Curso de alemán para principiantes con audio/Lección 058b

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Mathematik auf Deutsch - 8

BM351 - BM360

BM351

An 3 Tagen werden in einer Werkstatt täglich 5 Druckmaschinen montiert. In einer anderen Werkstatt werden täglich 4 Maschinen montiert. Wie viel Maschienen wurden in beiden Werkstätten montiert?

---

3 * (5 + 4) =

3 * (5 + 4) = 3 * (9)

3 * (5 + 4) = 27

---

3 * (5 + 4) =

3 * (5 + 4) = (3 * 5) + (3 * 4)

3 * (5 + 4) = 27

3 * (5 + 4)

BM352

Rechne!

Nutze beide Rechenwege! (wie in Übung BM351 erklärt)

---

5 * (7 + 2)

9 * (6 + 1)

4 * (30 + 40)

8 * (50 + 20)

3 * (200 + 300)

7 * (400 + 200)

BM353

Für alle natürlichen Zahlen a, b, c gilt:

a * (b + c) = (a * b) + (a * c)

---

Das kann man auch ohen Klammern schreiben, aber dann ist es nicht so übersichtlich:

a * (b + c) = a * b + a * c

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Ausmultiplizieren

Distributivgesetz (Das hatte wir alles schon mal in Lektion 054b. Aber das Ausklammern kann man nicht oft genug wiederholen).

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Stets gilt:

a *(b + c) = a * b + a * c

Beispiel:

5 *(2 + 4) = 5 * 6

5 *(2 + 4) = 30

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5 *(2 + 4) = 5 * 2 + 5 * 4 //(Nicht vergessen: Punktrechnung geht vor Strichrechnung)

5 *(2 + 4) = 1 + 20

5 *(2 + 4) = 30

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Das Distributivgesetz gilt für die Kombination der Addition mit der Multiplikation, wenn die Summe in Klammern steht.

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Das Distributivgesetz oder Verteilungsgesetz (lat. distribuere „verteilen“) ist eine mathematische Regel, die angibt, wie sich zwei zweistellige Verknüpfungen bei der Auflösung von Klammern zueinander verhalten.

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Insbesondere in der Schulmathematik bezeichnet man die Verwendung des Distributivgesetzes zur Umwandlung einer Summe in ein Produkt als Ausklammern oder Herausheben. Das Auflösen von Klammern durch Anwenden des Distributivgesetzes wird als Ausmultiplizieren bezeichnet.

BM354

5 * (70 + 20)

Wenn in einem Produkt eine Summe als Faktor auftritt, so gibt es für die Rechnung zwei Möglichkeiten:

a) Man kann zuerst die Summe berechnen:

5 * (70 + 20) =

5 * (70 + 20) = 5 * (90)

5 * (70 + 20) = 450

---

b) Es ist auch möglich, zuerst jeden Summanden zu multiplizieren:

5 * (70 + 20) =

5 * (70 + 20) = (5 * 70) + (5 * 20)

5 * (70 + 20) = (350) + (100)

5 * (70 + 20) = 450

BM355

Bei der Subtraktion kann man entsprechen vorgehen:

4 * (90 - 30)

a)

4 * (90 - 30) = 4 * 60

4 * (90 - 30) = 240

---

b)

4 * (90 - 30) = (4 * 90) - (4 * 30)

4 * (90 - 30) = (360) - (120)

4 * (90 - 30) = 240

BM356

Rechne vorteilhaft!

---

5 * (70 - 20)

6 * (600 - 200)

3 * (600 - 100)

5 * (60 + 30)

4 * (70 + 10)

6 * (50 + 10)

8 * (300 + 500)

3 * (60 - 30)

5 * (30 + 40)

BM357

Beispiel:

7 * 12

7 * 12 = 7 * (10 + 2)

7 * 12 = (7 * 10) + (7 * 2)

7 * 12 = (70) * (14)

7 * 12 = 84

---

Rechne nach diesem Muster!

3 * 11

5 * 11

9 * 11

7 * 11

10 * 11

4 * 12

8 * 12

6 * 12

3 * 12

1 * 12

13 * 5

13 * 7

13 * 9

13 * 2

13 * 10

BM358

Rechne nach diesem Muster!

---

4 * 11

6 * 11

8 * 11

2 * 11

1 * 11

5 * 12

2 * 12

7 * 12

9 * 12

10 * 12

13 * 6

13 * 4

13 * 3

13 * 1

13 * 8

BM359

Rechne nach diesem Muster!

---

7 * 18

6 * 18

8 * 18

9 * 18

19 * 9

16 * 9

15 * 9

14 * 9

7 * 19

9 * 12

8 * 13

6 * 18

9 * 17

8 * 17

7 * 17

6 * 17

19 * 8

18 * 8

17 * 8

16 * 8

9 * 13

7 * 16

8 * 15

6 * 19

BM360

Wie viel Monate sind

---

3 Jahre

7 Jahre

4 Jahre

8 Jahre

6 Jahre

2 Jahre

10 Jahre

9 Jahre

BM361 - BM370

BM361

Rechne vorteilhaft!

Beispiel:

7 * 29

7 * 29 = 7 * (30 - 1)

7 * 29 = (7 * 30) - (7 * 1)

7 * 29 = (210) - (7)

7 * 29 = 203

---

7 * 19

8 * 29

5 * 39

4 * 79

6 * 99

19 * 6

39 * 7

79 * 4

89 * 3

49 * 5

BM362

Rechne vorteilhaft!

Beispiel:

39 : 3

39 : 3 = (30 + 9) : 3

39 : 3 = (30 :3) + (9 : 3)

39 : 3 = (10) + (3)

39 : 3 = 13

---

Beispiel:

92 : 4

92 : 4 = (80 + 12) : 4

92 : 4 = (80 : 4) + (12 : 4)

92 : 4 = (20) + (3)

92 : 4 = 23

---

22 : 2

77 : 7

24 : 2

36 : 3

99 : 9

88 : 8

88 : 4

96 : 3

81 : 3

75 : 3

87 : 3

---

Berechne den Quotienten der Zahlen 44 und 2!

Berechne den Quotienten der Zahlen 93 und 3!

BM363

13 : 2 = nicht lösbar ; denn 13 = 16 * 2 + 1

---

Beispiel:

13 : 2

13 : 2 = 6 (Rest 1)

---

15 : 2

19 : 2

12 : 3

13 : 3

34 : 4

36 : 4

16 : 6

22 : 6

65 : 7

53 : 9

39 : 7

24 : 7

62 : 8

45 : 6

47 : 6

43 : 8

57 : 9

25 : 7

---

2 : 5 = 0 (Rest 2) ; denn 2 = 0 * 5 + 2

BM364

Die schriftliche Multiplikation

Das schriftliche Verfahren der Multiplikation

---

Bsp.:

312 * 3

---

312 * 3 = (300 + 10 + 2) * 3

312 * 3 = (300 * 3) + (10 * 3) + (2 * 3)

312 * 3 = 900 + 30 + 6

312 * 3 = 936

BM365

Einfacher rechnet man mit Hilfe eines schriftlichen Verfahrens.

Wie bei dem schriftlichen Verfahren der Addition rechnet man jeweils nur mit den Faktoren der Zehnerpotenz, also mit einstelligen Zahlen.

---

312 * 3
-------
    936
-------
-------

Man rechnet:

3 * 2 = 6

3 * 1 = 3

3 * 3 = 9

BM365a

432 * 2

---

1. Schritt: man rechnet 2 * 2 = 4

und schreibt die „4“ unter die „2“.

432 * 2
-------
      4

---

2. Schritt: man rechnet 2 * 3 = 6

und schreibt die „6“ links neben die „2“.

432 * 2
-------
     64

---

3. Schritt: man rechnet 2 * 4 = 8

und schreibt die „8“ links neben die „6“.

432 * 2
-------
    864

BM366

Berechne das Vierfache von 210!

Berechne das Doppelte von 424!

Berechne das Dreifache von 320!

Berechne das Doppelte von 441!

BM367

400 * 3

600 * 3

5 * 800

2 * 700

500 * 3

400 * 4

4 * 900

2 * 800

BM368

Runden

--

Runde auf das Vielfache von 100!

362, 653, 874, 540, 782

---

Runde auf das Vielfache von 1000!

4673, 7350, 5833, 2661

BM369

Überschlagsrechnung

---

Eine Rechnung, bei der man ermittelt, wie groß das Ergebnis ungefähr ist, nennt man eine Überschlagsrechnung.

Bei einer Überschlagsrechnung kann man mit der gerundeten Zahl reechnen, man verwendet dasselbe Zeichen wie beim Runden.

---

x = 323 * 3

x ≈ 300 * 3

x ≈ 900

---

„ ≈ “ ist das Zeichen für „ungefähr gleich“.

„ ≈ “ ist das Zeichen für „gerundet“.

„ ≈ “ ähnelt einem Gleichheitszeichen das wie eine Welle geschreiben wird.

---

b = 3876 * 2

b ≈ 4000 * 2

b ≈ 8000

BM370

Überschlagsrechnung

---

Als Überschlagsrechnung bezeichnet man das Rechnen mit stark auf- oder abgerundeten Zahlen zur Überprüfung von komplexen Rechnungen.

Sie findet Anwendung bei aufwendigen Rechnungen, bei denen eine schnelle Überprüfung notwendig ist.

Bei der Überschlagsrechnung handelt es sich um eine sehr ungenaue Methode, die lediglich dazu dient, Ergebnisse auf ihre Glaubwürdigkeit zu überprüfen.

Daher sollte man mit dieser Methode sehr vorsichtig arbeiten.

BM371 - BM380

BM371

Das Ergebnis der Überschlagsrechnung braucht nur ungefähr mit dem Ergebnis übereinzustimmen.

---

323 * 3
-------
    969

Überprüfung des Rechenergebnisses mit der Überschlagsrechnung:

Überschlag:

323 * 3 ≈ 300 * 3

323 * 3 ≈ 900

Vergleich:

969 ≈ 900

„passt schon“

---

Falls beim Vergleich:

969 ≈ 7000 rauskommt, dann stimmt irgendwas nicht.

Genau dafür ist die Überschlagsrechnung da.

---

Die Überschlagsrechnung kann man je nach Bedarf etwas genauer oder ungenauer machen.

7969 ≈ 7960 oder

7969 ≈ 7900 oder

7969 ≈ 8000 oder

7969 ≈ 10000

BM372

Rechne die folgenden Aufgaben nur mit Überschlagsrechnung.

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324 * 4

2056 * 2

785 * 3

1203 * 4

523 * 6

3207 * 3

BM373

Schriftliche Multiplikation mit Übertrag

---

327 * 3 = x

Rechenschritte:

Zuerst führt man eine Überschlagsrechnung aus: x ≈ 900

Dann rechnet man: 3 * 7 = 21

Man schreibt „1“ und addiert „2“ zum Produkt, das man beim Rechnen an der nächsten Stelle erhält.

Dann rechnet man: 3 * 2 = 6; 6 + 2 = 8

Man schreibt „8“.

Zum Schluss rechnet man: 3 * 3 = 9

Man schreibt „9“.

327 * 3
-------
    981

Zum Schluss vergleicht man das ermittelte Produkt mit dem Ergebnis der Überschlagsrechnung.

---

Bei der schriftlichen Multiplikation wird der Übertrag nicht extra aufgeschrieben. Nur im folgenden Beispiel wird der Übertrag zur Illustration mitgeschrieben

327 * 3
-------
    981
     ²
     6

BM374

Ermittle die Produkte schriftlich wie in der Übung BM373!

---

Beispiel:

317 * 2 (Rechenweg: 2 * 7 = 14; „4“ aufschreiben und „1“ merken. 2 * 1 = 2 und „1“ dazu ist „3“. „3“ aufschreiben. 2 * 3 = 6; „6“ aufschreiben. Ergebnis: 634. Überschlagsrechnung: 2 * 300 = 600. Also: passt schon!)

---

328 * 3

224 * 4

229 * 3

436 * 2

217 * 3

345 * 2

205 * 4

124 * 4

447 * 2

226 * 3

129 * 2

124 * 4

223 * *

318 * 3

315 * 2

206 * 3

435 * 2

BM375

3249 * 2

2493 * 2

1822 * 4

2027 * 3

1482 * 2

2922 * 3

1429 * 2

3081 * 3

1521 * 4

3107 * 3

2142 * 4

1631 * 3

BM376

Schriftliche Multiplikation mit Übertrag

---

1217 * 5 = x

Rechenschritte:

Zuerst führt man eine Überschlagsrechnung aus: x ≈ 5000

Dann rechnet man: 5 * 7 = 35

Man schreibt „5“ und merkt sich „3“.

Dann rechnet man: 5 * 1 = 5; 5 + 3 = 8

Man schreibt „8“.

Dann rechnet man: 5 * 2 = 10;

Man schreibt „0“ und merkt sich „1“.

Zum Schluss rechnet man: 5 * 1 = 5; 5 + 1 = 6

Man schreibt „9“.

1217 * 5
--------
    6085

Zum Schluss vergleicht man das ermittelte Produkt mit dem Ergebnis der Überschlagsrechnung.

Vergleich: 6085 ≈ 5000

---

Bei der schriftlichen Multiplikation wird der Übertrag nicht extra aufgeschrieben. Nur im folgenden Beispiel wird der Übertrag zur Illustration mitgeschrieben:

1217 * 5
--------
    6085
    ¹ ³
    5 5

BM377

Ermittle die Produkte schriftlich! Merke dir den Übertrag ohne ihn aufzuschreiben!

---

2416 * 3

1627 * 3

1815 * 5

3746 * 2

2525 * 3

1418 * 4

1613 * 5

1312 * 6

1924 * 4

3829 * 2

2429 * 3

4847 * 2

BM378

1648 * 4

1648 * 4
--------
    6592

---

Hier noch mal mit Übertrag geschrieben

1648 * 4
--------
    6592
    ²¹³
    446

Kontrolle: 6592 ≈ 8000

BM379

325 * 8

495 * 2

274 * 3

159 * 6

278 * 5

248 * 4

388 * 2

2918 * 3

1829 * 3

1025 * 5

4046 * 2

2929 * 3

2478 * 4

1603 * 5

1348 * 6

1094 * 4

2839 * 2

1429 * 5

4749 * 2

BM380

1876 * 5

2465 * 4

3879 * 2

1345 * 7

4768 * 2

1344 * 7

1249 * 8

2486 * 4

346 * 5

438 * 7

285 * 6

735 * 9

426 * 8

567 * 3

864 * 3

257 * 5

872 * 6

523 * 8

484 * 7

394 * 8

BM381 – BM390

BM381

Schriftliche Division

Das schriftliche Verfahren der Division

---

826 : 2

826 : 2 = (800 + 20 + 6) : 2

826 : 2 = (800 : 2) + (20 : 2) + (6 : 2)

826 : 2 = (400) + (10) + (3)

826 : 2 = 413

---

Beim schriftlichen Verfahren der Division rechnet man auch nur jeweils mit den Faktoren der Zehnerpotenzen. Hierbei beginnt man mit der Stelle der größten Zehnerpotenzen im Dividieren.

---

826 : 2 = 413

Man beginnt die Division ganz links. (Das ist die Stelle der größten Zehnerpotenz.)

Man rechnet: 8 : 2 = 4; Man schreibt: 4

Man rechnet: 2 : 2 = 1; Man schreibt: 1

Man rechnet: 6 : 2 = 3; Man schreibt: 3

---

Zur Kontrolle führt man die Multiplikation aus:

413 * 2
-------
    826

BM382

486 : 3

369 : 3

442 : 3

996 : 3

660 : 3

484 : 4

208 : 2

628 : 2

6028 : 2

8840 : 4

9369 : 3

2004 : 2

BM383

1284 : 4 = 321

Wir fangen bei der Division von links an:

Man rechnet: 12 : 4 = 3; Man schreibt: 3

Man rechnet: 8 : 4 = 2; Man schreibt: 2

Man rechnet: 4 : 4 = 1; Man schreibt: 1

---

Rechne wie im Beispiel:

1426 : 2

1684 : 2

1840 : 2

2796 : 3

3684 : 4

1264 : 2

1263 : 3

1590 : 3

1833 : 3

1684 : 4

2484 : 4

2169 : 3

BM384

372 : 3

---

372 : 3 = (300 + 60 + 12) : 3

372 : 3 = (300 : 3) + (60 : 3) + (12 : 3)

372 : 3 = (100) + (20) + (4)

372 : 3 = 124

---

372 : 3

372 : 3 = 124
 -
 12
 --

Man rechnet: 3 : 3 = 1; Man schreibt: 1

Man rechnet: 7 : 3 = nicht lösbar

Also rechnet man: 7 : 3 = 2 Rest 1; Man schreibt: 2; Man unterstreicht die Ziffer „7“ und schreibt den Rest „1“ darunter.

Die „2“ von der Einerstelle schreiben wir in die nächste Zeile neben die „1“.

Der Dividend der nächsten Teilaufgabe ist nun 10 + 2 = 12

Man rechnet: 12 : 3 = 4; Man schreibt: 4

372 : 3 = 124

---

Zum Schluss kontrolliert man das Ergebnis, indem man multipliziert:

124 * 3 = 372

413 * 2
-------
    826

BM385

Rechne wie in Übung BM384!

---

573 : 3

872 : 4

590 : 5

945 : 3

832 : 2

786 . 6

4094 : 2

6984 : 3

8964 : 4

345 : 3

472 : 2

896 : 8

856 : 4

975 : 3

805 : 5

8076 : 4

3978 : 3

7987 : 7

BM386

736 : 4

---

726 : 4 = 184
-
32
--
 16
 --

Man rechnet: 7 : 4 = 1 Rest 3; Man schreibt: 1 und den Rest 3

Man rechnet: 33 : 4 = 8 Rest 1; Man schreibt: 8 und den Rest 1

Man rechnet: 16 : 4 = 4; Man schreibt: 4

BM387

Rechne schriftlich! Überprüfe das Ergebnis durch die Multiplikation!

---

576 : 4

597 : 3

374 : 2

738 : 6

870 : 5

592 : 4

576 : 2

784 : 4

594 : 3

744 : 4

778 : 2

855 : 3

BM388

Rechne schriftlich!

---

7864 : 4

8235 : 5

3899 : 7

1734 : 3

8596 : 7

7952 : 2

4776 : 6

2968 : 7

7086 : 6

8004 : 3

3072 : 4

2004 : 6

BM389

Überschlagsrechnung

---

Für die Überschlagsrechnung such man eine Zahl, die ungefähr so groß ist wie der Dividend und sich liecht durch den Divisor teilen lässt.

---

1625 : 5 ≈ 1500 : 5

1625 : 5 ≈ 300

---

3426 : 6 ≈ 3000 : 6

3426 : 6 ≈ 500

---

Führe die Überschalgsrechnung durch!

6414 : 3

7644 : 6

5541 : 3

1883 : 7

9171 : 3

8154 : 6

4285 : 5

952 : 4

6965 : 5

4512 : 4

984 : 6

2336 : 8

BM390

2156 : 7

---

2156 : 7 = 0308
-
21
  -
  56

Man rechnet: 2 : 7 = 0 Rest 2; Man schreibt: 0 und den Rest 2

Man rechnet: 21 : 7 = 3; Man schreibt: 3

Man rechnet: 5 : 7 = 0 Rest 5; Man schreibt: 0 und den Rest 5

Man rechnet: 56 : 7 = 8; Man schreibt: 8

---

Die Null in „0308“ sollte man beim Rechnen lieber gleich weglassen.

2156 : 7 = 308
  -
  56

Man rechnet: 21 : 7 = 3; Man schreibt: 3

Man rechnet: 5 : 7 = 0 Rest 5; Man schreibt: 0 und den Rest 5

Man rechnet: 56 : 7 = 8; Man schreibt: 8

---

Rechne schriftlich!

---

618 : 2

921 : 3

832 : 4

846 : 6

416 : 4

618 : 3

414 : 2

545 : 5

856 : 8

924 : 3

824 : 4

515 : 5

BM391 - BM400

BM391

Rechne schriftlich!

---

4168 : 2

6129 : 3

3624 : 6

3016 : 2

7497 : 7

9369 : 9

6036 : 4

5721 : 3

BM392

7452 : 4

---

7452 : 4 = 1863
-
34
--
 25
 --
  12
  --

Man rechnet: 7 : 4 = 1 Rest 3

Man rechnet: 34 : 4 = 8 Rest 2

Man rechnet: 25 : 4 = 6 Rest 1

Man rechnet: 12 : 4 = 3

BM393

Rechne!

---

945 : 7

398 : 2

654 : 3

956 : 4

775 : 5

374 : 2

805 : 7

788 : 4

495 : 3

786 : 6

549 : 3

426 : 3

BM394

Rechne!

---

9394 : 7

3784 : 4

5872 : 4

3870 : 9

7635 : 3

4275 : 5

8484 : 6

3152 : 2

BM395

7495 : 4

---

7495 : 4 = 1873
-
34
--
 29
 --
  15
  --
Rest 3

Man rechnet: 7 : 4 = 1 Rest 3

Man rechnet: 34 : 4 = 8 Rest 2

Man rechnet: 29 : 4 = 7 Rest 1

Man rechnet: 15 : 4 = 3 Rest 3

BM396

738 : 5

623 : 4

338 : 3

598 : 3

675 : 6

584 :7

430 : 3

800 : 9

430 : 6

---

687 :4

980 : 3

825 : 2

735 : 2

877 : 6

779 : 3

900 : 7

865 : 8

287 : 9

BM397

8763 : 4

5200 : 7

7900 : 3

3645 : 8

7000 : 3

8223 : 5

9840 : 7

3700 : 9

6800 : 9

---

7067 : 6

6000 : 7

2008 : 3

4238 : 7

2450 : 6

4300 : 6

8035 : 8

6700 : 7

---

5000 : 9

7364 : 9

5400 : 7

6000 : 7

6738 : 7

7640 : 6

2800 : 9

BM398

Berechne das Achtfache von 347!

Berechne das Sechsfache vo 1342!

---

Für einen Anzug braucht man 3 m Stoff.

a) Wie viele solvher Anzüge kann man aus 782 m Stoff anfertigen?

b) Wie viel Meter Stoff bleiben übrig?

---

Ein Sofa für 887 Euro und drei gleiche Sessel kosten zusammen 1616 Euro. Wie viel kostet ein Sessel?

BM399

8763 : 4

8300 : 9

7000 : 9

7634 : 6

6400 : 7

7000 : 6

8763 : 4

9423 : 5

8344 : 4

---

4043 : 5

4300 : 6

8000 : 9

6723 : 2

7100 : 8

3000 : 7

4308 : 6

2873 : 4

7345 : 9

BM400

389 * 7

785 * 9

687 * 8

1249 * 6

936 * 7

843 * 6

---

Von welcher Zahl muss man das Produkt aus 786 und 4 subtrahieren, um 655 zu erhalten?

---

Zu welcher Zahl muss man den Quotienten aus 8799 und 7 addieren, um 2500 zu erhalten?

---

Dividiere das Doppelte von 4263 durch 7!

---

Multiplizeire den fünften Teil von 7635 mit 6!

---

Subtrahiere von 10000 das Achtfache von 978!

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