacio métrico. Los espacios discretos tienen importantes aplicaciones a pesar de su aparente carácter artificial. Algunas veces nos referiremos a este espacio como el espacio con la métrica 0--1. Notemos que esta métrica, en el caso de $<\mathbb {R} ^{n}$, no puede provenir de una norma, ya que tal norma no cumpliría la propiedad N3, $\|\alpha x\|=|\alpha |\|x\|$

Subespacios.

Sea <E,d> un espacio métrico y sea X un subconjunto no vacío de E . Si restringimos la metrica a X obtenemos un espacio métrico <X, d'>, donde d' es la restricción de d a X x X. Diremos que ese espacio es un subespacio (métrico) de E .

• Cada intervalo (abierto, cerrado, acotado o no acotado) de la línea real es un espacio métrico que es un subespacio de la línea real
• Los Racionales, Q, determinan un subespacio de los Reales.

Notemos que estos ejemplos, aunque corresponden a subconjuntos de un espacio normado, no determinan un espacio normado. En ambos casos, la multiplicación de un escalar por un elemento del espacio puede acabar fuera del espacio.

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En general, las propiedades métricas o topológicas de subespacios pueden ser bastante diferentes de aquellas del espacio total. Por ejemplo, un intervalo [a,b] de los Reales es un espacio métrico acotado, mientras que el conjunto de los reales no lo es.

Veamos, a continuación, una proposición simple, pero con una importante propiedad de las métricas. Proposición 4.2.1. Sean x, y, z, w en E, entonces

|d(x, y) − d(z,w)| ≤ d(x, z) + d(y,w).

Demostración.

Aplicando la desigualdad triangular, tenemos que

(1) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), y

(2) d(z,w) ≤ d(z, y) + d(y,w).

(1) y (2) ⇒ d(x, y) − d(z,w) ≤ d(x, z) + d(y,w) (*)

(3) d(z,w) ≤ d(z, y) + d(y,w) ⇒ d(z,w) − d(z, y) ≤ d(y,w).

(4) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z,w) ⇒ d(x, y) = d(z,w) ≤ d(x, z).

(3) y (4) ⇒ d(z,w) − d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y,w). (**)

De (*) y (**), concluimos que

−d(x, z) − d(y,w) ≤ d(x, y) − d(z,w) ≤ d(x, z) + d(y,w).

Lo que implica el resultado.

Corolario 4.2.2. Sean x, y, z puntos de un espacio métrico E. Entonces, |d(x, z) − d(y, z)| ≤ d(x, y).
Demostración. Ejercicio.

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Isometrías

Definición. (Isometría) Sean <E,d> y <E',d'> espacios métricos. Llamamos isometría de E en E' a una función biyectiva f de E en E' que preserva la distancia entre puntos. Esto es, para todo x, y en E, se cumple que:

d'(f(x), f(y)) = d(x, y) .

Ejemplo 4.2.1. Cuando d es una métrica en un espacio, k veces d es también una métrica. Ver ejercicio 2 al final de la sección.

Sean E = R², d la métrica euclídea y d′ = 6d. La función f :< E, d′ > → < E, d > tal que f(x, y) = (6x, 6y) es una isometría.

d(f(x, y), f(u, v)) = d((6x, 6y), (6u, 6v)) = ||(6x − 6u, 6y − 6v)||

= 6||(x − u, y − v)|| = 6d((x, y), (u, v)) = d′((x, y), (u, v)).

Proposición 4.2.3. La composición de isometrías es una isometría. La inversa de una isometría es una isometría. Demostración.

Sean f : E → E′ y g : E′ → E′′ isometrías. Entonces, para

todo x, y en E se cumple que

d(g(f(x)), g(f(y))) = d(f(x), f(y)) ya que g es isometría

= d(x, y) ya que f es isometría

Lo que prueba que la composición de una isometría.

Sea h la función inversa de f, entonces

d(h(x′), h(y′)) = d′(f(h(x′)), f(h(y′)) = d′(x′, y′).

Lo que prueba que h es una isometría.

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Observación 4.1. (♠) En Geometría se denomina grupo de transformaciones de un espacio X a un subconjunto no vacío G de biyecciones del conjunto que es cerrado respecto a la composición (la composición de dos funciones de G está en G) y cerrado respecto a tomar inversos (la inversa de una función de G está en G). La proposición anterior aplicada al conjunto de isometrías de un espacio métrico E en si mismo, Iso(E), muestra que forman un grupo de transformaciones de E. Cuando E = R², dicho grupo es el grupo de las congruencias o grupo Euclídeo de la Geometría plana clásica.

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Traslaciones en un Espacio Normado. Sean $E$ un espacio normado y $a$ un elemento de $E$. Llamamos traslación por a, a la función $t_{a}$ de $E$ en si mismo que envía cada punto $x$ en <m>a+x</math>.

Proposición 4.2.4. Las traslaciones son isometrías en cualquier espacio normado.

Demostración. Sea t_a(x) = a + x, Entonces
d(t_a(x), t_a(y)) = ||t_a(x) − t_a(y)|| = ||(a + x) − (a + y)||= ||x − y|| = d(x, y).

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Ejercicios 4.2

1. Sea <E,d> un espacio métrico. Sea d'(x,y) := kd(x,y) donde k es un número real positivo. Probar que d' es una métrica en E .
2. Sea x₁, x₂, ..., x_n una sucesión finita de puntos de un espacio métrico. Probar que d(x₁,x_n) ≤ d(x₁,x₂) + ... + d(x_n-1,x_n).
3. Probar que la inversa de una isometría es una isometría.
4. (Geometría de R²) Probar que las funciones siguientes determinan isometrías del plano.
   1. f(x,y) = (x+3, y-5) .
   2. f(x,y) = (ax -by, ax+by) con a² + b² = 1 .
5. (Transporte de Estructura) Sea < E, d > un espacio métrico y sea f : X → E una función biyectiva. Para todo x, y en X definir d′(x, y) := d(f(x), f(y)).

   ¿Es d′ una métrica en X? En caso afirmativo, ¿qué tendría de especial la función F?

6. Sea h(x) = sen(x) + 2. La gráfica de g es el conjunto X = {(x, y) ∈ R² : y = h(x)}.

   

   Sea f : X → R :: f(x, h(x)) = x. Probar que f es biyectiva. Definir una distancia en X, por d((x, h(x)), (y, h(y)) = |x − y|. ¿Es d una métrica en X?

7. Una semejanza lineal del plano R² de razón r es una transformación h_r del plano en si mismo, tal que h_r(x) = rx.
   1. Si r ≠ 0, h_r es biyectiva.
   2. d(h_r(x), h_r(y)) = |r|d(x, y).
8. Sea f : E → E′ una isometría.
   1. La imagen por f de una bola abierta (resp. cerrada) es una bola del mismo typo y de igual radio.
   2. La imagen de un conjunto de diámetro D tiene el mismo diámetro. La imagen de un conjunto acotado es acotado.
   3. ¿Qué otras çosas"son preservadas por las isometrías?

Las Funciones Continuas

Las funciones continuas entre espacios métricos (y, posteriormente, entre espacios topológicos) constituyen la familia más importante de funciones a considerar desde el punto de vista de la proximidad. Una función continua será una función que preserva la proximidad.

Los lectores deben haber encontrado esta noción en sus cursos de Cálculo, donde muchas veces es opacada por las nociones de funciones diferenciables o integrables. Se dice usualmente en los textos de Cálculo que una función de un subconjunto de los Reales en R, es continua en un número a, ssi, para todo ε > 0 hay un δ >0 tal que

|x-a| < δ ==> |f(x) - f(a)| < ε (*)

Digamos, en primer lugar que la notación ε---δ es tradicional, se trata de un par de números reales denominados de esa manera por uso y costumbre. Cualquier otro par de símbolos serviría igual.

Algunas veces la definición no aparece explícitamente de esa forma, sino que se dice que $\lim _{x\to a}f(x)=f(a),$. La transcripción a símbolos de la expresión con límites, es precisamente la ecuación (*).

Lo que nos interesa aquí, es entender por qué esa ecuación representa una preservación de cercanía o proximidad de puntos. En primer lugar, y para conectarla con los espacios métricos, la escribiremos usando la noción de distancia en los Reales.

Tenemos entonces que f es continua en a, ssi, para todo ε >0 hay un δ >0 tal que

$d(x,a)<\delta \implies d(fx),f(a))<\epsilon .$

(**)

Decimos de manera más o menos informal que la ecuación anterior establece que podemos hacer la distancia entre f(x) y f(a) tan pequeña como queramos (menor que ε ), siempre y cuando tomemos la distancia entre x y a lo suficientemente pequeña (menor que δ) .

La proximidad entre f(x) y f(a) está determinada por la distancia usada (espacio métrico) y por la elección de ε. La función $f$ será continua en el punto a, cuando no importa que ε escojamos, siempre podremos hallar un valor δ tal que tomando los valores de x adecuados (con distancia a a menor que δ) podremos lograr que d(f(x), f(a)) sea menor que ε;.

Ejemplo 4.3.1.
Mostraremos el significado operacional de la definición de continuidad indicada, probando que la función f : R → R tal que f(x) = 3x + 4 es continua en x = 5.

Resolución. Comenzaremos evaluando |f(x) − f(5)|.
|f(x) = f(5)| = |(3x + 4) − (3 ∗ 5 + 4)| = |3x − 3 ∗ 5| = 3|x − 5|.

La expresión a la derecha es la clave para la demostración, ya que nos dice que si queremos que |f(x) − f(5)| < ε, bastará con hacer 3|x − 5| < ε, lo qual se logra tomando |x − 5| < ε/3. De esta manera, podemos hallar el valor adecuado de δ, que en este caso será cualquier número menor o igual a ε/3. En efecto, cuando |x − 5| < δ se cumplirá que |f(x) = f(5)| = 3|x − 5| < 3δ = 3 ∗ ε/3 = ε. Como el valor de ǫ era arbitrario, concluimos que f es continua en 5.

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Ejemplo 4.3.2.
Probaremos, para tener un ejemplo más elaborado, que la función f(t) = t² es continua en 3.

Resolución. Nuevamente empezamos acotando |f(x) − f(3)|. Tenemos que

$|f(x)-f(3)|=|x^{2}-3^{2}|=|x+3||x-3|.$

( 1)

No podemos proceder, sin embargo, de una manera tan simple como en el ejemplo anterior, debido al factor |x + 3|. Como interesa que pasa cerca de 3, limitaremos los valores de x a que |x − 3| < 1(Cualquier otro valor positivo serviría), o sea que 2 < x < 4. Usando la última relación, concluimos que 5 < x + 3 < 7, De donde,

$|f(x)-f(3)|=|x^{2}-3^{2}|=|x+3||x-3|<7|x-3|.$

(2)

Luego, si queremos que |f(x) − f(3)| < ε, bastará con que |x − 3| < ε/7, lo cual nos da una pista sobre el valor adecuado para δ, ε/7. Una vez obtenido lo anterior, procedemos a la demostración formal. Sea ǫ > 0 dado. Escojamos δ = mín{ε/7, 1} (debemos asegurarnos que el valor de δ sea menor que 1, en caso que ε/7 sea mayor que 1. Sigue entonces de la ecuación (2) que |f(x) - f(3)| < ε, lo que prueba la continuidad de f en 3.

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Ejemplo 4.3.3. Veamos ahora una función discontinua. Sea f : R → R tal que f(x) = 1, cuando x > 0, y f(x) = 0, cuando x ≤ 0.

Veremos que f no puede ser continua en 0. Cualquier bola abierta con centro en 0 contiene números positivos, sea x₀ uno de ellos, entonces f(x₀)−f(0) = 1−0 = 1. Por lo que no importa que δ escojamos la distancia entre esas imágenes será igual a 1, por lo que no puede hacerse tan pequeña como queramos (por ejemplo 1/2).

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En el último ejemplo, la gráfica de la función tiene un “salto” en 0. El salto mide 1. Cualquier salto impide, por las mismas razones del ejemplo, la continuidad de la función. Por eso, a veces, hay quienes dicen que una función continua es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin tener que levantar el lápiz del papel

Extenderemos la definición de función continua a una función entre espacios métricos.

Daremos, a continuación, una definición formal de continuidad para completar nuestra discusión.

Definición. (Continuidad) Sea f :< E, d > → < E′,d′ > una función.

• (Local) f es continua en un punto p de E, ssi, para todo ǫ > 0, podemos hallar un δ > 0 tal que

  d(x, p) < δ ⇒ d′(f(x), f(p)).

• (Global) f es continua en (el espacio) E, ssi, es continua en cada punto de E.

Siempre hay funciones continuas entre dos espacios métricos: las funciones constantes.

Proposición 4.3.1. Cada función constante de un espacio métrico en otro es continua en todo el espacio.

Demostración.

Sea f : E → E′ tal que para todo x en E, f(x) = b. Sea p un punto cualquiera de E. Como para todo x, se cumple que d(f(x), f(p)) = d′(b, b) = 0, vemos que para cualquier ε > 0, podemos usar cualquier δ > 0 y se tendrá que

d(x, p) < δ ⇒ d′(f(x), f(p)) = 0 < ε.

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Proposición 4.3.2.
Las isometrías son funciones continuas en todo el dominio. Demostración.

Sea f : E → E′ una isometría. Como d′(f(x), f(a)) = d(x, a), dado un ε > 0, basta tomar δ = ε para que se cumpla la definición de continuidad en a.

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Dejaremos aquí, nuestra excursión a las funciones continuas, a las que dedicaremos un capítulo completo. (Cap 6. Continuidad.) Lo que más nos interesa de la definición, por ahora, es que nos servirá para motivar los conceptos de la próxima sección.

Ejercicios 4.3

1. Probar que en R las funciones siguientes son biyectivas y continuas.
   1. f : t ↦ t + a.
   2. g : t ↦ at, a ≠ 0.
   3. h : t ↦ mt + n, m ≠ 0.
2. Sea f : E → E′ continua en p y g : E′ → E′′ continua en f(p). Probar que la composición g ◦ f es continua en p.
3. Sean a, b, c y d números reales tales que a < b y c < d. Probar que la función f : [a, b] → [c, d] tal que $f(t)={\frac {d-c}{b-a}}(t-a)+c$

   es biyectiva y continua.

4. Sea f: E → E' una función continua. Sea A un subconjunto no vacío de E. Proanr que la restricción de f a A es continua.
5. Sean E un espacio métrico y 1_E la función identidad, 1_E(x) = x; probar que se trata de una función continua.

Bolas Abiertas, Cerradas y Esferas

Comenzamos en esta sección el estudio de la topología de un espacios métrico. Como parte de la definición de continuidad aparecen x tales que d(x,a) < δ . Por lo que interesa estudiar conjuntos que tienen esa propiedad. Si pensamos geométricamente, tal conjunto será semejante al "interior" de una circunferencia (en un plano) con centro a y radio δ. Generalizaremos las nociones anteriores a espacios métricos cualesquiera.

Bolas y Esferas

Definición. (Bolas y Esferas) Sea E un espacio métrico, p un punto de E y r un número real positivo.

• Llamamos bola abierta con centro p y radio r al subconjunto de E denotado por B_r(p) (o B(p:r)) y que está formado por todos los puntos de E cuya distancia a p es menor que r .

  $B_{r}(p):=\{x\in E:d(x,p)<r\}.$

  
  

• Llamamos bola cerrada con centro p y radio r al subconjunto de E denotado por Br[p](o B[p;r]) y que está formado por todos los puntos de E cuya distancia a p es menor o igual que r .

  $B_{r}[p]:=\{x\in E:d(x,a)\leq r\}.$

  
  

• Llamamos esfera de centro p y radio r al subconjunto de E denotado por S_rr(p) (o S(p;r)) y que está formado por todos los puntos de E cuya distancia a p es igual a r .

  $S_{r}(p):=\{x\in E:d(x,p)=r\}.$

  
  

Claramente, B_r[p] = B_r(p) ∪ S_r(p).

(☩) Intuitivamente, una bola abierta contiene a todos los puntos vecinos próximos a su centro. ¿Cuán próximos?... depende del valor del radio. Cuando decimos que podemos escoger puntos "tan cerca como queramos" de un cierto punto, estamos hablando de los puntos de un bola abierta con centro en el punto y con un radio tan pequeño como queramos.

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Observación 4.2. La terminología no es estándar. Algunos autores usan esferas en lugar de bolas. En situaciones planas, se usa también discos (abiertos y cerrados). Nosostros hablaremos, también, de la r–vecindad de un punto p, para referirnos a la bola de radio r y centro p.

Ejemplos 4.4.1.

1. En el espacio euclídeo R², las bolas abiertas son los interiores de los círculos con igual centro y radio. Por su parte, las bolas cerradas corresponden al círculo anterior, pero agregando la circunferencia correspondiente, que es la correspondiente esfera. En la geometría plana hablamos de círculo y circunferencia en vez de bola cerrada y esfera (que son más propios de espacios tridimensionales).
2. En la línea real, la bola abierta B_r(a) coincide con el intervalo abierto ]a-r,a+r[. Mientras que la bola cerrada de igual centro y radios es el intervalo cerrado [a-r,a+r]. La esfera S_r(a) es igual al conjunto {a-r, a+r}.

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Ejemplo 4.4.2 (Propiedad de Hausdorff) .

Sean x, y puntos diferentes de un espacio métrico. Probar que hay bolas abiertas B₁ y B₂ que contienen a x y a y respectivamente y que son disjuntas entre si.

Resolución. Un dibujo puede inspirarnos en la solución.

Propiedad de Hausdorff

Figura 4.2.

Vemos que parece que tomando como r=d(x,y)/3, las bolas de radio r y centros en x y y serán disjuntas.

Demostración. Como x ≠ y , d(x,y) es un número positivo, por lo que r= d(x,y)/3 también es un número positivo. Sean B₁=B_r(x) y B₂=B_r(y). Claramente, x ∈ B₁ , y ∈ B₂. Falta, tan solo, probar que dichas bolas son disjuntas. Supongamos que no y sea z un punto común a ambas bolas. Entonces,

3r =d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y) < r + r = 2r.

Como es imposible que 3r < 2r , hemos obtenido una contradicción. Luego, nuestras bolas deben ser disjuntas.

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El último ejemplo muestra que buenos dibujos pueden ayudarnos a comprender la situación o a inspirarnos en las demostraciones. Sin embargo, solamente una demostración es la única garantía de que andamos pisando terreno firme.

Ejemplo 4.4.3.

Supongamos que X es un espacio discreto (métrica 0--1). ¿Cómo son las bolas abiertas o cerradas en X? La siguiente tabla muestra algunos resultados.

${\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline r&B_{r}(a)&B_{r}[a]&S_{r}(a)\\\hline \hline 1/2&\{a\}&\{a\}&\emptyset \\\hline 1&\{a\}&X&X\setminus \{a\}\\\hline 2&X&X&\emptyset \\\hline \hline \end{array}}$

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Bolas y Esferas en Subespacios

Usualmente, las "formas" más extrañas de bolas y esferas aparecen en los subespacios, aunque esperamos que el lector o lectora descubra que sus dibujos intuitivos son suficientemente buenos para guiar en una demostración.

Sea E un espacio métrico y sea F un subespacio de E. Para precisión en la exposición, simbolizaremos por d_E y d_F a las distancias en E y F respectivamente, aunque si x,y están en F se cumple que d_F(x,y) = d_E(x,y), por definición de subespacio. Análogamente, simbolizaremos por B_E(p;r) y B_F(p;r) a las bolas abiertas en E y F respectivamente.

Sea p un punto de F. Notemos que un punto x está en B_F(p;r), ssi, x está en F y d_F(p,r) < r, ssi, x está en F y d_E(x,p)<r. Es decir que

B_F(p;r) = B_E(p;r) ∩ F.

El razonamiento es general, por lo que hemos probado que las bolas abiertas de F son la intersección de una bola abierta de E (con igual centro y radio) con el subespacio F. Análogamente, para bolas cerradas y esferas,

Ejemplo 4.4.4.

Sea E = [0,2[ = {x ∈ R: 0 ≤ x < 2}.

Notemos que en el espacio métrico E con la distancia inducida de la distancia usual en los Reales, tenemos que

• B₁(0) = [0,1) (bola abierta).
• B₁[1] = [0,2[ (bola cerrada)
• S₃(1) = ∅.

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Ejemplo 4.4.5.

La métrica usada también afecta a las figuras, como se ilustra a continuación; donde podemos ver esferas de igual radio con igual centro, pero para diferentes métricas de R².

Esferas de Igual Radio, pero diferente norma

Figura 4.3: Esferas.

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Observación. El lenguaje de bolas y esferas proviene de la geometría de los espacios euclídeos usuales (Rn con la métrica euclídea). Tal préstamo puede ayudar a desarrollar nuestra intuición de situaciones más abstractas. Sin embargo, cabe advertir que la situación no es tan simple, como se pudo apreciar en el ejemplo 4.4.3 anterior. Situaciones semejantes se hallarán en la próxima sección y en la sección sobre espacios ultramétricos.

Moraleja: es conveniente visualizar las relaciones y propiedades en el modelo euclídeo; pero, es absolutamente necesario probar la validez general de dichas visualizaciones.

Los Espacios de Funciones

Sea E el espacio de funciones reales acotadas definidas en el intervalo [a,b], o sea el espacio normado B([a,b], R) definido en la sección el espacio normado de todas las funciones acotadas definidas sobre el intervalo [a,b]. Ver la sección 4 del capítulo 3. Basado en dicha norma, tenemos una distancia definida por

$d(f,g)=\sup\{|f(t)-g(t)|:t\in [a,b]\}.$

Dada una función f por su gráfica, ¿cómo se ve gráficamente una bola de radio r con centro en la función f?

Figura 2.4: Bola abierta en un espacio de funciones.

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Mirando a la figura vemos un dibujo de tal bola abierta. La linea continua es el centro de la bola y las líneas entrecortadas son la esfera. Una función está en la bola abierta, cuando su gráfica se ubique entre las dos líneas entrecortadas.

Ejercicios 4.4

1. Sean r₁, r₂ números reales tales que 0 < r₁< r₂. Probar que la bola abierta (resp. cerrada) de radio r₁ está contenida en la bola abierta (resp. cerrada) de radio r₂.
2. La distancia entre dos elementos de una misma bola abierta (resp. cerrada) de radio r es menor (resp. menor o igual) que 2r.
3. Sea B = B_r(a) . Probar que para todo punto p de B , hay una bola abierta con centro en p , totalmente contenida en B.
4. Sean B₁, B₂ bolas abiertas con intersección no vacía. Probar que dicha intersección contiene a una bola abierta.
5. Verificar las afirmaciones del ejemplo 4.4.3.

Productos de Espacios Métricos

Sean <E_i, d_i>, para i=1, ... , n, una familia de espacios métricos. Sea E el producto cartesiano de los E_i's. Los elementos de E son n-uplas (x₁, ... , x_i, ... , x_n) con x_i en E_i.

¿Podremos definir una estructura métrica en E relacionada con los factores?
La respuesta es afirmativa, y daremos dos posibles definiciones.

Definiciones de métricas productos.

$d_{1}((x_{i}),(y_{i})):=\max\{d_{i}(x_{i},y_{i}):1\leq i\leq n\}.$

(MP-1)

$d_{2}((x_{i}),(y_{i})):=\sum _{i=1}^{n}d_{i}(x_{i},y_{i})$

(MP-2)

Queda de ejercicio, verificar que tenemos métricas.

Ejercicios 4.5.

1. Verificar que las funciones MP--1 y MP--2 definidas en el texto, efectivamente proveen métricas al espacio producto. Discutir la relación entre esas definiciones y las métricas ciudad y máxima de Rⁿ. ¿Podría proveerse al espacio producto con una métrica análoga a la euclidiana?
2. Suponer que E es un espacio métrico con métrica $\rho$, que es la métrica discreta 0--1. Sea SE el conjunto formado por todas las sucesiones de elementos de E. Definir para dos sucesiones (x_n), (y_n),

   $d((x_{n}),(y_{n}))=\sum _{n\geq 0}{\frac {\rho (x_{n},y_{n})}{2^{n+1}}}.$

   
   Verificar que $d$ es una métrica en SE. ¿Es d discreta?

Algunas Nociones Métricas

Veremos, en esta sección, diversas nociones asociadas a subconjuntos de un espacio métrico. (Esta sección hace uso de las nociones de supremo e ínfimo, para un repaso ver la sección correpondiente del Capítulo 2 (Números Reales)..

Diámetro de un Conjunto

Llamamos diámetro de un subconjunto A de un espacio métrico E al número real

δ(A) := sup{ d(x, y): x, y ∈ A}.

Cuando A no sea vacío y el supremo anterior no exista, diremos que el conjunto tiene un diámetro infinito (+∞).

(☩) El diámetro de un conjunto mide lo más "ancho" del conjunto.

Conjunto Acotado. Decimos que un subconjunto A de un espacio métrico es acotado, cuando su diámetro es finito.

Ejemplo 4.6.1.

Hallar el diámetro de A= ]0,1].

Resolución. Intuitivamente ese diámetro (que aquí coincidirá con el largo intuitivo del intervalo) debe ser 1. Daremos, sin embargo, una demostración formal de ese resultado, para ilustrar como trabajamos con las definiciones. Notemos que cuando x, y son elementos de A, se tiene que

0 < x < y ≤ 1 implica que d(x,y)= |x-y| = y-x < 1-x. Considerando x=1/n, n > 1, vemos que d(x,y) = 1-1/n. Tales valores tienen supremo 1; lo que implica que el diámetro es 1.

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Ejemplo 4.6.2.

Sea A igual la cinta {(x,y) ∈ R²: 1 < x ≤ 5}. Hallar el diámetro de A .

Resolución. Notemos que para todo número natural a = (3,0) y b=(3,n) son puntos de A y que $d(a,b)={\sqrt {(3-3)^{2}+(0-n)^{2}}}=n$. Como los naturales no son acotados superiormente, no hay un supremo finito para las distancias, luego tendremos que δ(A) = +∞ .

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Lema 4.6.1. Sean A,B subconjuntos de un espacio métrico.
Cuando A es un subconjunto de B se cumple que δ(A) ≤ δ(B) . Demostración.

Sean x, y puntos de A y, por lo tanto, de B . Luego, para todo x, y en A , d(x,y) ≤ δ(B) --ya que δ(B) es una cota superior de esos valores. De donde, sup{d(x,y): x,y ∈ A} ≤ δ(B) ---supremo es la menor cota superior.

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Ejemplo 4.6.3.

Sean B = B_r(a) y B'=B_r[a]. Entonces, δ(B) ≤ δ(B') ≤ 2r.

Resolución. Sean x , y en B', entonces

d(x,y) ≤ d(x,a)+d(a,y) ≤ r + r = 2r.

Luego, δ(B') ≤ 2r. La otra desigualdad sigue del lema anterior.

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Notemos que, al pasar, hemos probado que bolas, ya sean abiertas o cerradas son conjuntos acotados.

Lema 4.6.2. Un conjunto no vacío es acotado, ssi, está contenido en una bola (ya sea abierta o cerrada) Demostración.

Supongamos que el conjunto X fuera acotado, digamos que su diámetro fuera igual a m. Entonces, cuando a es un punto de X , se tiene para todo x en X que d(x,a) ≤ m. Luego, X está contenido en B_m[a] ⊂ B_2m(a).

El recíproco sigue del lema anterior y de que las bolas son conjuntos acotados.

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Distancia entre conjuntos

Llamamos distancia entre subconjuntos A y B de un espacio métrico al número

d(A,B) := inf {d(x,y) : x ∈ A, y ∈ B}.

Cuando A = {a} escribimos d(a,B) y hablamos de distancia del punto a al conjunto B.

Ejemplo 4.6.4.

Hallar la distancia euclídea del punto p=(1,1) a la línea L con ecuación cartesiana x+y=1.

Resolución. Sea s la distancia del punto p a un punto (x,y) de la línea L. Tenemos que

m² = d((x,y), (1,1)))²= (x-1)² + (y-1)² = (x-1)² + (1-x-1)²

= x² - 2x + 1 + x² = 2x² - 2x + 1 = 2(x² - x + 1/4 + 1/2.

= 2(x - 1/2)² + 1/2

Por lo que, m² tiene como valor mínimo 1/2, luego la distancia buscada es $\scriptstyle 1/{\sqrt {2}}$.

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Ejercicios 4.6

1. Probar los siguientes enunciados.
   1. δ(A) = 0, ssi, A consiste de un único punto.
2. Hallar el diámetro de los siguientes conjuntos de la línea real. Después de intuir el resultado dar una prueba formal.
   1. ]a,b[),
   2. [a,b],
   3. {números primos}.
3. ¿Será cierto que δ(A ∩ B) ≤ δ(A) + δ B ? En caso afirmativo, dar una prueba. En caso negativo, dar un contraejemplo. Cuando puede que pase en algunas situaciones, indicar las condiciones con prueba.
4. (Conjuntos Acotados) Probar lo siguiente:
   1. Un conjunto contenido en un conjunto acotado, es un conjunto acotado.
   2. La reunión de dos conjuntos acotados es un conjunto acotado.
5. (Rⁿ con la métrica euclídea)
   1. Sea B (resp. B' ) la bola abierta (resp. cerrada) con centro en a y radio r . Probar que cuando la distancia de un punto a B' es s , entonces la distancia del punto a B también es s .
   2. Hallar una fórmula para la distancia entre una bola de radio r₁ y una bola de radio r₂ . Analizar las posibles posiciones de los centros y valores de los radios.
   3. (*) ¿Son válidos los resultados anteriores en un espacio discreto?
6. ¿Cierto o falso? Si cierto, dar una demostración o un ejemplo; en caso contrario, dar un contraejemplo?
   1. Un espacio métrico puede consistir de un único punto.
   2. Las bolas abiertas siempre son distintas de las bolas cerradas.
   3. Sea r < ρ. La bola abierta (resp. cerrada) de radio r es diferente a la bola abierta (resp. cerrada) de radio ρ.
   4. Una esfera de radio positivo nunca es vacía.

Los Reales Extendidos, R^#

Definiremos una estructura de espacio métrico en los Reales extendidos, R^# = R ∪ {+∞,−∞}.
Sea f : R → ]-1,1[ tal que $f(x)={\frac {x}{1+|x|}}$ y sea g :]-1,1[ → tal que g(x) = x/(1 - |x|). Se tiene que

$g(f(x))=g({\frac {x}{1+|x|}}={\frac {\frac {x}{1+|x|}}{1-{\frac {|x|}{1-{\frac {|x|}{1+|x|}}}}}}=x.$

Análogamente, g(f(x)) = x, lo que prueba que f y g son biyectivas. Extendamos f a F : R → [-1,1], poniendo F(x) = f(x) cuando x es un número real, F(+∞) = 1, y ¯ F(−∞) = −1. Claramente, F es también biyectiva. Por lo que la usaremos para definir una métrica d* en R^# por d(x, y) := |F(x) − F(y)|. La verificación de que d* es una métrica queda de ejercicio. Con respecto a esta métrica, la función F es una isometría. Notemos que, por ejemplo, d*(1,+∞) = |f(1)−f(+∞)| = 1/2 y que d*(−∞,+∞) = 2. Como [−1, 1] es acotado, tendremos que R^# es también acotado y que el subconjunto de los Reales también lo será.

Naturalmente, la restricción de esta métrica a R es bastante diferente a la métrica usual, definida por su valor absoluto, de la línea real.

¿Cuáles son las vecindades de +∞ en R^#? Consideremos por ejemplo la bola abierta de radio 1/2 con centro en +∞. Tenemos que

$B\#(+\infty ,1/2)=\{x\in \mathbb {R} :1<x\}=]1,+\infty ]$.

Ejercicios 4.6

1. Probar que una bola cerrada con radio mayor que 2 es igual a todos los Reales extendidos.
2. Describir las bolas abiertas centradas en +∞.
3. Idem. para las bolas centradas en −∞.

Espacios Ultramétricos

Describiremos, en esta sección, a unos espacios métricos cuya métrica satisface una condición más estricta que la desigualdad triangular. Dichos espacios tienen interesantes aplicaciones en diversas áreas de matemáticas. Para nosotros servirán de ejemplos de espacios métricos con unas propiedades ``extrañas, lo que quiere decir bastante diferente de lo que pasa en espacios euclídeos.Una ultramétrica en un conjunto E es una métrica que satisface una condición más estricta que la desigualdad triangular.

d(x, y) ≤ máx {d(x, z), d(z, y).

Claramente, cada ultramétrica es una métrica. Un espacio ultramétrico es un espacio provisto de una ultramétrica.

Antes de dar ejemplos, veremos algunas de las propiedades ``extrañas de los espacios ultramétricos.

Ejemplo 4.8.1. Todos los triángulos en un espacio ultramétrico son isósceles. Es decir que dados tres puntos x, y, z, al menos dos de las distancias entre esos puntos son iguales.

Resolución. Supongamos que hay al menos dosdistancias desiguales (el caso contrario es trivial), digamos que d(x, y) < d(x, z). Entonces, como d(y, z) ≤ máx{d(y, x), d(z, x)} concluimos que d(y, z) ≤ d(x, z). Por su parte, d(x, z) ≤ máx{d(x, y), d(y, z)} implica que d(x, z) ≤ d(y, z) (ya que es mayor que la otra alternativa). Luego, d(y, z) = d(x, z).

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Ejemplo 4.8.2. En un espacio ultramétrico, cualquier punto de una bola abierta es centro de la bola.

Resolución. Sean B = B_r(x), y ∈ B. Probaremos que B_r(x) = B_r(y). Sea z ∈ B. Entonces, d(z, y) ≤ máx{d(z, x), d(x, y)} < r. Es decir que z ∈ B_r(y). Lo que prueba que B_r(x) ⊂ B_r(y). Comenzando con un punto en B_r(y) obtenemos la inclusión inversa.

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Los valores absolutos p-ádicos en los Racionales

En esta sección veremos una familia de valores absolutos para los Racionales que tienen las mismas propiedades formales que el valor absoluto usual, pero con la propiedad adicional de que

$|x+y|\leq \max {|x|,|y|}.$

la distancia deducida de tal valor absoluto es una ultramétrica.

Sea p un número primo. Es sabido que dado un número primo cualquiera p, cada número entero z no nulo puede representarse como el producto una potencia del primo p con un número relativamente primo con p.

$z=p^{r}m$

con r ≥ 0 y m no divisble por p.

Diremos que el entero no negativo r de la relación anterior es la p--ponderación de m y la denotaremos por ord_p(m). Extenderemos la p--ponderación a los racionales de la manera siguiente: si q=z/w, con z, w tales que ord_p(z) = m y ord_p(w) = n, entonces

$ord_{p}(q)=ord_{p}(z)-ord_{p}(w)=m-n.$

Notemos que si z = p^mx y w = pⁿx , el racional z/w = p^m-n (x/y) con x, y no divisibles por p.

Valor absoluto p--ádico. Sea p un número primo y sea | $\cdot$ |_p definido para un racional x como

$|x|_{p};=p^{-ord_{p}(x)},$

cuando x ≠ 0, y |0|_p = 0.

Ejemplos 4.8.3. Consideremos el caso cuando p = 5.

1. 35 = 5¹ * 7, luego, ord_p(35)=1, por lo que |35|₅ = 5^-1.
2. 1/25 = 5^-2, luego |1/25|₅ = 5\sup2.
3. 9 = 5^0 , luego |9|₅= 1.
4. 35/100 = (5 * 7)/ (5² * 4) = 5^-1 )7/4) , luego |35/100|,sub>5 = 5¹.

Notemos que para todo x, |x|_p es un número entero, que es una potencia de p cuando x no es nulo. Llamaremos a |x|_p , el valor absoluto p --ádico de >Q. El nombre de valor absoluto proviene de las propiedades mostradas en la siguiente proposición. Comparar con la propiedades del valor absoluto usual---que en este contexto llamaremos el valor absoluto proveniente del orden.

Proposición 4.8.1.(Propiedades del Valor Absoluto p --ádico) Sean x, y números racionales.

1. |x|_p ≥ 0.
2. |x|_p = 0 \iff x =0.
3. |-x|_p = |x|_p.
4. |x+y|_p ≤ max{|x|_p, |y|_p }.
5. |xy|_p = |x|_p |y_p|.

Demostración. Los enunciados UVA1 al UVA3 son triviales. Las propiedades UVA4 y UVA5 ameritan demostraciones explícitas. Sean x, y racionales; si uno de ellos es nulo, los resultados son triviales. Supongamos que ord_p(x) = r y ord_p(y) = s , o sea que x=p^{r} (z/w) , y = p^s(u/v) con z , w , u , v , enteros no divisibles por p. Luego, |x|_p = p^{-r} y |y|_p = p^{-s}. (UV4) Sin perdida de generalidad, podemos suponer que r ≤ s. Entonces, $x+y=p^{r}{\frac {z}{w}}+p^{s}{\frac {u}{v}}=p^{r}({\frac {z}{w}}+p^{s-r}{\frac {u}{v}}).$

Entonces,

${\frac {z}{v}}+p^{s-r}{\frac {u}{v}}={\frac {zv+p^{s-r}uw}{vw}}={\frac {q}{vw}}$

Claramente, p no divide a vw. Supongamos que ord_p(q) = e , con e ≥ 0. Entonces, ord_p(x+y) = r+e. Por lo que,

$|x+y|=p^{-(r+e)}=p^{-r}p^{-e}\leq p^{-r}=\max {p^{-r},p^{-s}}=\max {|x|_{p},|y|_{p}}.$

Lo que prueba la afirmación.

(UV5) Como $xy=p^{r}{\frac {z}{w}}\,p^{s}{\frac {u}{v}}=p^{rs}{\frac {zu}{wv}},$

con zu y wu no son divisibles por p , se tiene que |xy|_p= p^{-(r+s)} ; lo que prueba el resultado.

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Notemos que la propiedad UV4 implica inmediatamente una desigualdad triangular, ya que

$|x+y|_{p}\leq |x|_{p}+|y|_{p}.$

Lo que justifica la nomenclatura de valor absoluto. Asociaremos con este valor absoluto, la distancia p --ádica en Q , definida como d_{(p)}(x,y) = |x-y|_p. Como

$d_{(p)}(x,y)=|x-y|_{p}=|(x-z)+(z-y)|_{p}\leq \max {|x-z|_{p},|z-y|_{p}},$

vemos que se trata de una ultramétrica.

Observación 8.4. Si llamamos valor absoluto en \Q a cualquier función que asigna a cada racional un número real que cumple las propiedades formales del valor absoluto, se sabe,por un teorema de Ostrowski, que los únicos valores absolutos en Q son esencialmente el valor absoluto usual (asociado al orden) y los p-ádicos de esta sección.

Los Racionales provistos de un valor absoluto p--ádico son ejemplos de cuerpos llamados no arquimedianos, ya que se tiene la siguiente proposición.

Proposición 4.8.2. Sea p un número primo. Los Naturales como subconjunto de los Racionales no son acotados respecto al valor absoluto asociado al orden, pero son acotados respecto a las normas p--ádicas, ya que se cumple para todo n en N que |n|_p ≤ 1.

Demostración. Notemos que |0|_p= 0 y que |1|_p = 1. Supongamos que k ≥ 1 y que |k|_p ≤ 1. Entonces, $|k+1|_{p}\leq \max\{|k|_{p},|1|_{p}\}\leq 1.$

El resultado sigue por inducción.

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Se puede hallar, además de los Racionales con los valores absolutos p--ádicos, otros espacios ultramétricos, pero nuestra exploración de tales espacios acaba, por ahora, aquí, ya que nos interesaban principalmente como ejemplo de las consecuencias posibles de los axiomas de espacio métrico.

Ejercicios 4.8

A. Suponer que el primo p es igual a 5.

1. Evaluar ord₅(100) , ord₅(-10!) , ord₅(20) , ord₅(15/23) .
2. Evaluar |100|₅ , |7-3|₅ , |750-625|₅ , |1/9 - (-1/6)|₅ .
3. Probar que un número entero z tiene |x|₅=1 , ssi, z no es divisible por 5.
4. Probar que un número entero z tiene |x|₅<1 , ssi, z es divisible por 5.
5. Probar que q=m/n , m y n relativamente primos, tiene |q|₅ >1 , ssi, n es divisible por 5 .
6. Si |x-a|₅ < |a|₅ entonces |x|₅ = |a|₅ .

B. Bolas abiertas, cerradas y esferas en Q con el valor absoluto 5 --ádico.

1. Verificar que los valores posibles del valor absoluto 5 --ádico son las potencias enteras de 5 o 0.
2. Probar que B(0;8) = B(0,5) = B[0;1] .
3. Probar que S(0;8) es vacío.
4. Probar que el diámetro de B(0;1) es 1.

C. Suponer que E es un espacio ultramétrico.

1. El diámetro de una bola es menor o igual que su radio.
2. Cuando dos bolas (abiertas o cerradas) tienen un punto en común, entonces una de ellas está contenida en la otra.
3. Cualquier punto de una bola cerrada es centro de la bola.

Ejercicios del Capítulo 4

1. Cuando un punto p pertenece a un conjunto A, entonces d(p,A) = 0. ¿Es válido el recíproco?
2. . Sea < E, d > un espacio métrico. Sea $d'(x,y)={\frac {d(x,y)}{1+d(x,y)}}.$ Probar que d′ es una distancia en E. (Sug. Para la desigualdad triangular, escriba lo que desea probar, luego expanda y simplifique.) Probar, además, que para todo x, y en E, d′(x, y) < 1.
3. Sea BS(R) el conjunto formado por todas las sucesiones acotadas en E.
   1. Probar que la suma término a término y el producto de constante por cada término proveen a BS(R) de una estructura de espacio vectorial (ver definición en el capítulo 3).
   2. Definir d((x_n), (y_n)) := sup{d(x_n, y_n) : n ∈ N}. d en una métrica en BS(R).
4. Sea X un espacio métrico discreto y E un espacio métrico cualquiera, ¿cuándo una función f : X → E es continua?
5. Sea f : E → R una función continua en un punto p de E.
   1. f es acotada en una vecindad de p.
   2. Si f(p) ≠ 0, hay una vecindad V de p tal que x en V implica que f(x) tiene igual signo que f(p).
6. Sea f: E → E' una isometría.
   1. La imagen por f de una bola abierto (resp. cerrada) es una bola del mismo typo y de igual radio.
   2. La imagen de un conjunto de diámetro D tiene el mismo diámetro.
   3. La imagen de un conjunto acotado es acotado.
   4. ¿Qué otras "cosas" son preservadas por las isometrías?

Introducción

Este capítulo estará dedicado completamente a la topología de los subconjuntos de un espacio métrico. Veremos como formalizar algunas de las principales nociones asociadas a “proximidad” entre puntos (o entre conjuntos, o entre puntos y conjuntos).

Cuando pensamos en una figura plana, podemos intuitivamente considerar puntos que están ya sea dentro de la figura, en el borde de la figura, o en el exterior de la figura. Aquí formalizaremos esas nociones. Introduciremos el cómodo lenguaje de vecindades y clasificaremos a los puntos por la cantidad de vecinos en un vecindario próximo.

Los lectores deberán seguir cuidadosamente las argumentaciones de las demostraciones y ejemplos, porque son básicas en el razonamiento topológico. Una mayoría de las demostraciones se basan en propiedades de conjuntos y sus operaciones, por lo que resultará conveniente echar un vistazo a las sección A.1 del apéndice A, donde se resumen las propiedades de las operaciones. También, usaremos propiedades de familias de conjuntos que aparecen en la sección B.5 del apéndice B.

En los ejemplos, proposiciones, etc. sugerimos hacer un dibujo de la situación. Un dibujo apropiado puede ayudar a la intuición y guiar en la formalización de la misma.

Los Conjuntos Abiertos

La primera noción que estudiaremos, conjunto abierto, representa la formalización de la intuición de puntos próximos o cercanos.

Definición. (Conjunto Abierto) Sea E un espacio métrico. Decimos que un subconjunto A de E es abierto, si y solo si, para cada punto x de A podemos hallar un número real r > 0 tal que la bola abierta de centro x y radio r está contenida en A.

(☩) Informalmente, un conjunto es abierto cuando contiene todos los vecinos suficientemente próximos a cada uno de sus puntos

Ejemplo 5.2.1. El semiplano H = {(x, y) ∈ R² : y > 0} es un conjunto abierto.

Resolución. Sea p = (x₀, y₀) un punto cualquiera del semiplano H. Debemos probar que hay un disco abierto con centro en p totalmente contenido en H. Sea r = y₀/2 y B = B_r(p). Entonces, para todo (x, y) en B, se tiene que

|y − y₀|² ≤ |x − x₀|² + |y − y₀0|²,

de donde

|y − y₀] ≤ p|x − x₀|² + |y − y₀|² = d((x, y), p) < r.

Como |y − y₀| < r es equivalente a y₀ − r < y < y₀ + r y y₀ − r = y₀ − y₀/2 = y₀/2 > 0, tenemos que (x, y) está en H. Lo que prueba que H es un abierto.

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Proposición 5.2.1.
En cualquier espacio métrico, las bolas abiertas son conjuntos abiertos..

Demostración.




Sea B la bola abierta con centro a y radio r y sea x un punto cualquiera de B. Sea ρ = r − d(x, a) y sea V = B_ρ(x). Entonces, para todo z en V tenemos que

d(z, a) ≤ d(z, x) + d(x, a) < ρ + d(x, a) = r − d(x, a) + d(x, a) = r.

Lo que prueba que V está contenido en B; o sea que x es un punto interior de B.

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Ejemplo 5.2.2. Sigue de la proposición que los intervalos abiertos acotados de la línea real son abiertos, ya que son bolas abiertas.

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Introduciremos dos nociones auxiliares: vecindad y punto interior. Tales nociones nos ayudarán a expresar más significativamente algunas propiedades.

Definición. (Vecindad) Sea E un espacio métrico y sea A un subconjunto de E. Llamamos vecindad de A a cualquier conjunto V que contenga a un abierto que contiene a A. Cuando A = {p}, decimos que V es una vecindad de p.

Una vecindad abierta es una vecindad que como subconjunto del espacio es un conjunto abierto.

Definición. (Punto Interior) Sea E un espacio métrico y sea A un subconjunto de E. Decimos que un punto p es un punto interior de A, ssi, A es una veceidad de p; o sea, cuando haya un abierto U que contenga a p y que esté contenido en A.

Sigue de lo anterior que cada conjunto abierto, en particular, una bola abierta, es una vecindad abierta de cada uno de sus puntos y que, por lo tanto, cada uno de sus puntos es interior.

Vecindad es una noción auxiliar que simplifica la expresión, ya que decir “vecindad de p” es más simple que decir “un conjunto que contiene a un abierto que contiene a p” y nos da, además, la idea de proximidad o cercanía.

Algunas veces, por simplicidad de la expresión, hablaremos de una r–vecindad de un punto para referirnos a una vecindad que es una bola abierta de radio r con centro en el punto.

¿Cuándo no es abierto un conjunto A? Cuando haya, al menos, un punto p del conjunto tal que todas las bolas abiertas con centro en el punto p, contienen al menos un punto que no está en A. Es decir que cada bola abierta con centro en p interseca en forma no vacía al complemento de A.

Sigue de la observación anterior que cuando no hay tal punto, el conjunto es abierto. Un conjunto, en particular que no tiene ese tipo de puntos es el conjunto vacío, es decir que:

El conjunto vacío es un conjunto abierto.

Propiedades de Vecindades y Conjuntos Abiertos

Veremos algunas de las propiedades de los conjuntos abiertos y dejaremos como ejercicios las propiedades análogas para las vecindades (que se deducen casi en forma inmediata de las propiedades de los abiertos.

Supongamos que A y B fueran abiertos en un espacio métrico. ¿Que podríamos decir de A ∪ B? Supongamos que p fuera un punto de la reunión que, por definición de reunión, estaría tanto en A como en B. Si estuviera en A, habría una r–vecindad V de p totalmente contenida en A. Como V ⊂ A implica que V ⊂ A∪B, concluiríamos que A ∪ B es abierto. Un razonamiento análogo funciona para p en B. Revisando el argumento, vemos que si consideramos la reunión de más de dos abiertos, el mismo argumento es válido, inclusive para la reunión de una familia cualquiera de abiertos.

Sea (A_i), i ∈ I, una familia de abiertos y sea A = $\cup${A_i: i∈I}. Probaremos que A es abierto, razonando como arriba. Sea p un punto de A. Entonces (paso clave) hay al menos un i en I tal que p ∈ A_i. Como A_i es abierto, hay una r–vecindad V de p totalmente contenida en A_i. Luego, como V ⊂ A_i ⊂ A, concluimos que A es abierto.

¿Qué pasa con A ∩ B cuando A y B son abiertos? Primeramente, observemos que si la intersección es vacía, entonces se trata de un conjunto abierto. Supongamos que los conjuntos no fueran disjuntos y que p fuera un punto de la intersección. Como A es abierto, hay una r₁–vecindad de p totalmente contenida en A; análogamente, hay una r₂–vecindad de p totalmente contenida en B. Sea r el menor valor entre r₁ y r₂ y sea V = B_r(p), como r ≤ r_i, i = 1, 2, V ⊂ B(p;r₁) ⊂ A y V ⊂ B(p;r₂) ⊂ B. Como V está contenida tanto en A como en B, está contenida en A ∩ B, lo que prueba que dicho conjunto es abierto.

El argumento anterior se puede extender a una familia finita de abiertos, razonando por inducción (ver más abajo la demostración). Sin embargo, el argumento no vale necesariamente para familias infinitas, ya que puede que no haya valor mínimo de los radios y que el ínfimo de los mismos sea 0.

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Ejemplo 5.2.3.
Consideremos la familia de abiertos (A_n), A_n =] - 1/n, 1/n[, donde n es un natural positivo.

Veremos que A = ∩{A_n : n∈N } = {0}, que es un conjunto que será, claramente, un conjunto que no es abierto ya que cualquier vecindad abierta con centro en 0 contiene números diferentes de 0.

Veamos una demostración formal de lo anterior. Suponer que hubiera un número real x que perteneciera a A. Sin perdida de generalidad, por la simetría de la situación, podemos suponer que x > 0. Por el principio arquimediano, siempre podremos hallar un n tal que 1/n < x. Pero esto implica que x no está en ]−1/n, 1/n[, por lo que no puede estar en A (que consiste de los elementos comunes a todos los A_n). Luego A = {0}. Resumimos las consideraciones anteriores en la siguiente importante proposición.

Proposición 5.2.2 (Propiedades de los Abiertos). Sea E un espacio métrico.

1. El conjunto vacío y todo el espacio E son abiertos.
2. La reunión de una familia cualquiera de abiertos es un abierto.
3. La intersección de una familia finita de abiertos es un abierto.

Demostración.

1. Trivialmente cada punto de E es interior a E. El resultado sobre el conjunto vacío sigue de una observación anterior
2. Probado arriba.
3. Sea A = A₁ ∩ A₂ ∩· · ·∩ A_n. Probaremos que A es abierto por inducción sobre n. Cuando n = 2 el resultado sigue de lo hecho arriba. Supongamos que la intersección de k conjuntos abiertos, k ≥ 2, fuera abierto. Consideremos la intersección de k + 1 abiertos

   A = A₁ ∩ A₂ ∩ · · · ∩ A_k ∩ A_k+1 = (A₁ ∩ A_{2</> ∩ · · · ∩ Ak) ∩ Ak+1.}

   Por la hipótesis de inducción, la intersección de los k primeros es un conjunto abierto cuya intersección con otro abierto es un abierto, por lo hecho arriba. Por inducción se tiene el resultado.

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Proposición 5.2.3 (Propiedades de las Vecindades).
Sea A un subconjunto de un espacio métrico E. Entonces,

1. El espacio E es una vecindad de A.
2. La intersección de dos vecindades de A es una vecindad de A.
3. La reunión de una familia cualquiera de vecindades de A es una vecindad de A.
4. Cualquier conjunto que contiene a una vecindad de A es una vecindad de A.

Demostración. Probaremos (c) y dejaremos el resto de ejercicio. Sean $W_{1}$ y $W_{2}$ vecindades del conjunto $A$. Entonces, hay abiertos $U_{1}$ y $U_{2}$ tales que $A\subset U_{i}\subset W_{i}$, $i=1,2$. Luego, $A\subset U_{1}\cap U_{2}\subset W_{1}\cap W_{2}$, lo que prueba la afirmación.

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Ejemplo 5.2.4. El intervalo abierto I =]a,+∞[ es un conjunto abierto en R, ya que es una reunión de abiertos.

]a,+∞[ = ∪ {]a, a + n[ : n∈ N⁺}

Sea x un número cualquiera que sea mayor que a. Entonces, x − a es positivo y hay, por lo tanto, un natural n mayor que x−a (PropiedadAarquimediana). Como x − a < n implica que x < a + n, tenemos que x está en ]a, a + n[ y, por lo tanto, en la reunión indicada. Esto prueba que el intervalo está contenido en la reunión de los ]a, a + n[’s. La inclusión inversa es trivial; de donde la igualdad.

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Ejemplo 5.2.5.
El intervalo (semiabierto) A = [0, 1[ no es abierto.

Consideremos al punto 0 de A. Cualquier bola abierta con centro en 0 contiene números negativos que no están, por lo tanto, en A; por lo que 0 no es un punto interior de A, lo que implica que A no puede ser abierto.

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Proposición 5.2.4.
Sea E un espacio métrico. Cualquier conjunto abierto A es igual a una reunión de bolas abiertas.

Demostración. Sigue de la definición de conjunto abierto que para cada x en A hay una bola abierta con centro en x, digamos B(x) totalmente contenida en A. Sea G la reunion de todas esas bolas abiertas. Como para todo x en A, se tiene que x ∈ B(x) ⊂ G, concluimos que A está contenido en G. Sea y un punto cualquiera de G, entonces hay al menos un x en A tal que y está en B(x). Por lo que y está en A. Luego, G está contenido en A. Es decir que A = G.

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Base de los Abiertos. Cuando una familia de abiertos tiene la propiedad que cualquier abierto es una reunión de abiertos de la familia, se dice que familia es una base para los abiertos. El resultado de la proposición anterior expresa que las bolas abiertas son una base para los abiertos del espacio.

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Ejemplo 5.2.6. Sea E un espacio métrico discreto con métrica 0–1. Entonces, para cada x de E, la (1/2)-vecindad de x contiene solamente a x. Por lo que deducimos que cada conjunto con un único punto es abierto. Como cualquier subconjunto de E es una reunión de conjuntos con un único elemento, concluimos que cada subconjunto de E es un abierto.

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La siguiente proposición muestra un resultado casi trivial, pero muy importante más adelante.

Proposición 5.2.6 (Propiedad de Hausdorff).

Sean x, y puntos diferentes de un espacio métrico. Hay abiertos U y V tales que (i) x ∈ U, (ii) y ∈ V, y (iii) U ∩ V = ∅. (Decimos que dos puntos diferentes están separados por abiertos disjuntos.)

Demostración. Sea r = (1/3)d(x, y). Por hipótesis r > 0. Sean U = B_r(x) y V = B_r(y). U y V son abiertos que satisfacen (i) y (ii). Probemos que son disjuntos, por contradicción. Supongamos que hubiera un z en A ∩ B entonces, 3r = d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, x) < r + r = 2r.

Lo que es imposible, luego los conjuntos son disjuntos.

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Los Abiertos en Rⁿ

Sabemos, del capítulo anterior, que hay varias métricas posibles en Rⁿ. Veremos, relaciones entre algunas de esas métricas. Como siempre, cuando no especificamos la métrica es porque se trata de la métrica euclidiana.

Ejemplo 5.2.7. Llamamos celda o caja abierta de R² a un conjunto de la forma ]a, b[×]c, d[. Probaremos que dicha celda abierta es un conjunto abierto.

Resolución. Sea C la celda indicada. Sea (x₀, y₀) en C. Observemos que a < x₀ < b y c < y₀ < d. Sea r = mín{x₀ − a, b − x₀, y₀ − c, d − y₀}. Luego, r ≤ x₀ −a ≤ ⇒ a ≤ x₀−r. Análogamente, tenemos que x₀ +r ≤ b, c ≤ y₀−r y y₀ + r < d. Sea B = B((x₀, y₀); r), y sea (x, y) un punto de B. Se tiene entonces que |x − x₀| ≤ d((x, y), (x₀, y₀)) < r. De donde, r < x − x₀ < r, o sea que x₀ − r < x < x₀ + r. Por las observaciones anteriores tenemos que a ≤ x₀ − r < x < x₀ + r ≤ b. Análogamente se verifica que c ≤ y₀ − r < y < y₀ + r ≤ d. Lo que prueba que (x, y) está en C. Por lo que B ⊂ C, o sea que C es abierto.

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Ejemplo 5.2.8. Probaremos que los conjuntos abiertos respecto a la métrica--máxima son abiertos respecto a la métrica euclídea.

Sea C(p;r) la celda ]x_p − r, x_p + r[ × ]y_p − r, y_p + r[, donde

(x_p, y_p ) = p. De acuerdo al ejemplo anterior, dicha celda es un abierto de R² respecto a la métrica euclídea.

Lo que implica que cualquier bola abierta respecto a la métrica--máxima, es un abierto respecto a la métrica euclidiana.

Sea $U_{\text{max}}$ un abierto respecto a la distancia máxima. Por definición de abierto, esto quiere decir que para cada punto $p$ en $U_{\text{max}}$, hay una celda $C(p,r)$ contenida en $U_{\text{max}}$. Como $C(p;r)$ contiene a $B(p;r)$, concluimos que $U_{\max }$ es un abierto euclídeo. Resumiendo,

Proposición 5.2.6. Cada abierto respecto a la métrica máxima es un abierto respecto a la métrica euclídea.

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Observación 5.1. El resultado del ejemplo anterior no es trivial, ya que puede haber conjuntos con diferentes métricas y que los abiertos respecto a una de las métricas no sean necesariamente abiertos respecto a la otra métrica. Por ejemplo, con respecto a la métrica discreta cualquier subconjunto de los Reales es abierto, lo que no pasa con respecto a la métrica usual de los Reales. El resultado de ejemplo también sugiere investigar el converso, ¿son los abiertos euclidianos abiertos respecto a la métrica máxima?

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Ejercicios 5.2

1. Decidir la validez o falsedad de cada uno de los siguientes enunciados. Explicar su respuesta.
   1. 1/2 es un punto interior del intervalo abierto ]0,1[.
   2. 1/2 es un punto interior del intervalo cerrado [0,1].
   3. El intervalo cerrado [0,1] es una vecindad de 1/2.
   4. El intervalo [0,1] es abierto.
2. ¿Cuáles de los conjuntos siguientes son conjuntos abiertos en la línea real?
   1. El intervalo semiabierto ]a, b].
   2. El intervalo ]a,+∞[.
   3. El intervalo [a,+∞].
   4. {t ∈ R : t ≠ 0}.
   5. El complemento del conjunto ]a, b[.
   6. El complemento del conjunto [a, b].
   7. El complemento de los Naturales.
   8. El complemento de los Enteros.
   9. El complemento de los Racionales.
3. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son conjuntos abiertos en R² ?
   1. A = {(x, y) ∈ R² : y < 2}.
   2. B = {(x, y) ∈ R² : 2 < x < 5}.
   3. C = {(x, y) ∈ R² : y = 5}.
4. Probar que R² \ {(0, 0)} es abierto.
5. Probar que el conjunto {(x, y) ∈ R² : x + y < 1} es abierto en R².
6. (♠) Probar que el conjunto {t ∈ R : sen(t) > 0} es abierto.
7. Un conjunto es acotado, ssi, hay una bola abierta que lo contiene.
8. El subconjunto de un conjunto formado por todos sus puntos interiores es un conjunto abierto.
9. Cuando en un conjunto todos los puntos son interiores, el conjunto es abierto
10. Probar que cuando V es una vecindad cualquiera de un punto p, hay una r–vecindad de p, contenida en V.
11. (Propiedad de Separación de Hausdorff) Sean x, y puntos diferentes de un espacio métrico. Probar que hay vecindades V, W de x y y, respectivamente, que son disjuntas.
12. Sea f : E → E′ una isometría de espacios métricos. La imagen de cualquier bola abierta B de E por f es una bola abierta B’de E′ de igual radio y cuyo centro es la imagen del centro de B. Usar lo anterior para probar que las imagen por una isometría de un abierto, es un conjunto abierto abierto.
13. Probar la proposición 5.2.3.
14. (Relaciones entre la métricas euclidiana y máxima del plano) En el ejemplo 5.2.5 se vió que cada abierto respecto a la métrica máximal es abierto respecto a la métrica euclidiana. Se trata ahora de probar el recíproco.
    1. Probar que cada bola euclidiana contiene una celda C(p;r).
    2. Concluir que cada abierto euclidiano es un abierto respecto a la métrica máxima
    3. Un subconjunto V de R² es una vecindad de un punto p, ssi, contiene una caja ]a, b[×]c, d[ que contiene a p. (Este resultado ayuda a probar que ciertos subconjuntos de R² son abiertos, porque es más fácil, a veces, trabajar con cajas, que con bolas.) d) Generalizar los resultados del ejemplo citado y los de este ejercicios a R³.
    4. Idem para Rⁿ.

Los Conjuntos Cerrados

En esta sección, introduciremos un concepto dual al de conjunto abierto: conjunto cerrado. Los intervalos cerrados de la línea real serán los ejemplos iniciales de la noción. La definición inicial no será muy ilustrativa desde el punto de vista topogeométrico, pero la presentamos de esta manera porque queremos, por razones que quedarán claras más adelante, usar abiertos en las definiciones de los conceptos importantes. Cuando veamos la noción de \textit{puntos de acumulación}, tendremos una imagen topogeométrica más clara del significado de cerrado.

Definición. (Conjunto Cerrado) Sea E un espacio métrico. Decimos que un subconjunto F de E es un conjunto cerrado, ssi, su complemento es abierto.

Ejemplos 5.3.1. Cuando A es un subconjunto de otro X, su complemento en X se denota por X \ A. Cuando el conjunto X es el conjunto universal de la discusión, entonces podremos simbolizar el complemento de A por A^c.

1. Un intervalo cerrado de la línea real es un conjunto cerrado. [a, b]^c = ]−∞, a[ ∪ ]b,+∞[ (abierto)   y     ] −∞, a]^c = ]a,+∞[ (abierto)

   
   

2. El conjunto vacío y todo el espacio son cerrados, ya que sus complementos son abiertos.
3. Los Naturales son cerrados, porque su complemento es abierto N^c = ]-∞, 0[ ∪ {]n, n + 1[: n ∈ N}.
4. El intervalo ]0, 1] no es cerrado, ya que su complemento es la reunion de ]−∞, 0] con ]1,+∞[. El primer conjunto no es abierto, porque 0 no es un punto interior del conjunto, por lo que la reunión no es un abierto.

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Ejemplo 5.3.2. Sea E un espacio discreto. Vimos en el ejemplo 5.2.6 que cada subconjunto de E es abierto, por lo que su complemento es cerrado, Luego, todos sus subconjuntos son cerrados, ya que sus complementos son abiertos.

Conclusión: en un espacio discreto los subconjuntos son abiertos y cerrados a la vez.

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☞ Notemos los ejemplos muestran que hay conjuntos abiertos---pero no abiertos, conjuntos cerrados---pero no abiertos, conjuntos que no son ni abiertos ni cerrados, y otros que son abiertos y cerrados a la vez (el conjunto vacío y todo el espacio).

Puntos Aislados, Puntos de Acumulación

Para entender el significado topológico de la noción de cerrado, introduciremos dos conceptos: punto aislado y punto de acumulación, que se referirán a la cantidad de vecinos que puede tener un punto.

Veamos las posibilidades. Supongamos que tenemos un punto p de un espacio métrico y un conjunto A. Si tomamos una vecindad V de p ¿cuántos vecinos de V V están en A? Si hubiera una cantidad finitas de vecinos diferentes de p en A, tomando como r a la menor de las distancias entre esos vecinos y p, tendríamos que la r–vecindad de p no contendría puntos de A diferentes de p. →Tal punro será un punto aislado en A; algo opuesto serán los puntos de acumulación.

Definición. (Puntos Aislados, Puntos de Acumulación) Sea < E, d > un espacio métrico. Sea A un subconjunto de A y p un punto de E.

• Decimos que un punto p de A es un punto aislado de A, ssi, hay una vecindad del punto que no contiene otro punto de A.
• Decimos que un punto p (no necesariamente en A) es un punto de acumulación de A, ssi, cada vecindad del punto contiene al menos un punto de A diferente del punto p.

Ejemplo 5.3.3. Sea X = {a₁,..., a_n} un espacio métrico finito (por ejemplo un subconjunto finito de un espacio métrico). Sea p un punto cualquiera de X. El conjunto {d(p, a_i) : a_i ≠ p} es un conjunto finito. Si r es el menor de esos números, entonces la bola abierta con centro p y radio r no contiene otro punto de A, luego p es aislado.

Cada espacio métrico finito consiste solamente de puntos aislados.

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Nuestro próximo ejemplo muestra que hay conjuntos infinitos tales que cada uno de sus puntos es aislado.

Ejemplo 5.3.4. Los Naturales en los Reales son un subconjunto infinito tal que todos sus puntos son aislados. En efecto, para cada número natural m, la bola abierta de centro m y radio 1/2 solamente contiene a un número natural m.

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Ejemplo 5.3.5. Consideremos al subconjunto A = [0, 1] de los Reales.

Cualquier punto p en A=]0, 1[ es interior y la bola abierta con centro en p y contenida en A contiene puntos de A diferentes de p; es decir que p es un punto de acumulación de A.

Consideremos ahora a p = 0. Entonces, cualquier intervalo abierto centrado en 0, contiene números positivos que son elementos de A por lo que 0 es un punto de acumulación de A. Análogamente, se verifica que 1 es un punto de acumulación de A. Es decir que todos los puntos de [0, 1] son puntos de acumulación.

Consideremos al subconjunto B=]0, 1] de los Reales. Razonando como arriba, vemos que 0 es un punto de acumulación de B, aunque no pertenece a B.

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Ejemplo 5.3.6. Sea A = {1/n : n es un natural positivo}∪{0}. Notemos que por la propiedad arquimediana de los Reales (ver sección 2.4.3) se tiene que para todo r > 0 hay un n tal que 1/n < r. Es decir que cualquier bola abierta con centro en 0 contiene puntos del conjunto diferentes del 0. Es decir que 0 es un punto de acumulación de A. Consideremos ahora al punto p = 1/n. Como los “vecinos” de p son 1/(n + 1) y 1/(n − 1) y como

${\frac {1}{n+1}}<{\frac {1}{n}}<{\frac {1}{n-1}}.$

tomando r = (1/2)|(1/n) − (1/(n + 1)) es fácil verificar que la bola con centro 1/n y radio r contiene solamente al punto 1/n del conjunto. Es decir, que excepto por el 0 todos los puntos de A son puntos aislados.

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Ejemplo 5.3.7. Los ejes de coordenadas del plano cartesiano son un conjunto cerrado porque su complemento es la reunión de los cuadrantes que son conjuntos abiertos.

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La siguiente proposición caracteriza topogeométricamente a los conjuntos cerrados.

Proposición 5.3.1. Un conjunto F es cerrado, ssi, contiene a todos sus puntos de acumulación.

Demostración. Si F es el conjunto vacío o todo el espacio, el resultado es trivial. (Como el conjunto vacío no tiene puntos de acumulación, los contiene a todos)

Supongamos que F fuera un conjunto que contiene a todos sus puntos de acumulación y sea x un punto cualquiera del complemento de F. Como x no está en F, no puede ser un punto de acumulación de F. Por lo tanto, hay una bola abierta con centro en x que no contiene puntos de F, es decir que está contenida en F^c. Lo que prueba que F^c es un conjunto abierto y, por lo tanto, que F es cerrado.

Supongamos ahora que F fuera cerrado. Necesitamos probar que F contiene a todos sus puntos de acumulación. Si hubiera un punto de acumulación x de F que no estuviera en F, estaría en F^c. Pero, al ser F^c abierto, habría una bola abierta con centro en x totalmente contenida en F^c lo que implicaría que no puede contener punto alguno de F; o sea que no puede ser punto de acumulación. Luego, F debe contener a todos sus puntos de acumulación.

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La siguiente proposición muestra que un punto de acumulación tiene muchos vecinos.

Proposición 5.3.2. Sea p un punto de acumulación de un conjunto A en un espacio métrico E. Cada vecindad de p tiene infinitos puntos de A.

Demostración. Sea V una vecindad de p Mostraremos que podemos hallar una sucesión x₁,..., x_n,... de puntos de V ∩ A, que son diferentes entre si y diferentes de p. Por definición de vecindad, hay una r₁–vecindad de p totalmente contenida en V. Por definición de punto de acumulación, hay un punto x₁ ≠ p de A contenido en la r₁–vecindad. Sea r₂ = d(x₁, p), por la definición r₂ es un número positivo menor que r₁. En la r₂–vecindad hay un punto x₂ de A que es diferente tanto de p como de x₁ (ya que r₂ < r₁). Supongamos que hemos construido una sucesión de puntos de V ∩ A: x₁,..., x_k tales que todos ellos son diferentes de p y tales que d(x₁, p) > d(x₂, p) > ··· > d(x_k, p). Razonando como arriba, poniendo r_{k+1} = d(x_k, p), podemos hallar en la r_{k+1}–vecindad un nuevo punto x_{k+1} en V ∩A tal que es diferente de p y de los puntos anteriormente seleccionados. Por inducción, obtenemos una sucesión infinita de puntos (x_n) en V ∩ A, todos diferentes entre si y diferentes de p. Lo que prueba nuestra proposición.

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Como corolario, tenemos nuevamente que conjuntos finitos no pueden tener puntos de acumulación.

Proposición 5.3.3 (Caracterización métrica de los puntos de acumulación). Sea A un subconjunto de un espacio métrico E. Sea p un punto de E. Entonces, d(p,A) = 0, ssi, p está en A o es un punto de acumulación de A.

Demostración.


(⇒) Supongamos que d(p,A) = 0. Si p está en A no hay nada más que probar.

Supongamos que p no está en A y que no fuera un punto de acumulación de A.

Entonces, podríamos hallar un r > 0 tal que la r–vecindad de p fuera disjunta de A. Pero, eso implicaría que para todo a en A, d(p, a) ≥ r, de donde d(p,A) ≥ r, lo que contradice la hipótesis. Por lo tanto, si p no está en A debe ser un punto de acumulación de A.


(⇐) Si p está en A, se cumple que d(p,A) = 0. Supongamos que p fuera un punto de acumulación de A y que d(p,A) = d > 0. Entonces, habría un n tal que 1/n < d.

Por definición de punto de acumulación, la 1/n–vecindad de p contiene al menos un punto de A, digamos a, diferente de p. Luego,

d(p, a) < 1/n < d = ınf{d(p, x) : x ∈ A},

lo que es absurdo. Luego, d(p,A) = 0.

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Bolas Cerradas y Esferas

Observaciones. Recordemos algunos hechos acerca de bolas cerradas y esferas.

1. En R², una bola cerrada es un círculo de igual centro y radio; mientras que la esfera es la circunferencia correspondiente.
2. En la línea real, la bola cerrada B_r[a] es el intervalo cerrado [a − r, a+ r] y la correspondiente esfera es el conjunto {a − r, a + r}.

Veamos que el apellido de cerradas es consistente con nuestro concepto de conjunto cerrado.

Proposición 5.3.4. Las bolas cerradas y las esferas son conjuntos cerrados.

Demostración. Sea F = B_r[a]. Probaremos que el complemento de F es un conjunto abierto. Si dicho complemento es vacío no hay nada que probar. :Supongamos que x es un punto de F^c. Entonces, se tiene que d(x, a) > r. Sea r′ = d(z, a) − r. r′ es un número positivo. Sea y un punto de B_r'(x).. :Entonces,d(x, a) ≤ d(x, y) + d(y, a), lo que implica que

d(y, a) ≥ d(x, a) − d(x, y) > d(x, a) − (d(x, a) − r) = r,

lo que muestra que y está en F^c. Es decir que F^c es abierto. Luego F es cerrado.

Sea S = S_r(a). Notemos que S^c es la reunion de los x tales que d(x, a) < r con los x tales que d(x, a) > r. Es decir que

S^c = B_r(a) ∪ B_r[a]^c.

Por lo tanto, S^c es abierto (reunión de abiertos) y, en consecuencia, S es cerrado.

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La siguiente proposición es la dual de la proposición 5.2.2. sobre conjuntos abiertos.

Proposición 5.3.5 (Propiedades de los Cerrados). Sea E.un espacio métrico. Entonces,

1. El conjunto vacío y todo el espacio son conjuntos cerrados.
2. La reunión de una familia finita de cerrados es un conjunto cerrado.
3. La intersección de una familia cualquiera de cerrados es un cerrado.

Demostración. Sigue de la definición de cerrado y de la proposición 5.2.2, aplicando las leyes de Morgan (Ver la sección B.5.). Por ejemplo, si (F_i) es una familia de abiertos con intersección F, tenemos que F^c = (∩F_i)^c = ∪(F_i)^c que al ser una reunión de abiertos es abierto.

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Ejercicios 5.3

1. ¿Cuándo un conjunto no es cerrado?
2. ¿Cuando un punto no es punto de acumulación de un cierto conjunto?
3. ¿Cuáles de los siguientes subconjuntos de la línea real son cerrados?
   1. El conjunto Z de los enteros.
   2. El conjunto Q de los racionales.
   3. Un conjunto que contiene exactamente dos puntos.
   4. Un intervalo de la forma [a, b[.
   5. {x ∈ R : x = 1/n, n ∈ N⁺ }.
   6. {x ∈ R : x ≠ 1/n, n ∈ N⁺ }.

   4. ¿Cuáles de los conjuntos siguientes son abiertos? ¿cuáles son cerrados?

   1. {x ∈ R : |x − 5| ≤ 3}.
   2. {x ∈ R : |x − 2| > 5}.
   3. ∩_{n ∈ N}[−1, 1/n[ en R.
   4. A line in the plane R².
   5. {(x, y) ∈ R² : |x − 3| < 2, |y − 5| > 1}.

   5. ¿Cuándo un punto p NO es un punto de acumulación de un conjunto A?

   6. ¿Cuáles son los puntos de acumulación del conjunto de los racionales positivos en R?

   7. Sea A un subconjunto de R. ¿Es necesariamente el supremo de A un punto de acumulación de A?

   8. Sea A un subconjunto no vacío, cerrado y acotado de la línea real. Probar que el supremo de A está en A. Enunciar y probar un teorema análogo para ínfimos.

   9. Sea A un conjunto de números reales abierto, no vacío y acotado superior e inferiormente. Probar que el supremo y el ínfimo del conjunto no pertenecen al conjunto.

   10. Sean A y B subconjuntos de la línea real. Cuando p es un punto de acumulación de A ∪ B, ¿necesariamente p es un punto de acumulación de A o de B?

   11. Cada conjunto con exactamente un elemento es cerrado.

   12. Probar que R² \ {0, 0)} es abierto. (Este ejercicio apareció en la sección anterior, pero ahora hay una respuesta más fácil)

   13. Sea Z² = {(x, y) ∈ R² : x, y son números enteros}. Probar que Z² es un conjunto cerrado.

   14. ¿Cuáles son los puntos de acumulación del conjunto {(x, y) ∈ R² : 3x² + 2y² = 1}?

   15. Probar que en un espacio discreto (con métrica 0–1) todos los subconjuntos son abiertos y cerrados.

   16. Suponer que para toda r–vecindad del punto p hay un punto de A diferente de p. Probar que p es un punto de acumulación de A.

   17. El punto a es un punto de acumulación de A, ssi, es un punto de acumulación de A \ {a}.

   18. En un espacio métrico < E, d > sean p un punto de E y r > 0. Probar que

   1. {x ∈ E : d(x, p) > r} es abierto, y
   2. {x ∈ E : d(x, p) ≥ r} es cerrado.

   19. Sea A un subconjunto de R.

   1. Cuando A es un conjunto abierto y B = {(x, y) ∈ R² : x ∈ A}, entonces B es abierto.
   2. Cuando A es un conjunto cerrado y B = {(x, y) ∈ R² : x ∈ A}, entonces B es cerrado

   20. Explicar de dos manera diferentes (obviamente lógicamente equivalentes) por qué un conjunto finito de un espacio métrico tiene que ser cerrado.

   21. Si d(x,A) > 0 hay una vecindad V de x tal que V ∩ A = ∅.

   22. Dar ejemplos en la línea real de

   1. un subconjunto infinito que no tiene punto de acumulación en R.
   2. un subconjunto no vacío contenido en el conjunto de sus puntos de acumulación.
   3. un subconjunto que tiene infinitos puntos de acumulación, pero que no contiene a ninguno de ellos.

   23. Sea f : E → E′ una isometría de espacios métricos, probar que f envía conjuntos cerrados en conjuntos cerrados.

   Interior, Borde, Exterior y Clausura

   

   (☩) Consideremos una figura plana, por ejemplo un cuadrado. Intuitivamente podemos reconocer puntos que están en el interior de la figura en su borde o en su exterior. En esta sección formalizaremos dichas nociones.

   Interior, Exterior

   Recordemos que llamamos punto interior de un conjunto A a un punto que está contenido en un abierto que, a su vez, está contenido en A, o sea tal que A es una vecindad de p. Un punto es interior de un conjunto, cuando todos los vecinos son puntos del conjunto.

   ¿Cuándo un punto estará en el exterior de un conjunto? Intuitivamente tal punto deberá de estar en el complemento del conjunto, pero un punto en el borde del conjunto (pensemos en una bola cerrada de R²), no está totalmente afuera del conjunto.

   Definición. (Interior, Exterior)

   Sea X un espacio métrico y A un subconjunto de X Llamamos interior del conjunto A al subconjunto de A formado por todos sus puntos interiores. Simbolizaremos al interior de A por A^o o por Int(A).
   Llamamos exterior del conjunto A al interior de su complemento.

   Ext(A) := (A^c)^o = Int(A^c).

   La siguiente proposición resume las propiedades básicas del interior de un conjunto.

   Proposición 5.4.1 (Propiedades del Interior de un Conjunto). Sean A y B subconjuntos de un espacio métrico. Se cumple lo siguiente.

   1. El interior del conjunto A es un conjunto abierto que contiene a cualquier otro conjunto abierto contenido en A.
   2. A es abierto, ssi, A^o = A.
   3. (A^o)^o =A^o.
   4. Si A ⊂ B entonces A^o ⊂ B^o.
   5. A^o ∪ B^o ⊂ (A ∪ B)^o.
   6. (A ∩ B)^o = A^o ∩ B^o.
   Demostración.
   1. Sea A un conjunto. Si el interior de A es vacío entonces no hay nada más que probar. Supongamos que el interior de A no fuera vacío. Si A contiene a un abierto U, por definición de punto interior, cada punto de U es un punto interior de A, por lo que U está contenido en el Int(A). Como para cada punto de p del interior, hay una vecindad abierta V_p que lo contiene y está contenida en A. Sigue de lo anterior que la reunión V de todos los V_p es un abierto contenido en A y, por lo tanto, en Int(A). Como cada punto del interior está contenido en algún V_p y, por lo tanto, en V, ya que Int(A) es la reunión de las puntos interiores, concluimos que Int(A) un subconjunto de V. Luego, Int(A) = V, lo que prueba que el interior es abierto.
   2. Si A es abierto, A es un abierto contenido en A, por lo que A ⊂ A^o. Como siempre el interior es un subconjunto del conjunto, tenemos la afirmación.
   3. El interior es un conjunto abierto.
   4. Si A ⊂ B entonces A^o ⊂ A implica que A^o ⊂ B. El resultado sigue de la parte (a).
   5. Como A^o ⊂ A y B^o ⊂ B, tenemos que A^o ∩ B^o ⊂ A ∩ B, de donde el resultado.
   6. Como A ∩ B ⊂ A,B se concluye que (A ∩ B)^o ⊂ A^o,B^o. De donde, (A ∩ B)^o ⊂ A^o ∩ B^o. Lo que concluye la demostración.

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   Corolario 5.4.2. El exterior de un conjunto es un conjunto abierto.

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   Clausura y Frontera

   (☩) ¿Cómo definir el borde o frontera de un conjunto? Pensemos en un círculo abierto del plano, su borde es la circunferencia, que son los puntos del plano pegados al círculo. Formalmente, puntos de acumulación. Pudiéramos pensar que el borde consiste de los puntos de acumulación que no están en el conjunto, pero si a nuestro círculo abierto le agregamos inicialmente una semicircunferencia; intuitivamente, los puntos de la semicircunferencia son puntos de acumulación que están en el conjunto.

   Veamos que tiene de especial un punto p del exterior de un conjunto A. Por definición, ese punto es interior al complemento de A. Por lo que hay una vecindad V del punto que está totalmente contenida en A^c. Luego, V ∩ A = ∅. Es decir que el punto p no es ni punto de A ni punto de acumulación de A. Cuando un punto no esté en el exterior de A, entonces deberá ser un punto de A o un punto de acumulación de A. Tales puntos recibirán un nombre especial: puntos de la clausura de A.

   Definición. (Clausura). Sea A un subconjunto de un espacio métrico E. Llamamos clausura de A al conjunto denotado por Cl(A) o A^-- y que está formado por los puntos que están en A o que son puntos de acumulación de A. Un punto de clausura de un conjunto es un punto de la clausura del conjunto.

   
   Notemos que un punto p está en la clausura de A, ssi, para cada vecindad V de p, V ∩ A ≠ ∅. Algunos autores llaman adherencia a la clausura.

   Usando la noción de clausura, definiremos la noción de frontera de un conjunto.

   
   

   Definición. (Frontera) La frontera o borde de un conjunto A en un espacio métrico es el conjunto formado por los puntos comunes a las clausuras de A y de su complemento.

   Fr(A) := Cl(A) ∩ Cl(A^c).

   Ejemplo 5.4.1. Sea A =]a, b[⊂ R. La clausura de A es el intervalo cerrado [a, b]. El exterior de A es
   ]−∞,a[ ∪ ]b,+∞[ con clausura ]−∞,a] ∪ [b,+∞[. Luego, la frontera de ]a, b[ es el conjunto{a, b}, o sea el conjunto formado por sus extremos.

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   La notación usual para la clausura del conjunto A es ${\overline {A}}$. Por razones tipográficas, no es fácil escribir lo anterior, por lo que usaremos Cl(A) o A^--.

   Sigue de la definición de clausura que los puntos de la clausura de un conjunto son o puntos del conjunto o puntos de acumulación del conjunto. Notemos que cuando un conjunto A es cerrado, coincide con su clausura.

   Ejemplos 5.5.1.

   1. Un conjunto cuyos puntos son todos aislados es un conjunto cerrado, por lo tanto es igual a su clausura.
   2. La clausura de un intervalo real cualquiera con extremos a y b es el intervalo cerrado[a, b].
   3. La clausura del conjunto vacío es el conjunto vacío. Sigue, también, de la definición de clausura que cuando un punto p no está la clausura de un conjunto, está en el exterior de ese conjunto, que es un conjunto abierto; es decir que el complemento de la clausura es abierto, lo que implica que la clausura es un conjunto cerrado. En símbolos, A^-- = Cl(A) = (Ext(A))^c = (A^c)^o)^c = A^coc.

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   Como veremos, en la siguiente proposición, se trata del cerrado más pequeño que contiene al conjunto. La proposición muestra las propiedades básicas de la clausura de un conjunto. Por comparación con la proposición 5.4.1 podemos afirmar que “clausura” e "interior” son nociones duales.

   Proposición 5.4.3 (Propiedades de la Clausura de un conjunto). Sean A y B subconjuntos de un espacio métrico. Se cumple que

   1. La clausura de un conjunto A es un conjunto cerrado que contiene a A y que está contenido en cualquier conjunto cerrado que contenga a A.
   2. A es cerrado, ssi, Cl(A) = A.
   3. Cl(Cl(A))= Cl(A).
   4. Si A ⊂ B entonces Cl(A) ⊂ Cl(B).
   5. La clausura de la union de A con B es igual a la reunión de la clausura de A con la clausura de B. Cl(A ∪ B) = Cl(A) ∪ Cl(B).
   6. La clausura de la intersección de dos conjuntos está contenida en la intersección de la clausura de dichos conjuntos. Cl(A ∩ B) ⊂ Cl(A) ∩ Cl(B).
   Demostración.
   1. Sabemos que la clausura de A es el complemento del exterior de A, que es abierto, por lo que la clausura es cerrado. Si F es un conjunto cerrado que contiene a A, todos los puntos de A están en F. Por lo que cualquier punto de acumulación p de A también está en F, ya que cualquier vecindad de p contiene puntos de A y, por lo tanto, de F diferentes a p. Luego, F contiene a Cl(A).
   2. Trivial.
   3. La clausura es un conjunto cerrado.
   4. Si A ⊂ B, como B ⊂ Cl(B), A está contenida en el cerrado Cl(B). De donde el resultado.
   5. Como A ⊂ Cl(A) y B ⊂ Cl(B), tenemos que A ∪ B es un subconjunto de Cl(A ∪ B)— que es un conjunto cerrado, por lo tanto, Cl(A ∪ B) ⊂ Cl(A) ∪ Cl(B). Como A y B son subconjuntos de A ∪ B ⊂ Cl(A ∪ B), tenemos que A y B son subconjuntos de Cl(A ∪ B). Luego, Cl(A) ∪ Cl(B) ⊂ Cl(A ∪ B). Lo que prueba la igualdad indicada.
   6. A ∩ B ⊂ A,B ⇒ Cl(A ∩ B) ⊂ Cl(A), Cl(B). De donde el resultado.

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   Conjuntos Densos

   Sabemos de las propiedades de los números reales que en cada vecindad de un número real siempre hay al menos un número racional. Ver la sección 2.5.

   En términos de lo visto en este capítulo, podemos expresar lo anterior diciendo que los Reales son la clausura de los Racionales. Generalizamos esa relación con la siguiente definición.

   
   

   Definición. (Subconjunto Denso)

   Sea E un espacio métrico. Decimos que un subconjunto A de E es denso en E, ssi, la clausura de A es igual a E (o sea que E = Cl(A)).

   La observación anterior muestra que los Racionales son densos en los Reales. Opuesto a este concepto, tenemos lo siguiente: un conjunto es nunca denso en E, ssi, su clausura tiene interior vacío. Por ejemplo, los Naturales son un conjunto nunca denso de la línea real.

   Ejercicios 5.4

   1. Hallar el interior, exterior, frontera y clausura de cada uno de los siguientes conjuntos en la línea real.
      1. [0, 1[.
      2. {t ∈ R : |t − 5| < 3}.
      3. {2n : n ∈ N}.
      4. {1/(2n) : n ∈ N}
      5. Los Racionales.
      6. Q ∩ [0, 1].
   2. Probar que
      1. (A^o)^o = A^o.
      2. (A^--)^-- = A ^--.
   3. Probar las afirmaciones de la proposición 5.4.3 usando la relación A^-- = A^coc
   4. Probar que el exterior de A es el complemento de la clausura de A.
   5. Hallar el interior, exterior, frontera y clausura de cada uno de los siguientes conjuntos del plano R².
      1. {(x, y) ∈ R² : y ≥ x²}.
      2. El círculo unitario, {(x, y) : x² + y² ≤ 1}
      3. {(x, y); |x| > 1, |y| ≥ 1}.
      4. {(x, y) ∈ R² : x > 0, xy < 1.}.
   6. . Hallar la frontera de cada uno de los conjuntos siguientes:
      1. A = {x, y) ∈ R² : xy > 1}.
      2. B = {(x, y) ∈ R² : x² < y}.
      3. C = A ∩ B.
   7. (Cubo Unitario) Llamamos cubo unitario al subconjunto de Rⁿ denotado por Iⁿ y definido por ${\mathbf {I} }^{n}=\{(x_{i}):0\leq x_{i}\leq 1,{\text{ para todo }}1\leq i\leq n\}.$

      Hallar el interior, la clausura y la frontera del cubo unitario.

   8. Demostrar que, en Rⁿ, la clausura de una bola abierta es la bola cerrada del mismo centro y radio y su frontera es la esfera correspondiente. ¿Es lo anterior válido para cualquier espacio métrico?
   9. Dar un ejemplo de un conjunto infinito que no tenga puntos interiores.
   10. Hallar conjuntos A, B, C y D de la línea real tales que
       1. Int(A) ∩ Int(B) = Int(A ∩ B).
       2. Int(C) ∪ Int(D) Int(C ∪ D).
   11. Hallar conjuntos A, B, C y D de la línea real tales que
       1. Cl(A ∪ B) = Cl(A) ∪ Cl(B).
       2. Cl(C ∩ D) ⊂ Cl(C) ∩ Cl(D, sin igualdad.
   12. Investigar la validez total o parcial de los siguientes enunciados
       1. Int(Cl(A)) = A.
       2. Cl(A) ∩ A = A.
       3. Cl(Int(A)) = A.
       4. Fr(Cl(A)) = Fr(A)
   13. (Clausura y Bolas Abiertas) Sea A un subconjunto de un espacio métrico.
       1. Probar que cuando toda bola abierta de centro p contiene un punto de A diferente de p, entonces p es un punto de acumulación de A.
       2. Probar que cuando toda bola abierta de centro p y radio 1/n, n natural, contiene un punto de A diferente de p, entonces p es un punto de acumulación de A.
   14. Sea A un conjunto no vacío. Probar que x está en A cuando, y solo cuando, d(x,A) = 0.
   15. Sea A un conjunto no vacío cualquiera en un espacio métrico < E, d >, A ≠ E. Demostrar las siguientes afirmaciones.
       1. x ∈ A^co, ssi, d(x,A) > 0.
       2. x ∈ A^o, ssi, d(x,A^c) > 0.
   16. Si A y B son conjuntos no vacíos de < E, d >. Probar que d(Cl(A),Cl(B)) = d(A,B).
   17. Probar que para cualquier conjunto A, la frontera de A coincide con la frontera del complemento de A.
   18. Sean A y B son conjuntos cualesquiera de <E,d>, si Cl(A) ∩ Cl(B) = &empty: entonces Fr(A ∪ B) = Fr(A) ∪ Fr(B).
   19. Probar que la frontera de la frontera de un conjunto está contenida en la frontera del conjunto.
   20. Sea F un subespacio de < E, d > y A ⊂ F. Hallar relaciones entre el interior y la clausura de A en F con respecto al interior y la clausura en E.
   21. Probar que los siguientes enunciados son equivalentes para un subconjunto A de un espacio métrico E.
       1. A es denso en E.
       2. Para todo x en E, d(x,A) = 0.
       3. Para todo abierto no vacío U de E, U ∩ A ≠ ∅.
   22. Sea A un subconjunto cualquiera de un espacio métrico E. B = A^c ∪ A es denso en E.
   23. Demostrar que si A y B son abiertos y densos en un espacio métrico E, entonces A ∩ B también es denso.
   24. Si A y B son conjuntos en un espacio métrico E tales que A ∪ B es denso en E y B es nunca–denso, entonces A es denso en E.
   25. Dar un ejemplo de una sucesión de conjuntos densos cuya intersección no sea densa.
   26. Demostrar que un conjunto A de un espacio métrico E es nunca–denso, ssi, para todo abierto U hay un abierto no vacío V contenido en U y tal que V ∩ A = ∅.
   27. Sea f : E → E′ una isometría. Sea B = f(A), ¿qué podemos decir de la imagen del interior (resp. exterior, clausura, frontera) de A?

   Espacios Ultramétricos

   Los espacios ultramétricos se caracterizan por ser espacios métricos donde la métrica satisface la propiedad adicional

   $d(x,y)\leq \max\{d(x,z),d(z,y)\}.$

   Vimos en el capítulo anterior que los Racionales con el valor absoluto p--ádico

   $|x_{p}|=p^{-v_{p}(x)},$

   cuando x &neq; 0,y |0|,sub>p = 0; donde si x = m/n, v_p(m) (resp. v_p(n)) es el exponente de la mayor potencia de p que divide a m (resp. a n). Por su parte, v_p_p(x) = v_p(m) - v_p(n). Vimos, también, que en cualquier espacio ultramétrico se cumple lo siguiente.

   • Cada punto de una bola, sea abierta o cerrada, es un centro de la bola.
   • Cuando dos bolas tienen intersección no vacía, aquella cuyo radio es menor o igual que el radio de la otra, está contenida en la otra bola.

   Proposición 5.5.1. En un espacio ultramétrico se cumple que las bolas abiertas, las bolas cerradas y las esferas son conjuntos abiertos y cerrados a la vez.

   Demostración. Probaremos lo afirmado acerca de las bolas abiertas y dejaremos el resto como ejercicio. Las bolas abiertas son siempre conjuntos abiertos, luego solamente tenemos que probar que son cerrados. Sea B=B(x;r). Si B no tiene puntos de acumulación, B es trivialmente un conjunto cerrado. Sea p un punto de acumulación de B, entonces cada bola abierta con centro en p tiene intersección no vacía con B \ {p}$; en particular B(p;r). Sigue de lo anterior que $B(p;r)=B$; lo que implica que p está en B. Como B contiene a todos sus puntos de acumulación es un conjunto cerrado.

   ---

   Ejercicios 5.5

   1. Probar lo que falta de la demostración de la proposición~ 8.5.1..
   2. Sea Q con el valor absoluto 5--ádico.
      1. Los únicos valores del valor absoluto p--ádico son potencias enteras de 5 o 0.
      2. Si r no es una potencia de 5, entonces la esfera S(0;r) es vacía.
      3. Verificar que la bola abierta con centro en 0 y radio 5 es diferente de la bola cerrada con igual centro y radio. Usar lo anterior para concluir que en un espacio ultramétrico no se cumple necesariamente que: (i) la clausura de una bola abierta, es la bola cerrada de igual centro y radio; (ii) el interior de una bola cerrada, es la bola abierta de igual centro y radio (iii) las bolas abiertas tienen frontera no vacía. Todas las afirmaciones anteriores son válidas en espacios euclídeos.
      4. Hallar ejemplos de bolas concéntricas de distinto radio que son iguales.

      \end{enumerate}

      Ejercicios del Capítulo 5

      A. Cierto o Falso

      1. Cada espacio métrico discreto es finito.
      2. En un espacio métrico, cada conjunto con un único punto es cerrado.
      3. Hay conjuntos abiertos cuya frontera es vacía.
      4. Hay conjuntos cerrados que no contienen puntos de acumulación.
      5. Un punto es de acumulación de un conjunto cuando cada abierto que contiene al punto tiene intersección no vacía con el conjunto.
      6. Una bola abierta nunca es un conjunto cerrado
      7. La frontera de un conjunto está contenida en el conjunto.
      8. Un punto que no es punto de acumulación de un conjunto es un punto asilado del conjunto.

      B. Hacer lo indicado o probar las afirmaciones.

      1. Sea A un conjunto no vacío de números reales acotado superiormente. Si s = sup(A) no es elemento de A, entonces s es un punto de acumulación de A.
      2. Hallar una familia infinita de subconjuntos cerrados de R cuya reunión no sea cerrada.
      3. Hallar una familia infinita de subconjuntos abiertos de R cuya intersección no sea abierta.
      4. Dar ejemplos en la línea real de:
         1. un subconjunto infinito que no tiene puntos de acumulación,
         2. un subconjunto no vacío contenido en el conjunto de sus puntos de acumulación,
         3. un subconjunto que tiene infinitos puntos de acumulación, pero que no contiene a ninguno de ellos.
      5. Todo conjunto abierto y no vacío en R contiene números racionales e irracionales.
      6. Todo intervalo cerrado en R es intersección de una sucesión de abiertos.
      7. Cada vecindad V de un punto de la frontera del conjunto A es tal que V ∩ A ≠ ∅ y V ∩ A^c ≠ &empty:.
      8. A abierto implica que Int(A) = Cl(A) \ Fr(A). ¿Vale lo anterior para un conjunto cualquiera?
      9. Sea A un subconjunto no vacío de un espacio métrico E. Sean V_r(A) = {x ∈ E : d(x,A) < r} y W_r(A) = {x ∈ E : d(x,A) ≤ r}. Entonces,
         1. V_r(A) es una vecindad abierta de A.
         2. W_r(A) es un conjunto cerrado.
         3. La intersección de todos los V_r(A), r > 0, es la clausura de A.
      10. Si A y B son conjuntos en un espacio métrico < E, d >, probar que (A ∩ B)′ ⊂ A′ ∩ B′, y (A ∪ B)′ = A′ ∪ B′.

          (donde X’ es el conjunto derivado de X, o sea aquel subconjunto formado por los puntos de acumulación de X). Dar un ejemplo donde la primera relación es una inclusión propia.

      11. A es abierto y B cualquiera en un espacio < E, d >. Probar que A ∩ Cl(B) ⊂ Cl(A ∩ B), y Cl(A ∩ Cl(B)) ⊂ Cl(A ∩ B).
      12. Si A es abierto y B cualquiera en un espacio < E, d >, probar que <centger> A ∩ B = ∅ ⇒ A ∩ B = ∅.
      13. Sea A un subconjunto de Rⁿ y p un vector cualquiera. Sea p+A = {p+x : x ∈ A}. la traslación de A por p.
          1. Si A es abierto, p + A, también es abierto.
          2. ¿Qué se puede decir de p + F, cuando F es cerrado?
      14. . Sean A, B subconjuntos de Rⁿ. Sea A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B}.
          a) Investigar si A + B es abierto, cuando al menos uno de los conjuntos (A, B) lo es, o cuando ambos lo son.
          1. Investigar si A + B es cerrado, cuando al menos uno de los conjuntos (A, B) lo es, o cuando ambos lo son.
          2. Investigar la relación entre A, B, y A + B.
          3. Investigar la relación entre Int(A + B) e Int(A), Int(B).
      15. Sea A un subconjunto de Rⁿ. Sea −A = {−a : a ∈ A}.
          1. Investigar si −A es abierto (resp. cerrado) cuando A lo es.
          2. Investigar la relación entre Cl(−A) y Cl(A).
          3. Investigar la relación entre Int(−A) e Int(A).

          16. (Espacios Ultramétrico) Ver definición en la sección 4.7. Sea E un espacio ultramétrico. Probar las siguientes afirmaciones.

          1. Cuando dos bolas (abiertas o cerradas ambas) tienen un punto en común, las bolas coinciden.
          2. Probar que las bolas abiertas son conjuntos cerrados.
          3. Probar que las bolas cerradas son conjuntos abiertos.
          4. Dos bolas abiertas diferentes de radio r contenidas en una bola cerrada de radio r tienen una distancia igual a r.

      Referencias

      
      

      
      

      La Continuidad

      Introducción

      Las funciones continuas aparecen en cursos de Cálculo, donde son informalmente descritas como aquellas funciones cuyas gráficas no presentan "saltos". Más formalmente, se dice que una función f es continua en un punto p de su dominio cuando, y solo cuando, lim_{{x \to p}}f(x) = f(p). Aquí, límite significa que dado un valor numérico ε, podemos hallar un número δ > 0 tal que la distancia de f(x) a f(a) se puede hacer menor que ε, cuando se cumple que la distancia de x a p es menor que δ. Es decir que para todo ε >0, podemos hallar un δ >0, tal que

      $|x-a|<\delta \implies |f(x)-f(a)|<\epsilon .$

      (*)

      
      

      La terminología epsilon--delta es tradicional. Matemáticamente hablando, podríamos usar cualquier otro nombre para esos números, por ejemplo r y s.

      En este capítulo, estudiaremos la continuidad para funciones entre dos espacios métricos cualesquiera.

      Definiciones de Continuidad

      La noción de continuidad es central en nuestros estudios topogeométricos, por lo que empezaremos viendo varias versiones (lógicamente equivalentes) para su definición. Recordemos, primeramente, la definición de continuidad que dimos en el capítulo 4.

      Sean E, F espacios métricos y f una función de E en F. Dijimos que la función f era continua en un punto p de E, ssi,

      (I) para todo ε > 0, podemos hallar un δ > 0 tal que

      $d(x,p)<\delta \implies d(f(x),f(p))<\varepsilon .$

      
      

      Esta definición es la generalización directa de la definición formal de los cursos de Cálculo. Diremos que una función es discontinua en un punto de su dominio, cuando no sea continua en ese punto.

      Veremos a continuación, algunas versiones equivalentes a la definición anterior, pero usando el lenguaje de bolas abiertas---que fue introducido posterior a la definición anterior.

      f es continua en p, ssi,
      (II) para toda ε--vecindad de f(p) hay una δ--vecindad de p tal que

      $x\in B_{\delta }(p)\implies f(x)\in B_{\epsilon }(f(p)).$

      
      

      (III) para toda ε-- vecindad de p hay una δ--vecindad de p tal que

      $f(B_{\delta }(x))\subset B_{\varepsilon }(f(p)).$

      
      

      Los lectores deberán revisar los enunciados anteriores hasta entender plenamente por qué esos dos enunciados dicen lo mismo que la definición original. A continuación, expresaremos la definición en término de vecindades.

      f es continua en p, ssi,
      (IV) para toda vecindad V de f(p), hay una vecindad U de p tal que para todo x se cumple que

      $x\in U\implies f(x)\in V.$

      
      

      (V) para toda vecindad V de f(p) hay una vecindad U de p tal que

      $f(U)\subset V.$

      
      

      Claramente, (IV) y (V) son equivalentes. Probaremos que (III) y (V) también lo son.

      Demostración. Supongamos (III). Sea V una vecindad de f(p). Entonces, hay una ε--vecindad B' de f(p) contenida en V. Por la suposición, hay una δ--vecindad B de p, tal que f(B) ⊂ B'. Poniendo U = B, tenemos que f(U) = f(B) ⊂ B' ⊂ V. Supongamos ahora (V). Sea ε >0 dado y sea V la ε--vecindad de f(p). Por la suposición, hay una vecindad U de p tal que f(U) ⊂ V. Como U es vecindad de p, hay una bola abierta B_\delta(p) contenida en U. Luego, $f(B_{\delta }(p))\subset f(U)\subset V=B_{\epsilon }(f(p)).$

      ---

      ¿Cuál de los enunciados equivalentes usaremos? Depende de la situación. Para efectos teóricos, usualmente la versión (V) es conveniente. Cuando se trabaja con funciones numéricas u operaciones con funciones, la definición original puede resultar más conveniente.

      Cuando el dominio o el codominio sea un espacio normado escribiremos las distancias en términos de normas, o de valor absoluto en el caso de los Reales. Por ejemplo, cuando E y F sean espacios normados, tendremos que f:E → F será continua en un punto p de E, ssi,

      (VI) para todo ε > 0, hay un δ > 0 tal que para todo x se cumple que

      $||x-p||<\delta \implies ||f(x)-f(p)||<\varepsilon .$

      
      

      La noción de continuidad presentada aquí es la noción local. Con esto queremos decir que depende solamente de lo que pasa en el punto y en los puntos suficientemente próximos a ese punto. En consecuencia, para los efectos de probar continuidad en un punto, podemos tomar una vecindad suficientemente "pequeña" para nuestros propósitos. En particular, cuando se trate de una r--vecindad del punto, podremos escoger el valor de r a nuestra conveniencia, siempre que se trate de un número positivo.

      Tenemos también una versión global de continuidad que recordamos a continuación.

      Una función f de un espacio métrico E en un espacio métrico F es continua (en el espacio) E, ssi, es continua en cada punto de E.

      Sigue de la definición que para probar la continuidad de una función en (todo) el espacio E, bastará con probar la continuidad en un punto p cualquiera de E.

      Ejercicios 6.2

      1. Explicar lo que significa que una función sea discontinua en un punto, usando cada una de las alternativas (I al VI) de la definición de continuidad.
      2. Sea E un espacio discreto con métrica 0-1 y sea F un espacio métrico cualquiera. Probar que cualquier función de E en F es continua.
      3. Sea E el espacio métrico definida en R por la métrica discreta 0--1. Cualquier función de E en R (con la métrica usual) es continua, pero id: R → E tal que id(x) = x no lo es. Explicar.

      Propiedades Generales

      Nuestra primera proposición nos garantiza la existencia de funciones continuas, aunque sean relativamente triviales.

      Proposición 6.3.1. Las funciones constantes son continuas.

      Demostración. Sea f:E → F una función constante entre espacios métricos. Sea p un punto de E y sea V una vecindad de f(p). Entonces para cualquier vecindad U de p. tenemos que $f(U)=\{f(p)\}\subset V.$

      Luego, f es continua en p. Como p era arbitrario, la función es continua en E.

      ---

      Proposición 6.3.2. La función identidad 1_E: E → E es continua.

      Demostración. Sea p un punto cualquiera de E y sea V una vecindad de 1_E(p) (= p). Entonces U=V es una vecindad de p tal que f(U) = V.

      ---

      Notemos que la identidad en los Reales es la función que en cursos de Cálculo se presenta como f(x) = x, para todo x real.

      La siguiente proposición tiene tanto importancia teórica como práctica, como veremos en los ejemplos posteriores.

      Proposición 6.3.3 (Composición de Continuas) Sean f:E → F y g: F → G funciones.

      1. Si f es continua en p y g es continua en f(p) entonces g o f es continua en p.
      2. Si f y g son continuas (en todo su dominio), su composición es continua.
      Demostración. \quad
      1. Sea W una vecindad de g(f(p)). Por definición de continuidad aplicada a g en f(p), tenemos que hay una vecindad V de f(p) tal que g(V) está contenida en W. Por definición de continuidad de f en p, tenemos que hay una vecindad U de p tal que f(U) está contenida en V. Luego, g(f(U)) ⊂ g(V), lo que implica que g(f(U)) ⊂ W. Esto prueba la afirmación.
      2. Directo de la parte anterior.

      ---

      Proyecciones. Recordemos que llamamos i--ésima proyección de Rⁿ en R a la función pr_i que asigna a cada punto (x_k) de Rⁿ, su i--ésima coordenada. Como, para todo x=(x_k) se cumple que |x_i| ≤ ||x||, tenemos que para que |x_i-p_i| sea menor que ε, es suficiente con tomar ||x-p||< δ = ε. Por lo que tenemos la siguiente proposición.

      Proposición 6.3.4. Las proyecciones de Rⁿ en R son funciones continuas.

      Observaciones y Ejemplos

      Antes de ir a otros ejemplos, revisaremos lo que implica la continuidad y los procedimientos generales para probar continuidad.

      • Suponer que f es continua en p, es suponer que para un ε cualquiera se cumple que d(f(x),f(p))< ε, siempre que restrinjamos los valores de x a una vecindad adecuada (por ejemplo, una bola abierta de centro p y de radio un cierto δ). Coloquialmente, decimos que "podemos hacer d(f(x),f(p)) tan pequeña como queramos" ---a veces, agregando la condición de "cuando d(x,p) sea lo suficientemente adecuada o pequeña".
      • Probar que una función es continua puede resultar complicado usando directamente la definición (en cualquiera de sus alternativas), por lo que usaremos teoremas tales como que la composición de funciones continuas es continua y otros que veremos más adelante.
      • Una estrategia útil---cuando usamos directamente la definición---consiste en acotar superiormente a d(f(x), f(p)) en una vecindad de p, mediante una expresión que contenga d(x,p). Cuando podamos lograr que tal acotamiento se exprese como una constante veces d(x,p), la continuidad sera inmediata. Ver los ejemplos 4.3.1 y 3.3.2 del capitulo 4, y, más adelante, el lema 5.3.5.
      • (♠) Para poder dar ejemplos significativos usaremos un resultado de Cálculo que establece que "toda función derivable en un punto es continua en ese punto." En particular, son continuas, en sus dominios, las funciones potencias, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. Usando lo anterior, por ejemplo, podemos afirmar que la función f tal que f(x) = sen(e^x) es continua, ya que es una composición de funciones continuas: x ↦ e^x ↦ sen(e^x).

      ---

      El siguiente resultado será de gran ayuda para probar continuidad local.

      Lema 6.3.5 (Lema H) Sea f: E → F continua en un punto p de E. Si hay un número positivo M y una vecindad U de p tal que para todo x en esa vecindad se cumple que

      $d(f(x),f(p))\leq Md(x,p).$

      Entonces, f es continua en p.

      Demostración. (Consideración intuitiva.) Sigue de la desigualdad en la hipótesis, que dado ε > 0, d(f(x) , f(p)) será menor que tal ε > 0, cuando Md(x,p) lo sea; es decir cuando d(x,p) < ε/M. Esta última relación nos sirve, por lo tanto, para estimar el valor adecuado de δ. (Demostración.) Sea ε>0 dado. Tomando δ = ε/M, se tiene que

      $d(x,p)<\delta {\text{ implica que }}d(f(x),f(p))\leq Md(x,p)|<M{\dfrac {\varepsilon }{M}}=\varepsilon .$

      
      

      Lo que prueba la continuidad deseada.

      ---

      Ejemplo 6.3.1. Usar el lema H para probar que 1_E:E → E es continua.

      Sea un punto cualquiera de E. Como

      d(f(x), f(p)) = d(x, p) = 1 * d(x, p),

      aplicando el lema H con M =1, se obtiene el resultado.

      ---

      Ejemplo 6.3.2. Probar que f:R → \R::t ↦ 3t + 5 es una función continua en cualquier punto a de R.

      Solución. Notemos que |f(t) - f(a)| = 3|t - a|, por lo que el resultado sigue del lema H.

      ---

      Ejemplo 6.3.3. La función radical de R₀⁺ en R, x ↦ √{x} es continua en todo su dominio.

      Solución. Sea p ≠ 0. Se tiene que

      ${\sqrt {x}}-{\sqrt {p}}={\frac {x-p}{{\sqrt {x}}+{\sqrt {p}}}}.$

      (1)

      
      En una p/2--vecindad de p se cumple que -p/2 < x - p < p/2 de donde x > p/2 y, por lo tanto, √{x} > √{p/2} > √{p}/{2}. Por lo que, √{x} + √{p} > (3/2)√{2}. Luego, ${\dfrac {1}{{\sqrt {x}}+{\sqrt {p}}}}<{\dfrac {3}{2{\sqrt {p}}}}$.

      Usando la última desigualdad en (1), tenemos que

      $|{\sqrt {x}}-{\sqrt {p}}|<{\dfrac {2}{3{\sqrt {p}}}}|x-p|.$

      
      Por el Lema H, tenemos la continuidad en p.

      La continuidad en 0, sigue de que √(x) < ε ←→ x < ε², lo que muestra que tomando δ = ε², se cumplirá la condición para continuidad.

      ---

      Observación 6.1. Observemos, en el último ejemplo, que a pesar de la continuidad en 0, no hay número M>0 tal que para todo x>0 en una vecindad de 0 se cumpla que f(x) < Mx.

      En efecto, supongamos que tal M existiera, entonces se tendría que

      $f(x)={\sqrt {x}}<Mx\implies {\frac {1}{\sqrt {x}}}={\frac {\sqrt {x}}{x}}<M.$

      
      

      Como para cualquier vecindad U de 0, podemos hallar un número natural N tal que n > N, lo que implica que 1/n está en la vecindad U, lo que a su vez implica que n² > n, concluimos que 1/n² está en la vecindad U. Como 1/√{1/n²} = n y los naturales no tienen cota superior, concluimos que es imposible la existencia de tal M.

      Es decir que el criterio dado en el lema H es suficiente, pero no necesario; en otras palabras, el recíproco del lema H no es válido.

      ---

      Ejemplo 6.3.4. La función valor absoluto, x ↦ |x| es continua.

      Basta con recordar que ${|}\,|x|-|y|\,{|}\leq |x-y|$ y aplicar el lema H.

      ---

      (☩) En los cursos de Cálculo, esta función se usa para ilustrar que la afirmación derivable implica continuidad no tiene converso, ya que la función valor absoluto es continua en 0, pero no derivable en 0. Notemos que la gráfica de esa función tiene una punta, Nuestra experiencia con gráficas de funciones nos puede dar la impresión que las gráficas de funciones son siempre curvas suaves. Sin embargo, se puede ver que la "suavidad" de una gráfica está asociada más bien con la derivabilidad que con la continuidad. Por ejemplo, las gráficas producidas por un electrocardiograma o un sismográfo son generalmente continuas.

      ---

      A continuación, examinaremos una situación de discontinuidad.

      Ejemplo 6.3.5. Repetimos el ejemplo 4.3.3. Sea f:R → R tal que f(x) = 1, cuando x > 0, y f(x) = 0, cuando x ≤ 0. Veremos que f no puede ser continua en 0. Cualquier bola abierta con centro en 0 y radio δ contiene números positivos, si x₀ es uno de ellos, entonces f(x₀) - f(0) = 1 - 0 = 1. Por lo que no importa que δ escojamos la distancia entre esas imágenes será igual a 1, por lo que no puede hacerse tan pequeña como queramos (por ejemplo 1/2).

      ---

      En el último ejemplo, la gráfica de la función tiene un "salto" en 0. El salto mide 1. Cualquier salto impide, por las mismas razones del ejemplo, la continuidad de la función. Por eso, tienen algo de razón quienes dicen que una función continua es aquella cuya gráfica se puede dibujar sin tener que levantar el lápiz del papel

      
      ¿Cuántos saltos puede admitir una función?
      ¿Cuántas discontinuidades puede admitir una función?
      El siguiente ejemplo muestra que una función que es discontinua en cada uno de los puntos de su dominio.

      Ejemplo 6.3.6 (La función de Dirichlet) Sea f : [0,1] → R tal que f(x) = 0 cuando x es racional, y f(x) = 1 cuando x es irracional.

      Como en cualquier vecindad de un irracional hay un racional, se tiene que la función no puede ser continua en un irracional i, ya que una r--vecindad del número 1 con r<1 no contendrá imágenes de racionales. Como también se cumple que en la vecindad de cada racional, hay un irracional, se tiene que no puede ser continua en los racionales.

      ¿Cómo es la gráfica de esta función?

      ---

      Otros Ejemplos de Funciones Continuas

      Con el fin de tener variados ejemplos de continuidad, usaremos un teorema que enunciaremos a continuación, pero que probaremos en la sección 6.5.4.

      Teorema de las Operaciones. Sean f, g : E → R funciones continuas en un punto p (resp. en todo E). Entonces se cumple que la suma, la resta, el producto y el cociente de f y g son continuas en p (resp. en todo E).

      Usaremos el resultado del teorema para poder mostrar una variedad de ejemplos.

      Ejemplo 6.3.7. Las funciones potencias p_n : t ↦ tⁿ de R en R son continuas.

      El caso n = 1 está contenido en la proposición 6.3.2, donde probamos que la identidad era continua.

      El caso n = 2, resulta del producto de la identidad consigo misma; esto es p₂ = p₁p₁. El caso general, p_n+1, es el producto de p₁ con p_n; por lo que el resultado sigue por inducción.

      Ejemplo 6.3.8. Suponiendo que sen, cos y exp son funciones continuas, se concluye la continuidad de las siguientes funciones.

      a. x ↦ sen(x) + e^x cos(x) (producto y suma de funciones continuas).

      b. g(x) = 1/(1 + x²) (cociente de funciones continuas, además el denominador nunca es nulo).

      c. h : R² → R, h(x, y) = x² + y². (proyecciones son continuas).

      Ejercicios 6.3

      1. Sea f : [−2,−1]∪[1, 2] tal que f(x) = −1 cuando x es negativo y f(x) = 1 cuando x > 0. ¿Es f continua?
      2. Sea f : <>b>R → <>b>R tal que f(x) = | sen(x)|. Trazar la gráfica de f. ¿Es f continua?
      3. Sea f : E → R continua, ¿es |f| continua? (|f|(x) := |f(x)|)

      La Continuidad Global

      La continuidad global de una función, o sea cuando la función es continua en cada punto de su dominio, es muy importante en las consideraciones topogeométricas, por lo que estudiaremos algunas de sus caracterizaciones. La siguiente proposición muestra criterios necesarios y suficientes para la continuidad global, en términos de abiertos, sin referencia directa a puntos.

      Proposición 6.4.1 Sea f: E → F una función. Son equivalentes:

      (i) f es continua en E.
      (ii) Para todo abierto V de F, su preimagen (f^-1(V)) es abierto en E.
      (iii) Para todo cerrado W de F, su preimagen (f^-1(W)) es cerrado en E.
      
      Demostración. Recordemos que f^-1(V) = \{x ∈ E: f(x) ∈ V\}.
      (i) implica (ii). Sea V un abierto de F. Si f^-1(V) es vacío, es abierto. Supongamos que f^-1(V) no es vacío y sea p un punto de ese conjunto. Entonces, f(p) está en V. Aplicando la alternativa (V) de las definiciones locales de continuidad, tenemos que hay una vecindad W de p, tal que f(W) ⊂ V. Luego, hay un abierto U vecindad de p y contenido en W. Entonces, U ⊂ W ⊂ f^-1(f(W)) ⊂ f^-1(V). Lo que muestra que f^-1(V) es abierto.
      (ii) implica (i). Sea p un punto cualquiera de E. Sea V una vecindad abierta de f(p). Entonces, U = f^-1(V) es una vecindad abierta de p tal que f(U) ⊂ V, lo que prueba la continuidad en p. Como p era arbitrario, concluimos la continuidad en todo E.
      
      (ii) equivalente con (iii) (El resultado sigue de la identidad entre conjuntos que establece que la preimagen del complemento de un conjunto es igual al complemento de la preimagen del conjunto. Es decir que f^-1(A^c) = (f^-1(A))^c. Supongamos que las preimágenes de abiertos son abiertos. Entonces, W cerrado en F implica que W^c es abierto en F, lo que implica que (f^-1(W))^c = f^-1(W^c) es abierto (por la hipótesis), de donde f^-1(W) es cerrado. Supongamos, ahora, que las preimágenes de cerrados son cerrados. Entonces, V abierto en F implica que V^c es cerrado en F; de donde por la hipótesis. f^-1(V^c) = (f^-1(V))^c es cerrado, lo que implica que que f^-1(V) es abierto en E.

      ---

      Proposición 6.4.2. Sean E un espacio métrico y X un subespacio de E. La inclusión canónica i : X → E es continua.

      Demostración. Sea V un abierto de E, entonces i^-1(V) = V ∩ A, que es un abierto de X; lo que prueba la proposición.

      ---

      Corolario 6.4.3. Sea f : E → F continua y sea X un subespacio no vacío de E. Entonces, la restricción de f a X, $f{\big |}_{X}$ es continua.

      Demostración. $f{\big |}_{X}=f\circ i$, donde i es la inclusión de X en E.

      ---

      
      Ejemplo6.4.1. Probar que el semiplano H= {(x,y) ∈ R²: y > 0\} es abierto (ver el ejemplo 5.2.1.).

      Solución. Consideremos la segunda proyección de R² en R, pr₂(x,y) = y. Como H es la preimagen por pr₂ del intervalo abierto ]0, +∞[ y dicha proyección es una función continua (6.3.4.), el resultado sigue de la proposición anterior.

      ---

      Ejemplo 6.4.2. Probar que la franja F= { (x,y) ∈ R²: 2 ≤ x ≤ 5\} es un conjunto cerrado.

      Solución. F= pr₂^-1([2,5]), preimagen de un cerrado.

      ---

      Ejemplo 6.4.3. Probar que la celda C= ]a,b[ x ]c,d[ de R² es un conjunto abierto.

      Solución. Ver la solución dada en el ejemplo 5.2.7. Con las herramientas actuales, basta con ver que C es la intersección de la preimagen por pr₁ de ]a,b[ con la preimagen por pr₂ de ]c,d[.

      ${\begin{array}{rcl}C&=&\{(x,y):a<x<b,c<y<d\}\\&=&\{(x,y):a<x<b\}\cap \{(x,y):c<y<d\}\\&=&pr_{1}^{-1}(]a,b[)\cap pr_{2}^{-1}(]c,d[).\end{array}}$

      
      

      ---

      Proposición 6.4.4. Sea f: E → R continua. Entonces, U= {x ∈ E: f(x) > 0\} y V = \j{x ∈ E : f(x) < 0\} son abiertos, mientras que W = \j{x ∈ E: f(x) =0\} es cerrado en E.

      Demostración. Basta con observar que U = f^-1(]0,+∞[), V = f^-1(]-∞,0[) y W = f^-1({0}).

      ---

      El lema siguiente se usará más adelante y tiene algunas notables aplicaciones.

      Lema 6.4.5 (Lema K)(Estabilidad del Signo) Sea f:E → R una función continua en un punto p. Si f(p) ≠ 0 hay una vecindad abierta de p tal que para todo x en la vecindad se cumple que f(x) tiene el mismo signo que f(p).

      Demostración. Supongamos que f(p) > 0. Entonces, p pertenece al abierto f^-1(R⁺), preimagen de los Reales positivos. Luego, hay una vecindad de p cuyas imágenes son todas positivas. Análogamente cuando f(p) < 0.

      ---

      Ejercicios 6.4

      1. Sean f, g funciones continuas de E en R. Probar lo siguiente.
         1. {x ∈ E: f(x) = g(x) } es cerrado en E.
         2. {x ∈ E: f(x) < g(x) } es abierto en E.
      2. Sean E un espacio métrico, A un subconjunto de E y f: E → F continua. Si x es un punto de la clausura de A, entonces f(x) es un punto de la clausura de f(A).
      3. (Principio de Extensión de Identidades) Sean f y g funciones continuas de un espacio métrico E en un espacio métrico F. Si f(x) = g(x) para todo x en un subespacio A denso en E, entonces f = g.
      4. (Principio de Extensión de Desigualdades) Sean f y g funciones continuas de un espacio métrico E en R. Si f(x) ≤ g(x) para todo x en un subespacio A denso en E, entonces f(x) ≤ g(x), para todo x en E.

      Las Funciones Numéricas

      Llamamos funciones numéricas a las funciones cuyo dominio y codominio son subconjuntos de algún R^m y Rⁿ respectivamente.

      Sea f:A ⊂ R^m → Rⁿ. Cuando m = 1, decimos que se trata de una función de una variable real; cuando m > 1, que se trata de una función de varias variables reales. Si n = 1, decimos que es una función real o con valores reales; y, en caso de que n > 1, decimos que es una función vectorial o con valores vectoriales.

      Examinaremos la continuidad de los diferentes tipos de funciones.

      Funciones Reales de una Variable Real

      Sumar una constante o multiplicar por una constante una función continua, produce una función continua.

      Proposición 6.5.1. Sea a un número real y sean f,g:R → R tales que f(t) = t + a y g(t) = at, las funciones f y g son continuas.

      Demostración. Sea p un real cualquiera. Notemos que |f(t) - f(p)| = |(t+a)- (p+a)| = |t-p|. Luego, podemos hacer |f(t)-f(p)| menor que un cierto ε, tomando |t-p| menor que ε. Como p es arbitrario, f es continua en R. Por su parte, si a = 0, la función g es constante y, por lo tanto, continua. Supongamos que a ≠ 0. Tenemos que |g(t) - g(p)| = |at - ap | = |a(t-p)| = |a|\, |t-p|. Luego, podemos hacer |f(t)-f(p)| menor que un cierto ε, tomando |t-p| menor que ε/|a|. Como p es arbitrario, g es continua en R. En ambos casos, podríamos, alternativamente, haber invocado el lema H para probar la continuidad.

      ---

      Corolario 6.5.2. La función t ↦ -t es continua.

      Notemos, para futuras consideraciones, que tanto f como g de la proposición, para a ≠ 0 son biyectivas. Sus inversas tienen la misma forma, por lo que son también continuas.

      ---

      Ejemplo 6.5.1 Para todo a, b reales, la función f:R → R tal que f(t) = at +b es continua.

      Notemos que t ↦ at +b es la composición de t ↦ t+b con t ↦ at; lo que muestra lo afirmado.

      ---

      Tomar recíprocos también produce una función continua.

      Proposición 6.5.3. La función g: R \ {0} → R tal que g(t) = 1/t, es continua.

      Demostración. Como ${\dfrac {1}{t}}-{\dfrac {1}{p}}={\dfrac {p-t}{pt}}$, tenemos que ${\dfrac {1}{t}}-{\dfrac {1}{p}}|={\dfrac {|t-p|}{|p|\,|t|}}.$ Suponiendo |t-p|<\delta, tenemos que

      ${\dfrac {|t-p|}{|p|\,|t|}}<{\frac {\delta }{|p|\,|t|}}.$

      (*)

      
      Necesitamos una cota superior para los valores 1/|t|, o equivalentemente una cota inferior para los valores de |t|. Supongamos que |t| > K>0, entonces 1/|t| < 1/K. Tomando una |p|/2--vecindad de p, vemos que para cualquier t en esa vecindad se cumple que |t| > |p|/2, por lo que una cota inferior es K=|p|/2. Por lo que sigue de (*) que

      ${\dfrac {|t-p|}{|p|\,|t|}}<{\frac {\delta }{|p|\,|t|}}<{\frac {2}{|p|^{2}}}\delta .$

      (**)

      
      Lo que implica que si queremos |g(t)- g(p)| < ε, debemos escoger δ tal que

      ${\frac {2}{|p|^{2}}}\delta <\varepsilon .$

      
      Luego, tomando $\delta =\min\{{\dfrac {|p|}{2}},{\dfrac {\varepsilon |p|^{2}}{2}}\}$ obtendremos que |g(t) - g(p)|< ε. Por lo que g es continua en p y, por lo tanto, continua en todo su dominio.

      ---

      Funciones Reales de Varias Variables

      Notemos que una función real de varias variables es una función de un subconjunto de Rⁿ en R. Tal función es continua, ssi, para todo ε > 0 es posible hallar un δ tal que

      $||x-p||<\delta \implies |f(x)-f(p)|<\varepsilon .$

      
      

      
      

      Continuidad de las Operaciones con Números Reales.

      Las operaciones algebraicas en los Reales son ejemplos básicos importantes de funciones reales de "varias variables".

      Recordemos que las operaciones de suma y multiplicación son funciones de R² en R.

      Proposición 6.5.4. La función s: R x R → R::(x,y) ↦ x +y (suma), y la función m: R x R → R::(x,y) ↦ x*y (multiplicación) son continuas.

      Demostración. (Continuidad de la Suma) Sea (p,q) un punto cualquiera de R². Dada una ε--vecindad V de p+q, probaremos que hay una vecindad U de (p,q) tal que s(U) ⊂ V Observemos que

      $|(x+y)-(p+q)|=|(x-p)+(y-q)|\leq |x-p|+|y-q|.$

      (*)

      
      Sea ε >0 dado. Sea r = ε/2 . Notemos que si podemos escoger x, y tales que |x-p| < r y |y-q| <r, entonces (*) implica que

      $|(x+y)-(p+q)|<r+r=\varepsilon ,$

      
      lo que probaría la continuidad en (p,q).

      Seleccionemos U = ]p-r,p+r[ \times ]q -r, r+r[. Sabemos por trabajos previos que U es abierto y por construcción es una vecindad de (p,q). Luego, para todo (x,y) en U se cumple que |x-p|< r y |y-q|<r, lo que prueba el resultado.

      (Continuidad de la multiplicación) Necesitaremos la siguiente identidad, cuya validez se prueba por computación directa.

      ${\begin{array}{rcl}xy-pq&=(x-p)(y-q)+(x-p)q+x(y-q)\end{array}}$

      (**)

      
      (Idea: buscar acotamiento para cada uno de los sumandos en términos de cotas fijas para |x-p| y |y-q|, de modo que la suma en (**) sea menor que ε. )

      Sea δ un número posistivo tal que |x -p| < δ y |y-q| < δ. Tenemos, entonces que

      1. |(x-p)(x-q)| < δ².
      2. |(x-p)q| < | δ.
      3. |p(y-q)| < |p| δ.
         Supongamos δ escogido de manera que δ ≤1, para que δ² ≤ δ. Entonces, usando (**) y los estimados anteriores, tenemos que

         $|xy-pq|<\delta +|q|\delta +|p|\delta =(1+|p|+|q|)\delta .$

         
         Luego, para que |xy-pq| sea menor que ε es suficiente con escoger

         $\delta =\min\{1,{\frac {\varepsilon }{1+|p|+|q|}}\}.$

         
         Como para todo (x,y) en B_δ(p,q), |x-p|,|y-q| ≤ ||(x,y)-(p,q)||<δ, vemos que la función multiplicación es continua.

      ---

      Funciones con Valores Vectoriales

      Examinaremos, inicialmente, el caso donde el codominio es un subconjunto de R². Sea X un conjunto cualquiera y sean f₁, f₂ funciones de X en R. Usando ese par de funciones, podemos definir una función f:X → R² tal que

      $f(x)=(f_{1}(x),f_{2}(x)).$

      
      

      En forma recíproca, supongamos dada una función f:X → R² y consideremos las composiciones de f con las i--ésima proyecciones (i=1,2), lo que nos producirá funciones de X en R. Llamando f_i a la composición de pr_i con f, tenemos que

      $f(x)=(f_{1}(x),f_{2}(x)).$

      
      

      Los desarrollos anteriores muestran que hay una correspondencia biyectiva entre F(X, R²) y el producto cartesiano de dos copias de F(X,R), que asigna a cada función de X en R² sus componentes f₁,f₂. Usando esa correspondencia, identificaremos a ambos conjuntos, es decir que consideraremos f=(f₁, f₂).

      
      Es fácil ver como el desarrollo anterior se generaliza a Rⁿ. Cada función f:E → Rⁿ se identifica con la n--upla de funciones (f₁, ... , f_n), donde f_i = pr_i ° f. Llamamos componente de f a cada f_i.

      Proposición 6.5.5. Sea E un espacio métrico y sea f:E → Rⁿ. f es continua en un punto p de E, ssi, sus componentes lo son.

      Demostración. Sea f=(f₁, ... ,f_n) . (⇒) Como f_i = pr_i º f, i=1, ... ,n, el resultado sigue del teorema de composición de funciones continuas. Ver 6.5.5. (⇐) Queremos probar que podemos lograr que ||f(x) = f(p)|| = ||(f_i(x))- (f_i(p))|| sea tan pequeño como queramos, tomando d(x,p) suficientemente pequeño. Como f_i, i=1,... , n es continua, para todo ε_i hay un δ_i tal que

      $d(x,p)<\delta _{i}\implies |f_{i}(x)-f_{i}(p)|<\varepsilon _{i},\quad i=1,...,n.$

      (*)

      
      Tomando ε₁= ... = ε_n = η y δ = min{δ₁, ... , δ_n}, la relación (*) se mantiene válida para δ y η. Luego, si d(x,p) < δ, tenemos que

      ${\begin{array}{rcl}||f(x)-f(p)||&=&||(f_{i}(x))-(f_{i}(p))||\\&=&{\sqrt {(f_{1}(x)-f_{1}(p))^{2}+...(f_{n}(x)-f_{n}(p))^{2}}}\\&<&{\sqrt {\eta ^{2}+\dots \eta ^{2}}}=\eta {\sqrt {n}}\end{array}}$

      
      Por lo tanto, dado ε > 0 cualquiera, tomando η = ε/√{n} obtendremos un δ que sirve para nuestros propósitos. Es decir que la función f es continua.

      ---

      Espacios de Funciones Continuas

      En el capítulo 4, introdujimos al conjunto F(X,R) (funciones de X en R) y a su subconjunto B(X,R), funciones acotadas de X en R.

      En esta sección, estudiaremos la estructura algebraica de C(E,R), el conjunto de las funciones continuas de E en R, donde E es un espacio métrico. Recordemos que hay una suma de funciones, una multiplicación por escalar y un multiplicación de funciones definidas en C(E,R) por ser subconjunto de F(E,R). Recordemos sus definiciones,

      $(f+g)(x):=f(x)+g(x),\quad (af)(x):=af(x),\quad (fg)(x):=f(x)g(x).$

      
      Nuestro interés será examinar la relación entre la continuidad de las funciones y las operaciones indicadas. El resultado es el teorema de las operaciones anunciados en la sección 6.3.1.

      Teorema 6.5.6 (Teorema de las Operaciones) Sea E un espacio métrico. Si f y g son continuas de E en R, se tiene lo siguiente.

      1. La suma y la resta de las funciones f y g son funciones continuas.
      2. El producto de f y g es continuo.
      3. El producto af es continuo, a real.
      4. Si g no toma el valor 0, g(x) ≠ 0 para todo x en X, 1/g es continua.
      5. Si g no toma el valor 0, g(x) ≠ 0 para todo x en X, f/g es continua.
      Demostración.
      1. La función x ↦ f(x) + g(x) puede descomponerse como

         $x\mapsto (f(x),g(x)){\overset {+}{\mapsto }}f(x)+g(x).$

         
         Es decir, como la composición de dos continuas, por lo que es continua.

      2. La función x → f(x) g(x) puede descomponerse como

         $x\mapsto (f(x),g(x)){\overset {*}{\mapsto }}f(x)+g(x).$

         
         

      3. Sigue de (b), tomando g(x) = a.
      4. La función x → 1/g(x) puede descomponerse como $x\mapsto g(x){\overset {1/(\ )}{\mapsto }}1/g(x).$Es decir como la composición de dos continuas, por lo que es continua.
      5. Como ${\frac {f}{g}}=f*{\frac {1}{g}}$, el resultado sigue de (b) y (d).

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      Corolario 6.5.7. Los resultados del teorema son válidos, reemplazando continuidad por continuidad en un punto.

      Demostración. Mirar a las demostraciones de la proposición.

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      Aplicaciones del Teorema

      Funciones Polinómicas. Las funciones polinómicas de R en R son funciones de la forma

      $t\mapsto a_{n}t^{n}+\dots +a_{1}t+a_{0}.$

      
      

      Veremos que tales funciones son continuas. En primer lugar, por la proposición 6.3.2 la función t ↦ t es continua. El producto de esa función consigo mismo produce la función continua t ↦ t². Usando inducción, se verifica que la función potencia enésima, p_n(t)=tⁿ, n entero positivo, es continua. Multiplicando esa función por constante, produce una función continua. Finalmente la suma de tales "términos" produce una función continua. Lo que muestra que las funciones polinómicas son continuas.

      Las Funciones Racionales. Una función racional es el cociente de dos polinómicas. Sigue del teorema de las operaciones que el cociente de continuas es continua en todo su dominio.

      
      Notemos que a pesar de lo que, a veces, se dice de la función f(x) = 1/x, esta función es continua en todo su dominio---que consiste de los reales no nulos.

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      Sea f: A ⊂ R → R una función. Podemos, a partir de f, formar una función g que sea un polinomio en f, es decir que

      $g=a_{0}+a_{1}f+\dots +a_{n}f^{n}.$

      
      Cuando f sea continua, razonando como arriba (que es el caso donde f(t)=t) se ve que cuando f sea continua, también lo será g.

      Polinomios de Varias Variables

      Sabemos (ver 6.3.4.) que las proyecciones son funciones continuas por lo que monomios de la forma

      $ax_{1}^{r_{1}}\dots x_{n}^{r_{n}},$

      
      donde x_i es la i--ésima proyección de Rⁿ en R, son funciones continuas ya que son productos de funciones continuas. Como las funciones polinómicas de varias variables son sumas de tales monomios, tenemos que son continuas.

      Ejemplos 6.5.2. Sean x, y, z las coordenadas de R³. Entonces, las siguientes funciones son continuas.

      1. f(x,y,z) = x² + y².
      2. g(x,y,z) = 2x - 3y + z² - 8.

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      (♠) También son continuas las siguientes funciones (suponemos que la función seno y la exponencial son continuas).

      1. f(x,y) = sen(x²+y²);
      2. g(x,y,z) = e^-z sen(xy).

      Abiertos y Cerrados de Rⁿ

      Un ejercicio del capítulo 5 pedía probar que el conjunto {(x,y) ∈ R² : y < x²} era abierto en R². Tales ejercicios y otros similares tienen una respuesta fácil mediante una visualización; sin embargo una demostración formal usando directamente las definiciones puede resultar engorrosa. Veremos, a continuación, que con las herramientas ahora disponibles, la resolución de esos problemas es casi trivial. Usaremos como herramienta teórica la proposición 6.4.4.

      Ejemplo 6.5.3. Sea S = {(x,y) : y < x²}. Probar que se trata de un conjunto abierto.

      Sea f:R² → R tal que f(x,y)= y-x². Observemos que la función es continua por ser un polinomio de sus coordenadas. Luego, por la proposición citada, como y < x² es equivalente a y-x²<0, o sea f(x,y) < 0, tenemos por la proposición citada que S es un conjunto abierto. Considerando a la función continua f: x ↦ x² vemos que (x,y)∈ H ⇐⇒ y < f(x). Sigue, entonces, de la proposición anterior, que H es abierto.

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      Ejemplo 6.5.4. Consideremos el conjunto H={(x,y) : xy = 1}. Probar que es cerrado.

      La función f, f(x,y) = xy, es una función continua de R² en R. H es la preimagen por f del conjunto cerrado {1}. Luego H es cerrado.

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      Las Gráficas de Funciones

      Sea f : A ⊂ Rⁿ → R una función. Llamamos gráfica de f al subconjunto de Rⁿ⁺¹ denotado por Graf(f) y definido por

      ${\rm {Graf}}(f):=\{(x_{1},\dots ,x_{n},x_{n+1}:x_{n+1}=f(x_{1},\dots ,x_{n})\in f(A)\}.$

      
      

      Se tiene entonces que g: (x₁, ... , x_n,x_n+1) = x_n+1 - f(x₁, ... , x_n) es una función continua cuando f lo es. Como la gráfica de f es la preimagen por g de {0}, concluimos que es un conjunto cerrado.

      Ejercicios 6.6

      1. Cuando f₁, ... , f_n : E → R son continuas, entonces su suma y su producto también lo son.
      2. Probar que la función x ↦ |x| de R en R es continua.
      3. Probar que la función x ↦ ||x|| de \R^n en R es continua.
      4. Probar que la función (x,y) ↦ d(x,y) es continua.
      5. Probar que la elipse con ecuación 9x²+4y² = 36 es un subconjunto cerrado de R².

      Los Límites

      Esta sección consistirá de una breve presentación del concepto de límite (de los valores) de una función. Dicho concepto es muy importante en Cálculo y Análisis en general, pero no tanto en las consideraciones topogeométricas. En consecuencia, nuestra presentación se limitará a la definición y algunas proposiciones básicas. El resto está en los ejercicios.

      En el desarrollo del Cálculo nos encontramos con funciones definidas en la vecindad de un punto, pero no necesariamente en el punto; típicamente, al computar derivadas. En tales situaciones, nos interesará saber si habrá un valor que podamos asignar a la función en ese punto, de manera que al extender el dominio de la función a ese punto resulte que la función sea continua en dicho punto.

      Ejemplo 6.6.1. Sea $f(x)={\dfrac {x^{2}-4}{x-2}}$. El dominio natural de la función anterior excluye solamente al 2, por lo que podemos afirmar que esa función está definida en cualquier punto de una vecindad de 2, excepto en el 2. Si simplemente intentamos evaluar en 2, nos encontraremos con 0/0 lo que es algo indeterminado. La pregunta natural es: ¿habrá un valor que podamos asignar en 2, de modo que la función obtenida extendiendo el dominio a 2, sea continua en 2?

      Observando de que

      ${\dfrac {x^{2}-4}{x-2}}={\dfrac {(x-2)(x+2)}{x-2}}=x+2,$ para todo x ≠ 2, y que g(x) = x + 2 es una función continua en 2 con g(2) = 4, concluimos que el valor que se debe

      asignar a f en 2 para hacerla continua allí es 4.

      En tal situación, decimos que 4 es el limite de los valores de f, para valores de x que se aproximan o tienden a 2.

      ---

      El ejemplo se generaliza de la siguiente manera.

      Definición. (Límite) Sean E y F espacios métricos, A un subconjunto de E, p un punto de acumulación de A. Sea f función cuyo codominio es un subconjunto de F y que está definida en A con la posible excepción de p. Sea L un punto de F.

      Decimos que L es un límite de los valores de f cuando x tiende a p, ssi, hay una función g definida en una vecindad U de p, que es continua en p, y tal que

      (i) f y g coinciden en U ∩ A, con la posible excepción de p, y
      

      (ii) g(p) = L.

      (♣) Intuitivamente, L es un valor que hace a f continua en p.

      Primeramente, observemos que cuando haya un límite, tal valor será único. Por definición, si L y L' son limites de los valores de f cuando x tiende a p, se tendría que hay funciones continuas g y g' que coinciden en una vecindad de p con la excepción, a lo más, de p, donde se cumple que g(p) = L y g'(p) = L'. Sea ε = |L- L'| y supongamos que es positivo, o sea que L ≠ L'. Por las continuidades de g y g' en p concluimos que hay una vecindad U de p tal que para todo x en U se cumple que |g(x)-L| < ε/2 y |g'(x)-L| < ε/2. Luego, para todo x ≠ p se cumple que g(x) = g'(x) =f(x) y que

      ${\begin{array}{rcl}\epsilon &=&|L-L'|=|L-g(x)+g(x)-L'|\\&\leq &|L-g(x)|+|g(x)-L'|=|L-g(x)|+|g'(x)-L'|\\&<&\epsilon /2+\epsilon /2=\epsilon .\end{array}}$

      Como lo anterior, implica que ε < ε, hemos llegado a un absurdo. Por lo tanto, es imposible que ε sea positivo. Debe, por lo tanto, ser igual a cero, o lo que es lo mismo que L= L'.

      ---

      Notación. Cuando exista el límite de los valores de f cuando x tiende a p, x en A, lo simbolizaremos por

      $\lim _{x\to p,\,x\in A\setminus \{p\}}f(x).$

      
      Cuando el conjunto A quede claro del contexto, simplemente escribiremos

      $\lim _{x\to p}f(x).$

      
      Cuando ese límite sea, digamos L, escribiremos también que

      $x\to p\implies f(x)\to L.$

      
      lo que leeremos: "cuando x tiende a p, f(x) tiende a L".

      Sigue de la definición anterior y de la definición de continuidad que afirmar que lim_{x → p} f(x) = L es equivalente a afirmar que para todo ε > 0 hay un δ>0 tal que

      $0<d(x,p)<\delta \implies d(f(x),L)<\epsilon .$

      
      

      Observemos que el enunciado simbólico es casi idéntico a aquel que define la continuidad en p, con la excepción de que pedimos que 0 < d(x,p), es decir que estamos excluyendo de consideración al punto p. Notemos que si la función f es continua en p, el límite en p es f(p)

      Las propiedades de límites se reducen, en consecuencia, a propiedades de funciones continuas.

      Ejercicios 6.7

      1. (Límites y Operaciones) Sean f y g funciones con codominio un subconjunto de ;los Reales y tales que lim_{x → p} f(x) = L y lim_{x → p} g(x) = M. Entonces,
         1. lim_{x → p} (f(x) + g(x)) = L + M.
         2. lim_{x → p} (f(x) - g(x)) = L - M.
         3. lim_{x → p} (f(x) g(x)) = L M.
         4. lim_{x → p} ${\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {L}{M}}$, siempre que M ≠ 0.
      2. Sean g y f funciones con g continua. Entonces,

         $\lim _{x\to p}g(f(x))=g(\lim _{x\to p}f(x)).$

         
         

      3. Sea f una función con valores reales. Suponer que hay una vecindad V de p tal que para todo x en V, x ≠ p se cumple que f(x) ≥ 0. Entonces, cuando el límite existe, se tiene que lim_{x → p} f(x) ≥
      4. (Teorema del Sandwich])Sean f, g y h funciones reales tales que en una vecindad U de p se cumple para todo x, x ≠ p, que

         $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$

         
         Si \lim_{x → p} f(x) y lim_{x → p} g(x) existen y son iguales, digamos a L, entonces lim_{x → p} g(x) existe y es igual a L.

      5. Sea f una función real definida en una vecindad V de p con la posible excepción de p.
         Si lim_{x → p} |f(x)| = 0 entonces, lim_{x → p} f(x) = 0.

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      Las Sucesiones y la Completitud

      Introducción

      Cada número real α tiene asociada una expansión decimal

      α = a₀.a₁a₂a₃...

      Las truncaciones sucesivas producen una sucesión de números racionales

      a₀,    a₀.a₁,    a₀.a₁a₂,    a₀.a₁a₂a₃, ...

      cuyos valores se aproximan más y más a α. Cuando α es un número irracional, dichas aproximaciones constituyen la manera práctica de computar con esos números. Las sucesiones (y sus asociadas, las series) aparecen como maneras de evaluar números