Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos/Continuidad

Introducción

Las funciones continuas aparecen en cursos de Cálculo, donde son informalmente descritas como aquellas funciones cuyas gráficas no presentan "saltos". Más formalmente, se dice que una función f es continua en un punto p de su dominio cuando, y solo cuando, lim_{{x \to p}}f(x) = f(p). Aquí, límite significa que dado un valor numérico ε, podemos hallar un número δ > 0 tal que la distancia de f(x) a f(a) se puede hacer menor que ε, cuando se cumple que la distancia de x a p es menor que δ. Es decir que para todo ε >0, podemos hallar un δ >0, tal que

$|x-a|<\delta \implies |f(x)-f(a)|<\epsilon .$

(*)

La terminología epsilon--delta es tradicional. Matemáticamente hablando, podríamos usar cualquier otro nombre para esos números, por ejemplo r y s.

En este capítulo, estudiaremos la continuidad para funciones entre dos espacios métricos cualesquiera.

Definiciones de Continuidad

La noción de continuidad es central en nuestros estudios topogeométricos, por lo que empezaremos viendo varias versiones (lógicamente equivalentes) para su definición. Recordemos, primeramente, la definición de continuidad que dimos en el capítulo 4.

Sean E, F espacios métricos y f una función de E en F. Dijimos que la función f era continua en un punto p de E, ssi,

(I) para todo ε > 0, podemos hallar un δ > 0 tal que

$d(x,p)<\delta \implies d(f(x),f(p))<\varepsilon .$

Esta definición es la generalización directa de la definición formal de los cursos de Cálculo. Diremos que una función es discontinua en un punto de su dominio, cuando no sea continua en ese punto.

Veremos a continuación, algunas versiones equivalentes a la definición anterior, pero usando el lenguaje de bolas abiertas---que fue introducido posterior a la definición anterior.

f es continua en p, ssi,
(II) para toda ε--vecindad de f(p) hay una δ--vecindad de p tal que

$x\in B_{\delta }(p)\implies f(x)\in B_{\epsilon }(f(p)).$




(III) para toda ε-- vecindad de p hay una δ--vecindad de p tal que

$f(B_{\delta }(x))\subset B_{\varepsilon }(f(p)).$

Los lectores deberán revisar los enunciados anteriores hasta entender plenamente por qué esos dos enunciados dicen lo mismo que la definición original. A continuación, expresaremos la definición en término de vecindades.

f es continua en p, ssi,
(IV) para toda vecindad V de f(p), hay una vecindad U de p tal que para todo x se cumple que

$x\in U\implies f(x)\in V.$




(V) para toda vecindad V de f(p) hay una vecindad U de p tal que

$f(U)\subset V.$

Claramente, (IV) y (V) son equivalentes. Probaremos que (III) y (V) también lo son.

Demostración. Supongamos (III). Sea V una vecindad de f(p). Entonces, hay una ε--vecindad B' de f(p) contenida en V. Por la suposición, hay una δ--vecindad B de p, tal que f(B) ⊂ B'. Poniendo U = B, tenemos que f(U) = f(B) ⊂ B' ⊂ V. Supongamos ahora (V). Sea ε >0 dado y sea V la ε--vecindad de f(p). Por la suposición, hay una vecindad U de p tal que f(U) ⊂ V. Como U es vecindad de p, hay una bola abierta B_\delta(p) contenida en U. Luego, $f(B_{\delta }(p))\subset f(U)\subset V=B_{\epsilon }(f(p)).$

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¿Cuál de los enunciados equivalentes usaremos? Depende de la situación. Para efectos teóricos, usualmente la versión (V) es conveniente. Cuando se trabaja con funciones numéricas u operaciones con funciones, la definición original puede resultar más conveniente.

Cuando el dominio o el codominio sea un espacio normado escribiremos las distancias en términos de normas, o de valor absoluto en el caso de los Reales. Por ejemplo, cuando E y F sean espacios normados, tendremos que f:E → F será continua en un punto p de E, ssi,

(VI) para todo ε > 0, hay un δ > 0 tal que para todo x se cumple que

$||x-p||<\delta \implies ||f(x)-f(p)||<\varepsilon .$




La noción de continuidad presentada aquí es la noción local. Con esto queremos decir que depende solamente de lo que pasa en el punto y en los puntos suficientemente próximos a ese punto. En consecuencia, para los efectos de probar continuidad en un punto, podemos tomar una vecindad suficientemente "pequeña" para nuestros propósitos. En particular, cuando se trate de una r--vecindad del punto, podremos escoger el valor de r a nuestra conveniencia, siempre que se trate de un número positivo.

Tenemos también una versión global de continuidad que recordamos a continuación.

Una función f de un espacio métrico E en un espacio métrico F es continua (en el espacio) E, ssi, es continua en cada punto de E.

Sigue de la definición que para probar la continuidad de una función en (todo) el espacio E, bastará con probar la continuidad en un punto p cualquiera de E.

Ejercicios 6.2

1. Explicar lo que significa que una función sea discontinua en un punto, usando cada una de las alternativas (I al VI) de la definición de continuidad.
2. Sea E un espacio discreto con métrica 0-1 y sea F un espacio métrico cualquiera. Probar que cualquier función de E en F es continua.
3. Sea E el espacio métrico definida en R por la métrica discreta 0--1. Cualquier función de E en R (con la métrica usual) es continua, pero id: R → E tal que id(x) = x no lo es. Explicar.

Propiedades Generales

Nuestra primera proposición nos garantiza la existencia de funciones continuas, aunque sean relativamente triviales.

Proposición 6.3.1. Las funciones constantes son continuas.

Demostración. Sea f:E → F una función constante entre espacios métricos. Sea p un punto de E y sea V una vecindad de f(p). Entonces para cualquier vecindad U de p. tenemos que $f(U)=\{f(p)\}\subset V.$

Luego, f es continua en p. Como p era arbitrario, la función es continua en E.

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Proposición 6.3.2. La función identidad 1_E: E → E es continua.

Demostración. Sea p un punto cualquiera de E y sea V una vecindad de 1_E(p) (= p). Entonces U=V es una vecindad de p tal que f(U) = V.

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Notemos que la identidad en los Reales es la función que en cursos de Cálculo se presenta como f(x) = x, para todo x real.

La siguiente proposición tiene tanto importancia teórica como práctica, como veremos en los ejemplos posteriores.

Proposición 6.3.3 (Composición de Continuas) Sean f:E → F y g: F → G funciones.

1. Si f es continua en p y g es continua en f(p) entonces g o f es continua en p.
2. Si f y g son continuas (en todo su dominio), su composición es continua.

Demostración. \quad

1. Sea W una vecindad de g(f(p)). Por definición de continuidad aplicada a g en f(p), tenemos que hay una vecindad V de f(p) tal que g(V) está contenida en W. Por definición de continuidad de f en p, tenemos que hay una vecindad U de p tal que f(U) está contenida en V. Luego, g(f(U)) ⊂ g(V), lo que implica que g(f(U)) ⊂ W. Esto prueba la afirmación.
2. Directo de la parte anterior.

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Proyecciones. Recordemos que llamamos i--ésima proyección de Rⁿ en R a la función pr_i que asigna a cada punto (x_k) de Rⁿ, su i--ésima coordenada. Como, para todo x=(x_k) se cumple que |x_i| ≤ ||x||, tenemos que para que |x_i-p_i| sea menor que ε, es suficiente con tomar ||x-p||< δ = ε. Por lo que tenemos la siguiente proposición.

Proposición 6.3.4. Las proyecciones de Rⁿ en R son funciones continuas.

Observaciones y Ejemplos

Antes de ir a otros ejemplos, revisaremos lo que implica la continuidad y los procedimientos generales para probar continuidad.

• Suponer que f es continua en p, es suponer que para un ε cualquiera se cumple que d(f(x),f(p))< ε, siempre que restrinjamos los valores de x a una vecindad adecuada (por ejemplo, una bola abierta de centro p y de radio un cierto δ). Coloquialmente, decimos que "podemos hacer d(f(x),f(p)) tan pequeña como queramos" ---a veces, agregando la condición de "cuando d(x,p) sea lo suficientemente adecuada o pequeña".
• Probar que una función es continua puede resultar complicado usando directamente la definición (en cualquiera de sus alternativas), por lo que usaremos teoremas tales como que la composición de funciones continuas es continua y otros que veremos más adelante.
• Una estrategia útil---cuando usamos directamente la definición---consiste en acotar superiormente a d(f(x), f(p)) en una vecindad de p, mediante una expresión que contenga d(x,p). Cuando podamos lograr que tal acotamiento se exprese como una constante veces d(x,p), la continuidad sera inmediata. Ver los ejemplos 4.3.1 y 3.3.2 del capitulo 4, y, más adelante, el lema 5.3.5.
• (♠) Para poder dar ejemplos significativos usaremos un resultado de Cálculo que establece que "toda función derivable en un punto es continua en ese punto." En particular, son continuas, en sus dominios, las funciones potencias, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. Usando lo anterior, por ejemplo, podemos afirmar que la función f tal que f(x) = sen(e^x) es continua, ya que es una composición de funciones continuas: x ↦ e^x ↦ sen(e^x).

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El siguiente resultado será de gran ayuda para probar continuidad local.

Lema 6.3.5 (Lema H) Sea f: E → F continua en un punto p de E. Si hay un número positivo M y una vecindad U de p tal que para todo x en esa vecindad se cumple que

$d(f(x),f(p))\leq Md(x,p).$

Entonces, f es continua en p.

Demostración. (Consideración intuitiva.) Sigue de la desigualdad en la hipótesis, que dado ε > 0, d(f(x) , f(p)) será menor que tal ε > 0, cuando Md(x,p) lo sea; es decir cuando d(x,p) < ε/M. Esta última relación nos sirve, por lo tanto, para estimar el valor adecuado de δ. (Demostración.) Sea ε>0 dado. Tomando δ = ε/M, se tiene que

$d(x,p)<\delta {\text{ implica que }}d(f(x),f(p))\leq Md(x,p)|<M{\dfrac {\varepsilon }{M}}=\varepsilon .$




Lo que prueba la continuidad deseada.

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Ejemplo 6.3.1. Usar el lema H para probar que 1_E:E → E es continua.

Sea un punto cualquiera de E. Como

d(f(x), f(p)) = d(x, p) = 1 * d(x, p),

aplicando el lema H con M =1, se obtiene el resultado.

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Ejemplo 6.3.2. Probar que f:R → \R::t ↦ 3t + 5 es una función continua en cualquier punto a de R.

Solución. Notemos que |f(t) - f(a)| = 3|t - a|, por lo que el resultado sigue del lema H.

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Ejemplo 6.3.3. La función radical de R₀⁺ en R, x ↦ √{x} es continua en todo su dominio.

Solución. Sea p ≠ 0. Se tiene que

${\sqrt {x}}-{\sqrt {p}}={\frac {x-p}{{\sqrt {x}}+{\sqrt {p}}}}.$

(1)

En una p/2--vecindad de p se cumple que -p/2 < x - p < p/2 de donde x > p/2 y, por lo tanto, √{x} > √{p/2} > √{p}/{2}. Por lo que, √{x} + √{p} > (3/2)√{2}. Luego, ${\dfrac {1}{{\sqrt {x}}+{\sqrt {p}}}}<{\dfrac {3}{2{\sqrt {p}}}}$.

Usando la última desigualdad en (1), tenemos que

$|{\sqrt {x}}-{\sqrt {p}}|<{\dfrac {2}{3{\sqrt {p}}}}|x-p|.$

Por el Lema H, tenemos la continuidad en p.

La continuidad en 0, sigue de que √(x) < ε ←→ x < ε², lo que muestra que tomando δ = ε², se cumplirá la condición para continuidad.

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Observación 6.1. Observemos, en el último ejemplo, que a pesar de la continuidad en 0, no hay número M>0 tal que para todo x>0 en una vecindad de 0 se cumpla que f(x) < Mx.

En efecto, supongamos que tal M existiera, entonces se tendría que

$f(x)={\sqrt {x}}<Mx\implies {\frac {1}{\sqrt {x}}}={\frac {\sqrt {x}}{x}}<M.$

Como para cualquier vecindad U de 0, podemos hallar un número natural N tal que n > N, lo que implica que 1/n está en la vecindad U, lo que a su vez implica que n² > n, concluimos que 1/n² está en la vecindad U. Como 1/√{1/n²} = n y los naturales no tienen cota superior, concluimos que es imposible la existencia de tal M.

Es decir que el criterio dado en el lema H es suficiente, pero no necesario; en otras palabras, el recíproco del lema H no es válido.

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Ejemplo 6.3.4. La función valor absoluto, x ↦ |x| es continua.

Basta con recordar que ${|}\,|x|-|y|\,{|}\leq |x-y|$ y aplicar el lema H.

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(☩) En los cursos de Cálculo, esta función se usa para ilustrar que la afirmación derivable implica continuidad no tiene converso, ya que la función valor absoluto es continua en 0, pero no derivable en 0. Notemos que la gráfica de esa función tiene una punta, Nuestra experiencia con gráficas de funciones nos puede dar la impresión que las gráficas de funciones son siempre curvas suaves. Sin embargo, se puede ver que la "suavidad" de una gráfica está asociada más bien con la derivabilidad que con la continuidad. Por ejemplo, las gráficas producidas por un electrocardiograma o un sismográfo son generalmente continuas.

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A continuación, examinaremos una situación de discontinuidad.

Ejemplo 6.3.5. Repetimos el ejemplo 4.3.3. Sea f:R → R tal que f(x) = 1, cuando x > 0, y f(x) = 0, cuando x ≤ 0. Veremos que f no puede ser continua en 0. Cualquier bola abierta con centro en 0 y radio δ contiene números positivos, si x₀ es uno de ellos, entonces f(x₀) - f(0) = 1 - 0 = 1. Por lo que no importa que δ escojamos la distancia entre esas imágenes será igual a 1, por lo que no puede hacerse tan pequeña como queramos (por ejemplo 1/2).

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En el último ejemplo, la gráfica de la función tiene un "salto" en 0. El salto mide 1. Cualquier salto impide, por las mismas razones del ejemplo, la continuidad de la función. Por eso, tienen algo de razón quienes dicen que una función continua es aquella cuya gráfica se puede dibujar sin tener que levantar el lápiz del papel

¿Cuántos saltos puede admitir una función?
¿Cuántas discontinuidades puede admitir una función?
El siguiente ejemplo muestra que una función que es discontinua en cada uno de los puntos de su dominio.

Ejemplo 6.3.6 (La función de Dirichlet) Sea f : [0,1] → R tal que f(x) = 0 cuando x es racional, y f(x) = 1 cuando x es irracional.

Como en cualquier vecindad de un irracional hay un racional, se tiene que la función no puede ser continua en un irracional i, ya que una r--vecindad del número 1 con r<1 no contendrá imágenes de racionales. Como también se cumple que en la vecindad de cada racional, hay un irracional, se tiene que no puede ser continua en los racionales.

¿Cómo es la gráfica de esta función?

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Otros Ejemplos de Funciones Continuas

Con el fin de tener variados ejemplos de continuidad, usaremos un teorema que enunciaremos a continuación, pero que probaremos en la sección 6.5.4.

Teorema de las Operaciones. Sean f, g : E → R funciones continuas en un punto p (resp. en todo E). Entonces se cumple que la suma, la resta, el producto y el cociente de f y g son continuas en p (resp. en todo E).

Usaremos el resultado del teorema para poder mostrar una variedad de ejemplos.

Ejemplo 6.3.7. Las funciones potencias p_n : t ↦ tⁿ de R en R son continuas.

El caso n = 1 está contenido en la proposición 6.3.2, donde probamos que la identidad era continua.

El caso n = 2, resulta del producto de la identidad consigo misma; esto es p₂ = p₁p₁. El caso general, p_n+1, es el producto de p₁ con p_n; por lo que el resultado sigue por inducción.

Ejemplo 6.3.8. Suponiendo que sen, cos y exp son funciones continuas, se concluye la continuidad de las siguientes funciones.

a. x ↦ sen(x) + e^x cos(x) (producto y suma de funciones continuas).

b. g(x) = 1/(1 + x²) (cociente de funciones continuas, además el denominador nunca es nulo).

c. h : R² → R, h(x, y) = x² + y². (proyecciones son continuas).

Ejercicios 6.3

1. Sea f : [−2,−1]∪[1, 2] tal que f(x) = −1 cuando x es negativo y f(x) = 1 cuando x > 0. ¿Es f continua?
2. Sea f : <>b>R → <>b>R tal que f(x) = | sen(x)|. Trazar la gráfica de f. ¿Es f continua?
3. Sea f : E → R continua, ¿es |f| continua? (|f|(x) := |f(x)|)

La Continuidad Global

La continuidad global de una función, o sea cuando la función es continua en cada punto de su dominio, es muy importante en las consideraciones topogeométricas, por lo que estudiaremos algunas de sus caracterizaciones. La siguiente proposición muestra criterios necesarios y suficientes para la continuidad global, en términos de abiertos, sin referencia directa a puntos.

Proposición 6.4.1 Sea f: E → F una función. Son equivalentes:

(i) f es continua en E.
(ii) Para todo abierto V de F, su preimagen (f^-1(V)) es abierto en E.
(iii) Para todo cerrado W de F, su preimagen (f^-1(W)) es cerrado en E.

Demostración. Recordemos que f^-1(V) = \{x ∈ E: f(x) ∈ V\}.
(i) implica (ii). Sea V un abierto de F. Si f^-1(V) es vacío, es abierto. Supongamos que f^-1(V) no es vacío y sea p un punto de ese conjunto. Entonces, f(p) está en V. Aplicando la alternativa (V) de las definiciones locales de continuidad, tenemos que hay una vecindad W de p, tal que f(W) ⊂ V. Luego, hay un abierto U vecindad de p y contenido en W. Entonces, U ⊂ W ⊂ f^-1(f(W)) ⊂ f^-1(V). Lo que muestra que f^-1(V) es abierto.
(ii) implica (i). Sea p un punto cualquiera de E. Sea V una vecindad abierta de f(p). Entonces, U = f^-1(V) es una vecindad abierta de p tal que f(U) ⊂ V, lo que prueba la continuidad en p. Como p era arbitrario, concluimos la continuidad en todo E.

(ii) equivalente con (iii) (El resultado sigue de la identidad entre conjuntos que establece que la preimagen del complemento de un conjunto es igual al complemento de la preimagen del conjunto. Es decir que f^-1(A^c) = (f^-1(A))^c. Supongamos que las preimágenes de abiertos son abiertos. Entonces, W cerrado en F implica que W^c es abierto en F, lo que implica que (f^-1(W))^c = f^-1(W^c) es abierto (por la hipótesis), de donde f^-1(W) es cerrado. Supongamos, ahora, que las preimágenes de cerrados son cerrados. Entonces, V abierto en F implica que V^c es cerrado en F; de donde por la hipótesis. f^-1(V^c) = (f^-1(V))^c es cerrado, lo que implica que que f^-1(V) es abierto en E.

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Proposición 6.4.2. Sean E un espacio métrico y X un subespacio de E. La inclusión canónica i : X → E es continua.

Demostración. Sea V un abierto de E, entonces i^-1(V) = V ∩ A, que es un abierto de X; lo que prueba la proposición.

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Corolario 6.4.3. Sea f : E → F continua y sea X un subespacio no vacío de E. Entonces, la restricción de f a X, $f{\big |}_{X}$ es continua.

Demostración. $f{\big |}_{X}=f\circ i$, donde i es la inclusión de X en E.

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Ejemplo6.4.1. Probar que el semiplano H= {(x,y) ∈ R²: y > 0\} es abierto (ver el ejemplo 5.2.1.).

Solución. Consideremos la segunda proyección de R² en R, pr₂(x,y) = y. Como H es la preimagen por pr₂ del intervalo abierto ]0, +∞[ y dicha proyección es una función continua (6.3.4.), el resultado sigue de la proposición anterior.

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Ejemplo 6.4.2. Probar que la franja F= { (x,y) ∈ R²: 2 ≤ x ≤ 5\} es un conjunto cerrado.

Solución. F= pr₂^-1([2,5]), preimagen de un cerrado.

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Ejemplo 6.4.3. Probar que la celda C= ]a,b[ x ]c,d[ de R² es un conjunto abierto.

Solución. Ver la solución dada en el ejemplo 5.2.7. Con las herramientas actuales, basta con ver que C es la intersección de la preimagen por pr₁ de ]a,b[ con la preimagen por pr₂ de ]c,d[.

${\begin{array}{rcl}C&=&\{(x,y):a<x<b,c<y<d\}\\&=&\{(x,y):a<x<b\}\cap \{(x,y):c<y<d\}\\&=&pr_{1}^{-1}(]a,b[)\cap pr_{2}^{-1}(]c,d[).\end{array}}$

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Proposición 6.4.4. Sea f: E → R continua. Entonces, U= {x ∈ E: f(x) > 0\} y V = \j{x ∈ E : f(x) < 0\} son abiertos, mientras que W = \j{x ∈ E: f(x) =0\} es cerrado en E.

Demostración. Basta con observar que U = f^-1(]0,+∞[), V = f^-1(]-∞,0[) y W = f^-1({0}).

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El lema siguiente se usará más adelante y tiene algunas notables aplicaciones.

Lema 6.4.5 (Lema K)(Estabilidad del Signo) Sea f:E → R una función continua en un punto p. Si f(p) ≠ 0 hay una vecindad abierta de p tal que para todo x en la vecindad se cumple que f(x) tiene el mismo signo que f(p).

Demostración. Supongamos que f(p) > 0. Entonces, p pertenece al abierto f^-1(R⁺), preimagen de los Reales positivos. Luego, hay una vecindad de p cuyas imágenes son todas positivas. Análogamente cuando f(p) < 0.

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Ejercicios 6.4

1. Sean f, g funciones continuas de E en R. Probar lo siguiente.
   1. {x ∈ E: f(x) = g(x) } es cerrado en E.
   2. {x ∈ E: f(x) < g(x) } es abierto en E.
2. Sean E un espacio métrico, A un subconjunto de E y f: E → F continua. Si x es un punto de la clausura de A, entonces f(x) es un punto de la clausura de f(A).
3. (Principio de Extensión de Identidades) Sean f y g funciones continuas de un espacio métrico E en un espacio métrico F. Si f(x) = g(x) para todo x en un subespacio A denso en E, entonces f = g.
4. (Principio de Extensión de Desigualdades) Sean f y g funciones continuas de un espacio métrico E en R. Si f(x) ≤ g(x) para todo x en un subespacio A denso en E, entonces f(x) ≤ g(x), para todo x en E.

Las Funciones Numéricas

Llamamos funciones numéricas a las funciones cuyo dominio y codominio son subconjuntos de algún R^m y Rⁿ respectivamente.

Sea f:A ⊂ R^m → Rⁿ. Cuando m = 1, decimos que se trata de una función de una variable real; cuando m > 1, que se trata de una función de varias variables reales. Si n = 1, decimos que es una función real o con valores reales; y, en caso de que n > 1, decimos que es una función vectorial o con valores vectoriales.

Examinaremos la continuidad de los diferentes tipos de funciones.

Funciones Reales de una Variable Real

Sumar una constante o multiplicar por una constante una función continua, produce una función continua.

Proposición 6.5.1. Sea a un número real y sean f,g:R → R tales que f(t) = t + a y g(t) = at, las funciones f y g son continuas.

Demostración. Sea p un real cualquiera. Notemos que |f(t) - f(p)| = |(t+a)- (p+a)| = |t-p|. Luego, podemos hacer |f(t)-f(p)| menor que un cierto ε, tomando |t-p| menor que ε. Como p es arbitrario, f es continua en R. Por su parte, si a = 0, la función g es constante y, por lo tanto, continua. Supongamos que a ≠ 0. Tenemos que |g(t) - g(p)| = |at - ap | = |a(t-p)| = |a|\, |t-p|. Luego, podemos hacer |f(t)-f(p)| menor que un cierto ε, tomando |t-p| menor que ε/|a|. Como p es arbitrario, g es continua en R. En ambos casos, podríamos, alternativamente, haber invocado el lema H para probar la continuidad.

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Corolario 6.5.2. La función t ↦ -t es continua.

Notemos, para futuras consideraciones, que tanto f como g de la proposición, para a ≠ 0 son biyectivas. Sus inversas tienen la misma forma, por lo que son también continuas.

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Ejemplo 6.5.1 Para todo a, b reales, la función f:R → R tal que f(t) = at +b es continua.

Notemos que t ↦ at +b es la composición de t ↦ t+b con t ↦ at; lo que muestra lo afirmado.

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Tomar recíprocos también produce una función continua.

Proposición 6.5.3. La función g: R \ {0} → R tal que g(t) = 1/t, es continua.

Demostración. Como ${\dfrac {1}{t}}-{\dfrac {1}{p}}={\dfrac {p-t}{pt}}$, tenemos que ${\dfrac {1}{t}}-{\dfrac {1}{p}}|={\dfrac {|t-p|}{|p|\,|t|}}.$ Suponiendo |t-p|<\delta, tenemos que

${\dfrac {|t-p|}{|p|\,|t|}}<{\frac {\delta }{|p|\,|t|}}.$

(*)


Necesitamos una cota superior para los valores 1/|t|, o equivalentemente una cota inferior para los valores de |t|. Supongamos que |t| > K>0, entonces 1/|t| < 1/K. Tomando una |p|/2--vecindad de p, vemos que para cualquier t en esa vecindad se cumple que |t| > |p|/2, por lo que una cota inferior es K=|p|/2. Por lo que sigue de (*) que

${\dfrac {|t-p|}{|p|\,|t|}}<{\frac {\delta }{|p|\,|t|}}<{\frac {2}{|p|^{2}}}\delta .$

(**)


Lo que implica que si queremos |g(t)- g(p)| < ε, debemos escoger δ tal que

${\frac {2}{|p|^{2}}}\delta <\varepsilon .$


Luego, tomando $\delta =\min\{{\dfrac {|p|}{2}},{\dfrac {\varepsilon |p|^{2}}{2}}\}$ obtendremos que |g(t) - g(p)|< ε. Por lo que g es continua en p y, por lo tanto, continua en todo su dominio.

---

Funciones Reales de Varias Variables

Notemos que una función real de varias variables es una función de un subconjunto de Rⁿ en R. Tal función es continua, ssi, para todo ε > 0 es posible hallar un δ tal que

$||x-p||<\delta \implies |f(x)-f(p)|<\varepsilon .$

Continuidad de las Operaciones con Números Reales.

Las operaciones algebraicas en los Reales son ejemplos básicos importantes de funciones reales de "varias variables".

Recordemos que las operaciones de suma y multiplicación son funciones de R² en R.

Proposición 6.5.4. La función s: R x R → R::(x,y) ↦ x +y (suma), y la función m: R x R → R::(x,y) ↦ x*y (multiplicación) son continuas.

Demostración. (Continuidad de la Suma) Sea (p,q) un punto cualquiera de R². Dada una ε--vecindad V de p+q, probaremos que hay una vecindad U de (p,q) tal que s(U) ⊂ V Observemos que

$|(x+y)-(p+q)|=|(x-p)+(y-q)|\leq |x-p|+|y-q|.$

(*)


Sea ε >0 dado. Sea r = ε/2 . Notemos que si podemos escoger x, y tales que |x-p| < r y |y-q| <r, entonces (*) implica que

$|(x+y)-(p+q)|<r+r=\varepsilon ,$


lo que probaría la continuidad en (p,q).

Seleccionemos U = ]p-r,p+r[ \times ]q -r, r+r[. Sabemos por trabajos previos que U es abierto y por construcción es una vecindad de (p,q). Luego, para todo (x,y) en U se cumple que |x-p|< r y |y-q|<r, lo que prueba el resultado.

(Continuidad de la multiplicación) Necesitaremos la siguiente identidad, cuya validez se prueba por computación directa.

${\begin{array}{rcl}xy-pq&=(x-p)(y-q)+(x-p)q+x(y-q)\end{array}}$

(**)


(Idea: buscar acotamiento para cada uno de los sumandos en términos de cotas fijas para |x-p| y |y-q|, de modo que la suma en (**) sea menor que ε. )

Sea δ un número posistivo tal que |x -p| < δ y |y-q| < δ. Tenemos, entonces que

1. |(x-p)(x-q)| < δ².
2. |(x-p)q| < | δ.
3. |p(y-q)| < |p| δ.
   Supongamos δ escogido de manera que δ ≤1, para que δ² ≤ δ. Entonces, usando (**) y los estimados anteriores, tenemos que

   $|xy-pq|<\delta +|q|\delta +|p|\delta =(1+|p|+|q|)\delta .$

   
   Luego, para que |xy-pq| sea menor que ε es suficiente con escoger

   $\delta =\min\{1,{\frac {\varepsilon }{1+|p|+|q|}}\}.$

   
   Como para todo (x,y) en B_δ(p,q), |x-p|,|y-q| ≤ ||(x,y)-(p,q)||<δ, vemos que la función multiplicación es continua.

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Funciones con Valores Vectoriales

Examinaremos, inicialmente, el caso donde el codominio es un subconjunto de R². Sea X un conjunto cualquiera y sean f₁, f₂ funciones de X en R. Usando ese par de funciones, podemos definir una función f:X → R² tal que

$f(x)=(f_{1}(x),f_{2}(x)).$

En forma recíproca, supongamos dada una función f:X → R² y consideremos las composiciones de f con las i--ésima proyecciones (i=1,2), lo que nos producirá funciones de X en R. Llamando f_i a la composición de pr_i con f, tenemos que

$f(x)=(f_{1}(x),f_{2}(x)).$

Los desarrollos anteriores muestran que hay una correspondencia biyectiva entre F(X, R²) y el producto cartesiano de dos copias de F(X,R), que asigna a cada función de X en R² sus componentes f₁,f₂. Usando esa correspondencia, identificaremos a ambos conjuntos, es decir que consideraremos f=(f₁, f₂).

Es fácil ver como el desarrollo anterior se generaliza a Rⁿ. Cada función f:E → Rⁿ se identifica con la n--upla de funciones (f₁, ... , f_n), donde f_i = pr_i ° f. Llamamos componente de f a cada f_i.

Proposición 6.5.5. Sea E un espacio métrico y sea f:E → Rⁿ. f es continua en un punto p de E, ssi, sus componentes lo son.

Demostración. Sea f=(f₁, ... ,f_n) . (⇒) Como f_i = pr_i º f, i=1, ... ,n, el resultado sigue del teorema de composición de funciones continuas. Ver 6.5.5. (⇐) Queremos probar que podemos lograr que ||f(x) = f(p)|| = ||(f_i(x))- (f_i(p))|| sea tan pequeño como queramos, tomando d(x,p) suficientemente pequeño. Como f_i, i=1,... , n es continua, para todo ε_i hay un δ_i tal que

$d(x,p)<\delta _{i}\implies |f_{i}(x)-f_{i}(p)|<\varepsilon _{i},\quad i=1,...,n.$

(*)


Tomando ε₁= ... = ε_n = η y δ = min{δ₁, ... , δ_n}, la relación (*) se mantiene válida para δ y η. Luego, si d(x,p) < δ, tenemos que

${\begin{array}{rcl}||f(x)-f(p)||&=&||(f_{i}(x))-(f_{i}(p))||\\&=&{\sqrt {(f_{1}(x)-f_{1}(p))^{2}+...(f_{n}(x)-f_{n}(p))^{2}}}\\&<&{\sqrt {\eta ^{2}+\dots \eta ^{2}}}=\eta {\sqrt {n}}\end{array}}$


Por lo tanto, dado ε > 0 cualquiera, tomando η = ε/√{n} obtendremos un δ que sirve para nuestros propósitos. Es decir que la función f es continua.

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Espacios de Funciones Continuas

En el capítulo 4, introdujimos al conjunto F(X,R) (funciones de X en R) y a su subconjunto B(X,R), funciones acotadas de X en R.

En esta sección, estudiaremos la estructura algebraica de C(E,R), el conjunto de las funciones continuas de E en R, donde E es un espacio métrico. Recordemos que hay una suma de funciones, una multiplicación por escalar y un multiplicación de funciones definidas en C(E,R) por ser subconjunto de F(E,R). Recordemos sus definiciones,

$(f+g)(x):=f(x)+g(x),\quad (af)(x):=af(x),\quad (fg)(x):=f(x)g(x).$

Nuestro interés será examinar la relación entre la continuidad de las funciones y las operaciones indicadas. El resultado es el teorema de las operaciones anunciados en la sección 6.3.1.

Teorema 6.5.6 (Teorema de las Operaciones) Sea E un espacio métrico. Si f y g son continuas de E en R, se tiene lo siguiente.

1. La suma y la resta de las funciones f y g son funciones continuas.
2. El producto de f y g es continuo.
3. El producto af es continuo, a real.
4. Si g no toma el valor 0, g(x) ≠ 0 para todo x en X, 1/g es continua.
5. Si g no toma el valor 0, g(x) ≠ 0 para todo x en X, f/g es continua.

Demostración.

1. La función x ↦ f(x) + g(x) puede descomponerse como

   $x\mapsto (f(x),g(x)){\overset {+}{\mapsto }}f(x)+g(x).$

   
   Es decir, como la composición de dos continuas, por lo que es continua.

2. La función x → f(x) g(x) puede descomponerse como

   $x\mapsto (f(x),g(x)){\overset {*}{\mapsto }}f(x)+g(x).$

   
   

3. Sigue de (b), tomando g(x) = a.
4. La función x → 1/g(x) puede descomponerse como $x\mapsto g(x){\overset {1/(\ )}{\mapsto }}1/g(x).$Es decir como la composición de dos continuas, por lo que es continua.
5. Como ${\frac {f}{g}}=f*{\frac {1}{g}}$, el resultado sigue de (b) y (d).

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Corolario 6.5.7. Los resultados del teorema son válidos, reemplazando continuidad por continuidad en un punto.

Demostración. Mirar a las demostraciones de la proposición.

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Aplicaciones del Teorema

Funciones Polinómicas. Las funciones polinómicas de R en R son funciones de la forma

$t\mapsto a_{n}t^{n}+\dots +a_{1}t+a_{0}.$

Veremos que tales funciones son continuas. En primer lugar, por la proposición 6.3.2 la función t ↦ t es continua. El producto de esa función consigo mismo produce la función continua t ↦ t². Usando inducción, se verifica que la función potencia enésima, p_n(t)=tⁿ, n entero positivo, es continua. Multiplicando esa función por constante, produce una función continua. Finalmente la suma de tales "términos" produce una función continua. Lo que muestra que las funciones polinómicas son continuas.

Las Funciones Racionales. Una función racional es el cociente de dos polinómicas. Sigue del teorema de las operaciones que el cociente de continuas es continua en todo su dominio.

Notemos que a pesar de lo que, a veces, se dice de la función f(x) = 1/x, esta función es continua en todo su dominio---que consiste de los reales no nulos.

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Sea f: A ⊂ R → R una función. Podemos, a partir de f, formar una función g que sea un polinomio en f, es decir que

$g=a_{0}+a_{1}f+\dots +a_{n}f^{n}.$

Cuando f sea continua, razonando como arriba (que es el caso donde f(t)=t) se ve que cuando f sea continua, también lo será g.

Polinomios de Varias Variables

Sabemos (ver 6.3.4.) que las proyecciones son funciones continuas por lo que monomios de la forma

$ax_{1}^{r_{1}}\dots x_{n}^{r_{n}},$

donde x_i es la i--ésima proyección de Rⁿ en R, son funciones continuas ya que son productos de funciones continuas. Como las funciones polinómicas de varias variables son sumas de tales monomios, tenemos que son continuas.

Ejemplos 6.5.2. Sean x, y, z las coordenadas de R³. Entonces, las siguientes funciones son continuas.

1. f(x,y,z) = x² + y².
2. g(x,y,z) = 2x - 3y + z² - 8.

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(♠) También son continuas las siguientes funciones (suponemos que la función seno y la exponencial son continuas).

1. f(x,y) = sen(x²+y²);
2. g(x,y,z) = e^-z sen(xy).

Abiertos y Cerrados de Rⁿ

Un ejercicio del capítulo 5 pedía probar que el conjunto {(x,y) ∈ R² : y < x²} era abierto en R². Tales ejercicios y otros similares tienen una respuesta fácil mediante una visualización; sin embargo una demostración formal usando directamente las definiciones puede resultar engorrosa. Veremos, a continuación, que con las herramientas ahora disponibles, la resolución de esos problemas es casi trivial. Usaremos como herramienta teórica la proposición 6.4.4.

Ejemplo 6.5.3. Sea S = {(x,y) : y < x²}. Probar que se trata de un conjunto abierto.

Sea f:R² → R tal que f(x,y)= y-x². Observemos que la función es continua por ser un polinomio de sus coordenadas. Luego, por la proposición citada, como y < x² es equivalente a y-x²<0, o sea f(x,y) < 0, tenemos por la proposición citada que S es un conjunto abierto. Considerando a la función continua f: x ↦ x² vemos que (x,y)∈ H ⇐⇒ y < f(x). Sigue, entonces, de la proposición anterior, que H es abierto.

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Ejemplo 6.5.4. Consideremos el conjunto H={(x,y) : xy = 1}. Probar que es cerrado.

La función f, f(x,y) = xy, es una función continua de R² en R. H es la preimagen por f del conjunto cerrado {1}. Luego H es cerrado.

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Las Gráficas de Funciones

Sea f : A ⊂ Rⁿ → R una función. Llamamos gráfica de f al subconjunto de Rⁿ⁺¹ denotado por Graf(f) y definido por

${\rm {Graf}}(f):=\{(x_{1},\dots ,x_{n},x_{n+1}:x_{n+1}=f(x_{1},\dots ,x_{n})\in f(A)\}.$

Se tiene entonces que g: (x₁, ... , x_n,x_n+1) = x_n+1 - f(x₁, ... , x_n) es una función continua cuando f lo es. Como la gráfica de f es la preimagen por g de {0}, concluimos que es un conjunto cerrado.

Ejercicios 6.6

1. Cuando f₁, ... , f_n : E → R son continuas, entonces su suma y su producto también lo son.
2. Probar que la función x ↦ |x| de R en R es continua.
3. Probar que la función x ↦ ||x|| de \R^n en R es continua.
4. Probar que la función (x,y) ↦ d(x,y) es continua.
5. Probar que la elipse con ecuación 9x²+4y² = 36 es un subconjunto cerrado de R².

Los Límites

Esta sección consistirá de una breve presentación del concepto de límite (de los valores) de una función. Dicho concepto es muy importante en Cálculo y Análisis en general, pero no tanto en las consideraciones topogeométricas. En consecuencia, nuestra presentación se limitará a la definición y algunas proposiciones básicas. El resto está en los ejercicios.

En el desarrollo del Cálculo nos encontramos con funciones definidas en la vecindad de un punto, pero no necesariamente en el punto; típicamente, al computar derivadas. En tales situaciones, nos interesará saber si habrá un valor que podamos asignar a la función en ese punto, de manera que al extender el dominio de la función a ese punto resulte que la función sea continua en dicho punto.

Ejemplo 6.6.1. Sea $f(x)={\dfrac {x^{2}-4}{x-2}}$. El dominio natural de la función anterior excluye solamente al 2, por lo que podemos afirmar que esa función está definida en cualquier punto de una vecindad de 2, excepto en el 2. Si simplemente intentamos evaluar en 2, nos encontraremos con 0/0 lo que es algo indeterminado. La pregunta natural es: ¿habrá un valor que podamos asignar en 2, de modo que la función obtenida extendiendo el dominio a 2, sea continua en 2?

Observando de que

${\dfrac {x^{2}-4}{x-2}}={\dfrac {(x-2)(x+2)}{x-2}}=x+2,$ para todo x ≠ 2, y que g(x) = x + 2 es una función continua en 2 con g(2) = 4, concluimos que el valor que se debe

asignar a f en 2 para hacerla continua allí es 4.

En tal situación, decimos que 4 es el limite de los valores de f, para valores de x que se aproximan o tienden a 2.

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El ejemplo se generaliza de la siguiente manera.

Definición. (Límite) Sean E y F espacios métricos, A un subconjunto de E, p un punto de acumulación de A. Sea f función cuyo codominio es un subconjunto de F y que está definida en A con la posible excepción de p. Sea L un punto de F.

Decimos que L es un límite de los valores de f cuando x tiende a p, ssi, hay una función g definida en una vecindad U de p, que es continua en p, y tal que

(i) f y g coinciden en U ∩ A, con la posible excepción de p, y

(ii) g(p) = L.

(♣) Intuitivamente, L es un valor que hace a f continua en p.

Primeramente, observemos que cuando haya un límite, tal valor será único. Por definición, si L y L' son limites de los valores de f cuando x tiende a p, se tendría que hay funciones continuas g y g' que coinciden en una vecindad de p con la excepción, a lo más, de p, donde se cumple que g(p) = L y g'(p) = L'. Sea ε = |L- L'| y supongamos que es positivo, o sea que L ≠ L'. Por las continuidades de g y g' en p concluimos que hay una vecindad U de p tal que para todo x en U se cumple que |g(x)-L| < ε/2 y |g'(x)-L| < ε/2. Luego, para todo x ≠ p se cumple que g(x) = g'(x) =f(x) y que

${\begin{array}{rcl}\epsilon &=&|L-L'|=|L-g(x)+g(x)-L'|\\&\leq &|L-g(x)|+|g(x)-L'|=|L-g(x)|+|g'(x)-L'|\\&<&\epsilon /2+\epsilon /2=\epsilon .\end{array}}$

Como lo anterior, implica que ε < ε, hemos llegado a un absurdo. Por lo tanto, es imposible que ε sea positivo. Debe, por lo tanto, ser igual a cero, o lo que es lo mismo que L= L'.

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Notación. Cuando exista el límite de los valores de f cuando x tiende a p, x en A, lo simbolizaremos por

$\lim _{x\to p,\,x\in A\setminus \{p\}}f(x).$

Cuando el conjunto A quede claro del contexto, simplemente escribiremos

$\lim _{x\to p}f(x).$

Cuando ese límite sea, digamos L, escribiremos también que

$x\to p\implies f(x)\to L.$

lo que leeremos: "cuando x tiende a p, f(x) tiende a L".

Sigue de la definición anterior y de la definición de continuidad que afirmar que lim_{x → p} f(x) = L es equivalente a afirmar que para todo ε > 0 hay un δ>0 tal que

$0<d(x,p)<\delta \implies d(f(x),L)<\epsilon .$

Observemos que el enunciado simbólico es casi idéntico a aquel que define la continuidad en p, con la excepción de que pedimos que 0 < d(x,p), es decir que estamos excluyendo de consideración al punto p. Notemos que si la función f es continua en p, el límite en p es f(p)

Las propiedades de límites se reducen, en consecuencia, a propiedades de funciones continuas.

Ejercicios 6.7

1. (Límites y Operaciones) Sean f y g funciones con codominio un subconjunto de ;los Reales y tales que lim_{x → p} f(x) = L y lim_{x → p} g(x) = M. Entonces,
   1. lim_{x → p} (f(x) + g(x)) = L + M.
   2. lim_{x → p} (f(x) - g(x)) = L - M.
   3. lim_{x → p} (f(x) g(x)) = L M.
   4. lim_{x → p} ${\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {L}{M}}$, siempre que M ≠ 0.
2. Sean g y f funciones con g continua. Entonces,

   $\lim _{x\to p}g(f(x))=g(\lim _{x\to p}f(x)).$

   
   

3. Sea f una función con valores reales. Suponer que hay una vecindad V de p tal que para todo x en V, x ≠ p se cumple que f(x) ≥ 0. Entonces, cuando el límite existe, se tiene que lim_{x → p} f(x) ≥
4. (Teorema del Sandwich])Sean f, g y h funciones reales tales que en una vecindad U de p se cumple para todo x, x ≠ p, que

   $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$

   
   Si \lim_{x → p} f(x) y lim_{x → p} g(x) existen y son iguales, digamos a L, entonces lim_{x → p} g(x) existe y es igual a L.

5. Sea f una función real definida en una vecindad V de p con la posible excepción de p.
   Si lim_{x → p} |f(x)| = 0 entonces, lim_{x → p} f(x) = 0.

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