Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos/Números Reales

Introducción

La historia de los espacios métricos empieza con los (números) Reales. Representamos intuitivamente a los Reales mediante la llamada línea numérica, equipada con la distancia entre números definida como el valor absoluto desu diferencia. Informalmente hablando, un espacio métrico será un conjunto provisto con una noción de distancia; los Reales con la distancia mencionada seránn el ejmeplo básico de espacio métrico (las definirionaes formales aparecerán en capítulos posteriores). Las propiedades de subconjuntos de los Reales y de las funciones definidas sobre ellos fueron generalizadas o abstraídas a las teorías de los espacios métricos y de los espacios topológicos.

En este capítulo revisaremos las propiedades relevantes de los Reales. Recomendamos a los lectores que revisen lo expuesto, aunque será muy probable que lo hayan visto con anterioridad. Es muy importante que revisen las secciones dedicadas a la completitud, el axioma del supremo y sus consecuencias, especialmente cuando la palabra "supremo" les sea deconocida. El énfasis de la exposición será en aquellos aspectos útiles para el resto del texto.

La segunda sección es un resumen muy breve de las propiedades generales de los Reales. La tercera sección presenta las consideraciones métricas de los Reales. En la cuarta sección, presentamos/revisamos la noción de supremo, que completa la presentación de la estructura de los Reales y que será muy importante en nuestro estudio. En las últimas secciones, veremos relaciones entre los Racionales y los Reales.

Los Números Reales

Formalmente, los Reales están caracterizados por las propiedades de sus operaciones, las propiedades del orden y la completitud. Revisaremos primeramente lo referente a las operaciones y al orden.

La Estructura de Cuerpo

En los Reales, R, hay definidas dos operaciones a las que llamamos adición ($+$) y multiplicación (*). Tales operaciones satisfacen los siguientes axiomas o postulados.

• (Axiomas de la Adición) La adición es asociativa, conmutativa, tiene un neutro 0 (a+0=a) y cada número a tiene un opuesto aditivo -a tal que a + (-a) = 0.
• (Axiomas de la Multiplicación) La multiplicación es asociativa, conmutativa, tiene neutro 1 (a*1=a) y cada número a ≠ 0 tiene un recíproco 1/a tal que a * (1/a) = 1).
• (Axiomas MIxtos) La multiplicación es distributiva respecto a la adición. Los neutros 0 y 1 son diferentes.

Cuando en un conjunto cualquiera K haya definidas operaciones con las propiedades anteriores, decimos que K tiene o posee con dichas operaciones una estructura de cuerpo o simplemente que K es un cuerpo. Por lo que, los postulados anteriores dicen que R es un cuerpo.

Otros cuerpos importantes que seguramente el lector conoce son los Racionales, Q, que es un subconjunto de los Reales y los Complejos, C, que contienen a los Reales.

En un cuerpo, se definen dos operaciones auxiliares: substracción y división.

$a-b:=a+(-b),\qquad a\div b=a/b=a*(1/b).$

Como es costumbre, escribiremos xy en lugar de x * y.

Los Reales contienen algunos subconjuntos especiales que recordamos a continuación.

• Los Naturales, N, caracterizado por ser el subconjunto más pequeño de los Reales que satisface las siguientes propiedades

  (i) 0 es un número natural;

  (ii) Si k es un número natural, también lo es k+1.

• Los Enteros, Z, que está formado por los naturales y sus opuestos aditivos.
• Los Racionales, Q, cuyos elementos son fracciones de enteros.

La Estructura de Cuerpo Ordenado

Tenemos para el orden los siguientes axiomas.

Axiomas del Orden. Hay una relación "≤" entre números reales, tal que

• (i) Si (x ≤ y) y (y ≤ z) entonces (x ≤ z) (transitividad).
• (ii) (x ≤ y) y (y ≤ x) <==> x=y.
• (iii) para todo x, y se cumple que (x ≤ y) o que (y ≤ x).
• (iv) si (x ≤ y) entonces (x + z ≤ y + z).
• (v) si (0 ≤ x) y (0 ≤ y) entonces (0 ≤ xy).

Cuando en un cuerpo hay una relación como la anterior, (llamada relación de orden), se dice que se trata de un cuerpo ordenado. Los Reales y los Racionales forman un cuerpo ordenado, mientras que los Complejos no.

(Relaciones de orden asociadas) Asociada con la relación ≤ tenemos "x < y" que quiere decir que (x ≤ y) pero que (x ≠ y). Suponemos conocido por los lectores los significados de "x > y" y de "x ≥ y", así como la terminología acerca de positivos y negativos.

Notación de Intervalos. Simbolizaremos los extremos abiertos de intervalos usando "]" para el extremo inferior y "[" para el extremo superior. Así, por ejemplo, ]3, 6[ = {x ∈ R: 3 < x < 6}. Usamos esta notación, para distinguir intervalos abiertos de pares ordenados.

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Hay una propiedad muy importante que aparecerá frecuentemente en nuestras discusiones.

(Tricotomía) Para todo a, b en R, se cumple una, y solo una, de las siguientes afirmaciones.

${\begin{array}{ccc}a>b,\quad &a=b,\quad &a<b.\end{array}}$

Principio del Buen Orden (PBO) Esta es una propiedad del orden referentes a los Enteros que establece que:

Cualquier subconjunto de enteros no-negativos tiene un primer elemento, o sea un elemento que es menor o igual que cualquier otro elemento del conjunto.

Ejercicios 2.2.

1. Sean x, y tales que x < y, sea z = (x+y)/2. Probar que x < z < y.
2. (Demostraciones de que un número es igual a 0)
   1. Si x + y = x entonces y = 0.
   2. Si x + x = x entonces x = 0.
   3. a ∗ 0 = 0. (aplicar lo anterior).
3. (Opuestos aditivos).
   1. Si x + y = 0 entonces y = −x.
   2. −(−x) = x (evaluar −x + x).
   3. −(a + b) = −a + (−b.1
   4. (−a)b = −ab (evaluar ab + (−a)b).
   5. (−a)(−b) = ab.
4. Hallar el conjunto solución de la siguientes inecuaciones.
   1. 2x − 3 < 5.
   2. x² + 12 ≤ 7x.
5. Probar que todo número natural se cumple que n ≥ 0 y si n 6= 0, n > 0.
6. Probar que para todo número natural n se cumple que n < 2n.

Nociones Métricas en los Reales

Llamaremos nociones métricas a nociones asociadas al valor absoluto, ya que dicho valor absoluto nos permite definir una distancia entre puntos de R. Recordemos, primeramente, la definición de valor absoluto.

Definición. (Valor Absoluto) Llamamos valor absoluto de un número real x, al número real $|x|$ tal que $|x|=x$, cuando $x\geq 0$; e igual a $-x$, en caso contrario.

Notemos que para todo a, se cumple que -|a| ≤ a ≤ |a|.

Lema Sea a un número real positivo. Entonces,

1. |x|<a, ssi, -a < x < a.
2. |x|=a, ssi, x = $\scriptstyle \pm$ a.
3. |x|>a, ssi, x < -a o x > a.

Demostración.

Probaremos (a) y el resto queda de ejercicio. Por tricotomía se tiene que x>0 o x=0 o x<0.

Supongamos que |x|< a (*). Si x es positivo, (*) es equivalente a x<a; si x=0, (*) es equivalente a 0<a; finalmente, si x es negativo, (*) es equivalente a -x<a, o sea que x>-a. Por lo tanto, (*) es equivalente a -a < x < a.

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Proposición 2.3.2. (Propiedades Básicas del Valor Absoluto) Para todo a, b reales se cumple:

(VA1) |a| ≥ 0.

(VA2) |a|=0, ssi, a=0.

(VA3) |-a| = |a|.

(VA4) |a+b| ≤ |a|+|b|.

(VA5) |ab| = |a| |b|.

Demostración. (VA1), (VA2) y (VA3) siguen en forma directa de la definición. (VA4) Sigue de la definición que (1) -|a| ≤ a < |a| y que (2) -|b| ≤ b ≤ |b|. Sumando miembro a miembro en las desigualdades anteriores, obtenemos que

-(|a|+|b|) ≤ a + b ≤ |a| + |b|.

El resultado deseado sigue del lema.

(VA5) sigue de un análisis de casos de los signos de a y b.

Si a, b>0 entonces |ab| = ab = |a| |b|.

Si a= o b=0 el resultado es trivial.

Si a < 0 y b >0 entonces, |ab| = -a *b = |a| \, |b|.

Si a <0 y b<0 entonces |ab| = ab = (-a)(-b) = |a|\,|b|.

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La noción de valor absoluto se usa en los cursos básicos para definir una distancia entre números reales a y b, por

$d(a,b):=|a-b|.$

Proposición 2.3.3 (Propiedades de la Distancia). Sean a,b,c reales. Se cumple:

(D1) d(a,b) ≥ 0.

(D2) d(a,b) = 0, ssi, a=b.

(D3) d(b,a) = d(a,b).     (Simetría)

(D4) d(a,b) ≤ d(a,c) + d(c,b).    (Desigualdad Triangular)

Demostración. Las demostraciones siguen directamente de las propiedades correspondientes del valor absoluto.

(D1) d(a,b) = |a-b| ≥ 0. (VA1)

(D2) d(a,b)=0 ,ssi, ax-b|=0, ssi, a-b=0, ssi, a=b. (VA2)

(D3) d(b,a) = |b-a| = |-(a-b)| = |a-b| = d(a,b). (VA3)

(D4) d(a,b) = |a-b| = |(a-c) + (c-a)| ≤ |a-c|+|c-b|=d(a,c) + d(c,b). (VA4)

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Lo que es importante es mirar siempre a |a-b| como indicando distancia del punto a al punto b. Esto permite visualizar expresiones que contienen valor absoluto.

Ejemplo 2.3.1.

1. Hallar todos los x tales que |x-3| = |x + 5|.
   Resolución: Reescribiendo la ecuación como |x-3| = |x -(-5)|, vemos que se trata de hallar un punto o puntos cuya distancia a 3 sea igual a su distancia a -5. Es fácil, entonces ver que la única solución posible es x=-1.
2. Hallar todos los x tales que |x-5| < 3.
   Resolución. Buscamos x cuya distancia a 5 sea inferior a 3. Fácil de ver que se trata de los x tales que 2=5-3< x < 5+3= 8, o sea que el conjunto solución es el intervalo abierto ]2,8[.

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Ejercicios 2.3

1. (Desigualdades)
   1. Probar que para todo número real a, a² ≥ 0 y que a² = 0, ssi, a = 0.
   2. Usar lo anterior para probar que |a| = √(a²).
   3. Cuando a y b son números positivos o cero, entonces 2ab ≤ a² + b².
      (Sug: Usar que (a − b)² ≥ 0) ¿Cuándo la desigualdad es igualdad?
   4. Cuando a y b son números positivos o cero, entonces

      √ab ≤ (a + b)/2.

2. Sabemos que |a + b| ≤ |a| + |b|. Investigar cuando se tiene la igualdad.
3. Probar que ||a| − |b|| ≤ |a − b|. (Sug. Usar que x = y + (x − y) y que y = x + (y − x).)

Completitud

Esta sección está dedicada al actor principal en el drama de los Reales: el supremo, Si la lectora o lector sabe lo que supremo e ínfimo significan, puede ir a mirar el Postulado del Supremo en la sección 2.4.2, el teorema 2.4.4 y sus corolarios. Si siente que está suficientemente familiarizada o familiarizado con esas nociones puede saltarse esta sección e ir al próximo capítulo. Siempre será posible volver a consultarlo.

Suponemos conocido por los lectores que además de los números racionales (iguales a una fracción de enteros) hay otros que no lo son, los irracionales. Algunos irracionales famosos: ${\sqrt {2}}$, $\pi$, $e$, etc.

Observamos anteriormente que tanto los Racionales como los Reales son cuerpos ordenados, lo que implica que los axiomas de cuerpo ordenado no pueden dar cuenta de los irracionales. Necesitaremos axioma o axiomas adicionales. Tales axiomas se llaman axiomas de completitud. Hay varias versiones posibles para lograr ese objetivo, como veremos más adelante.

Revisaremos, primeramente, las bases intuitivas de la completación.

Suponemos conocido que cada número real $\alpha$ tiene una expansión decimal. Es decir, suponiendo que $\alpha \geq 0$, podemos hallar un entero positivo $M$ y una sucesión infinita $(a_{i})$ de dígitos (decimales)---$0\leq a_{n}\leq 9$---tales que

$\alpha =M+{\frac {a_{1}}{10}}+{\frac {a_{2}}{10^{2}}}+\dots +{\frac {a_{n}}{10^{n}}}+\cdots ;$

(1)

lo que usualmente se escribe abreviadamente como

$\alpha =M.a_{1}a_{2}a_{3}\ldots a_{n}\dots$

(2)

donde llamamos numeral decima} a la expresión de la derecha. Lo anterior es más fácil escribirlo que explicarlo lógicamente, ¿cuál es el significado de un numeral decimal? La notación en (2) oculta el hecho de que se trata de una suma infinita. Podemos, además, preguntarnos, ¿cómo se obtiene el numeral digital asociado a un número real? ¿será siempre posible esa asociación? ¿dada una expansión decimal cualquiera hay un número real asociado? La búsqueda de una respuesta a esas preguntas, fue el origen de la teoría de los espacios métricos. Hemos intencionalmente llamado "numeral decimal" a la expresión en (2), para insinuar que no estamos seguro de que se trate de un número real.

Ejemplo 2.4.1.. Antes de pasar adelante, para ilustrar que las consideraciones anteriores no son una cosa trivial, consideremos los numerales decimales siguientes:

$\alpha =0.123456789101112\dots$

$\beta =0.1010010001000\dots$

Las expresiones anteriores se han construido no--periódicas, porque se sabe que cuando tales expansiones son periódicas representan a números racionales.

Si alguien supone que las consideraciones anteriores y otras posteriores son triviales, suponga que $\alpha$ y $\beta$ representan números reales, y calcule $\alpha +\beta$ y $\alpha *\beta$. \end{ejemplo}

Supondremos conocido que cuando el numeral decimal es finito (a partir de un cierto subíndice todos los $a_{i}'s$ son nulos), entonces el numeral decimal representa a un número racional, ya que

$M.a_{1}a_{2}\dots a_{k}=M+{\frac {a_{1}}{10}}+\dots +{\frac {a_{k}}{10^{k}}}.$

(3)

Sea $\alpha$ un numeral decimal como en (2) y sea $\alpha _{k}$ la truncación (eliminar la cola) del numeral después de la posición $k$), o sea que $\alpha _{k}$ es lo que aparece en (3). Si ponemos que $\alpha _{0}=M$, vemos que el numeral $\alpha$ da origen a una sucesión $\alpha _{0}$, $\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$, \ldots de números racionales tales que

$\alpha _{0}\leq \alpha _{1}\leq \alpha _{2}\leq \cdots \leq \alpha _{k}\leq \cdots$

(4)

Se puede, además, verificar que para todo $k$ se cumple que $\alpha _{k}\leq M+1$.

¿Define el numeral decimal o equivalentemente la sucesión en (4), a un número real?

Si se piensa en la expansión decimal de un irracional, por ejemplo ${\sqrt {2}}=1.41423561\ldots$, vemos que no podemos obtener una respuesta lógicamente válida usando solamente los postulados de cuerpo ordenado. Este razonamiento heurístico muestra que necesitamos algo más: postulados de completitud.

\medskip Una solución simple es postular que "cada numeral decimal define a un número real, lo que llamaremos la ""completitud ingenua. Tal completitud es la que se usa en cursos primeros de matemáticas/ Una solución más formal requiere (entre otras opciones) la introducción de la noción de supremo.

Supremos, Ínfimos, Axioma del Supremo

Sea A un subconjunto de los Reales.

Cota Superior, Cota Inferior. Decimos que un número real M es una cota superior del conjunto A, ssi, para todo x se cumple que

x ∈ A ⇒ x ≤ M.

Tenemos un concepto dual.
Decimos que un número real m es una cota inferior del conjunto A, ssi, para todo x se cumple que

x ∈ A ⇒ m ≤ x.

Ejemplo 2.4.2. Sea A=]0,1]. Entonces 1, 2, 100, etc. son cotas superiores de A, mientras que 0, -1, -5 son cotas inferiores de A.

Notemos que cuando un conjunto tiene una cota $C$, digamos superior, cualquier número mayor que $C$ es también una cota superior, por lo que cuando un conjunto tiene una cota superior, tiene infinitas cotas superiores. Dualmente, cuando un conjunto tiene una cota inferior, cualquier número inferior a esa cota, es también una cota inferior. Notemos, también, que las cotas pueden o no pertenecer al conjunto.

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Conjunto Acotado. Decimos que un subconjunto está acotado superiormente (resp. inferiormente) cuando haya una cota superior (resp. inferior) del conjunto. Un conjunto es acotado, ssi, es acotado superior e inferiormente.

Usando la noción de cota definiremos supremo e ínfimo.

Definición. (Supremo, Ínfimo) Sea A un subconjunto de los Reales.

• Llamamos supremo de A a una cota superior que sea menor o igual que cualquier otra cota superior.
• Llamamos ínfimo de A a una cota inferior que sea mayor o igual que cualquier otra cota inferior.

Proposición 2.4.1. Cuando un conjunto tiene un supremo (resp. ínfimo) dicho supremo es único.

Demostración. Sea S y S' supremos de un conjunto A. Aplicando la definición de supremo a S y viendo a S' como una cota superior, tenemos que S ≤ S'. Invirtiendo los roles, se tiene que S' ≤ S. Por lo que se concluye que S=S'. La parte del ínfimo queda de ejercicio.

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El supremo de un conjunto es la menor de sus cotas superiores, mientras que el ínfimo es la mayor de sus coptas inferiores.

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Notación. Denotaremos el supremo de A (cuando exista) por sup(A) o
sup{x ∈ A}. Por su parte, inf(A) será el ínfimo de A.

Postulado del Supremo

Nuestro postulado simplemente asegura la existencia de supremos para ciertos conjuntos.

Axioma del Supremo Todo subconjunto de los Reales no vacío y acotado superiormente tiene un supremo.

Sigue de forma inmediata que dado un numera decimal α el conjunto de las truncaciones

{α₀, α₁, ..., α_k, ...}

es acotado superiormente (por α₀+1), por lo que tiene un supremo; que será el número real representado por ese numeral. En breve, cada numeral decimal produce un número real.

Para finalizar, digamos que se puede probar que hay a lo más un cuerpo ordenado completo (que cumpla con el axioma del supremo) y que hay una construcción comenzando con los llamados axiomas de Peano para los Naturales para construir desde cero a un cuerpo ordenado completo. Ver un desarrollo completo en WEB .

Finalmente, podemos resumir nuestras suposiciones sobre los Reales en el siguiente enunciado

Los Reales son un cuerpo ordenado completo.

El siguiente resultado será usado frecuentemente.

Proposición 2.4.2. Sea S = sup(A), A un conjunto no vacío. Entonces, para todo número real positivo ε hay un x de A tal que S-ε < x ≤ S.

Demostración. En caso contrario, S-ε sería una cota superior de A menor que el supremo; lo que es imposible.

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Proposición 2.4.3. Sean A, B subconjuntos de R tales que A ⊂ B y B es acotado superiormente. Entonces, el supremo de A existe y es menor o igual que el supremo de B.

Demostración. Por la hipótesis, cualquier cota superior de B es una cota superior de A, por lo que A es acotado superiormente; de donde sabemos, por el postulado del supremo, que A tiene un supremo. Como sup(B) es una cota superior de B, también lo es de A. Luego, sup(A) ≤ sup(B), ya que sup(A) es la menor cota superior de A.

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Ejemplo 2.4.3. Este ejercicio servirá para mostrar que hay un número real positivo cuyo cuadrado es igual a 2. Es decir probaremos que √2 es un número real.

Sea A = {x ∈ Q: x ≥ 0, x² < 2}, es decir el conjunto de los racionales no negativos cuyo cuadrado es menor que 2. Probaremos que A tiene un supremo tal que su cuadrado es 2.

Resolución. Como 1 es un racional positivo tal que 1²<2, tenemos que A no es vacío. Notemos que todo x en A debe ser menor que 2, ya que en caso contrario, x ≥ 2 implica que x² ≥ 4. Por lo que 2, es una cota superior del conjunto A. Por el axioma del supremo, A tiene un supremo, digamos S. Probaremos que S²=2.

Supongamos que S² < 2. Buscaremos un número 0<h<1 tal que (S+h)² < 2. La suposición de que h<1 implica que h²<h. Tenemos, entonces que

$(S+h)^{2}=S^{2}+2sh+h^{2}<S^{2}+2Sh+h=S^{2}+(2S+1)h.$

(*)

Resolviendo S² + (2S+1)h < 2, obtenemos que h < (2-S²)/(2S+1) Por lo que tomando un h satisfaciendo la última desigualdad y que, a la vez, sea menor que 1, obtendremos que (S+h)² < 2. Luego, S+h sería un elemento de A. Como S+h >S, esto es imposible, porque S es una cota superior de A. Por lo tanto, $\scriptstyle S^{2}\nless 2$.

Supongamos, ahora, que S² > 2. Buscaremos un k>0 tal que S-k sea cota superior de A. Si probamos lo anterior, tendríamos la contradicción de que habría una cota superior menor que el supremo. Por lo que S² ≯ 2. Por tricotomía, se concluye que S²=2 (ya que no puede ser ni menor ni mayor que 2).

Buscaremos un k > 0 tal que (S-k)² > 2.

$(S-k)^{2}=S^{2}-2Sk+k^{2}>S^{2}-2Sk>2\implies S^{2}-2>2Sk.$

Tomando, k < (S² -2)/(2S), se tiene que (S - k)² >2. Si hubiera un x en A tal que x > S-k, entonces x²>(S-k)² >2, lo que no puede ser. Luego, para todo x en A, x ≤ S-k, o sea S-k es una cota superior de A. Como esto es absurdo, concluimos que $\scriptstyle S^{2}\ngtr 2$.

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Consecuencias del Axioma del Supremo

Consideremos al conjunto de los Naturales, N, como subconjunto de los Reales.

Teorema 2.4.4. Los Naturales no están acotados superiormente.

Demostración. Supongamos que lo estuvieran. Como el conjunto no es vacío, tendría un supremo, digamos S. Consideremos al número S-1. Debe haber al menos un natural n tal que S-1< n ≤ S, si no S no será la menor cota superior. Pero, S-1< n implica que S < n+1 y, como n+1 es un número natural, esto es imposible ya que S es una cota superior de N. Como hemos llegado a una contradicción, nuestra suposición inicial era falsa, por lo que se tiene lo dicho en la proposición.

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Corolario 2.4.5 (Propiedad Arquimediana I). Sea a un número real positivo.
Hay un número natural n tal que a < n.

Demostración. Si no lo hubiera, a sería una cota superior de los naturales.

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Corolario 2.4.6 (Propiedad Arquimediana II). Sea a un número real positivo.
Hay un número natural n tal que 1/n < a.

Demostración. Si no lo hubiera, para todo n>0, se tendría que a≤1/n, de donde n ≤ 1/a, y 1/a sería una cota superior de los Naturales.

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Nos referiremos a los resultados de los corolarios como las propiedades arquimedianas.

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Proposición 2.4.7. Sea x un número real no negativo tal que para todo n en N⁺ (Naturales positivos)se cumple que 0 ≤ x < 1/n.
Entonces, x = 0.

Demostración. Si x > 0, por la propiedad arquimediana habría un natural tal que 1/n < x.

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Ejemplo 2.4.4. Probar que el conjunto A = {2ⁿ : n natural positivo} no es acotado superiormente.

Resolución. Probaremos que para todo n ≥ 1, 2ⁿ > n. Por lo que si hubiera una cota superior para A, dicha cota sería una cota de los Naturales. Si n = 1 entonces 2¹ = 2 > 1. Suponer que tenemos para un k ≥ 1 que se cumple 2^k ≥ k.
Entonces, 2^k+1 = 2 ∗ 2^k > 2k = k +k ≥ k +1. El resultado sigue por inducción.

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Ejercicios 2.4

1. Probar los enunciados siguientes.
   1. Sean A, B subconjuntos de R tales que A ⊂ B y B es acotado, entonces A es acotado.
   2. Los intervalos con extremos finitos son acotados.
   3. Un conjunto de números reales es acotado, ssi, está contenido en un intervalo cerrado acotado.
2. Hallar el supremo e ínfimo de cada conjunto, cuando existan. Probar sus afirmaciones.
   1. A = {x ∈ R : 0 ≤ x < 1}.
   2. B = N.
   3. C = {1/n :n natural positivo}.
   4. D = {x² − 4x + 7 : x ∈ R}.
   5. E = {x² − 4x + 7 : −5 < x < 5}.
3. Hallar el supremos e ínfimo (cuando existan) de los siguientes conjuntos.
   1. {x ∈ R : x² < 5}.
   2. {x ∈ R : x² > 11},
   3. {0.3, 0.33, 0.333, . . .}.
4. Probar que todo subconjunto de los Reales no vacío y acotado inferiormente tiene un ínfimo.
5. Sean A y B subconjuntos no vacíos de los Reales disjuntos y cuya reunión es R. Si para todo a en A y b en B se cumple que a ≤ b. Entonces, sup(A) = ínf(B)
6. Sea a < 0. Probar que hay un natural n tal que −n < a.
7. Sea a < 0. Probar que hay un natural n tal que a < −1/n.
8. Sean x, y números reales tales que para todo real positivo r se cumple que x ≥ y + r.
   Entonces, x = y.
9. Sean A, B subconjuntos de R. Examinar la validez de los siguientes enunciados.
   1. sup(A ∩ B) ≤ mín{sup(A), sup(B)}.
   2. sup(A ∩ B) = mín{sup(A), sup(B)}.
   3. sup(A ∪ B) ≥ máx{sup(A), sup(B)}.
   4. sup(A ∪ B) ≥ máx{sup(A), sup(B)}.
10. Sea I_n =]- 1/n, 1/n[, n ≥ 0. Sea I la intersección de todos los I_n. Describir al conjunto I.
11. Sea A_n =]0, n[, n ≥ 1 natural. ¿Cuál es la reunion de todos los A_n?
12. Probar que el conjunto {10ⁿ : n ∈ N}, no es acotado superiormente. Hallar conclusiones semejantes a las propiedades arquimedianas para este conjunto.
13. Probar que la reunión de los intervalos ]−n, n[, n natural es igual a todo R.

Aproximaciones Racionales de Números Reales

Parte Entera. Sea a un número real positivo cualquiera. Como los Naturales no están acotados superiormente, habrá un número entero n tal que a < n. Por el Principio del Buen Orden, hay un menor entero positivo con esa propiedad. Llamando m+1 a ese entero, tendremos que se cumple que m ≤ a < m+1. Llamamos parte entera del número a al entero m.

La noción se puede extender a los números negativos y al cero, como lo haremos en la siguiente definición.

Definición. (Parte Entera) Llamamos parte entera de un número real a, al mayor entero que es menor o igual que el número. Notación: ${\textsf {pe}}(a)$.

Observemos que se cumple que ${\textsf {pe}}(a)\leq a<{\textsf {pe}}(a)+1$. La desigualdad de la izquierda es igualdad, ssi, a es un número entero.
Ejemplo 2.5.1. ⌊5⌋ = 5, ⌊π = 3⌋, ⌊-3.5⌋ = −4. La noción es bastante clara, solamente para mantener la logicidad de esta exposición,

debemos probar que cada número real a tiene una parte entera. Sea a un número real positivo cualquiera. Como los Naturales no están acotados superiormente, habrá un número entero positivo n tal que a < n. Por el Principio del Buen Orden habrá un menor entero positivo con esa propiedad. Llamando m+1 a ese entero, tendremos que m ≤ a < m+1. Tal m es precisamente la parte entera de a.

Cuando a = 0 su parte entera es 0. ¿Qué pasa cuando a es negativo? Si a es entero, coincide con su parte entera. Si a no es entero es fácil verificar (ejercicio) que su parte entera es igual a -⌊-a⌋ -1.

Densidad de los Racionales

Sea $\alpha$ un número real cualquiera y sea $n$ un número entero positivo. Sea $m$ la parte entera de $n\alpha$. Por lo que tenemos que $m\leq n\alpha <m+1$, de donde

${\frac {m}{n}}\leq \alpha <{\frac {m+1}{n}}.$

Sigue de lo anterior que

$|\alpha -{\frac {m}{n}}|=\alpha -{\frac {m}{n}}<{\frac {m+1}{n}}-{\frac {m}{n}}={\frac {1}{n}}.$

Es decir que la distancia de $\alpha$ a $m/n$ es inferior a $1/n$, por lo que decimos que $m/n$ es una aproximación raciona} al número real $\alpha$ con un error de a lo más $1/n$ ($|\alpha -m/n|<1/n)$ . Lo anterior tiene la siguiente importante consecuencia.

Proposición 2.5.1 (Densidad de los Racionales). Sea a un número real. Entonces, para todo r>0, hay un racional q tal que |a-q|<r.

Demostración. Sea r >0 dado. Por la propiedad arquimediana, podemos hallar un n tal que 1/n <r y, en consecuencia, tal que
|a-m/n|<1/n < r.

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En otras palabras, dado un número real a, podemos hallar un número racional q que está tan cerca de a como queramos. “Como queramos” quiere decir que podemos escoger r > 0 arbitrariamente pequeño. Este es un resultado de tipo topológico, ya que nos habla de proximidad de puntos de un conjunto. Esta propiedad se conoce como la densidad de los Racionales en los Reales.

La densidad de los Racionales en los Reales tiene una gran cantidad de aplicaciones, entre ellas la posibilidad de computar con los Reales aproximándolos por Racionales. Otra interesante aplicación está contenida en la siguiente proposición.

Proposición 2.5.2. Entre dos números reales, siempre hay un número racional.

Demostración. Sean a, b números reales tales que a < b. Sea c = (a+b)/2, el punto medio entre a y b. Sea r = (b-a)/2 (= |c-a| =|c-b|). Entonces, en ]c-r,c+r[, hay un racional q. Luego ${\begin{array}{lcl}\scriptstyle |q-c|<r&\iff &\scriptstyle c-r<q<c+r\\&\iff &{\frac {a+b}{2}}-{\frac {b-a}{2}}<q<{\frac {a+b}{2}}+{\frac {b-a}{2}}\\&\iff &\scriptstyle a<q<b.\end{array}}$

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Los Reales Extendidos

Los lectores seguramente habrán encontrado, anteriormente, los símbolos ±∞ de manera informal. Algunas veces, especialmente calculando límites en infinito, podía ser conveniente tratar a ±∞ como “números”. Mostraremos en esta sección como formalmente hacer lo anterior, mediante la introducción de los Reales Extendidos. Se trata de un conjunto denotado por R^# y que estará formado por todos los reales (ordinarios) y los símbolos +∞ y −∞. Para nosotros, los Reales Extendidos nos servirán para ilustrar nociones métricas y topológicas que veremos más adelante. A continuación, extenderemos (aunque sea parcialmente) las operaciones de R y el orden de R, a R^#.

R^# := R ∪ {+∞,-∞}.

Extensión de las Operaciones

Suponemos válidas para R^# la asociatividad y la conmutatividad de la suma y la multiplicación. Igualmente, la distributividad de la multiplicación. Supondremos, además, lo siguiente: para cada número real a se cumple:

+∞ ± a = +∞	+∞∗ a = +∞, a > 0
-∞ ± a = −∞	+∞∗ a = +∞, a < 0
	−∞∗ a = −∞, a > 0
	−∞∗ a = +∞, a < 0
+∞+∞ = +∞	+∞∗ +∞ = +∞
−∞−∞ = −∞	−∞∗ −∞ = +∞

Además, −∞ < a < +∞. El resto de las combinaciones psobles queda indefinido.

Definiremos también que |+∞| = |-∞| = +∞; y, agregaremos el siguiente convenio

sup(∅) := +-∞, ınf(∅) = +∞.

Cualquier subconjunto no vacío de R^# tiene como cota superior a +∞; además cuando se trate de un subconjunto no acotado en R, esa sera su única cota superior, es decir que será su supremo. Análogas observaciones para −∞. Cuando A sea vacío, su supremo será −∞ (Notemos que cuando A es vacío, para todo real a se cumple que x ∈ A =⇒ x ≤ a (Un condicional es siempre válido cuando su antecedente es falso). Análogamente,ınf(∅) = +∞. Sigue de lo anterior, que cualquier subconjunto de R^# tiene supremo e ínfimo.

Proposición 2.6.1. Sean A y B subconjuntos no vacíos de R^# tales que A ⊂ B. Entonces

ınf(B) ≤ inf(A) ≤ sup(A) ≤ sup(B).

Demostración. Ejercicio.

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Ejercicios 2.6.

1. Probar la proposición 2.6.1.
2. Hallar en R^# el conjunto solución de
   1. |x| < 5.
   2. |x| > 5.
   3. |x| < +∞.
   4. |x| > +∞.

Ejercicios del Capítulo 2

1. Sea α un número real cualquiera y sea A =]-∞, α[= {x ∈ R : x < α}. Probar que
   a) Si x está en A y y < x entonces y está en A.
   b) El conjunto A no es ni vacío ni igual a R.
   c) Si x está en A hay un y en A que es mayor que x.
2. Hallar sup(A) e ínf(A) para cada uno de los siguientes conjuntos.
   1. A = {x ∈ R : x² - 4x < 21}.
      
   2. A = {x ∈ R : x² < 5}.
      
   3. A = {x ∈ R : x² > 11}.
      
   4. A = {2 + 1/n : n ∈ N}.
3. Sea A ⊂ R. s es un supremo de A, ssi, s es una cota superior de A y para todo ε > 0 hay x en A tal que x > s - ε.
4. Sea A ⊂ R. m es un ínfimo de A, ssi, s es una cota inferior de A y para todo ε > 0 hay x en A tal que x − ε < m.
5. Investigar la validez de los siguientes enunciados.
   1. Para todo número real x > 0 hay un número irracional y tal que 0 < y < x.
      
   2. Para todo número real x > 0 hay un número irracional y tal que y < x.
6. Sea A un conjunto no vacío acotado superiormente de los Reales. ¿Cuáles de los conjuntos siguientes son acotados superiormente? En caso afirmativo, cuál es la relación entre su supremo y el supremo de A.
   1. 5A = {5a : a ∈ A}.
   2. A + b = {a + b : a ∈ A}, b número real cualquiera.
      
   3. A² = {a² : a ∈ A}.
7. Sean A y B subconjuntos acotados superiormente de los Reales. ¿Cuáles de los conjuntos siguientes son acotados superiormente. En caso afirmativo, cuál es la relación entre su supremo y los supremos de A y de B. Repetir para los ínfimos.
   1. A ∗ B = {ab : a ∈ A, b ∈ B}.
      
   2. −A = {-a : a ∈ A}.
      
   3. A ∪ B.
      
   4. A ∩ B.
8. Sea f : [0, 1] → [a, b], a < b, tal que f(t) = (b − a)t + a. Probar que
   1. f es biyectiva con imagen [a, b].
      
   2. La restricción de f a ]0, 1[ tiene como imagen a ]a, b[.
9. (Biyecciones entre intervalos reales)
   1. Probar que si A = [a, b] y B = [c, d], a < b y c < d, hay una función biyectiva de A en B. Además, dicha función se puede escoger de modo que preserve el orden (s, t ⇒ f(s) < f(t)).
      
   2. (♠) Sea f : R → R tal que f(t) = arctan(t). Probar que f es biyectiva con imagen ]-π/2, π/2[.a) 5A = {5a : a ∈ A}.