1.7.1. Sean
e
dos conjuntos cualesquiera. Cualquier subconjunto
del producto cartesiano
que cumpla
( F-1 ) para todo
existe
tal que
y
( F-2 )
y
implica
,
se dice función de
en
. Para indicar que
es una función de un conjunto
en otro
, es común escribir
.
1.7.2. Sean dos conjuntos
e
, y sea
una función de
en
. Si
se dice que
es antecedente de
por medio de
, y que
es imagen de
por medio de
. Por definición, un elemento
no puede tener ni más ni menos que una sola imagen
, que representaremos por
(de modo que
si y solo si
). El conjunto
se dice dominio de la función
, y se representa comúnmente por
, mientras que el subconjunto
tal que para todo
existe
tal que
(i.e. el subconjunto de
que contiene solo las imágenes de los elementos de
por medio de
) se dice rango de la función
, y se representa por
.
1.7.3. Claramente dos funciones
y
son iguales si y solo si
para todo
.
1.7.4. Tenemos también que si
e
son dos conjuntos, y si
es cualquier función de
en
, entonces
, y así
. Luego, si
es el conjunto de todas las funciones
,
, de modo que
.
1.7.5. Sea
un conjunto cualquiera, y sea
. Claramente
.
1.7.6. Sea
un conjunto. La función
,
que envía un elemento
de
con un subconjunto de
, se denomina familia de subconjuntos de
indicada por
. El conjunto
se denomina en este caso conjunto de índices (por lo que cada
se dice un índice), y la imagen de cualquier
por medio de esta función se representa por
.
Por ejemplo, considérese el conjunto
,
y el conjunto de índices
. Existen varias familias de subconjuntos de
indicadas por
. Una de estas puede ser la función
,
dada por
.
Otra puede ser la que viene dada por
.
1.7.7. Sea la función
de un conjunto
en otro
;
Si
(F-3) para cualesquiera
y
implica
,
es decir, si cualesquiera distintos elementos de
tienen distintas imágenes en
, se dice que
es una función inyectiva o que es una inyección.
Si
(F-4) para todo
existe
tal que
,
es decir, si
(i.e. si todo
es imagen), se dice que
es una función sobreyectiva (o suprayectiva), que es una función de
sobre
, o que es una sobreyección.
(F-5) Una función que es a la vez inyectiva y sobreyectiva se dice función biyectiva o biyección.
1.7.8. Sea
, y sea
un subconjunto de
(i.e. un elemento de
). El conjunto
dado por
existe
tal que
,
se dice imagen del subconjunto
por
. Es decir,
es el conjunto de todos los
que son imagen de algún elemento de
. Así pues,
y, en particular,
.
Nótese que, si
, entonces
es un conjunto con un solo elemento, a saber, la imagen de
por
.
1.7.9. Por otra parte, si
, entonces se define el conjunto
por
,
y se llama a este conjunto imagen recíproca de
por
. Así pues,
.
Puesto que todo elemento de
tiene una imagen en
, tenemos que, como caso particular,
.
Sin embargo, debemos tener presente que, si bien
, donde
, siempre es un conjunto con un solo elemento, el conjunto
con
puede ser vacío, ya que la definición de función no garantiza que todo elemento de
tenga un antecedente en
. Sin embargo esto si esta garantizado cuando
es sobreyectiva, de modo que, en ese caso, el conjunto
contiene cualquier elemento de
cuya imagen sea
. Si
es además inyectiva, entonces
es biyectiva, de modo que
es la imagen de solo un elemento
de
, y así
contiene solo a tal elemento
.
1.7.10. Veamos ahora algunas propiedades generales de las funciones. Para esto definimos una función
y dos familias
e
de subconjuntos de
e
respectivamente. Convenimos también en que
,
e
,
representan, respectivamente, subconjuntos de
y subconjuntos de
.
Tenemos que
(a)
implica
.
Demostración: Sea pues
. Si
, entonces, por definición (véase ¿?), existe
tal que
, pero en tal caso
, pues
, de modo que
. QED
(b)
implica
.
Demosracón: Si
, entonces
, puesto que
, se tiene
, luego
, y así
. QED
(c)
.
Demostración: Sea
. La imagen de
por
,
, está en el conjunto
, y así
. QED
Si, en particular, la función
es inyectiva, entonces
(d)
.
(e)
.
Demostración: Si
, entonces
es la imagen de algún
, y así
. QED
Si, en particular,
es sobreyectiva, entonces
(f)
.
(g)
implica
.
Demostración: En vista de (d), solo queda demostrar que, si
, entonces
. Esto es fácil considerando que
solo contiene elementos que son imágenes, y por tanto esto también es cierto para
, de modo que si
,
, luego
, con lo que la prueba termina. QED
(h)]
.
Demostración: Sea
. Así, existe
tal que
, pero en ese caso
, de modo que
, y con esto
. Solo falta demostrar que
, lo que consiste de seguir los pasos anteriores en el sentido opuesto. QED
Si, en particular,
es inyectiva, se cumple
(i)
.
Demostración: Sea
. Entonces, puesto que
es inyectiva, existe un único
tal que
. Luego,
, de modo que
, y así
. QED
Debemos hacer énfasis en que el resultado anterior no se cumple para cualquier función
a menos que esta sea inyectiva. Por ejemplo, si
no es inyectiva, puede ser
, pero esto no es suficiente para garantizar que
, por que al no ser
inyectiva, podría existir un
tal que
, caso en el cual la imagen de
está en
por que es la misma imagen de un elemento que si esta en
.
Si, en particular, la función
es sobreyectiva, tenemos
(j)
.
Demostración: Si
, tenemos que
, por lo que
no tiene ningún antecedente en
. Notemos que, por ser
una sobreyección,
tiene por lo menos un antecedente en
. Sea
cualquiera de estos antecedentes de
, es decir, sea
. Tenemos que
, por lo que
, lo que demuestra lo que se quería. QED
Si la función
es biyectiva (es decir, si es tanto inyectiva como sobreyectiva), se cumple, en vista de (h) e (i), lo siguiente
(k)
.
1.7.11. Sea
una familia de subconjuntos de un conjunto
. Es común llamar simplemente unión de
a la unión de los conjuntos del rango de
, que se representa por
y que se define (véase 1.3.4) naturalmente por
.
1.7.12. Sea una función
. Se cumplen:
(a)
.
Demostración: Si
, entonces existe al menos un
tal que
, y de esta manera
, y con ello
, para almenos un
. Así,
, lo que demuestra
. Invertir todos los pasos de esta prueba para demostrar que
se deja como ejercicio para el lector. QED
(b)
.
La demostración se deja como ejercicio para el lector.
1.7.13. Por otra parte, la intersección de los conjuntos del rango de la familia
, que se representa por
, se dice simplemente intersección de
. Así pues (véase 1.3.5),
.
1.7.14. Sea una función
. Se cumplen
(a)
.
Demostración: Sea
. Entonces existe
tal que
, con
para todo índice
. Por esta razón,
para todo
, con lo que
. QED
(b)
.
Demostración: Si
,
es el antecedente de un único
, es decir,
. Pero si
, entonces
para todo índice
. Así
para todo
, luego
. Esto demuestra que
. Demostrar que
se deja como ejercicio al lector. QED
Si la función
es además inyectiva, se cumple
(c)
.
Demostración: En vista de (a), solo queda demostrar que, en caso de que
sea inyectiva,
. Para esto, sea
, de manera que
para todo índice
. Puesto que
es inyectiva,
no es imagen más que de un único elemento a, y que, al ser
para todo índice
, cumple con
para todo
, con lo que
. Así
, lo que demuestra lo que se quería. QED
Resaltamos que el enunciado (c) se cumple solo en caso de que la función
sea inyectiva. La razón es que un elemento
puede no estar en
para todo
, y sin embargo, puede que su imagen
si esté en todos los conjuntos
debido a que es la imagen de algún otro elemento contenido en los conjuntos
que no tienen a
. Por ejemplo, supóngase
, cuya imagen es
, no está en
para algún
, pero que este conjunto
contiene otro elemento
cuya imagen es también
, de tal manera que
para cualquiera que sea el índice
sin necesidad de que
para todo
. En ese caso (cuando
es no inyectiva) tenemos
.
1.7.15. La función
dada por
para todo
, y que por tanto envía cada elemento de
consigo mismo, se llama función identidad.
Es claro que, siendo
,
y
.
Si
, esto se reduce a
.
1.7.16. Sean
e
dos conjuntos y considérese una función
. Sea
un subconjunto de
. La función
dada por
,
se dice restricción de
a
. Esto es,
,
por lo que la restricción de
a
es una función que resulta de 'recortar' el dominio de
. Es claro que
.
1.7.17. Sea
un conjunto y
un subconjunto de
. La aplicación
dada por
,
e.i. la restricción
, se llama inyección canónica de
en x.
1.7.18. Sea
una aplicación de un conjunto
en otro
, y sea
una aplicación de
en un conjunto
. La aplicación
dada por
se dice composición de
y
. Esto es,
resulta de aplicar
seguida de
, por lo que si
envía un elemento
con un elemento
y
envía a
con un elemento
, entonces
envía directamente el elemento
con el elemento
(Refiérase a la figura de abajo).

1.7.19. Sean las funciones
,
y
. Tenemos que
. Para convencernos de ello es suficiente ver que
y que
.
1.7.20 Si
es una función biyectiva, puede definirse la función
, llamada función inversa de
, por
si y solo si
.
Es decir,
si y solo si
.
1.7.21 Es inmediato que
.
1.7.22. Además, se observa que
y
,
por lo que
y
.
Si
, esto se simplifica a
.
1.7.23. Nótese también que, siendo
,
.
1.7.24. Es claro que
existe cuando
es biyectiva. Además la función inversa de una función es única. Para probar esto, supóngase que
y
son dos funciones inversas de una función
. Entonces
,
y
,
y por tanto
.
1.7.25. Sean las funciones
y
. Entonces
.
En efecto, pues
es función inversa de
, y
con lo que
es también función inversa de
, y así
y
han de ser la misma función (pues la inversa de cualquier función es única). Otra forma de demostrar que
es el argumento siguiente: Sea
. Se sigue que
, y de esto que
para un
tal que
, o sea que
y
, de modo que
y
, y por tanto
. Esto prueba que
, y probar que
resulta de recorrer todos los pasos anteriores de forma invertida.
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