Curso de alemán para principiantes con audio/Lección 064b

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Lección 064

Mathematik auf Deutsch - 14

BM651 - BM660

BM651

Wie muss eine Verschiebung ausgeführt werden, damit eine Gerade auf sich selber abgebildet wird?

Lösung BM651
Die Verschiebung muss in Richtung der Geraden erfolgen. Die Gerade h im Bild wurde entlang ihrer Richtung verschoben. Das Bild h' ist identisch mit dem Original h = Die Gerade wurde auf sich selbst abgebildet.

BM652

a)

Zeichne eine Gerade g!

Zeichne dann eine Gerade h, die senkrecht auf g steht!

Lösung BM652 a
BM652 a

---

b)

Bestimme das Bild von g und das Bild von h bei einer Verschiebung in Richtung der Geraden h!

Was stellst du fest?

Lösung BM652 a
BM652 b Die Gerade h wird auf sich selber abgebildet. Die Gerade h' ist das Bild der Geraden h. --- Die Gerade g' verläuft parallel zur Geraden g.

BM653

a)

Zeichne zwei Streifen gleicher Breite, die senkrecht aufeinander stehen!

Wie viel Schnittpunkte entstehen?

---

Welche Eigenschaften besitzt das Viereck, das durch die Schnittpunkte bestimmt wird?

Wie heißt das Viereck?

Lösung BM653 a
Quadrat Es entstehen vier Schnittpunkte. Die Schnittpunkte sind die Ecken eines Quadrats.

---

b)

Zeichne zwei Streifen verschiedener Breite, die sich senkrecht schneiden!

Welche Eigenschaften besitzt das Viereck, das durch die Schnittpunkte bestimmt wird?

Wie heißt das Viereck?

Lösung BM653 b
Rechteck Die Schnittpunkte sind die Ecken eines Rechtecks.

BM654

Zeichne zwei Streifen verschiedener Breite, die einander nicht rechtwinklig schneiden!

Welche Eigenschaften besitzt das Viereck, das durch die Schnittpunkte bestimmt wird?

Wie heißt dieses Viereck?

Lösung BM654
Parallelogramm Das Viereck ist ein Parallelogramm. Ein Parallelogramm ist ein Viereck, bei dem gegenüberliegende Seiten parallel sind. Rechteck und Quadrat sind Spezialfälle des Parallelogramms.

BM655

Zeichne zwei Streifen gleicher Breite, die einander nicht rechtwinklig schneiden!

Welche Eigenschaften besitzt das Viereck, das durch die Schnittpunkte bestimmt wird?

Wie heißt dieses Viereck?

Lösung BM655
Raute Das Viereck ist eine Raute. Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten. Gegenüberliegende Seiten sind parallel und gegenüberliegende Winkel gleich groß. Rechteck und Quadrat sind Spezialfälle der Raute. Eine Raute ist ein Spezialfall eines Parallelogramms.

BM656

Zeichne zwei Geraden g und h, die einander schneiden!

Lösung BM656 a
BM656 a

---

b)

Bestimme jeweils das Bild von g und h bei einer Verschiebung in Richtung der Geraden h!

Lösung BM656 b
BM656 b Die Gerade h wird entlang ihrer Richtung verschoben. Das Bild h' ist identisch mit dem Original h = Die Gerade wurde auf sich selbst abgebildet. Das Bild g' der Geraden g ist parallel zu g.

BM657

Muster

Mustererkennung

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Wie lautet die Lösung und warum?

Lösung BM657
a Die Figuren sind diagonal angeordnet, von links oben nach rechts unten.

BM658

Lösung BM658
c Die Figuren sind horizontal angeordnet. Links: aufrecht; Mitte: nach rechts gekippt; Rechts: nach links gekippt

BM659

Lösung BM659
c Warum? Die vertikale Linie von dem "L": vertikal immer abwechselnd links-rechts-links; horizontal auch abwechselnd links-rechts-links. Die horizontale Linie von dem "L": horizontal: unten-unten-oben; vertikal: unten-oben-oben

BM660

Lösung BM660

c Warum? In der oberen Reihe gibt es Die Figuren: "V", Plus, Kreis und Quadrat. Von diesen 4 Figuren sind jeweils drei zu sehen. Sie bewegen sich von Bild zu Bild schrittweise nach rechts und tauchen dann links wieder auf. In der mittleren Reihe gibt es ebenfalls 4 Figuren, die sich nach rechts bewegen: Pi, Doppelpunkt, Bergspitze, umgekipptes "T" In der unteren Zeite ebenfalls, mit den 4 Figuren: Pfeil, Ring, ligendes "T" und Quadrat mit Kreuz.

BM661 - BM670

BM661

Lösung BM661
a Warum? Der Inhalt der großen Figuren ist jeweils diagonal (von links oben nach rechts unten) identisch. Die großen Figuren sind in einer Zeile identisch, wobei in jeder Zeile jeweils ein Figur größer als die andern ist.

BM662

Lösung BM662
d Warum? Wenn man zeilenweise das rechte und das mittlere Bild addiert, dann erhält man das linke Bild.

BM663

Lösung BM663
f Warum? Von links nach rechts ist die Anzahl der Streifen: 7, 5 und 3, wobei von einem Streifen immer eine Hälfte schwarz ist. Die Streifen werden von Bild zu Bild jeweils um 90° im Gegenuhrzeigersinn gedreht.

BM664

Lösung BM664
c Warum? Man kann sich zeilenweise den Kasten mit drei Fächern vorstellen, wobei jeweils ein Fach schwarz abgedeckt ist. Natürlich muss auch beim rechten Bild jeweils ein Fach schwarz abgedeckt sein.

BM665

Lösung BM665
c Warum? Die Position des Kreuzes wird als Mittelwert gebildet: Man nehme zeilenweise das linke Bild und das mittlere Bild. Die Mitte zwischen der Position des Kreuzes im liken und mittleren Bild ergibt die Position der Kreuzes im rechten Bild.

BM666

Lösung BM666
a Warum? Je Zeile wird das linke und das mittlere Bild addiert, um das rechte Bild zu erhalten.

BM667

Lösung BM667
e Warum? In jeder Zeile ist dei kleine Figur jeweils: weg-links-rechts-weg-links usw. Die kleine Figur ist jeweils zeilenweise identisch.

BM668

Lösung BM668
a Warum? Der äußere Punkt bewegt sich jeweils im Urzeigersinn um 90°. Der innere Punkt bewegt sich in die entgegengesetzten Richtung (gegen den Uhr zeigersinn) jeweils um 90 Grad. Die große äußere Figur wird nach folgender Regel ausgewählt: In jeder Zeile sind zwei große Kreise und ein großes Quadrat.

BM669

Lösung BM669
e Warum? horizontale Reihe: Die vier Figuren tauschen jeweils paarweise ihre Plätze vertikal, also oben mit unten. Im nächsten Bild tauschen die vier Figuren paarweise ihre Plätze horizontal, also rechts mit links.

BM670

Lösung BM670
c Warum? Der Umriss der Figuren ist in jeder Reihe identisch. Die schwarz gefüllten Quadrate nehmen in jeder Reihe nach rechts jeweils um eins ab. Nach dieser Regel könnte die Lösung auch "d" lauten. Aber die schwarzen Quadrate nehmen jeweils von rechts oben ab.

BM671 - BM680

BM671

Lösung BM671
e Warum? Die großen Figuren tauchen alle genau drei mal auf. Die kleinen Figuren tauchen auch genau drei mal auf. Aber nach welcher Regel sind die kleinen Figuren positioniert? Die kleinen Figuren sind in der oberen Reihe alle oben links neben der großen Figur. In der mittleren Reihe ändern die kleinen Figuren ihren Position, um in der unteren Reihe wieder an ihre alte Position zurückzukehren.

BM672

Lösung BM672
c Warum? horizontale Reihe: Die äußere Form dreht sich jeweils um 45 Graf nach rechts. Die Streifen werden von links nach rechts um eine Linie reduziert und die Richtung der Streifen wechselt zwischen waagerecht und senkrecht.

BM673

Lösung BM673
a Warum? horizontale Reihe: Ein waagerechter Strich wird horizontal und im dritten Bild verschwindet jeweils ein waagerechter Strich.

BM674

Lösung BM674
b Warum? Der oder die Kreis auf der rechten Seite bewegen sich nach oben und wenn sie oben angekommen sind, dann fangen sie von unten wieder an. Die Kugeln auf der linken Seite bewegen sich nach unten.

BM675

Lösung BM675
c Warum? Horizontale Reihe: Die Kugel bewegt sich Schritt für Schritt nach rechts. Das Quadrat bewegt sich Bild für Bild nach links. Wenn die Kugel bzw. der Würfel das Ende erreicht, dann beginnt er auf der anderen Seite wieder von Neuem.

BM676

Welche Nummer hat der Parkplatz, auf dem das rote Auto steht?

Lösung BM676
87 Die Zahlen stehen alle auf dem Kopf.

BM677

Alternative Mathematik

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8809 = 6

7111 = 0

2172 = 0

6666 = 4

1111 = 0

3213 = 0

7662 = 2

9313 = 1

0000 = 4

2222 = 0

3333 = 0

5555 = 0

8193 = 3

8096 = 5

1012 = 1

7777 = 0

9999 = 4

7756 = 1

6855 = 3

9881 = 5

5531 = 0

2581 = ?

Lösung BM677
2581 = 2

BM677

In welche Richtung fährt der rote Bus und in welche der blaue Bus? Nach rechts oder nach links? Und warum?

Lösung BM678
Der rote Bus ist in London. Dort und in ganz England ist Linksverkehr. Wo hat der Bus seine Türen? - Auf der anderen Seite. Also fährt er nach rechts. --- Der blaue Bus ist in Berlin. In Deutschland ist Rechtsverkehr. Wo hat der Bus seine Türen? - Auf der anderen Seite. Busse für den Rechtsverkehr haben ihre Tür nur auf der rechten Seite. Also fährt der Bus nach links.

BM678

Die Subtraktion ist die Umkehroperation der Addition

Statt x + b = a schreiben wir x = a - b

---

Die Subtraktion a-b ist im Bereich der natürlichen Zahlen nur dann ausführbar, wenn der Minuend a größer als der Subtrahend b ist oder wenn der Minuend a gleich dem Subtrahenden b ist.

Kürzer: a - b ist eindeutig ausführbar, wenn a > b oder wenn a = b.

---

Für jede natürliche Zahl a gilt:

1.) a - 0 = a

2.) a - a = 0

denn: a + 0 = a

BM679

Für jede natürliche Zahl a gilt:

1.) a * 0 = 0

2.) a * 1 = a

---

Die Division ist die Umkehroperation der Multiplikation.

Statt b * x = a schreiben wir x = a : b

---

Die Division a:b ist im Bereich der natürlichen Zahlen nur dann ausfürhbar, wenn der Dividend a ein Vielfaches des Divisions b ist.

Der Quotient ist dann eindeutig bestimmt.

---

Für jede natürliche Zahl a gilt:

1.) a : 1 = a

2.) a : a = 1 (a ≠ 0)

denn: a * 1 = 1 * a = a

BM680

Eine Summe aus mehreren gleichen Summanden können wir kürzer als Produkt schreiben.

7 + 7 = 2 * 7

7 + 7 + 7 = 3 * 7

7 + 7 + 7 + 7 = 4 * 7

Wenn der Summand 7 in einer Summe n-mal vorkommt, schreiben wir:

7 + 7 + ... + 7 = n * 7 //(n Summanden 7)

---

a + a = 2 * a

a + a + a = 3 * a

a + a + a + a = 4 * a

Wenn der Summand a in einer Summe n-mal vorkommt, schreiben wir:

a + a + ... + a = n * a //(n Summanden a)

---

Das Produkt n * a kann man als Summe aus n gleichen Summanden a auffassen:

a * a = a + a + ... + a //(n Summanden a)

BM681 - BM690

BM681

Ein Produkt aus mehreren gleichen Faktoren können wir kürzer als Potenz schreiben:

10 * 10 = 10²

10 * 10 * 10 = 10³

10 * 10 * 10 * 10 = 10⁴

Wenn der Faktor 10 in einem Produkt n-mal vorkommt, schreiben wir:

10 * 10 * ... * 10 = 10ⁿ //(n Faktoren 10)

---

a * a = a²

a * a * a = a³

a * a * a * a = a⁴

Wenn der Faktor a in einem Produkt n-mal vorkommt, schreiben wir:

a * a * ... * a = aⁿ //(n Faktoren a)

---

Unter der Potenz aⁿ (n>1) versteht man das Produkt aus n gleichen Faktoren a:

aⁿ = a * a * ... * a //(n Faktoren a)

---

In der Gleichung aⁿ = b heißt a Basis (oder Grundzahl) der Potenz, n Exponent (oder Hochzahl) der Potenz.

aⁿ bzw. b heißt Potenz.

BM682

Schreibe als Potenz!

---

8

27

64 (mehrer Möglichkeiten)

1.000.000

125

49

32

Lösung BM682
8 = 2 * 2 * 2 = 23 27 = 3 * 3 * 3 = 33 64 = 26 = 8 * 8 = 82 1.000.000 = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10 * = 106 125 = 5 * 5 * 5 = 53 49 = 7 * 7 = 72 32 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 25

BM683

3⁴ + 4² = 3 * 3 * 3 * 3 + 4 * 4 = 81 + 16 = 97

4³ - 3² = 4 * 4 * 4 - 3 * 3 = 64 - 9 = 55

5² * 2³ = (5 * 5) * (2 * 2 * 2) = 25 * 8 = 200

6³ : 3² = (6 * 6 * 6) : (3 * 3) = 216 : 9 = 24

BM684

Rechne!

---

2⁵ + 5²

7³ + 10²

5³ + 3⁵

---

3⁴ + 4³

2⁴ + 4²

6² + 2⁶

---

10² + 8³

7² + 4³

6³ + 12²

---

5³ + 10²

2³ + 4²

11² + 10³

BM685

Löse folgende Gleichungen und mache die Probe!

---

3⁴ + x = 100

5³ + x = 150

5² - x = 0

7² - x = 0

BM686

5² * 2² - 3²

6² + 8 : 2²

5² * 3³ - 2⁴

(6² + 8) : 2²

---

5³ * 2 - 3⁴

(3³ + 13) : 2²

2⁵ * 5² - 3²

2⁴ + 4³ - 5²

BM687

Multipliziere folgen Zahlen mit 10! (mit 100; mit 1000)

---

374

12

9.015

6.000

35.216

3.005

708

BM688

Vergleiche folgende Schreibweisen miteinander und erläutere sie!

243 * 175
243
1701
 1215
42525

243 * 175
1701
 1215
42525

BM689

Die Aufgabe 23.456 * 5 = x soll möglichst schnell gelöst werden.

Wir können rechnen: 23.456 * 10 = 234.560

Und dann: 234.560 : 2 = 117.280

Denn 10 : 2 = 5

---

Die Aufgabe 4.673 * 25 = x soll möglichst schnell gelöst werden.

Wir können rechnen: 4.673 * 100 = 467.300

Und dann: 467.300 : 4 = 116.825

Denn 100 : 4 = 25

BM690

Einige der folgenden Sätze sind falsch. Erkläre an je einem Beispiel, warum sie falsch sind! Berichtige dann diese Sätze!

---

a)

Die Addition ist im Bereich der natürlichen Zahlen uneingeschränkt ausführbar.

---

b)

Die Subtraktion ist im Bereich der natürlichen Zahlen uneingeschränkt ausführbar.

---

c)

Die Multiplikation ist im Bereich der natürlichen Zahlen uneingeschränkt ausführbar.

---

d)

Die Division ist im Bereich der natürlichen Zahlen uneingeschränkt ausführbar.

Lösung BM690
a) richtig b) falsch (Bsp.: 5 - 11) c) richtig d) falsch (Bsp.: 5 : 11; 11 : 5)

BM691 - BM700

BM691

Einige der folgenden Sätze sind falsch. Erkläre an je einem Beispiel, warum sie falsch sind! Berichtige dann diese Sätze!

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a)

Null ist durch jede Zahl teilbar.

---

b)

Jede Zahl ist durch Null teilbar.

---

c)

2³ ist kleiner als 3²

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d)

Jede natürliche Zahl hat einen unmittelbaren Vorgänger.

---

e)

Jede natürliche Zahl hat einen unmittelbaren Nachfolger.

---

f)

2⁴ ist kleiner als 4²

Lösung BM691
a) richtig b) falsch (Die Division durch Null ist nicht möglich. Die Division durch Null ist nicht definiert.) c) richtig (23 = 8; 32 = 9; 8 < 9) d) falsch (Null hat keinen Vorgänger; bzw. je nach Definitio der natürlichen Zahlen: Eins hat keinen Vorgänger) e) richtig f) richtig (24 = 16; 42 = 16; 16 = 16)

BM692

Welche Ziffer muss am Ende der Zahlen stehen, die bei der Division durch 10 den Rest 7 ergeben?

Lösung BM692
7 Beispiele: 17 : 10 = 1 Rest 7 27 : 10 = 2 Rest 7 317 : 10 = 31 Rest 7

BM693

Welche Ziffern können am Ende der Zahlen stehen, die bei der Division durch 5 den Rest 2 ergeben?

Lösung BM693
2 oder 7 Beispiele: 10 : 5 = 2 11 : 5 = 2 Rest 1 12 : 5 = 2 Rest 2 13 : 5 = 2 Rest 3 14 : 5 = 2 Rest 4 15 : 5 = 3 16 : 5 = 3 Rest 1 17 : 5 = 3 Rest 2 18 : 5 = 3 Rest 3 19 : 5 = 3 Rest 4 20 : 5 = 4

BM694

Gleichungen und Ungleichungen

---

Es soll die Gleichung 13 + 3 * x = 17 gelöst werden. Es gibt nur eine (einzige) natürliche Zahl, die diese Gleichung erfüllt, nämlich die Zahl 2.

(Übrigens: Wer nämlich mit h schreibt ist dämlich.)

Ein kleiner Witz dazu:

Früher: „Wer nämlich mit h schreibt, ist dämlich.“

Heute: „Wer nämlich mit h schreibt, hält immerhin den Stift richtig herum. Toll, Kevin.“

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Weiter mit der Aufgabe: 13 + 3 * x = 17; Lösung: x = 2

Jede von 2 verschiedene natürliche Zahl erfüllt diese Gleichung nicht.

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Die Ungleichung 3 < 2 * m < 10 wird von mehrern natürlichen Zahlen erfüllt, nämlich von 2, 3 und 4

BM695

Es soll die natürliche Zahl ermittelt wrden, die die Gleichung 34 + 2 * a = 78 erfüllt

---

Wir rechnen:

34 + 2 * a = 78

2 * a = 44; denn 34 + 44 = 78

a = 22; denn 2 * 22 = 44

---

2 * a ist das Doppelte von a

a ist halb so groß wie 2 * a, also a = 22

Probe: 34 + 2 * 22 = 34 + 44 = 78

Die natürliche Zahl 22 erfüllt die obige Gleichung.

BM696

Es sollen die natürlichen Zahlen ermittelt werden, die die Gleichung a * b = 1 erfüllen.

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Die Gleichung wird nur erfüllt für a = 1 und b = 1, also nur von dem Zahlenpaar (1; 1)

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In vielen Fällen gibt es unendlich viele (oder zumindest sehr viele Zahlenpaare, die die Gleichung erfüllen. (z. B. a * b = 3.600

BM697

m = n + 1

Wählen wir n = 3, so erhalten wir m = 4,

Wählen wir n = 12, so erhalten wir m = 13.

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Um einige Zahlenpaare anzugeben, die diese Gleichung erfüllen, verwenden wir eine Tabelle:

n	0	1	2	3	…	15	16	…	103	…
m	1	2	3	4	…	16	17	…	104	…

Es gibt unendlich viele Zahlenpaare (n, m), die diese Gleichung erfüllen.

BM698

Welche Zahlenpaare (c; d) erfüllen die Gleichung d = c – 3?

Lösung BM698
c 3 4 5 6 … 15 16 … 103 … d 0 1 2 3 … 12 13 … 100 …

BM699

Es sollen Zahlenpaare (a, b) ermittelt werden, die die Ungleichung a + b < 3 erfüllen.

---

Wenn a = 0 ist, so kann b = 0 oder b = 1 oder b= 1 sein;

wenn a = 1 ist, so kann b = 0 oder b = 1 sein;

wenn a = 2 ist, so kann b nur gleich 0 sein.

a	0	0	0	1	1	2
b	0	1	2	0	1	0

BM700

Von einer unbekannten Zahl wird 11 subtrahiert. Dann wird diese Differenz verdreifacht. Das Produkt ist 18.

Wie heißt die unbekannte Zahl?

Lösung BM700
Aufgabe: Von einer unbekannten Zahl x wird 11 subtrahiert x - 11 --- Dann wird diese Differenz verdreifacht 3 * (x - 11) Das Produkt ist 18. 3 * (x - 11) = 18 --- Lösung: Wir rechnen: 3 * (x – 11) = 18 (x – 11) = 6; denn 3 * 6 = 18 x = 14; denn 17 – 11 = 6 Probe: 3 * (17 – 11) = 3 * 6 = 18

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