Matemáticas/Teoría de grupos/Clases laterales

Clases laterales

Uno de los resultados más destacables de la sección anterior es el hecho de que todo subgrupo de un grupo cíclico es igualmente cíclico. Este resultado fue muy sencillo de demostrar. Sin embargo, la tarea general de determinar explícitamente los subgrupos de un grupo cualquiera resulta mucho más complicada, y no podremos concluirla hasta mucho después. No obstante, es relativamente fácil encontrar la relación que existe entre el orden de un grupo y el orden de sus subgrupos, y a eso nos dedicaremos en esta sección.

Nos serán útiles los conceptos siguientes:

Definición 1.24: Sea $G$ un grupo y $H$ un subgrupo de $G$. Diremos que dos elementos $a$ y $b$ de $G$ son congruentes por la izquierda módulo $H$ si $a^{-1}b\in H$. Este hecho lo representaremos por $a\equiv _{i}\ b\ ({\mbox{mod}}\ H)$. Similarmente, $a$ y $b$ serán congruentes por la derecha si $ab^{-1}\in H$, y lo denotaremos por $a\equiv _{d}\ b\ ({\mbox{mod}}\ H)$.

Las relaciones de congruencia módulo un subgrupo $H$ por la izquierda y por la derecha son relaciones de equivalencia. Probaremos esto para el caso de la relación $\equiv _{i}\ ({\mbox{mod}}\ H)$. Si $G$ es un grupo y $H\leq G$, entonces $a\equiv _{i}\ a\ ({\mbox{mod}}\ H)$, pues $a^{-1}a=1\in H$, luego $\equiv _{i}\ ({\mbox{mod}}\ H)$ es reflexiva. Si $a\equiv _{i}\ b\ ({\mbox{mod}}\ H)$, entonces también $(a^{-1}b)^{-1}\in H$, pero $(a^{-1}b)^{-1}=b^{-1}a$, de modo que $b\equiv _{i}\ a\ ({\mbox{mod}}\ H)$ y $\equiv _{i}\ ({\mbox{mod}}\ H)$ es simétrica. Si $a\equiv _{i}\ b\ ({\mbox{mod}}\ H)$ y $b\equiv _{i}\ c\ ({\mbox{mod}}\ H)$, entonces también $(a^{-1}b)(b^{-1}c)\in H$, y como $(a^{-1}b)(b^{-1}c)=a^{-1}c$, tenemos que $a\equiv _{i}\ c\ ({\mbox{mod}}\ H)$, y con ello $\equiv _{i}\ ({\mbox{mod}}\ H)$ es transitiva. Esto prueba que la relación de congruencia módulo $H$ es una relación de equivalencia.

Tenemos entonces que, si $G$ es un grupo y $H\leq G$, las relaciones de congruencia $\equiv _{i}\ ({\mbox{mod}}\ H)$ y $\equiv _{d}\ ({\mbox{mod}}\ H)$ definen cada cual una partición del grupo $G$ en clases de equivalencia. La clase de equivalencia de un elemento $a$ de $G$ por la relación de congruencia módulo $H$ por la izquierda es el conjunto

$aH=\{ah\mid h\in H\}.$

Efectivamente, pues si $b$ es uno de los elementos de la clase de equivalencia de $a$ por esta relación de congruencia, $a\equiv _{i}\ b\ ({\mbox{mod}}\ H)$, es decir, $a^{-1}b=h$ para cierto $h$ de $H$, lo que equivale a que $b=ah$. Similarmente se prueba que la clase de equivalencia de un elemento $a$ de $G$ por la relació de congruencia módulo $H$ por la derecha es el conjunto

$Ha=\{ha\mid h\in H\}$.

Llamaremos clase lateral izquierda de $a$ y clase lateral derecha de $a$ según el subgrupo $H$ a los conjuntos $aH$ y $Ha$, respectivamente. Al conjunto cociente de todas las clases laterales $aH$ (con $a\in G$) lo representaremos por $\left(G/H\right)_{i}$, mientras que al conjunto cociente de todas las clases laterales $Ha$ lo representaremos por $\left(G/H\right)_{d}$

Tanto $aH$ como $Ha$ tienen cardinal igual a $|H|$, pues, por ejemplo, la aplicación

${\begin{array}{rcl}f:aH&\longrightarrow &H\\ah&\mapsto &h\end{array}}$

es claramente biyectiva, luego $|aH|=|H|$. Más aún, también es cierto que

$\left|(G/H)_{i}\right|=\left|(G/H)_{d}\right|,$

La prueba de esto es que la aplicación $f:(G/H)_{i}\longrightarrow (G/H)_{d}$ dada por

$f(aH)=Ha^{-1}$

está bien definida (hecho que puede verificar el lector) y es biyectiva.

Definición 1.25: Sea $G$ un grupo y $H$ un subgrupo de $G$. Llamaremos índice de $H$ en $G$ al cardinal $\left|(G/H)_{i}\right|=\left|(G/H)_{d}\right|$. Lo representaremos por

$[G:H]\,\!$

Por todo lo anterior, tenemos que se cumple el siguiente hecho

Teorema 1.26 (Lagrange): Si $G$ es un grupo finito y $H$ es un subgrupo de $G$, entonces

$[G:H]=|G|/|H|\,\!$,

así que el orden de todo subgrupo $H$ de $G$ es divisor del orden de $G$.

Demostración: Efectivamente, pues hemos visto que todas las clases laterales $aH$ tienen el mismo cardinal $m$ (que es también el cardinal de cualquier clase $Ha$), y si hay $n=[G:H]$ de estas clases, entonces el orden de $G$ es $nm$.

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En realidad el teorema anterior puede generalizarse para grupos no necesariamente finitos:

Teorema 1.27: Sea $G$ un grupo y $K\leq H\leq G$. Entonces

$~[G:K]=[G:H][H:K]$

Demostración: Tenemos que

$G=\bigcup _{i\in I}g_{i}H\qquad {\mbox{y}}\qquad H=\bigcup _{j\in J}h_{j}K,$

donde $g_{i}\in G$ y $h_{j}\in H$ y las clases laterales $g_{i}H\,\!$ son disjuntas entre sí, al igual que lo son las clases $h_{j}K\,\!$. Además, nótese que $|I|=[G:H]\,\!$ y $|J|=[H:K]\,\!$. Tenemos pues que

$G=\bigcup _{i\in I}g_{i}\left(\bigcup _{j\in J}h_{j}K\right)=\bigcup _{(i,j)\in I\times J}g_{i}h_{j}K.$

(1.3)

Vamos a probar ahora que las clases laterales $g_{i}h_{j}K$ son disjuntas, es decir, que $g_{i}h_{j}K=g_{r}h_{s}K$ si y sólo si $i=r$ y $j=s$. Supóngase pues que $g_{i}h_{j}K=g_{r}h_{s}K$, de modo que

$~g_{i}h_{j}=g_{r}h_{s}k$

para cierto $k$ de $K$. Ya que $h_{j},h_{s},k\in H$, tenemos que

$~g_{i}=g_{r}h_{t}$

para cierto $h_{t}=h_{s}kh_{j}^{-1}$ de $H$, luego $g_{i}H=g_{r}H$, y entonces $i=r$. Esto da paso a que sea

$~h_{j}=h_{s}k,$

lo cual lleva claramente al hecho de que $h_{j}K=h_{s}K,$, luego también $j=s$ y así la unión (1.3)

es de clases mutuamente disjuntas, lo que implica que 

$~[G:K]=|I\times J|=|I||J|=[G:H][H:K]$

y el teorema queda demostrado.

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Ahora el teorema 1.26 se convierte en un caso particular del teorema 1.27 cuando $G$ es finito y tomando $K=1$.

Sea $G$ un grupo y $H,K\subseteq G$. Se define

$HK=\{ab\mid a\in H\ \ {\mbox{y}}\ \ b\in K\}.$

(Este conjunto puede no ser un grupo aún cuando $H$ y $K$ lo sean). Si, por ejemplo, $H=\{a\}$ y $K\leq G$, entonces $HK$ es la clase lateral izquierda de $a$ según el subgrupo $K$. Si $H\leq G$ y $K\subseteq H$, notar que $HK=H$.

Teorema 1.28 Si $H$ y $K$ son subgrupos finitos de un grupo $G$, entonces

$|HK|={\frac {|H||K|}{|H\cap K|}}.$

Demostración: Si $H,K\leq G$, entonces $H\cap K$ es también un subgrupo de $G$, aunque también lo es de ambos $K$ y $H$, así que

$H=\bigcup _{i\in I}h_{i}(H\cap K),$

(1.4)

siendo esta unión disjunta y $|I|=[H:H\cap K]$. Si multiplicamos (1.4)

por $K$ y teniendo en cuenta que $(H\cap K)K=K$, obtenemos

$HK=\bigcup _{i\in I}h_{i}K,$

siendo esta unión igualmente disjunta (pues si no lo fuera tampoco lo sería (1.4)

). Por tanto, $|HK|=|I||K|=[H:H\cap K]|K|$, pero por el teorema de Lagrange $[H:H\cap K]=|H|/|H\cap K|$, de donde se sigue el resultado que se buscaba.

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