Diferencia entre revisiones de «Matemáticas/Teoría de grupos/Clases laterales»
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Línea 58:
{{Proof|1=Efectivamente, pues hemos visto que todas las clases laterales <math>aH</math> tienen el mismo cardinal <math>m</math> (que es también el cardinal de cualquier clase <math>Ha</math>), y si hay <math>n=[G:H]</math> de estas clases, entonces el orden de <math>G</math> es <math>nm</math>.}}
En realidad el teorema anterior puede generalizarse para grupos no necesariamente finitos:
<font size=3>'''Teorema 4:'''</font> ''Sea <math>G</math> un grupo y <math>K\leq H\leq G</math>. Entonces''
{{Eqn|<math>[G:K]=[G:H][H:K]</math>}}
{{Proof|1=Tenemos que
{{Eqn|<math>G=\bigcup_{i\in I}g_iH\qquad\mbox{y}\qquad H=\bigcup_{j\in J}h_jK,</math>}}
donde <math>g_i\in G</math> y <math>h_j\in H</math> y las clases laterales <math>g_iH\,\!</math> son disjuntas entre sí, al igual que lo son las clases <math>h_jK\,\!</math>. Además, nótese que <math>|I|=[G:H]\,\!</math> y <math>|J|=[H:K]\,\!</math>. Tenemos pues que
{{Eqn|<math>G=\bigcup_{i\in I}g_i\left(\bigcup_{j\in J}h_jK\right)=\bigcup_{(i,j)\in I\times J}g_ih_jK.</math>|1}}
Vamos a probar ahora que las clases laterales <math>g_ih_jK</math> son disjuntas, es decir, que <math>g_ih_jK=g_rh_sK</math> si y sólo si <math>i=r</math> y <math>j=s</math>. Supóngase pues que <math>g_ih_jK=g_rh_sK</math>, de modo que <math>g_ih_j=g_rh_sk</math> para cierto <math>k</math> de <math>K</math>, pero como <math>h_i,h_s,k\in H</math>, tenemos que <math>g_iH=g_rH</math>, luego <math>i=r</math>. Esto da paso a que sea <math>h_j=h_sk</math>, lo cual lleva claramente al hecho de que <math>h_jK=h_sK</math>, luego también <math>j=s</math> y así la unión {{Eqnref|1}} es de clases mutuamente disjuntas, lo que implica que
{{Eqn|<math>~[G:K]=|I\times J|=|I||J|=[G:H][H:K]</math>}}
y el teorema queda demostrado.}}
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