Curso de alemán para principiantes con audio/Lección 077b

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Lección 077

Mathematik auf Deutsch - 27

BM1301 - BM1310

BM1301

Ausführbarkeit der Division in der Menge der rationalen Zahlen (ℚ; rationale Zahlen = gebrochene Zahlen)

---

In der Menge der rationalen Zahlen ist die Division uneingeschränkt ausführbar (mit Ausnahmeder Division durch Null).

---

In der Menge der natürlichen Zahlen (ℕ) ist die Division NICHT uneingeschränkt ausführbar.

Im Bereich der ganzen Zahlen gilt: Eine Division ist nur dann gänzlich durchführbar, wenn der Dividend ein ganzzahliges Vielfaches des Divisors ist. Im Allgemeinen ist die Division hingegen nicht vollständig durchführbar, das heißt, es bleibt ein Rest übrig.

---

Es gibt mehrere Schreibweisen für die Division:

a:b

oder

a\div b

oder

a/b

oder

{\frac {a}{b}}

oder

a\cdot b^{-1}

.

Der Doppelpunkt als Zeichen für die Division ist erst seit Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) allgemein üblich.

Die Schreibweise

{\frac {a}{b}}

heißt auch Bruchdarstellung oder kurz Bruch.

BM1302

a :

{\tfrac {z}{n}}

= a *

{\tfrac {n}{z}}

=

{\tfrac {a*n}{z}}

Beispiel:

3 :

{\tfrac {2}{5}}

= 3 *

{\tfrac {5}{2}}

=

{\tfrac {15}{2}}

= 7

{\tfrac {1}{2}}

---

Beachte!

3 *

{\tfrac {5}{2}}

≠ 3

{\tfrac {5}{2}}

Nicht verwechseln! Mit „Mal-Punkt“ ist es etwas anderes, als ohne!

---

{\tfrac {a}{b}}

: z =

{\tfrac {a}{b}}

*

{\tfrac {1}{z}}

=

{\tfrac {a}{b*z}}

Beispiel:

{\tfrac {3}{7}}

: 2 =

{\tfrac {3}{7}}

*

{\tfrac {1}{2}}

=

{\tfrac {3}{7*2}}

=

{\tfrac {3}{14}}

---

{\tfrac {1}{2}}

ist zu 2 reziprok und umgekehrt

---

{\tfrac {a}{b}}

:

{\tfrac {z}{n}}

=

{\tfrac {a}{b}}

*

{\tfrac {n}{z}}

=

{\tfrac {a*n}{b*z}}

Beispiel:

{\tfrac {3}{7}}

:

{\tfrac {2}{5}}

=

{\tfrac {3}{7}}

*

{\tfrac {5}{2}}

=

{\tfrac {3*5}{7*2}}

=

{\tfrac {15}{14}}

= 1

{\tfrac {1}{14}}

BM1303

Division durch Null

---

Die Division durch Null ist in der Menge der rationalen Zahlen (ℚ) und in der Menge der natürlichen Zahlen (ℕ) NICHT ausführbar. (nicht ausfürhbar = nicht möglich = man kann es nicht machen)

Die Division durch Null ist nicht definiert.

BM1304

Bild 1

Bild 2

Bild 3

Mehrfache Doppelbrüche

---

Rechne !

---

Bild 1

Bild 2

Bild 3

BM1305

Brüche erweitern

Brüche kürzen

---

Insbesondere in der Schulmathematik bezeichnet man die Verwendung des Distributivgesetzes zur Umwandlung einer Summe in ein Produkt als Ausklammern oder Herausheben. Das Auflösen von Klammern durch Anwenden des Distributivgesetzes wird als Ausmultiplizieren bezeichnet.

---

Brüche erweitern:

{\tfrac {a}{b}}

=

{\tfrac {a*n}{b*n}}

Beispiel:

{\tfrac {3}{4}}={\tfrac {3*7}{4*7}}={\tfrac {21}{28}}

---

Brüche kürzen:

{\tfrac {c}{d}}

=

{\tfrac {a*r}{b*r}}

=

{\tfrac {a}{b}}

Beispiel:

{\tfrac {10}{15}}

=

{\tfrac {2*5}{3*5}}

=

{\tfrac {2}{3}}

---

Brüche erweitern ist die umgekehrte Operation zu Brüche kürzen.

Wir können Brüche beliebig erweitern oder kürzen. Das heißt: Wir dürfen in einem Quotienten

{\tfrac {a}{b}}

den Dividenden und den Divisor mit derselben Zahl multiplizieren oder durch dieselbe Zahl dividieren.

Beispiel:

{\tfrac {2}{3}}

=

{\tfrac {4}{6}}

=

{\tfrac {6}{9}}

=

{\tfrac {20}{30}}

=

und

2 : 3 = 4 : 6 = 6 : 9 = 20 : 30

---

{\tfrac {24}{6}}

=

{\tfrac {12}{3}}

=

{\tfrac {4}{1}}

und

24 : 6 = 12 : 3 = 4 : 1

BM1306

ℕ

\subset

ℚ
(ℕ ist Teilmenge von ℚ)

Die natürlichen Zahlen (ℕ) sind eine Teilmenge der rationalen Zahlen (ℚ).

---

Natürliche Zahlen sind rationale Zahlen.

Alle natürlichen Zahlen lassen sich als Bruch darstellen, indem sie mit dem Nenner „1“ geschrieben werden.

Nicht alle rationale Zahlen sind natürliche Zahlen. Nur einige wenige rationale Zahlen sind natürliche Zahlen.

---

Jeder Bruch kann als Quotient natürlicher Zahlen geschrieben werden.

Es gilt also für beliebige natürliche Zahlen a und b (b ≠ 0):

{\tfrac {a}{b}}

= a : b (b ≠ 0)

---

Die rationalen Zahlen werden – insbesondere in der Schulmathematik – auch als Bruchzahlen bezeichnet, während der Ausdruck Bruch (Dezimalbruch, gewöhnlicher Bruch, gemischter Bruch ...) für bestimmte Schreibweisen einer rationalen Zahl verwendet wird.

---

Ein Dezimalbruch (mit dem Nenne 10; 100; 1000 usw.) wird auch Dezimalzahl genannt.

rationale Zahlen in Kommaschreibweise (z. 3,4)

rationale Zahlen in Bruchschreibweise (z.

{\tfrac {17}{5}}

)

---

{\tfrac {17}{5}}

= 3,4

BM1307

Rationale Zahlen (ℚ)

Umwandlung der Kommaschreibweise in Bruchschreibweise.

Umrechnung von Dezimalzahlen in Brüche

---

umrechnen - sich verrechnen - nachrechnen - vorrechnen - ausrechnen - berechnen

---

Das ist kinderleicht:

3 =

{\tfrac {3}{1}}

3,4 =

{\tfrac {34}{10}}

(34 Zehntel)

0,7 =

{\tfrac {7}{10}}

(7 Zehntel)

2,97 =

{\tfrac {297}{100}}

(297 Hundertstel)

32,97 =

{\tfrac {3297}{100}}

(3297 Hundertstel)

0,055 =

{\tfrac {5}{1000}}

(55 Tausendstel)

---

Vorgehen:

Die letzte Nachkommastelle sagt uns, ob es Zehntel, Hunderstel, Tausendstel oder Zehntausendstel sind.

Wir zählen die Anzal der Nachkommastellen. Dann schreiben wir in den Nenner eine 1 und so viel Nullen, wie es Nachkommastellen gibt.

Beispiel:

3,4 hat eine Nachkommastelle. Also kommt in den Nenner eine „1“ mit einer Null dahinter (das ist eine „10“).

3,4 =

{\tfrac {34}{10}}

(34 Zehntel)

---

0,055 hat drei Nachkommastelle. Also kommt in den Nenner eine „1“ mit drei Null dahinter (das ist eine „1000“).

0,055 =

{\tfrac {5}{1000}}

(55 Tausendstel)

BM1308

Die Umrechnung von Dezimalzahlen in Brüche ist kinderleicht.

Umgekehrt ist es schwieriger.

Die Umrechnung von Brüchen in Dezimalzahlen erfolgt durch Ausrechnen:

(Die schriftliche Division hatten wir bereits in Lektion 058b geübt.)

---

Beispiel:

{\tfrac {186}{8}}

186 : 8 = 23,25
16
--
 26  
 24
 --
  20
  16
  --
   40
   40
   --
    0

{\tfrac {186}{8}}

= 23,25

Ein Taschenrechner kann das natürlich schneller.

BM1309

Bild 1

Dichtheit in der Menge der rationalen (gebrochenen) Zahlen

---

Die Menge der natürlichen Zahlen ist (ℕ) unendlich. (0; 1; 2; 3; ... 10.000; 10.001; ... usw.)

Die Menge der rationalen Zahlen ist (ℚ) unendlich. (0; 0,0000001; ... 1; 2; 3; ... 10.000; 10.000,1; 10.000,00004 ... usw.)

Es gibt wesentlich mehr rationale Zahlen als natürliche Zahlen.

Zwischen zwei natürlichen Zahlen (z B. 4 und 5) gibt es eine Lücke. In diese Lücke passen unendlich viele rationale Zahlen rein.

Beispiel:

4; 4,0000001; 4,0070092; 4,000000000003; ... 5,899999999999; ... 5

---

Jedenatürliche Zahl hat genau einen Nachfolger.

Zwischen einer natürlichen Zahl und ihrem Nachfolger liegt keine weitere natürliche Zahl.

Jedoch gilt:

Keine gebrochene Zahl hat einen Nachfolger.

Beispiel:

{\tfrac {8}{10}}

hat keinen Nachfolger. Denn

{\tfrac {9}{10}}

kann nicht der Nachfolger sein, weil es immer noch eine Zahl gibt die dazwischen passen - beispielsweise:

{\tfrac {85}{100}}

oder

{\tfrac {8500}{10000}}

. Es gibt immer noch eine eine kleinere Zahl, die dazwischen passt.

---

Die gebrochenen Zahlen liegen überall dicht. Das deutet Bild 2 an. Auch wenn man die Vergrößerung viel größer macht ändert sich nichts daran. Es gibt immer noch eine kleinere gebrochene Zahl, die dazwischen passt.

Bild 2

BM1310

Berechne x!

---

a =

{\tfrac {7}{2}}

; b =

{\tfrac {5}{6}}

{\tfrac {a}{b}}

= x

Lösung BM1310
x = ${\tfrac {7}{2}}$ : ${\tfrac {5}{6}}$ = ${\tfrac {76}{25}}$ = ${\tfrac {42}{10}}$ = ${\tfrac {21}{5}}$ --- x = ${\tfrac {42}{10}}$ = 4,2

BM1311 - BM1320

BM1311

Berechne aus den folgenden Zahlenangaben jeweils nacheinander! Welche Aufgaben sind nicht lösbar?

1) a + b

2.) a - b

3.) b - a

4.) a * b

5.) a : b

6.) b : a

7.) a * a

8.) b * b

---

a) a =

{\tfrac {1}{2}}

; b =

{\tfrac {1}{3}}

b) a =

{\tfrac {3}{4}}

; b =

{\tfrac {4}{5}}

c) a =

{\tfrac {11}{5}}

; b =

{\tfrac {7}{3}}

---

d) a =

{\tfrac {3}{8}}

; b =

{\tfrac {5}{12}}

e) a =

{\tfrac {7}{20}}

; b =

{\tfrac {4}{15}}

BM1312

Berechne aus den folgenden Zahlenangaben jeweils nacheinander!

1) a + b

2.) b + c

3.) a + b + c

4.) a - b

5.) b - c

6.) a * b

7.) a * c

8.) a * b * c

9.) a : b

10.) a : c

11.) (a + b) * c

12.)(a - b) * c

13.) a + b * c

14.) a - b * c

---

a) a =

{\tfrac {3}{4}}

; b =

{\tfrac {7}{8}}

; c =

{\tfrac {1}{3}}

b) a =

{\tfrac {7}{12}}

; b =

{\tfrac {2}{5}}

; c =

{\tfrac {2}{15}}

c) a =

{\tfrac {2}{7}}

; b =

{\tfrac {5}{21}}

; c =

{\tfrac {3}{14}}

---

d) a =

{\tfrac {5}{6}}

; b =

{\tfrac {5}{8}}

; c =

{\tfrac {2}{3}}

e) a =

{\tfrac {5}{12}}

; b =

{\tfrac {8}{15}}

; c =

{\tfrac {7}{10}}

f) a =

{\tfrac {4}{9}}

; b =

{\tfrac {5}{36}}

; c =

{\tfrac {7}{18}}

BM1313

Berechne!

---

a)

{\frac {\frac {1}{3}}{\frac {1}{2}}}

; b)

{\frac {\frac {3}{4}}{\frac {6}{5}}}

; c)

{\frac {\frac {3}{4}}{\frac {5}{6}}}

---

d)

{\frac {\frac {1}{4}}{\frac {1}{3}}}

; e)

{\frac {\frac {3}{2}}{\frac {4}{5}}}

; f)

{\frac {\frac {3}{2}}{\frac {5}{4}}}

BM1314

Berechne!

---

a)

{\frac {\frac {3}{7}}{\frac {12}{21}}}

; b)

{\frac {\frac {15}{16}}{\frac {16}{15}}}

; c)

{\frac {\frac {8}{11}}{\frac {4}{33}}}

---

d)

{\frac {\frac {5}{8}}{\frac {20}{32}}}

; e)

{\frac {\frac {12}{13}}{\frac {12}{39}}}

; f)

{\frac {\frac {5}{7}}{\frac {10}{77}}}

BM1315

Gib mindestens drei Zahlen für x, für die folgende Ungleichungen gelten!

---

a)

{\tfrac {1}{2}}

< x <

{\tfrac {3}{4}}

; b)

{\tfrac {7}{12}}

< x <

{\tfrac {8}{12}}

---

c)

{\tfrac {17}{2}}

> x >

{\tfrac {5}{3}}

; d)

{\tfrac {11}{5}}

< x <

{\tfrac {11}{3}}

---

e) 5

{\tfrac {1}{3}}

> x >

{\tfrac {5}{3}}

; f)

{\tfrac {1}{7}}

> x >

{\tfrac {1}{12}}

BM1316

Gib mindestens drei Zahlen für x, für die folgende Ungleichungen gelten!

---

a)

{\tfrac {2}{3}}

< x <

{\tfrac {3}{4}}

; b)

{\tfrac {7}{9}}

< x <

{\tfrac {8}{9}}

---

c)

{\tfrac {15}{4}}

< x <

{\tfrac {9}{2}}

; d)

{\tfrac {25}{7}}

> x >

{\tfrac {24}{9}}

---

e) 6

{\tfrac {3}{4}}

> x >

{\tfrac {6}{4}}

; f)

{\tfrac {1}{6}}

> x >

{\tfrac {1}{11}}

BM1317

a)

{\tfrac {1}{2}}

+ x =

{\tfrac {2}{3}}

b)

{\tfrac {1}{2}}

- x =

{\tfrac {2}{3}}

---

c) x +

{\tfrac {5}{9}}

=

{\tfrac {3}{4}}

d) x -

{\tfrac {1}{2}}

=

{\tfrac {3}{4}}

BM1318

a)

{\tfrac {2}{3}}

+ x =

{\tfrac {3}{4}}

b)

{\tfrac {2}{3}}

- x =

{\tfrac {3}{4}}

---

c) x -

{\tfrac {7}{8}}

=

{\tfrac {15}{16}}

d) x -

{\tfrac {3}{4}}

=

{\tfrac {1}{5}}

BM1319

a)

{\tfrac {3}{5}}

* x =

{\tfrac {6}{15}}

b) x *

{\tfrac {5}{6}}

=

{\tfrac {5}{6}}

---

c)

{\tfrac {5}{3}}

: x =

{\tfrac {2}{7}}

d) x :

{\tfrac {3}{4}}

=

{\tfrac {7}{8}}

BM1320

a)

{\tfrac {5}{8}}

* x =

{\tfrac {35}{24}}

b) x *

{\tfrac {3}{4}}

=

{\tfrac {3}{4}}

---

c)

{\tfrac {4}{7}}

: x =

{\tfrac {5}{3}}

d) x :

{\tfrac {1}{2}}

=

{\tfrac {15}{16}}

BM1321 - BM1330

BM1321

Dividieren gebrochener Zahlen in Dezimaldarstellung

---

296,48 : 17

Überschlag: 300 : 20 = 15

---

296,48 : 17 =

{\tfrac {29648}{100}}

:

{\tfrac {17}{1}}

=

{\tfrac {29648}{100}}

*

{\tfrac {1}{17}}

=

{\tfrac {29648}{100*17}}

=

{\tfrac {29648}{17}}

*

{\tfrac {1}{100}}

=

{\tfrac {29648}{17}}

: 100

---

29648 : 17 = 1744

---

296,48 : 17 =

{\tfrac {29648}{17}}

: 100 = 1744 : 100 =

{\tfrac {1744}{100}}

= 17,44

(Überschlag: 15; das passt!)

BM1321

Schriftliche Division ohne Komma!

---

29648 : 17 = 1744
17
--
126
119
---
  74
  68  
  --
   68
   68
   --
    0

BM1322

Schriftliche Division mit Komma!

---

296,48 : 17 = 17,44
17
--
126
119
---
  7 4
  6 8  
  ---
    68
    68
    --
     0

BM1323

Division mit Nachkommastellen

---

Wenn wir anstatt einer ganzen Zahl und eines Restes als Ergebnis (Beispiel: 950 : 4 = 237 Rest 2) lieber einen Dezimalbruch haben wollen, schreiben wir hinter das bisherige Resultat ein Komma und rechnen einfach weiter wie bisher, wobei wir an den jeweils letzten Rest immer eine Null rechts anhängen.

950 : 4 = 237,5
8
-
15
12
--
 30
 28
 --
  20 -- hier bleibt ein Rest von 2; es wird aber kein Rest angeschrieben, sondern ein Komma; dann wird eine 0 "heruntergeholt".
  20                                                                                         - 20:4 geht 5-mal…
  --
   0 -- …und zwar ohne Rest, deshalb ist die Rechnung hier zu Ende.

BM1324 ${\begin{array}{c|c|c|c|c|c|ccc}9&8&4&3&:&1&2&=&820{,}25\\9&6&&&&&&&\\\hline &2&4&&&&&&\\&2&4&&&&&&\\\hline &&0&3&&&&&\\&&0&0&&&&&\\\hline &&0&3&0&&&&\\&&&2&4&&&&\\\hline &&&&6&0&&&\\&&&&6&0&&&\\\hline &&&&&0&&&\\\end{array}}$

BM1325

Schriftliche Division von Dezimalzahlen

---

Ist der Dividend eine Dezimalzahl (und der Divisor eine natürliche Zahl), so wird zunächst geprüft, ob sein ganzzahliger Teil sich durch den Divisor teilen lässt. Ist dies der Fall, so dividiert man zunächst wie gewohnt. Sobald vom Dividenden eine Ziffer hinter dem Komma „herunterzuholen“ ist, wird im Ergebnis ein Komma gesetzt.

---

Ist der ganzzahlige Teil des Dividenden kleiner als der Divisor, so wird im Ergebnis eine Null angeschrieben und dahinter ein Komma. Dann werden die Nachkommastellen des Dividenden (eine nach der anderen!) „heruntergeholt“. Sooft das Ergebnis kleiner bleibt als der Divisor, wird eine weitere Null im Ergebnis angefügt. Danach verläuft die Rechnung wie oben beschrieben.

Beispiel:

1,8:5 = ?? ----- 1:5 „geht nicht“ - also: „0,...“ anschreiben und eine Nachkommastelle „herunterholen“:

1,8:5 = 0,?? ----- 18:5 „geht“, und zwar 3-mal:
1 8

1,8:5 = 0,3? ----- Der „Rest“ ist 3 — eine „unsichtbare“ 0 wird „heruntergeholt“.
1 5
---
  30 ----- 30:5 „geht“ 6-mal, und zwar ohne Rest; deshalb ist die Rechnung jetzt zu Ende:

1,8:5 = 0,36
1 5
---
  30
  30
  --
   0

Ist (auch) der Divisor eine Dezimalzahl, so muss zunächst das Komma verschoben werden, und zwar

so, dass der Divisor eine ganze Zahl wird,
gleichsinnig — das heißt in diesem Falle beim Dividenden und beim Divisor nach rechts, und
um gleich viele Stellen.

Hat der Dividend weniger Nachkommastellen als der Divisor, so müssen beim Dividenden entsprechend viele Nullen angefügt werden.

Danach wird dividiert, wie oben beschrieben.

4 : 1,6 = 
40 : 16 = 2,5
32
--
 80
 80
 --
  0

BM1326

Rechne!

---

17,5 : 4

Lösung BM1326
Überschlag: 20 : 4 = 5 17,5 : 4 = 4,375 16 -- 1 5 1 2 --- 30 28 -- 20 20 -- 0

BM1327

Rechne!

---

13 : 8

Lösung BM1327
Überschlag: 10 : 10 = 1 13 : 8 = 1,625 50 20 40 0

BM1328

Rechne!

---

5,25 : 1,5

---

Bei der Division eines Dezimalbruchs durch einen Dezimalbruch multiplizieren wir den Dividenden und den Devisor mit 10; 100; ..., so dass das Komma im Divisor beseitigt wird.

Mit anderen Worten: Wir erweitern Zähler und Nenner mit 10 (oder 100 oder 1000 ... usw.

5,25 : 1,5 =

{\tfrac {5{,}25}{1{,}5}}

=

{\tfrac {5{,}25*10}{1{,}5*10}}

=

{\tfrac {52{,}5}{15}}

= 52,5 : 15

---

Das lässt sich einfacher rechnen: 52,5 : 15

---

Rechne!

52,5 : 15

Lösung BM1328
Überschlag: 45 : 15 = 3 52,5 : 15 = 3,5 45 -- 7 5 7 5 --- 0

BM1329

Rechne!

---

4,97 : 12,425

Man beseitigt zunächst das Komma im Divisor (also in 12,42599).

Man verschiebt dazu einfach das Komma in Dividend und Divisor jeweils um die gleiche Anzahl von Positionen. (In unserem Fall muss das Komma um drei Stellen nach rechts. Wir müssen also 4,97 mit einer Null auffüllen und 4,970 schreiben.

4,97 : 12,425 = 4970 : 12425

---

Man kann das Verschieben des Kommas auch als Erweitern mit 1000 beschreiben:

4,97 : 12,425 =

{\tfrac {4{,}97}{12{,}425}}

=

{\tfrac {4{,}97*1000}{12{,}425*1000}}

=

{\tfrac {4970}{12425}}

= 4970 : 12425

---

So, jetzt kannst Du rechnen.

Rechne!

---

4,97 : 12,425

Lösung BM1328
Überschlag: 5 : 15 = ${\tfrac {1}{3}}$ = 0,33 4,97 : 12,425 4970 : 12425 = 0,4 49700 49700 ----- 0

BM1330

Besonders einfach ist die Division durch 10; 100; 1000 usw.

---

Man dividiert durch 10; 100; 1000 usw. ..., indem man das Komma im Dezimalbruch um 1; 2; 3 usw. ... Stellen nach links versetzt.

---

426,4 : 10 = 42,64

426,4 : 100 = 4,264

426,4 : 1000 = 0,4264

426,4 : 10000 = 0,04264

---

Das ist fast so, wie bei der Multiplikation, nur dass dort das Komma nach rechts verschoben wird. Denn bei der Multiplikation wird die Zahl größer.

---

Man multipliziert einen Dezimalbruch mit 10; 100; 1000 usw., indem man das Komma um 1; 2; 3 usw. Stellen nach rechts versetzt.

---

4,37 * 10 = 43,7

4,37 * 100 = 437

4,37 * 1000 = 4370

4,37 * 10000 = 43700

4,37 * 100000 = 437000

BM1331 - BM1340

BM1331

Rechne!

---

a) 0,4 : 0,2

b) 7,5 : 0,5

c) 13,2 : 3,3

---

d) 0,77 : 7,7

e) 0,28 : 0,07

f) 1,35 : 5,4

BM1332

Rechne!

---

a) 0,7 : 9,35

b) 11,4 : 0,4

c) 0,84 : 0,12

---

d) 0,84 : 1,2

e) 0,054 : 0,72

f) 2,88 : 1,2

BM1333

Endliche und unendliche Dezimalbrüche

---

Bruch:

{\tfrac {3}{4}}

; als Dezimalbruch: 0,75

---

Schreibe

{\tfrac {3}{8}}

als Dezimalbruch!

{\tfrac {3}{8}}

=

{\tfrac {3*125}{8*125}}

=

{\tfrac {375}{1000}}

= 0,375

(Wie kommt man auf den Erweiterungsfaktor „125“? - Indem man „1000 : 8“ rechnet.)

---

Scheibe

{\tfrac {113}{40}}

als Dezimalbruch!

{\tfrac {113}{40}}

=

{\tfrac {113*25}{40*25}}

=

{\tfrac {2825}{1000}}

= 2,825

(Wie kommt man auf den Erweiterungsfaktor „25“? - Indem man „1000 : 40“ rechnet.)

BM1334

Dezimalbruchdarstellung

---

Man kann einen Bruch auch durch einfache Division in einen Dezimalbruch umwandeln.

{\tfrac {3}{8}}

= 3 : 8

3 : 8 = 0,375
30
24
--
 60
 56
 --
  40
  40
  --
   0

---

{\tfrac {113}{40}}

= 113 : 40

113 : 40 = 2,825
 80
 --
 330
 320
 ---
  100
   80
  ---
   200
   ---
     0

BM1335

Periodische Brüche

---

Auch Brüche, die sich nicht zu Zehnerbrüchen erweitern lassen, können wir als Quotienten schreiben.

Beispiel:

{\tfrac {2}{9}}

=

{\tfrac {??}{1000}}

Wir suchen einen Erweiterungsfaktor, um im Nenner 10; 100; 1000; 10000 oder ... zu haben.

Aber es gibt keinen solchen Faktor:

100 : 9 = 11,1111...

1000 : 9 = 111,1111...

10000 : 9 = 1111,1111...

Wir haben also einen Bruch, der sich nicht zu einem Zehnerbruch erweitern lässt.

Aber auch solch einen Bruch können wir als Quotienten schreiben:

{\tfrac {2}{9}}

= 2 : 9

2 : 9 = 0,2222...
20
18
--
 20
 18
 --
  20
  18
  --
   20
   18
   --
    2 ...
Das wird offensichtlich ohne Ende so weiter gehen.

Das Verfahren bricht nie ab. Denn bei jeder folgenden Teildivision erhalten wir immer wieder den Rest 2 in der folgenden Dezimalstelle.

---

Periodischer Bruch

---

periodische Brüche schreibt man mit einem Querstrich über der Ziffer, die sich unendlich wiederholt:

0,2222222... = 0,2 (LIES: Null Komma Periode Zwei!)

---

Dezimalzahlschreibweise: 0,2

Bruchschreibweise:

{\tfrac {2}{9}}

---

In der Mathematik bezeichnet man als Periode eines Dezimalbruchs eine Ziffer oder Ziffernfolge, die sich nach dem Komma immer wieder wiederholt.

---

In Deutschland schreibt man die Periode mit einem Überstrich (

0.{\overline {3}}

).

In anderen Ländern schreibt man die Periode auch

mit einem Bogen (

0{,}{\overset {\frown }{3}}

)

oder mit einem Punkt (

0{,}{\dot {3}}

)

oder mit Klammern (

0{,}(3)

)

---

0,8181... =

0,{\overline {81}}

=

0.{\dot {8}}{\dot {1}}

= 0.(81)

BM1336

Periodische Brüche brechen nie ab. Sie heißen deshalb unendliche Dezimalbrüche.

Im Unterschied dazu hören endliche Dezimalbrüche früher oder später auf.

---

{\tfrac {1}{3}}

= 1 : 3

1 : 3 = 0,33333...
10
 9
--
 10
  9
 --
  1 usw.

---

{\tfrac {7}{3}}

= 7 : 3

7 : 3 = 2,33333...
1
--  
10
 9
--
 10
  9
 --
  1 usw.

{\tfrac {7}{3}}

= 7 : 3 = 2,3 (LIES: Zwei Komma Periode Drei!)

BM1337

Periode

---

Eine Periode muss nicht immer unbedingt genau hinter dem Komma auftreten:

Beispiel:

61,03 : 9 = 6103 : 900

61,03 : 9 = 6,78111...
54
--
 70
 63
 --
  73
  72
  --
   10
    9
   --
    10
     9
    --
     1 ... usw.

61,03 : 9 = 6,78111... = 2,781 (LIES: Zwei Komma Sieben Acht Periode Eins!)

BM1338

Eine Periode kann sich auch über mehr als eine Ziffer erstrecken:

Beispiel:

17 : 99 = 0,17

17 : 99 = 0,1717171717....
170
 99
---
 710
 693
 ---
  170
   99
  ---
  710
  693
  ---
   17 ... usw.

17 : 99 = 0,1717171717.... = 0,17 (LIES: Null Komma Periode Eins Sieben!)

BM1339

Eine Periode kann auch über noch mehr Ziffern gehen:

Beispiel:

{\tfrac {9}{7}}

= 9 : 7 = 1,285714

9 : 7 = 1,285714 285714 285714
7
--------------------- (Beginn der Periode)
20
14
--
 60
 56
 --
  40
  35
  --
   50
   49
   --
    10
     7
    --
     30
     28
     ---------------- (Beginn der nächsten Periode)
      20 ... usw.

9 : 7 = 1,285714 285714 285714 = 1,285714

(LIES: 1, Periode 285714)

---

Wenn die Periode direkt hinter dem Komma beginnt sprechen wir von reinperiodischen Dezimalzahlen.

1,285714

0,17

2,3

0,3

0,2

---

Wenn zwischen dem Komma und der Periode noch eine oder mehrere Zahlen stehen, d.h. die Periode beginnt nicht direkt hinter dem Komma, so nennt man diese gemischtperiodische Dezimalzahlen.

---

Streng genommen ist auch die letzte Null eine Periode.

{\tfrac {1}{2}}

= 0,50

Jedoch spricht man in deisem Fall geöhnlich nicht von einer Periode.

BM1340

0,999999...

Periode 9

---

Ein besonderer Fall ist die

„Periode 9“

---

0,9 = 1

---

Die periodische Dezimalzahl 0,999... (auch mit mehr oder weniger Neunern vor den Auslassungspunkten geschrieben oder als 0,9) bezeichnet eine reelle Zahl, von der in der Mathematik gezeigt werden kann, dass sie gleich „1“ ist.

Mit anderen Worten: Die Symbole „0,999...“ und „1“ stellen unter den Regeln der üblichen Stellenwertnotation für die reellen Zahlen dieselbe Zahl dar.

---

Ein Witz zu diesem Thema lautet:

Frage: Wie viele Mathematiker braucht man, um eine Glühbirne zu wechseln?

Antwort: 0,9

---

Beweis:

Durch schriftliche Division lässt sich der Quotient 1/9 in die Dezimalzahl 0,111... umschreiben. Eine Multiplikation von 9 mal 1 macht jede Stelle zu einer 9, also ist 9 mal 0,111... gleich 0,999..., und 9 mal 1/9 ist gleich 1, woraus 0,999... = 1 folgt:

---

0,111... = 0,1 =

{\tfrac {1}{9}}

9 * 0,111... = 9 * 0,9 = 9 *

{\tfrac {1}{9}}

0,999... = 0,9 = 1

---

Trotzdem sind viele Schüler der Meinung, dass „0,9 < 1“ ist.

Die Schüler haben folgende Argumente für „0,9 < 1“:

Es fehlt immer noch ein Stückchen.
0,9 ist ein ganz klein wenig kleiner, als 1
Die Periode geht unendlich fort, wird die „1“ aber nie berühren.
0,9 ergibt nur gerundet 1.

---

Runden:

Dezimalzahlen mit Periode werden für den alltäglichen Gebrauch gewöhnlich gerundet:

{\tfrac {2}{9}}

= 0,2222222... = 0,2 ≈ 0,22

---

{\tfrac {17}{98}}

= 0,171717... = 0,17 ≈ 0,2

BM1341 - BM1350

BM1341

Rechne!

---

a)

{\tfrac {117}{55}}

b)

{\tfrac {7}{3}}

c) 2,3 * 1,2

---

d) 1,09 * 1,83

e) 5,7 : 0,6

f) 234,36 : 19,8

g) 711,56 : 94

BM1342

Rechne!

---

a) 0,28 : 0,35

b) 0,28 : 0,42

c) 8,44 : 1,22

---

d) 5,2 : 0,39

e) 3,77 : 0,14

f) 52,7 : 0,023

BM1343

Rechne!

---

a) 0,72 : 0,45

b) 0,72 : 0,14

c) 6,28 : 5,12

---

d) 17,5 : 2,8

e) 17,24 : 15,2

f) 0,047 : 0,33

BM1344

Berechne und kürze das Ergebnis so weit wie möglich!

---

a)

{\tfrac {3}{5}}

+

{\tfrac {4}{7}}

-

{\tfrac {7}{15}}

b) 2 -

{\tfrac {3}{4}}

-

{\tfrac {4}{3}}

c) 3 +

{\tfrac {7}{12}}

- 2

{\tfrac {5}{6}}

-

{\tfrac {7}{30}}

---

d)

{\tfrac {1}{2}}

-

{\tfrac {1}{3}}

+

{\tfrac {1}{4}}

-

{\tfrac {1}{5}}

+

{\tfrac {1}{6}}

e) 9

{\tfrac {1}{7}}

- 5 - 3

{\tfrac {3}{4}}

+

{\tfrac {13}{14}}

-

{\tfrac {27}{28}}

BM1345

Berechne und kürze das Ergebnis so weit wie möglich!

---

a)

{\tfrac {4}{7}}

+

{\tfrac {3}{2}}

-

{\tfrac {8}{11}}

b) 5 - 3

{\tfrac {3}{4}}

-

{\tfrac {5}{4}}

c) 8 -

{\tfrac {8}{3}}

- 2

{\tfrac {13}{3}}

- 3

---

d)

{\tfrac {1}{6}}

-

{\tfrac {1}{5}}

+

{\tfrac {1}{4}}

-

{\tfrac {1}{3}}

-

{\tfrac {1}{2}}

e) 8

{\tfrac {3}{4}}

- 7 - 2

{\tfrac {1}{5}}

+

{\tfrac {17}{10}}

-

{\tfrac {14}{15}}

BM1346

Dezimalzahlschreibweise in Bruchschreibweise umwandeln

---

Bis jetzt haben wir die Umwandlung der Bruchschreibweise in die Dezimalzahlschreibweise behandelt.

Nun erfolgt die Umwandlung in die entgegengesetzte Richtung.

---

Eine periodische Dezimalzahl kann man immer auch als Bruch schreiben.

Die Umrechnung von Dezimalzahlen in Brüche will gelernt sein.

---

Dazu nehmen wir die sich wiederholenden Zahlen der Periode und schreiben sie in den Zählen. In den Nenner schreiben wir die genauso viel Neunen, wie unsere Periode Stelle hat.

---

Beispiel:

Wir sollen (oder wollen) 0,12 in einen Bruch umwandeln.

Wir schreiben also 12 in den Zähler und 99 in den Nenner

{\tfrac {12}{99}}

Das entspricht genau 0,12.

Die mathematischen Hintergründe wollen wir uns im Moment schenken. (Es hat etwas damit zu tun, dass 0,9 = 1 ist.)

0,12 =

{\tfrac {12}{99}}

---

Manchmal kann man den Bruch noch kürzen. Wir zerlegen dazu die Zahlen in Primzahlen, denn so sehen wir einfacher, welche Zahlen wir kürzen können:

{\tfrac {12}{99}}

=

{\tfrac {3*2*2}{11*9}}

=

{\tfrac {3*2*2}{11*3*3}}

Wir können also mit 3 kürzen:

{\tfrac {12}{99}}

=

{\tfrac {4}{33}}

= 0,12

BM1347

0,12345 =

{\tfrac {12345}{99999}}

=

{\tfrac {4115}{33333}}

(Die Periode hat in diesem Beispiel fünf Stellen. also schreiben wir in den Nenner fünf mal die Neun.)

Die Internetseite wolframalpha.com ([1]; [2]) macht so was sehr schön, wenn man es mal eilig hat und keine Lust zum Rechnen hat, um das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zu suchen.

---

Wenn die Periode nicht direkt hinter dem Komma beginnt, dann muss man einen kleinen Trick anwenden:

0,16 ist NICHT

{\tfrac {16}{99}}

Wir verschieben ganz einfach das Komma durch Multiplikation mit 10; 100 usw.

Aber am Ende der Rechnung müssen mir die Multiplikation wieder rückgängig machen, indem wir mit 10; 100 usw. dividieren.

Also:

0,16 = (0,16 * 10) : 10

---

0,16

= (0,16 * 10) : 10

= (1,6) : 10

= (1 + 0,6) : 10 // (Das können wir nun ganz einfach rechnen.)

= (1 +

{\tfrac {6}{9}}

) : 10 // (Jetzt können wir noch etwas kürzen und addieren.)

= (1 +

{\tfrac {2}{3}}

) : 10

= (

{\tfrac {3}{3}}

+

{\tfrac {2}{3}}

) : 10

= (

{\tfrac {5}{3}}

) : 10

= (

{\tfrac {5}{3}}

) : (

{\tfrac {10}{1}}

)

=

{\tfrac {5}{3}}

*

{\tfrac {1}{10}}

=

{\tfrac {5}{3*10}}

=

{\tfrac {5}{30}}

=

{\tfrac {1}{6}}

---

Wir haben den gemischperiodischen Bruch (0,16) in eine Summe aus endlicher und einer reinperiodischen Zahl zerlegt (1 + 0,6), um die Regel zur Umformung periodischer Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche anwenden zu können.

BM1348

0,672 =

{\tfrac {672}{999}}

=

{\tfrac {224}{333}}

(Wer noch die Teilbarkeitsregeln mit 3 kann ist im Vorteil. - beim Kürzen)

---

27,3 = 27 +

{\tfrac {3}{9}}

= 27 +

{\tfrac {1}{3}}

=

{\tfrac {81}{3}}

+

{\tfrac {1}{3}}

=

{\tfrac {82}{3}}

---

0,051 =

{\tfrac {051}{999}}

=

{\tfrac {51}{999}}

=

{\tfrac {17}{333}}

---

0,150 = 0,150 150 150...

0,150 =

{\tfrac {150}{999}}

=

{\tfrac {50}{333}}

---

0,15000000 =

{\tfrac {15}{100}}

=

{\tfrac {3}{20}}

BM1349

0,6581537

= (0,6581537 * 1000) : 1000

= (658,1537) : 1000

= (658 + 0,1537) : 1000

= (658 +

{\tfrac {1537}{9999}}

) : 1000

= (

{\tfrac {6.579.342}{9999}}

+

{\tfrac {1537}{9999}}

) : 1000

= (

{\tfrac {6.580.879}{9999}}

) : 1000

=

{\tfrac {6.580.879}{9999*1000}}

=

{\tfrac {6.580.879}{9.999.000}}

BM1350

Forme die Dezimalzahlschreibweise in Bruchschreibweise um!

---

a) 0,78

Lösung BM1350 a)
= ${\tfrac {78}{99}}$ = ${\tfrac {26}{33}}$

b) 1,7

Lösung BM1350 b)
= $1+{\tfrac {7}{9}}$ = ${\tfrac {9}{9}}+{\tfrac {7}{9}}$ = ${\tfrac {16}{9}}$

c) 8,478

Lösung BM1350 c)
= $8+{\tfrac {478}{999}}$ = ${\tfrac {7992}{999}}+{\tfrac {478}{999}}$ = ${\tfrac {8470}{999}}$

---

d) 2,535

Lösung BM1350 d)
= (2,535 * 10) : 10 = (25,35) : 10 = (25 + 0,35) : 10 = $({\tfrac {2475}{99}}+{\tfrac {35}{99}}):10$ = $({\tfrac {2510}{99}}):10$ = ${\tfrac {2510}{990}}$ = ${\tfrac {251}{99}}$ --- Natürlich könnte man zur Vereinfachung die gegebene Zahl 2,535 auch erst mal umschreiben zu 2,53 und dann erst den Bruch ausrechnen: = 2 + 53 = 2 + \tfrac{53}{99}</math> = ${\tfrac {198}{99}}+{\tfrac {53}{99}}$ = ${\tfrac {251}{99}}$ Und sie da, es kommt das gleich Ergebnis raus. Alles andere würde uns auch wundern und wäre ein Rechenfehler.

e) 524,57924

Lösung BM1350 e)
= (524,57924 * 100) : 100 = (52457,924) : 100 = (52457 + 0,924) : 100 = $(52457+{\tfrac {924}{999}}):100$ = $({\tfrac {52404543}{999}}+{\tfrac {924}{999}}):100$ = $({\tfrac {52405467}{999}}):100$ = ${\tfrac {52405467}{99900}}$ = ${\tfrac {17468489}{33300}}$

f) 35,6534

Lösung BM1350 f)
= (35,6534 * 10) : 10 = (356,534) : 10 = (356 + 0,534) : 10 = $({\tfrac {355644}{999}}+{\tfrac {534}{999}}):10$ = $({\tfrac {356178}{999}}):10$ = ${\tfrac {356178}{9990}}$

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