Matemáticas/Teoría de conjuntos/Intuitiva/Producto cartesiano

1.6.1. En matemáticas, un par ordenado es un par $(a,b)$ de objetos $a$ y $b$ tal que si $(c,d)$ es otro par ordenado, $(a,b)$ y $(c,d)$ serán iguales si y solo si $a=c$ y $b=d$. La idea de esta descripción es garantizar que el orden de los componentes de un par ordenado importe. Sin embargo, no es sino en la teoría de conjuntos donde el concepto de par ordenado encuentra una definición al ser considerado como un tipo especial de conjunto que cumple lo que se acaba de describir del mismo. En realidad existen varias definiciones de par ordenado dentro de la teoría de conjuntos, aunque la más común, y la que usaremos aquí, es aquella donde el par ordenado $(a,b)$ se define por

$~(x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}$

para todo $x$ e $y$ Para ver que esta definición de par ordenado es adecuada, hemos de mostrar que

$(a,b)=(c,d)$ si y solo si $a=c$ y $b=d$.

para cualesquiera $a$, $b$, $c$, $d$. Sea pues $(a,b)=(c,d)$. Entonces

$\{a\}=\{c\}$ y $\{a,b\}=\{c,d\}$ o $\{a\}=\{c,d\}$ y $\{a,b\}=\{c\}$.

Si $a=b$, todo se reduce fácilmente a $a=b=c=d$ considerado que dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los mismos elementos. Si $a\neq b$, entonces no puede ser $\{a\}=\{c,d\}$ y $\{a,b\}=\{c\}$, pues si $\{a,b\}=\{c\}$ resulta $a=b=c$ por definición de la igualdad de conjuntos, lo que contradice $a\neq b$, y por tanto ha de ser $\{a\}=\{c\}$ y $\{a,b\}=\{c,d\}$, con lo que claramente $a=c$, además de que $b=d$, pues suponer que $b=c$ nos lleva de nuevo a $a=b$ cuando la hipótesis dice lo contrario.

La definición de par ordenado anterior se debe a Kuratowski, quien la introdujo en 1921.

Ejercicio: Probar que es posible definir el par ordenado por

$(x,y)=\{\{\{x\},\varnothing \},\{\{y\}\}\}$

para todo $x$ e $y$ mostrando que en ese caso también se cumple

$(a,b)=(c,d)$ si y solo si $a=c$ y $b=d$.

para cualesquiera $a$, $b$, $c$ y $d$. Esta definición de par ordenado la dio Weiner en 1914.

Ejercicio: Considérese la definición de pares ordenados de Kuratowski. Probar que si $a\in x$ y $b\in x$, entonces $(a,b)\in {\mathcal {PP}}(x)$. Probar que, más generalmente, si $a\in x$ y $b\in y$, entonces $(a,b)\in {\mathcal {PP}}(x\cup y)$

1.6.2. La definición de par ordenado se puede generalizar inductivamente para cualquier número $n$ de componentes, mediante la ecuación

$(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=((a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n-1}),a_{n})$.

1.6.3. Sean $x$ e $y$ dos conjuntos. El producto cartesiano de $x$ e $y$ es el conjunto $x\times y$ definido por

$x\times y=\{(a,b)\mid a\in x$ y $b\in y\}$.

Es decir, $x\times y$ es el conjunto de todos los pares ordenados cuyo primer componente es un elemento de $x$ y segundo componente un elemento de $y$.

Dados cualesquiera dos conjuntos $x$, $y$, $z$, tenemos

( P-1 ) $x\times (y\cup z)=(x\times y)\cup (x\times z)$

( P-2 ) $x\times (y\cap z)=(x\times y)\cap (x\times z)$

( P-3 ) $x\times (y-z)=(x\times y)-(x\times z)$

( P-4 ) $x\times y=\varnothing$ si y solo si $x=\varnothing$ o $y=\varnothing$

( P-5 ) $x\subseteq v$ y $y\subseteq w$ si y solo si $x\times y\subseteq v\times w$

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