Matemáticas/Teoría de conjuntos/Intuitiva/Conjuntos potencia

1.5.1. Un conjunto muy importante en la teoría de conjuntos es aquel que, dado un conjunto cualquiera, contiene todos los subconjuntos de este conjunto . Un conjunto así se llama conjunto potencia. Más exactamente, si es un conjunto, entonces el conjunto potencia de es el conjunto dado por


.

1.5.2. Puesto que , , y por tanto contiene un solo elemento, y por ello . Sea un conjunto con elementos. Entonces, existen subconjuntos de con un solo elemento, subconjuntos de con dos elementos, subconjuntos de con 3 elementos, y así sucesivamente hasta llegar a los subconjuntos de con elementos. De este modo, tiene



elementos, siendo esta última ecuación un caso particular del binomio de Newton. Como puede verse, el conjunto potencia de un conjunto contiene en general muchos más elementos que el conjunto , razón por la cual es difícil dar ejemplos de conjuntos potencia.


1.5.3. Nótese que equivale a .


1.5.4. Algo más interesante y conveniente de notar es que



para cualquier conjunto . En efecto, pues de , se sigue para algún , es decir, para algún , por lo que . Recíprocamente, si , entonces para algún conjunto (e.g. el conjunto ), luego .


1.5.5. Como hecho más general, si es una colección de subconjuntos de un conjunto , es decir si , entonces .


1.5.6. Ahora vamos a generalizar algunas leyes a cerca de la unión e intersección de conjuntos. Primero, considérese un conjunto dado , y luego considérese una colección de subconjuntos de . Fórmese la unión


,


un subconjunto de . El complemento


,


es un subconjunto de . Si , entonces , por lo que para todo , y puesto que , el complemento existe y para todo . Así, . El conjunto anterior es en efecto una intersección de los conjuntos de una colección, a saber


y .


Sea un conjunto y una colección de subconjuntos de . El resultado anterior, y otro cuya demostración se deja como un sencillo ejercicio al lector, se presentan a continuación:

Las proposiciones anteriores son una generalización de las leyes de De Morgan.



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