Curso de alemán para principiantes con audio/Lección 065b

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Mathematik auf Deutsch - 15

BM701 - BM710

BM701

Wenn man eine gedachte Zahl verdoppelt und von diesem Produkt 7 subtrahiert, erhält man 71.

Wie heißt die gedachte Zahl?

Lösung BM701
Aufgabe: Wenn man eine gedachte Zahl verdoppelt x * 2 und von diesem Produkt 7 subtrahiert x * 2 - 7 erhält man 71. x * 2 - 7 = 71 --- Lösung: x * 2 = 78; denn 78 - 7 = 71 x = 39; denn 39 * 2 = 78 Probe: 39 * 2 - 7 = 78 - 7 = 71

BM702

An einer 55 cm langen Holzleiste muss Siegfried Bohrungen in Abständen von 7 cm anbringen. An Jeder Seite sollen 3 cm übrig bleiben.

Wie oft musste gebohrt werden?

Lösung BM702
55 - (2 * 3) = 49 49 : 7 = 7 7 + 1 = 8 Es muss 8x gebohrt werden.

BM703

Welche Zahlenpaare erfüllen folgende Gleichungen?

---

a)

2 * a + b = 7

---

b)

c + 2 * d = 9

---

c)

3 * e + f = 7

---

d)

x + 2 * y = 10

Lösung BM703

a)

2 * a + b = 7

a	0	1	2	3
b	7	5	3	1

---

b)

c + 2 * d = 9

c	1	3	5	7	9
d	4	3	2	1	0

---

c)

3 * e + f = 7

e	0	1	2
f	7	4	1

---

d)

x + 2 * y = 10

x	0	2	4	5	6	10
y	5	4	3	2	1	0

BM704

Gib in einer Tabelle einige Zahlenpaare an, die folgende Gleichungen erfüllen!

----

a)

x - y = 3

---

b)

2 * a - b = 3

---

c)

m - n = 2

---

d)

2 * p - q = 5

Lösung BM704

a)

x - y = 3

x	4	14	100
y	1	11	97

---

b)

2 * a - b = 3

a	4	14	100
b	5	25	197

---

c)

m - n = 2

m	4	14	100
n	2	12	98

---

d)

2 * p - q = 5

p	4	14	100
q	3	23	195

BM705

Gib alle möglichen Zahlenpaare an, die folgende Ungleichungen erfüllen!

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a)

x + y < 3

---

b)

a * b < 4

---

c)

m + n < 4

---

d)

p * q < 5

Lösung BM705

a)

x + y < 3

x	0	0	0	1	1	2
y	0	1	2	0	1	0

---

b)

a * b < 4

a	1	1	1	2	3	0	0	0	0	0
b	1	2	3	1	1	0	1	2	190	...

---

c)

m + n < 4

x	0	0	0	0	1	1	1	1	2	2	3
n	0	1	2	3	0	1	2	3	0	1	0

---

d)

p * q < 5

p	1	1	1	1	2	2	3	0	0	0	0	0
q	1	2	3	4	1	2	1	0	1	2	190	...

BM706

Gib einige Zahlenpaare an, die folgende Ungleichungen erfüllen!

---

a) a - b < 3 < a + b

b) 0 < x - y < 2

c) c - d < 2 < c + d

d) 0 < s : t < 3

BM707

Die Differenz zweier Zahlen ist kleiner als 2. Dies Summe dieser beiden Zahlen ist größer als 2. Gib fünf Zahlenbeispiele an!

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Der Quotient zweier Zahlen sei stets kleiner als 3. Das Produkt dieser beiden Zahlen soll größer als 3 sein. Gib fünf Zahlenbeispiele an!

BM708

Das Malzeichen kann weggelassen werden, wenn es zwischen einer Zahl und einer Variablen steht.

Beispiel

5 * x = 115

5x = 115 (sprich: fünf x ist gleich 115)

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Löse folgende Gleichungen!

---

5x = 115

7 + a = 72

m - 51 = 219

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7x = 77

9 + b = 60

n - 23 = 211

BM709

Welche Zahlenpaare (a, b) erfüllen folgende Gleichungen?

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3a + b + 3 = 8

a + b + 1 = 7

11a + b + 1 = 35

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5a + b + 1 = 9

a + b - 1 = 8

13a + b = 20

---

a + b = 5

2a + b + 1 = 11

5a + b - 3 = 10

---

a - b = 5

2a + b - 1 = 11

5a + b + 3 = 18

BM710

Zwei Strecken sind zusammen 39 cm lang. Die eine Strecke ist 21 cm länger als die andere. Wie lang ist jede Strecke?

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Zwei Gefäße fassen zusammen 13 Liter. Das eine Gefäß enthält 9 Liter mehr als das andere. Wie viel Liter fast jedes Gefäß?

BM711 - BM720

BM711

In einer Klasse sind 28 Schüler. Es sind 3x so viel Mädchen wie Jungen. Wie viel Jungen und mädchen sind in dieser Klasse?

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Lösungsweg:

j = Jungen; m = Mädchen

m = 3j

j + 3j = 28

4j = 28; denn j + 3j = 1j + 3j = 4j

j = 7; denn 4 * 7 = 28

m = 3j = 3 * 7 = 21

In dieser Klasse sind 7 Jungen und 21 Mädchen.

BM712

Das arithmetische Mittel

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Bei einem Wettkampf im Gummistiefelweitwurf werden 15 Teilnehmer in zwei Mannschaften zu 7 und 8 Personen aufgeteilt.

Es wurden folgende Weiten in Meter gemessen:

Gruppe A: 28; 21; 20; 23; 17; 16; 22 m

Gruppe B: 27; 21; 19; 22; 20; 16; 29; 22 m

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Welche Gruppe hat gewonnen?

Diese Frage kann nicht sofot beantwortet werden, weil nicht in jeder Mannschaft gleich viel Personen sind und weil die Teilnehmer unterschiedliche Weiten erzielt haben.

Wir lösen die Aufgabe folgendermaßen:

Wir bilden die Summe aller erreichten Weiten einer jeden Mannschaft und dividieren diese Summe durch die Anzahl der Teilnehmer.

Gruppe A: 28 + 21 + 20 + 23 + 17 + 16 + 22 = 147 m

147 m : 7 = 21 m

Die Gruppe A hat im Durchschnitt 21 m weit geworfen.

Grupep B: 27 + 21 + 19 + 22 + 20 + 16 + 29 + 22 = 176 m

176 m : 8 = 22 m

Die Gruppe B hat im Durchschnitt 22 m weit geworfen.

Die Gruppe B war im Durchschnitt besser.

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Man errrechnet auch Durchschnittsgrößen wie Durchschnittslohn, Durchschnittsalter, Durchschnittsgeschwindigkeit.

durchschnittliche Fahrzeit

durchschnittliche Kosten

BM713

Durchschnittstemperatur

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Berechne die mittlere Temperatur bei folgen den Messungen!

Berechne die durchschnittliche Temperatur bei folgen den Messungen!

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1 Uhr	7 Uhr	13 Uhr	19 Uhr
7 °C	9 °C	17 °C	15 °C

Lösung BM713
7 + 9 + 17 + 15 = 48 48 : 4 = 12 Die mittlere Temperatur ist 12 °C.

BM714

In der Mathematik nenn man den Durchschnitt von Zahlen oder Größenangeaben das arithmetische Mittel.

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a₁ (ließ: A-Eins)

a₁, a₂, a₃ ... , a_n (ließ: A-Eins, A-Zwei, A-Drei, bis A-en)

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Das arithmetische Mittel A von n natürlichen Zahlen a₁, a₂, a₃ ... , a_n ist der Quotient aus der Summe dieser Zahlen und ihrer Anzahl.

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A = (a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n) : n

BM715

Bestimme das arithmetische Mittel der Zahlen 19, 20, 23, 21 und 22!

Lösung BM715
19 + 20 + 23 + 21 + 22 = 105 105 : 5 = 21 Die mittlere Temperatur ist 12 °C.

BM716

Bestimme das arithmetische Mittel folgender natürlicher Zahlen!

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a) 5, 7, 9, 11, 13

b) 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60

c) 111, 121, 131, 141

d) 119, 127, 95, 103, 77, 103

e) 2, 4, 6, 8, 10, 12

f) 73, 76, 79, 82, 85, 88, 91

g) 205, 215, 225, 235

h) 100, 73, 75, 82, 90

BM717

Von einigen Leuten wird die Höhe eines Turmes geschätzt:

75 m, 80 m, 70 m, 65 m, 60 m, 75 m, 70 m, 85 m, 80 m, 65 m 70 m und (einer wollte es genau wissen) 81 m.

Bestimme das arithmetische Mittel der Angaben!

Lösung BM717
75 + 80 + 70 + 65 + 60 + 75 + 70 + 85 + 80 + 65 + 70 + 81 = 876 876 : 12 = 73 Die Turmhöhe wurde im Mittel auf 73 m geschätzt.

BM718

Ein kleiner Betrieb produziert im Jahr Waren im Wert von 1.248.000 Euro.

Berechne die durchschnittliche Monatsproduktion in Euro!

Lösung BM718
1.248.000 : 12 = 104.000 876 : 12 = 73 Die durchschnittliche Monatsproduktion ist 104.000 Euro.

BM719

Wie groß ist die Summe aller geraden natürlichen Zahlen zwischen 199 und 213?

Lösung BM719
200 + 202 + 204 + 206 + 208 + 210 + 212 = 1442

BM720

Wie groß ist die Summe aller durch 6 teilbaren natürlichen Zahlen zwischen 65 und 100?

Lösung BM720a
Teilbarkeit durch 6 Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist (2 * 3 = 6), sonst nicht. Wenn die Quersumme einer Zahl durch 3 teilbar ist, dann ist die Zahl durch 3 teilbar, sonst nicht. Gerade Zahlen sind durch 2 teilbar. Wenn die Quersumme einer Zahl durch 3 teilbar und die Zahl gerade ist, dann ist die Zahl durch 6 teilbar. --- 1. Beispiel: 3474 3474 ist eine gerade Zahl, also durch 2 teilbar. Die Quersumme von 3474 ist 18; (3 + 4 + 7 + 4 = 18); 18 ist durch 3 teilbar (18 : 3 = 6) Also ist 3474 durch 6 teilbar; (denn 3474 ist durch 2 und 3 teilbar) --- 2. Beispiel: 33.728.754 33.728.754 ist eine gerade Zahl, also durch 2 teilbar. Die Quersumme von 33.728.754 ist 39; (3 + 3 + 7 + 2 + 8 + 7 + 5 + 4 = 39) 39 ist durch 3 teilbar (39 : 3 = 13) Also ist 33.728.754 durch 6 teilbar; (denn 33.728.754 ist durch 2 und 3 teilbar) Probe: 33728754 : 6 = 5.621.459

Lösung BM720b
66 ... 99 Nur gerade Zahlen (durch 2 teilbar) 66 (Quersumme 12; 12 ist durch 3 teilbar) teilbar durch 6 68 (Quersumme 14; 12 ist NICHT durch 3 teilbar) NICHT durch 6 teilbar 70( Quersumme 7; 7 ist NICHT durch 3 teilbar) NICHT durch 6 teilbar 72 (Quersumme 9; 9 ist durch 3 teilbar) teilbar durch 6 74 (Quersumme 11; 11 ist NICHT durch 3 teilbar) NICHT durch 6 teilbar 76 (Quersumme 13; 13 ist NICHT durch 3 teilbar) NICHT durch 6 teilbar 78 (Quersumme 15; 15 ist durch 3 teilbar) teilbar durch 6 80 (Quersumme 8; 8 ist NICHT durch 3 teilbar) NICHT durch 6 teilbar 82 (Quersumme 10; 10 ist NICHT durch 3 teilbar) NICHT durch 6 teilbar 84 (Quersumme 12; 12 ist durch 3 teilbar) teilbar durch 6 86 (Quersumme 14; 14 ist NICHT durch 3 teilbar) NICHT durch 6 teilbar 88 (Quersumme 16; 16 ist NICHT durch 3 teilbar) NICHT durch 6 teilbar 90 (Quersumme 9; 9 ist durch 3 teilbar) teilbar durch 6 92 (Quersumme 11; 11 ist NICHT durch 3 teilbar) NICHT durch 6 teilbar 94 (Quersumme 13; 13 ist NICHT durch 3 teilbar) NICHT durch 6 teilbar 96 (Quersumme 15; 15 ist durch 3 teilbar) teilbar durch 6 98 (Quersumme 17; 17 ist NICHT durch 3 teilbar) NICHT durch 6 teilbar --- Also: durch 6 teilbar: 66 + 72 + 78 + 84 + 90 + 96 = 486

BM721 - BM730

BM721

Bilde die Summe der dritten Potenzen der natürlichen Zahlen von 1 bis 10

Lösung BM721
1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + 6³ + 7³ + 8³ + 9³ + 10³ = 1 + 8 + 27 + 64 + 125 + 216 + 343 + 512 + 729 + 1000 = 3025

BM722

Bilde das arithmetische Mittel!

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a) 269, 271, 258, 262, 265

b) 5.081, 5.101, 5.088, 5.073, 5.077

Lösung BM722
a) 269 + 271 + 258 + 262 + 265 = 1325 1325 : 5 = 265 --- b) 5081 + 5101 + 5088 + 5073 + 5077 = 25.420 25.420 : 5 = 5.084

BM723

a)

Die Aufgabe (37 + 65) * 8 + 17 soll in Worten wiedergegeben werden.

Wie lautet die Lösung?

---

b)

Die Aufgabe (37 + 65) * (8 + 17) soll in Worten wiedergegeben werden.

Wie lautet die Lösung?

Lösung BM723
a) Die Summe der Zahlen 37 und 65 ist mit 8 zu multiplizieren. Zu diesem Produkt soll 17 addiert werden. (37 + 65) * 8 + 17 = 102 * 8 + 17 = 816 + 17 = 833 --- b) Die Summe der Zahlen 37 und 65 ist mit der Summe der Zahlen 8 und 17 zu multiplizieren. (37 + 65) * (8 + 17) = 102 * 25 = 2.550

BM724

1, 4, 9, 16, 25, 36, ...

a) Nenne die Differenz zwischen je zwei benachbarten Gliedern der angegebenen Folge!

b) Nenne die nächsten fünf Gleider dieser Folge!

Lösung BM724
1, 4, 9, 16, 25, 36, ... a) 1 (3), 4 (5), 9 (7), 16 (9), 25 (11), 36, ... b) 1 (3), 4 (5), 9 (7), 16 (9), 25 (11), 36 (13), 49 (15), 64 (17), 81 (19), 100 (21), 121 b) 49, 64, 81, 100, 121

BM725

43, 41, 39, 37, ...

a) Setze die Folge um fünf weitere Gleider fort!

b) Bild zwischen je zwei benachbarten Gliedern das arithmetische Mittel!

Lösung BM724
43, 41, 39, 37, ... a) 35, 33, 31, 29, 27 b) (43 + 41) : 2 = 42 (41 + 39) : 2 = 40 (39 + 37) : 2 = 38 (37 + 35) : 2 = 36 (29 + 27) : 2 = 28

BM726

Gib die ersten acht Glieder einer Folge an, die nach folgender Vorschrift gebildet wird: 2n + 3

Anleitung: Setze für n als erste Zahl 0 ein!

Lösung BM726
2n + 3 3, 5, 7, 11, 13, 15, 17, 19

BM727

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

a) Versuche herauszufinden, wie diese Folge gebildet wird!

b) Gib vier weitere Glieder dieser Folge an!

Lösung BM727a
a₁, a₂, a₃, a₄, ... a_n-2, a_n-1, a_n, a_n+1, a_n+2 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... a) a_n = a_n-1 + a_n-2 Beispiel: 1 + 1 = 2; 1 + 2 = 3; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13 b) 55, 89, 144, 233, 377

Lösung BM727b
Die Fibonacci-Folge ist die unendliche Folge von natürlichen Zahlen, die mit zweimal der Zahl 1 beginnt. Im Anschluss ergibt jeweils die Summe zweier aufeinanderfolgender Zahlen die unmittelbar danach folgende Zahl: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ... Die darin enthaltenen Zahlen heißen Fibonacci-Zahlen. Benannt ist die Folge nach Leonardo Fibonacci, der damit im Jahr 1202 das Wachstum einer Kaninchenpopulation beschrieb. --- Weitere Untersuchungen zeigten, dass die Fibonacci-Folge auch noch zahlreiche andere Wachstumsvorgänge der Pflanzen beschreibt. Es scheint, als sei sie eine Art Wachstumsmuster in der Natur.

BM728

Kaninchenaufgabe

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„Wie viele Kaninchenpaare entstehen im Verlauf eines Jahres aus einem Paar Kaninchen?“

Ein Paar Kaninchen bringt jeden Monat ein neues Paar Kaninchen auf die Welt.

Neu geborene Kaninchen gebären erstmals im zweiten Monat.

Das erste Paar Kaninchen ist schon geschlechtsreif und bringt bereits im ersten Monat ein weiteres Paar zur Welt.

Diese Kaninchenpaare sind eine Idealiserung, bei der die Kaninchen sich unbegrenzt vermehren können und niemals sterben.

Wie viel Kaninchen gibt es nach einem Jahr?

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Fibonacci illustrierte diese Folge durch die einfache mathematische Modellierung des Wachstums einer Population von Kaninchen nach folgenden Regeln:

1.) Jedes Paar Kaninchen wirft pro Monat ein weiteres Paar Kaninchen.

2.) Ein neugeborenes Paar bekommt erst im zweiten Lebensmonat Nachwuchs (die Austragungszeit reicht von einem Monat in den nächsten).

3.) Die Tiere befinden sich in einem abgeschlossenen Raum, sodass kein Tier die Population verlassen und keines von außen hinzukommen kann.

Fibonacci begann die Reihe, nicht ganz konsequent, nicht mit einem neugeborenen, sondern mit einem trächtigen Paar, das seinen Nachwuchs bereits im ersten Monat wirft, sodass im ersten Monat bereits 2 Paare zu zählen sind. In jedem Folgemonat kommt dann zu der Anzahl der Paare, die im Vormonat gelebt haben, eine Anzahl von neugeborenen Paaren hinzu, die gleich der Anzahl derjenigen Paare ist, die bereits im vorvergangenen Monat gelebt hatten, da der Nachwuchs des Vormonats noch zu jung ist, um jetzt schon seinerseits Nachwuchs zu werfen. Fibonacci führte den Sachverhalt für die zwölf Monate eines Jahres vor (2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377) und wies auf das Bildungsgesetz der Reihe durch Summierung jeweils zweier aufeinanderfolgender Reihenglieder (2+3=5, 3+5=8, 5+8=13 usw.) hin. Er merkte außerdem an, dass die Reihe sich nach diesem Prinzip für eine unendliche Zahl von Monaten fortsetzen lässt, was dann allerdings unsterbliche Kaninchen voraussetzt.

BM729

a) Setze in (n - 1) * n für n der Reihe nach die Zahlen 1, 2, 3, ..., 10 ein!

b) Bilde die Differenz zwischen je zwei benachbarten Gliedern der Folge!

c) Bilde das arithmetische Mittel von je zwei benachbarten Gleidern der Folge!

Lösung BM729
a) Setze in *(n - 1) n** für n der Reihe nach die Zahlen 1, 2, 3, ..., 10 ein! 0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90 b) Bilde die Differenz zwischen je zwei benachbarten Gliedern der Folge! 0 (2), 2 (4), 6 (6), 12 (8), 20 (10), 30 (12), 42 (14), 56 (16), 72 (18), 90 c) Bilde das arithmetische Mittel von je zwei benachbarten Gleidern der Folge! (2+6):2=4; (6+12):2=9; (12+20):2=16; (20+30):2=25; (30+42):2=36; (42+56):2=49; (56+72):2=64

BM730

Durch zwei Punkte geht genau eine Gerade.

Jede Gerade legt genau eine Richtung fest.

Zwei Geraden haben entweder gleiche oder verschiedene Richtung.

Geraden, die gleiche Richtung haben, sind zueinander parallel.

Durch einen Punkt gibt es zu einer Geraden genau eine Parallele.

BM731 - BM740

BM731

Handspanne

Handbreite (Strecke 2 oder 3)

Beim Messen von Strecken vergleichen wir die Längen der gegebenen Strecke mit der Länge einer anderen Strecke, der Einheitsstrecke.

Früher war es üblich mit Handspanne, Fußlänge, Schrittlänge, Radlänge, Handbreite, Armlänge usw. zu messen.

(Schrittlänge - Im deutschsprachigen Raum entsprach der Schritt meist zwischen 71 und 75 Zentimetern.)

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Der Norddeutsche Bund beschloss am 17. August 1868 die Einführung des französischen Metersystems zum 1. Januar 1872. Deutschland gehörte 1875 zu den zwölf Gründungsmitgliedern der Meterkonvention.

Im Jahr 1872 wurde von vielen Ländern beschlossen, an Stelle der unterschiedlichen Einheit der Länge eine einheitliche Einheit einzuführen. Diese Einheit ist der (oder das) Meter.

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Die Längeneinheit Meter ist seit Ende des 18. Jahrhunderts in Gebrauch. Der Ursprung dieser Längeneinheit geht auf einen Beschluss der französischen Nationalversammlung zurück, ein einheitliches Längenmaß zu definieren. Dem gingen einige Vorschläge für die Definition einer Längeneinheit voraus, die anders als die traditionellen Längenmaße nicht von der Länge menschlicher Gliedmaßen (der Fingerbreite, dem Zoll, der Handbreite, der Handspanne, der Elle, dem Fuß, dem Schritt und dem Klafter) abgeleitet war.

(Klafter - Als Längenmaß geht das Klafter auf die Spanne zwischen den ausgestreckten Armen eines erwachsenen Mannes zurück und wurde traditionell mit 6 Fuß definiert, entsprach also etwa 1,80 m.)

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Der Meter wurde 1799 als die Länge des Urmeters, eines Prototyps aus Platin, definiert. Dessen Länge entsprach nach den damals durchgeführten Messungen dem zehnmillionsten Teil der Entfernung vom Nordpol zum Äquator. Die aktuelle Definition gilt seit 1983.

BM732

1 mm (Millimeter)

1 cm (Zentimeter) = 10 mm

1 dm (Dezimeter) = 10 cm = 100 mm

1 m (Meter) = 10 dm = 100 cm = 1.000 mm

1 km (Kilometer) = 1.000 m = 1.000.000 mm

BM733

4 m = 400 cm

7 m 5 cm = 705 cm

6,03 m = 603 cm

6.000 m = 6 km

300 cm = 3 m

502 cm = 5,02 m

6.450 m = 6,450 km

5 km 24 m = 5.024 km

BM734

{\overline {AB}}

-

{\overline {CD}}

=

{\overline {DB}}

Wie können die Länge von Strecken zum Beispiel mit einem Lineal, Messband oder Zollstock (Gliedermaßstab) messen. Dabei achten wir darauf, dass das Messinstrument an der Strecke anliegt und der Nullstrich mit einem Endpunkt des Strecke übereinstimmt.

BM735

Fluchtstab

Grenzstein

Ein Fluchtstab (auch Fluchtstange) ist ein Mittel der Vermessung und Geodäsie. Er dient zum Signalisieren der einzumessenden Punkte, Grenzpunkte oder Strecken.

Wir stecken im Gelände eine Strecke ab, indem wir durch Fluchtstäbe zwei Punkte festlegen und von Punkt zu Punkt eine Schnur ziehen. Der Abstand zwischen zwei solchen Punkten kann dann mit Hilfe einer Messlatte oder eines Messbandes gemessen werden.

peilen (die Richtung, Ausrichtung oder Position bestimmen)

anvisieren (mit einer Waffe zielen; den Blick auf das Ziel richten)

Wir wollen auf der Geraden, die durch zwei Fluchtstäbe festgelegt ist, noch weitere Punkte markeiren. Dise Punkte müssen wir mit Hilfe von Fluchtstäben einpeilen oder einvisieren.

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fluchten = etwas so ausrichten oder bearbeiten, dass es in einer geraden Linie steht

BM736

Flächeninhalt

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Einheiten des Flächeninhalts:

Quadratmillimeter mm² (ein Quadrat mit 1 mm Seitenlänge)

Quadratzentimeter cm² (ein Quadrat mit 1 cm Seitenlänge)

Quadratmeter m² (ein Quadrat mit 1 m Seitenlänge)

Hektar ha (ein Quadrat mit 100 m Seitenlänge)

Quadratkilometer km² (ein Quadrat mit 1 km Seitenlänge)

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a) Wie viel Quadratmillimeter ergeben einen Quadratdezimeter?

b) Wie viel Quadratzentimeter ergeben einen Quadratmeter?

Lösung BM736
a) 10.000 mm² = 1 dm² b) 10.000 cm² = 1 m²

BM737

1 mm²

1 cm² = 100 mm²

1 m² = 10.000 cm² = 1.000.000 mm²

1 ha = 10.000 m²

1 km² = 100 ha = 1.000.000 m²

BM738

Flächeninhalt

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Der Flächeninhalt ist ein Maß für die Größe einer Fläche. Unter Fläche versteht man dabei zweidimensionale Gebilde, das heißt solche, in denen man sich in zwei unabhängige Richtungen bewegen kann. Darunter fallen die üblichen Figuren der ebenen Geometrie wie Rechtecke, Polygone, Kreise, aber auch Begrenzungsflächen dreidimensionaler Körper wie Quader, Kugel, Zylinder usw.

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Der Flächeninhalt spielt in der Mathematik, der Definition vieler physikalischer Größen, aber auch im Alltag eine wichtige Rolle. So ist etwa Druck als Kraft pro Fläche definiert

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Die Ausmessung von Flächeninhalten geschieht in der Regel nicht direkt. Stattdessen werden bestimmte Längen gemessen, woraus dann der Flächeninhalt berechnet wird. Zur Messung des Flächeninhalts eines Rechtecks oder einer Kugeloberfläche misst man üblicherweise die Seitenlängen des Rechtecks bzw. den Durchmesser der Kugel und erhält den gewünschten Flächeninhalt mittels geometrischer Formeln

BM739

Bild 1

Flächeninhalt von Rechtecken

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Man kann den Flächeninhalt eines Rechtecks ermitteln, ohne das Rechteck zu zeichnen und ohne es mit Einheitsquadraten auszulegen.

Das Rechteck in Bild 1 lässt sich durch a Streifen mit je b Einheitsquadraten auslegen.

Der Flächeninhlat beträgt a * b Einheitsquadrate.

Im konkreten Fall ist a = 5 und b = 3. Also 5 * 2 = 15.

Bild 2

Das Rechteck in Bild 2 lässt sich genauso gut durch b Streifen mit je a Einheitsquadraten auslegen.

Der Flächeninhlat beträgt b * c Einheitsquadrate.

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Die Anzahl der Einheitsquadrate, die die Rechtecke in Bild 1 und Bild 2 ausfüllen, ist gleich: a * b = b * a

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Gemäß Kommutativgesetz der Multiplikation ist a * b = b * a

BM740

Der Flächeninhalt A eines Rechtecks ist definiert mit Länge mal Breite.

Der Flächeninhalt A eines Rechtecks ist gleich dem Produkt aus der Länge a und der Breite b.

Der Flächeninhalt A eines Rechtecks ist gleich dem Produkt aus der Länge l und der Breite b.

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Für den Flächeninhalt verwendet man für gewöhnlich den Buchstaben A (lat.: area = Fläche oder Platz).

Das Formelzeichen A leitet sich vom Lateinischen „area“ ab und bedeutet Grundfläche.

Formelzeichen (auch: Größensymbole) werden zur Bezeichnung physikalischer Größen verwendet.

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A = a * b

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Wir verwenden in der Formerl A = a * b die Variablen (A, a und b) für Größenangaben.

Wenn die Länge eines Rechtecks 5 cm und die Breite b dieses Rechtecks 3 cm beträgt, dann schreiben wir:

A = 5 cm * 3 cm

A = 15 cm * cm

A = 15 cm²

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Der Flächeninhalt wird in diesem Beispiel in Quadratzentimeter angegeben.

Quadrat [Aussprache: Kvadráaat: Kfadráht]

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Wenn wir den Flächeninhalt eines Rechtecks mit Hilfe der Forme A = a * b berechnen wollen, müssen wir die Länge a und die Breite b immer in der gleichen Einheit verwenden - in unserem Beispiel Zentimeter.

BM741 - BM750

BM741

Berechne den Flächeninhalt eines Rechtecks, das 21 lang und 7 cm breit ist!

Lösung BM741
gegeben: Länge: a = 21 cm Breite: b = 7 cm gesucht: Flächeninhalt A (in cm²) --- Lösung: A = a * b A = 21 cm * 7 cm Nebenrechnung: 21*7 147 Lösung A = 147 cm² Antwortsatz: Der Flächeninhlat des Rechtecks beträgt 147 cm².

BM742

gegegen

gesucht

Lösung

Antwortsatz

Nebenrechnung

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geg.:

ges.:

BM743

Es soll der Flächeninhalt eines Rechtecks in Quadratzentimetern berechnet werden. Das Rechteck ist 6,5 cm lang und 4,5 cm breit.

Lösung BM743
gegeben: Länge: a = 6,5 cm = 65 mm Breite: b = 4,5 cm = 45 mm gesucht: Flächeninhalt A (in cm²) --- Lösung: A = a * b A = 65 mm * 45 mm Nebenrechnung: 65*45 260 325 ----- 2925 Lösung A = 2925 mm² A = 29,25 cm² Antwortsatz: Der Flächeninhlat des Rechtecks beträgt 29,25 cm².

BM744

Es soll der Flächeninhalt eines Rechtecks in Quadratzentimetern berechnet werden. Das Rechteck ist 2,15 m lang und 82 cm breit.

Lösung BM744
geg.: Länge: a = 2,15 m = 215 cm Breite: b = 82 cm ges.: Flächeninhalt A (in cm²) --- Lösung: A = a * b A = 215 cm * 82 cm Nebenrechnung: 215*82 1720 430 ------ 17630 Lösung A = 17.630 cm² Antwortsatz: Der Flächeninhlat des Rechtecks beträgt 17.630 cm².

BM745

Umfang

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Der Umfang einer ebenen Figur, die durch eine Linie begrenzt ist, bezeichnet die Länge ihrer Begrenzungslinie.

Der Umfang ist die Länge des Randes einer Fläche.

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Umfang eines Rechtecks

Der Umfang U eines Rechtecks ist gleich die Summe seiner vier Seiten.

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U = a + b + a + b

U = (a + b) + (a + b)

U = 2 * (a + b)

U = a + b + a + b

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Länge und Breite müssen in derselben Einheit angegeben werden.

BM746

Es soll der Umfang eines Rechtecks, das 2,15 m lang und 82 cm breit ist, in Metern berechnet werden.

Lösung BM746
geg.: Länge: a = 2,15 m = 215 cm Breite: b = 82 cm ges.: Umfang U (in m) --- Lösung: U = 2 * (a + b) U = 2 * (215 cm + 82 cm) Nebenrechnung: 215 + 82 ---- 297 297*2 594 594 cm = 5,94 m Lösung U = 5,94 m Antwortsatz: Der Umfang des Rechtecks beträgt 5,94 m.

BM747

DIN und ISO Papierformate

A4-Format

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Das A4-Format (oft auch DIN A4 genannt) misst 210mm x 297mm (Hochformat). Es ist das weltweit gebräuchlichste und eines der in DIN-Norm DIN 476 und in ISO-Norm DIN EN ISO 216 genormten Formate für Schreibpapiere. Sein Name bezieht sich darauf, dass es nach viermaligem mittigen Falten des Bezugsformates A0 (1189 mm × 841 mm = 1 m²) entsteht.

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Das A4-Format ist 297 mm hoch und 210 mm breit.

Ein A4-Blatt wiegt bei typischer Grammatur von 80 g/m² (80 Gramm pro Quadratmeter) 5 Gramm.

Das Seitenverhältnis ist 1 : 1,41 (lies: eins zu eins Komma vier eins)

Dem vorwiegenden Gebrauch des A4-Formats sind die meisten Aktenmappen und Schnellhefter und die meisten Drucker und Kopierer angepasst.

DIN 476 entstand 1922, wobei Walter Porstmann auf eine Idee von Georg Christoph Lichtenberg aus dem Jahr 1786 zurückgriff. Später entstand daraus die internationale Norm ISO 216, die in fast allen Staaten der Welt befolgt wird (Ausnahmen: USA und Kanada). In den USA ist das Briefformat 279 × 216 mm und in Kanada 280 × 215 mm.

Eine besondere Bedeutung hat hier das US-Briefformat (Letter-Format) mit 8½ × 11 Zoll (216 × 279 mm), da dieses durch den Schriftverkehr auch nach Europa gelangt. Das Blatt ist etwa 6 mm breiter und 18 mm kürzer als ein Blatt im A4-Format.

BM748

Runden beim Berechnen von Rechtecken

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Bei der Berechnung von Rechtecken müssen wir überlegen, in welcher Einheit und mit welcher Genauigkeit wir das Ergebnis sinnvollerweise angeben.

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Berechne den Flächeninhalt eines DIN A4 Blattes!

Lösung BM748
geg.: DIN-A4-Blatt (siehe Übung BM747) Länge: a = 297 mm Breite: b = 210 mm ges.: Flächeninhalt: A --- Lösung: A = a * b A = 297 mm * 210 mm Nebenrechnung: 297*210 594 2970 ------ 62370 Lösung A = 62.370 mm² Wir runden auf ein Vielfaches von 100 und rechnen dann in Quadratzentimeter um. 62.370 mm² ≈ 62.400 mm² (1 cm² = 100 mm²) A = 624 cm² --- Antwortsatz: Das A4-Blatt hat einen Flächeninhalt von rund 624 cm².

BM749

Rechne!

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a)

Die eine Seite eines Rechtecks ist 36 cm lang. Die andere Seite ist 8 cm kürzer. Berechne den Umfang und den Flächeninhalt des Rechtecks!

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b)

Die drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks sind 56 cm, 90 cm und 106 cm lang. Berechne den Umfang!

Lösung BM749
a) a = 36 cm b = 36 cm - 8 cm = 28 cm A = a * b A = 36 * 28 cm 3628 72 288 ----- 1008 A = 1.008 cm² U = (a + b) 2 U = (36 cm + 28 cm) * 2 U = 64 cm * 2 U = 128 cm --- b) a = 56; b = 90; c = 106 U = a + b + c U = 56 cm + 90 cm + 106 cm Nebenrechnung 106 90 +56 --- 252 U = 252 cm = 2,52 m Antwortsatz: Der Umfang des Dreiecks beträgt 2,52 m.

BM750

Bild 1

Bild 2

a)

Berechne den Umfang des Gebäudes in Bild 1.

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b)

Berechne den Umfang des Gebäudes in Bild 1.

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Alle Wege führen nach Rom.

Umgangssprachlich wird dieses Sprichwort oftmals als „viele Wege führen nach Rom“ verwendet. Dies aber verfälscht den Sinngehalt.

Dieses Sprichwort bedeutet: Es gibt mehrere Möglichkeiten, eine Aufgabe zu erledigen – nicht nur eine.

Versuche mehrere Lösungswege für die Berechnung des Umfangs zu verwenden! Erkläre sie!

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Alle Wege führen nach Rom ist eine traditionelle Redewendung. Es bezieht sich auf Rom als Sitz des Vatikans und der katholischen Kirche. Die Bedeutung ist nicht genau festgelegt. Die Redewendung kann verstanden werden im Sinne von „alle Möglichkeiten führen zum Ziel“.

Lösung BM750
a) U = a + b + c + ... Wir beginnen mit der Strecke oben und gegen gegen den Uhrzeigersinn weiter. U = 55 + 20 + 17 + (20 - 17) + (50 - 17) + (55 - 17 - 12) + 12 + 50 U = 55 + 20 + 17 + 3 + 33 + 26 + 12 + 50 U = 216 m --- Oder einen anderen Rechenweg: Wir überlegen: wenn das Gebäude oben 55 m breit ist, dann muss auch die untere Seite 55 m breit sein. Statt 17 + (55 - 17 - 12) + 12 können wir gleich 55 schreiben. (Logisch!) Wir müssen also nur rechnen: oben 55 m plus unten 55 m plus die Seiten U = 55 + 55 + 20 + (20 - 17) + (50 - 17) + 50 U = 216 //(Das ist das gleiche Ergebnis, schließlich ist es das gleiche Bild.) --- Wir können auch noch weiter überlegen und die Rechnung für die Seiten vereinfachen. Rechts ist das Gebäude 50 m lang, also muss es links auch 50 m lang sein, wenn keine Wand fehlt. Nur durch die Einbuchtung in der Mitte wird die Summe der Seitenflächen etwas länger. Die Einbuchtung geht 3 m rein (20 - 17) auf der linken Seite und entsprechend 3 m raus auf der rechten Seite. Das Gebäude ist also ohne die Enbuchtung an den Seiten 50 + 50 m lang. Mit der Einbuchtung ist es 3 + 3 m länger. Wir rechnen zuerst für die Seiten und dann ürd die obere und untere Seite: U = 50 + 50 + 6 + 55 + 55 U = 216 m Wir haben also drei Lösungswege mit jeweils dem gleichen Ergebnis. --- b) Hier haben wir ein Rechteck 47 * 43 m und eine Einbuchtung, die 32 m tief ist. U = 2 * 32 + 2 * 43 + 2 * 47 U = 64 + 86 + 94 U = 244 m Wenn ein Umriss noch 100 Ecken mehr hat, dann ist dieser Rechenweg viel effektiver, als jede Strecke einzeln zu addieren. --- Zur Kontroll addieren wir noch einmal alle Seiten des Umfangs einzeln. Wir beginnen oben links und machen gegen den Uhrzeigersinn weiter: U = 16 + 47 + 43 + 47 + 9 + (47 - 32) + (43 - 9 - 16) + (47 - 32) + 16 U = 226 m Ups! Das Ergebnis weicht aber vom ersten Ergebnis ab. Findest du den Fehler?

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Lección 065