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Curso de alemán para principiantes con audio/Lección 057b

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Lección 057
Mathematik auf Deutsch - 7

BM301 - BM310

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BM301

  Archivo:Deutsch BM301 JM.ogg  
Schriftliches Verfahren für die Subtraktion
---
Wie bei der Additon schreibt man die Zahlen übereinander.
Beispiel:
753 - 491
Minuend - Subtrahend
Den Minuenden schreibt man oben und den Subtrahenden unten
---
Beim Ergänzungsverfahren, das auch Auffülltechnik genannt wird, wird keine Subtraktion vorgenommen, sondern der Subtrahend umgekehrt bis zum Minuenden erhöht.
Falls dies nicht möglich ist, wird der Minuend um 10 erhöht. Die 10 wird nicht „geborgt“, sondern als 1 zum Subtrahenden der nächsten Teilberechnung addiert.
Im deutschsprachigen Raum wird dieses Verfahren an den Grundschulen als Standardmethode gelehrt. Einer der Vorteile des Verfahrens besteht darin, dass es den Umgang mit Aufgaben vorbereitet, bei denen von einem Minuenden mehrere Subtrahenden abgezogen werden sollen.
Beispiel
Beschreibung
  1 + … = 3 (Es wird also keine Subtraktion vorgenommen, sondern der Subtrahend umgekehrt bis zum Minuenden erhöht.)
  Das Ergebnis wird unter den Strich geschrieben.
  9 + … = 5
Die angepeilte Summe (5) ist zu klein!
  Sie wird darum um 10 erhöht. Die 1 wird unter den nächsten Subtrahenden geschrieben.
  9 + … = 15
Die Berechnung kann jetzt durchgeführt werden, das Ergebnis wird unter den Strich geschrieben.
  (4 + 1) + … = 7
  Das Ergebnis wird unter den Strich geschrieben.
  Das Gesamtergebnis.

BM302

Subtraktion:
78 - 75
  7 8
- 7 5
    3
von 5 bis 8 sind es 3 (Um von 5 zur 8 zu kommen muss man 3 dazuzählen.)
dazuzäheln = addieren 0 hinzufügen
Um von der 7 zur 7 zu kommen muss man nur 0 „hinzufügen„.
---
Subtraktion:
758 - 325
  7 5 8
- 3 2 5
  4 3 3
---
Subtraktion:
5847 - 5514
  5 8 4 7
- 5 5 1 4
  0 3 3 3
An der ersten Stelle von links schreibt man die Ziffer „0“ nicht auf.
Also weg damit!
  5 8 4 7
- 5 5 1 4
  3 3 3
---
Subtraktion:
4839 - 615
  4 8 3 9
- 6 1 6
  4 2 2 4
An der ersten Stelle von links schreibt man die Ziffer „0“ nicht auf.


BM303

Eine Differenz bleibt unverändert, wenn man zum Minuenden und zum Subtrahenden dieselbe Zahl addiert.
---
8 - 5
18 - 15
28 - 25
38 - 35
48 - 45
58 - 55
= 3


7 - 3
17 - 13
27 - 23
57 - 53
107 - 103
597 - 593
= 4


BM304

Subtraktion:
865 - 237
(H = Hunderter; Z = Zehner; E = Einer)
  H Z E
  8 6 5
- 2 3 7
ÜT 1
  6 2 8
Die Subtraktion beginnt man mit Einern.
Dabei stellt man bei den Einern fest, dass „7 + x = 5“ nicht lösbar ist.
Deshalb addiert man 10 an dieser Stelle des Minuenden. Wir schreiben in die Zeile für den Übertrag eine „1“ in die Zehner-Spalte.
Die Aufgabe leutet jetzt also „7 + x = 15“
Man rechnet: 7 + 8 15 (Damit die Differenz erhalten bleibt, addiert man „1“ an der nächsten Stelle des Subtrahenden.)
Nun rechnet man die Zehnerspalte: Zuerst addiert man „1“ vom Übertrag zur „3“. (Die „3“ steht im Subtrahenden in der Zehnerspalte.)
1 + 3 = 4
Diese „4“ verwendet man jetzt weiter: „4 + x = 6“. Das Ergebnis ist „2“.
Einen Übertrag gibt es hier nicht.
Zum Schluss rechnet man die Hunderterspalte: „2 + x = 8“.
Das Ergebnis ist „6“.


BM305

Subtraktion:
In der letzten Übung haben wir das Ergebnis der Subtraktion schriftlich ausgerechnet:
865 - 237 = 628
Zur Kontrolle addieren wir das Ergebnis (untere Zeile) mit dem Subtrahenden (mittlere Zeile). Wir kontrollieren, ob wir dadurch den Wert des Minuenden (oberste Zeile) erhalten.
Bei dieser Kontroll-Addition kan man den Übertrag über die mittlere Zeile schreiben.
  H Z E
  8 6 5
ÜT 1
- 2 3 7
  6 2 8


BM306

Schriftliche Subtraktion
Rechne aus!
---
  5 8 3
- 2 4 5
ÜT 1
  3 3 8
Vergiss die Kontrolle nicht!
  4 1 7
- 1 0 9
ÜT 1
  3 0 8
Vergiss die Kontrolle nicht!
  4 6 1 4
- 2 3 0 7
ÜT 1
  2 3 0 7


BM307

Schriftliche Subtraktion
Rechne aus!
---
  3 4 6
- 1 7 5
ÜT 1
  1 7 1
Vergiss die Kontrolle nicht!
  5 2 8
- 8 4
ÜT 1
  4 4 4
Vergiss die Kontrolle nicht!
  5 3 0 7
- 2 1 8 5
ÜT 1
  3 1 2 2


BM308

Schriftliche Subtraktion
Rechne aus!
---
  6 0 4 7
- 5 0 2 8
ÜT 1
  1 0 1 9
Vergiss die Kontrolle nicht!
  5 3 0
- 2 2 6
ÜT 1
  3 0 4
Vergiss die Kontrolle nicht!
  3 5 8 0
- 1 3 3 8
ÜT 1
  2 2 4 2


BM309

Schriftliche Subtraktion
Rechne aus!
---
  8 5 1 7
- 5 3 5 2
ÜT 1
  3 1 6 5
Vergiss die Kontrolle nicht!
  4 0 8
- 1 7 3
ÜT 1
  2 3 5
Vergiss die Kontrolle nicht!
  4 4 0 7
- 1 5 3
ÜT 1
  4 2 5 4


BM310

Subtrahiere schriftlich!
Rechne aus!
---
5374 - 2641
147 - 82
849 - 265
524 - 375
5354 - 1844
4287 - 365
7082 - 1551
1870 - 950
Lösung BM310
5374 - 2641 = 2733
147 - 82 = 65
849 - 265 = 584
524 - 375 = 149
5354 - 1844 = 3510
4287 - 365 = 3922
7082 - 1551 = 5531
1870 - 950 = 920

BM311 - BM320

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BM311

Subtrahiere!
  4 3 6 2
- 2 7 2 5
ÜT 1 1
  1 6 3 7
  5 3 2 8
- 2 6 7 4
ÜT 1 1
  2 6 5 4
  3 5 8 3
- 1 7 2 6
ÜT 1 1
  1 8 5 7


BM312

Subtrahiere!
  5 0 5 3
- 2 6 1 7
ÜT 1 1
  2 4 3 6
  4 7 5 0
- 3 9 2 5
ÜT 1 1
    8 2 5
  8 3 6
- 5 4 9
ÜT 1 1
  2 8 7


BM313

Subtrahiere!
  6 3 8 1
- 5 5 6 8
ÜT 1 1 1
    8 1 3
  4 4 3 6
- 3 1 6 8
ÜT 1 1
  1 2 6 8
  8 5 0 4
- 2 8 0 6
ÜT 1 1 1
  5 6 9 8


BM314

Subtrahiere!
  2 4 5 7
- 1 2 8 5
ÜT 1
  1 1 7 2
  5 2 5 0
- 2 0 8 6
ÜT 1 1
  6 1 6 4
  3 6 3 4
- 1 6 8 7
ÜT 1 1 1
  1 9 4 7


BM315

Subtrahiere!
  5 7 0 0
- 2 8 6 7
ÜT 1 1 1
  2 8 3 3
  5 0 5 6
- 1 7 5 9
ÜT 1 1 1
  3 2 9 7


  4 0 0 6
- 2 5 6 4
ÜT 1 1
  1 4 4 2


BM316

Bilde die Summe und die Differenz!
Rechne schriftlich!
---
834 und 577
3245 und 682
5097 und 2134
614 und 358
4281 und 869
6850 und 1243


Lösung BM316
834 + 577 = 1411
834 - 577 = 257
3245 + 682 = 3927
3245 - 682 = 2563
5097 + 2134 = 7231
5097 - 2134 = 2963
614 + 358 = 972
614 - 358 = 256
4281 + 869 = 5150
4281 - 869 = 3412
6850 + 1243 = 8093
6850 - 1243 = 5607

BM317

Wie breit war ein Gehweg, bevor er um 95 cm auf 2,80 m verbreitert wurde?


BM318

Multiplikation bis 10000
mündliches Rechnen
---
7 * 10
3 * 10
0 * 10
9 * 10
---
70 * 10 = 7 * 10 * 10
70 * 10 = 7 * 100
70 * 10 = 700
---
700 * 10 = 7 * 100 * 10
700 * 10 = 7 * 1000
700 * 10 = 7000
---
23 * 10 = (20 + 3) * 10
23 * 10 = (20 * 10) + (3 * 10)
23 * 10 = 200 + 30
23 * 10 = 230


BM319

Wenn man an eine Zahl die Ziffer „0“ anhängt, dann erhält man das Zehnfache dieser Zahl.
---
70 * 10 = 700
700 * 10 = 7000
---
23 * 10 = 230
423 * 10 = 423


BM320

Multipliziere folgende Zahlen mit 10!
---
7, 20, 53, 91
24, 37, 91, 85
238, 720, 483
825, 937, 600, 58
621, 428, 46, 240
200, 18, 871, 718, 67


BM321 - BM330

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BM321

Dividiere!
---
70 : 10
50 : 10
20 : 10
80 : 10
40 : 10
10 : 10
10 : 0
100 : 10


BM322

640 : 10 = 64 ; denn 64 * 10 = 640
5640 : 10 = 564 ; denn 564 * 10 = 5640
5600 : 10 = 560 ; denn 560 * 10 = 5600
5000 : 10 = 500 ; denn 500 * 10 = 5000
---
Wenn man von einer Zahl die letzte „0“ weglässt, dann erhält man die Ziffer für den zehnten Teil dieser Zahl.
---
50 : 10 = 5
570 : 10 = 57
500 : 10 = 50
5600 : 10 = 560


BM323

Dividiere folgende Zahlen durch 10!
70, 730, 7800, 6730
50, 580, 840, 800, 30
2810, 9540, 1120, 3710
---
Löse folgende Gleichungen!
5700 : 10 = 570
8370 : y = 837
z : 10 = 700


BM324

Wie viel Kilogramm sind 5 t?
Wie viel Kilogramm sind 3000 g?
Wie viel Gramm sind 9 kg.
Wie viel Meter sind 3 km?
Wie viel Meter sind 700 cm?


BM325

Schreibe die Gleichung zu folgenden Aufgaben auf und rechne!
---
Addiere das Zehnfache der Zahl 78 zu der Zahl 220!
Subtrahiere vom Zehnfachen der Zahl 72 die Zahl 220!
Dividiere die Zahl 780 durch das Produkt der Zahlen 2 und 5!
Dividiere die Zahl 540 durch das Produkt der Zahlen 5 und 2!

BM326

Wenn die Ziffer einer Zahl auf „0“ endet, so ist die Zahl durch 10 teilbar.
750
750 : 10 = 75
---
Alle Zahlen, die nicht auf „0“ enden, sind nicht durch 10 teilbar.
Alle Zahlen, deren letzte Ziffer nicht eine „0“ ist, sind nicht durch 10 teilbar.
(Die letzte Ziffer ist die rechte, also der Einer.)
705
705 : 10 = NICHT lösbar (im Bereich der natürlichen Zahlen)
---
73 : 10 = nicht lösbar; denn (7 * 10) < 73 < (8 * 10)
Mit anderen Worten: 73 liegt zwischen 70 und 80.

BM327

Rest
---
73 : 10
73 Radieschen werden jeweils zu 10 Stück gebündelt. (Bündel)
Wie viel Bündel kann man machen?
Wie viel Radieschen bleiben übrig?
Wie groß ist der verbleibende Rest?
---
Man erhält 7 Bündel und einen Rest von 3 Radieschen.
---
Wir rechnen:
73 : 10 ist nicht lösbar ; denn 73 = (7 * 10) + 3

BM328

Rechne und gib den Rest an!
---
Beispiel:
63 : 10 = 60 Rest 3
63 : 10 = 60 R 3
---
780 : 10
53 : 10
721 : 10
457 : 10
7803 : 10
65 : 10
8056 : 10
84 : 10
645 : 10
39 : 10
918 : 10
370 : 10
5602 : 10
492 : 10
7048 : 10


BM329

5 * 100
4 * 100
3 * 100
2 * 100
6 * 100
9 * 100
---
Wenn man an eine Zahl zwei Nullen anhängt, dann erhält man das Hundertfache dieser Zahl.
---
50 * 100 = 5000
53 * 100 = 5300
---
50 * 100 = 50 * 10 * 10
50 * 100 = 500 * 10
50 * 100 = 5000
---
53 * 100 = 53 * 10 * 10
53 * 100 = 530 * 10
53 * 100 = 5300


BM330

Wenn man von einer Zahl die letzten beiden Nullen weglässt, erhält man den hundertsten Teil dieser Zahl.
---
5800 : 100 = 58 ; denn 58 * 100 = 5800
6000 : 100 = 60 ; denn 60 * 100 = 6000

BM331 - BM340

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BM331

Wenn eine Zahl auf zwei Nullen endet, so ist dies Zahl durch 100 teilbar.
---
Die Zahl 3400 endet auf zwei Nullen.
Die 73 endet auf 3.
---
7500 : 100 = 75
---
Alle Zahlen, die nicht auf zwei Nullen enden, sind nicht durch 100 teilbar.
7583 : 100 ist nicht lösbar
---
7406 : 100 nicht lösbar, denn 7400 < 7406 < 7500


BM332

Rechne nach folgendem Muster!
Beispiel:
4860 : 100 nicht lösbar, denn 4860 = (48 * 100) + 60
---
7382 : 100
745 : 100
582 : 100
5800 : 100
4806 : 100
456 : 100
678 : 100
6700 : 100


BM333

Nenne fünf Zahlen, die beim Dividieren durch 100 den Rest 45 lassen!
Nenne fünf Zahlen, die beim Dividieren durch 100 den Rest 8 lassen!
Nenne fünf Zahlen, die beim Dividieren durch 100 den Rest 70 lassen!
Nenne fünf Zahlen, die beim Dividieren durch 100 den Rest 93 lassen!
Nenne fünf Zahlen, die beim Dividieren durch 100 den Rest 5 lassen!


BM334

Rechenweg!
5 * 30 = (5 * 3) * 10
5 * 30 = (15) * 10
5 * 30 = 150
---
6 * 700 = (6 * 7) * 100
6 * 700 = (42) * 100
6 * 700 = 4200
---
7 * 80
4 * 30
20 * 3
70 * 6
40 * 4
90 * 2
6 * 20
3 * 80
60 * 2
90 * 5
30 * 7
20 * 4
---
6 * 700
4 * 400
300 * 4
900 * 5
8 * 200
9 * 500
7 * 300
2 * 600
700 * 3
400 * 2
9 * 400
5 * 800


BM335

Assoziativgesetz
---
( 2 ⋅ 3 ) ⋅ 7 = 6 ⋅ 7 = 42 = 2 ⋅ ( 3 ⋅ 7 ) = 2 ⋅ 21 = 42
---
Für alle natürlichen Zahlen a, b, s gile: a * (b * c) = (a * b) * c
---
8 * (3 * 100) = 8 * 100
2400
---
(8 * 3) * 100 = 24 * 100
---
8 * (3 * 100) = (8 * 3) * 100
a * (b * c) = (a * b) * c
---
Das Assoziativgesetz (lat. associare „vereinigen, verbinden, verknüpfen, vernetzen“), auf Deutsch Verknüpfungsgesetz oder auch Verbindungsgesetz, ist eine Regel aus der Mathematik. Eine (zweistellige) Verknüpfung ist assoziativ, wenn die Reihenfolge der Ausführung keine Rolle spielt. Anders gesagt: Die Klammerung mehrerer assoziativer Verknüpfungen ist beliebig. Deshalb kann man es anschaulich auch „Klammergesetz“ nennen.
Das Assoziativgesetz gilt für die Multiplikation und auch für die Addition.
---
Die Division ist hingegen nicht assoziativ.
(4 : 2) : 1 = 1  ≠  4 : (2 : 2) = 4


BM336

Welche Zahl x erfüllt folgende Gleichung?
---
x * 70 = 420
x * 800 = 4800
x * 30 = 270
x * 200 = 1800
x * 70 = 420

BM337

Vergleiche!
(4 * 10) : 5 mit
4 * (10 : 5)
---
Punktrechnung vor Strichrechnung
Multiplikation und Division („Punktrechnung“) sind gleichrangig
Es ist egal, ob man erst die Multiplikation oder erst die Division ausführt.
Wie beim Assoziativgesetz ist auch bei der Mischung von Multiplikation und Division die Reihenfolge der Ausführung beliebig.
Die Klammerung ist beleibig.
---
(4 * 10) : 5 = 4 * (10 : 5)
(a * b) : c = a * (b : c)


BM338

Erkläre die verschiedenen Rechenwege
---
240 : 8
24 : 8 = 3
240 : 8 = 30
---
240 : 8
8 * 30 = 240
240 : 8 = 30
---
240 : 8 = 30 ; denn 8 * 30 = 240
---
Die Division ist die Umkehroperation der Multiplikation.
a : b = c ; denn b * c = a
---
Operand: a, b , c
Operator: „ : “
Die Argumente, auf die man einen Operator anwendet, heißen Operanden.
Beim Ausdruck 1 + 2 sind also die Zahlen 1 und 2 die Operanden, die mit dem zweiseitigen Operator „ + “ verknüpft sind.
---
zweistellige Rechenoperation (= zweistellige Verknüpfung): Eine Rechenoperation, die genau zwei Operanden besitzt.
einstellige Rechenoperation: Diese hat nur einen Operanden. Zum Beispiel: potenzieren (a2). Der einzige Operand ist „a“.
Ein weiteres Beispiel für eine einstellige Verknüpfung: Fakultät (4! Sprich: „Vier Fakultät“)
4! = 1 * 2 * 3 * 4
2! = 1 * 2
7! = 1 * 2 * 3 * ... * 6 * 7
n! = 1 * 2 * 3 * 4 * ... * (n-1) * n
---
Als Umkehroperation bezeichnet man in der Mathematik die Vorschrift, mit der man zu einer bestimmten zweistelligen Rechenoperation aus deren Ergebnis und einem der beiden Operanden den jeweils anderen Operanden zurückerhält.
---
Die Division ist die Umkehroperation der Multiplikation.


BM339

Division
Dividend : Divisor = Quotient
Sprich: Dividend durch Divisor ist gleich Quotient
a : b = c
Dividend (a) durch Divisor (b) ist gleich Quotient (c)
---
320 : 8 = 40
320 wird durch 8 dividiert
320 ist der Dividend
8 ist der Divisor
40 ist der Quotient. (Auch „320 : 8“ ist ein Quotient.
---
8 * 40 = 320 (Man begründet die Division mit Hilfe der Multiplikation.)

BM340

Beispiel:
80 : 2
80 : 2 = 40 ; denn 2 * 40 = 80
---
Beispiel:
80 : 40 = 2 ; denn 2 * 40 = 80
---
240 : 3
240 : 80
60 : 3
60 : 20
320 : 8
320 : 40
80 : 4
80 : 20
420 : 6
420 : 70
450 : 90
720 : 80
540 : 60
360 : 40
280 : 70
180 : 30
350 : 70
560 : 80

BM341 - BM350

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BM341

Dividiere 800 durch das Produkt der Zahlen 5 und 20!
Dividiere 7560 durch das Produkt der Zahlen 2 und 5!
---
3 * 80 : 4
5 * 60 : 3
10 * 40 : 5
4 * 30 : 6
530 + 210 : 3
720 + 360 : 6
2300 + 720 : 8
530 + 480 : 8
2800 + 540 : 6

BM342

18 : 3
6 * 40
2 * 90 : 3
21 : 7
7 * 30
3 * 80 : 4
54 : 6
8 * 10
9 * 40 : 6
81 : 9
9 * 50
4 * 30 : 2
42 : 6
2 * 60
3 * 60 : 2
24 : 8
3 * 70
4 * 60 : 3
36 * 4
4 * 80
6 * 40 : 8

BM343

Rechenweg
---
2700 : 3 =
2700 : 3 = 100 * (27 : 3)
2700 : 3 = 100 * (9)
2700 : 3 = 900
---
2700 : 3 =
27 : 3 = 9
2700 : 3 = 900
---
2700 : 3 = 900 , denn 3 * 900 = 2700

BM344

Welche Zahlen x erfüllen die folgenden Ungleichungen?
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Bsp.:
580 < x * 10 < 620
x = 59, 60, 61
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750 < x * 10 < 800
270 < x * 10 < 320
470 < x * 10 < 510

BM345

Wie viel Minuten hat eine Stunde?
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Wie viel Minuten sind 5 h, 9 h, 3 h, 10 h, 4 h, 6 h, 2 h, 8 h?
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Es ist 8.30 Uhr. Auf welche Zahlen zeigen der große und der kleine Zeiger 50 Minuten danach?
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Auf welche Zahlen zeigen der große und der kleine Zeiger 20 Minuten nach 9.20 Uhr?
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Auf welche Zahlen zeigen der große und der kleine Zeiger 2 h 20 min nach 8.45 Uhr?
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Eine Stadtrundfahrt fährt um 14:30 Uhr ab. Die Rundfahrt dauert 4 h 15 min. Wann sit die Rundfahrt beendet?
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Es ist 8.30 Uhr. Wie spät war es vor 50 Minuten?
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Es ist 8.30 Uhr. Wie spät war es 3 h 20 min vorher?
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Wie viel Zeit vergeht von 4.40 Uhr bis 5.15 Uhr.
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Wie viel Zeit vergeht von Dreiviertel Acht bis Viertel Zwölf.
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Wie viel Zeit vergeht von Viertel Neun bis Dreiviertel Neun?
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Wie viel Zeit vergeht von 4.50 Uhr bis 7.40 Uhr?


BM346

Zeiteinheit
Sekunde (s), Minute (min), Stunde (h)
1 min = 60 s
1 s ist die Abkürzung für 1 Sekunde.
1 h = 60 min = 3600 s

BM347

Wie viel Sekunden sind 9 min?
Wie viel Studen sind 480 min
Wie viel Minuten sind 540 s?
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Subtrahiere von 7000 das Produkt der Zahlen 50 und 8!
Subtrahiere von 4000 das produkt der Zahlen 60 und 5!

BM348

800 - 4 * 50 =
800 - 4 * 50 = 800 - 200
800 - 4 * 50 = 600
In dieser Differenz tritt ein Produkt als Subtrahend auf. Das produkt wird zuerst berechnet.
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400 : 8 + 200 =
400 : 8 + 200 = 50 + 200
400 : 8 + 200 = 250
In dieser Summe tritt ein quotient als Summand auf. Der Quotient wird zuerst berechnet.
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In solchen Aufgaben ohne Klammern wird zuerst multipliziert (bzw. dividiert), dann addiert (bzw. subtrahiert).

BM349

Vergleiche!
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300 + 100 * 8
(300 + 100) * 8
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4 * 60 + 20
4 * (60 + 20)
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720 + 80 : 8
(720 + 80) : 8
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80 - 20 * 6
(80 - 20) * 6
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7 * 500 - 200
7 * (500 - 200)
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360 - 120 : 6
(360 - 120) : 6


BM350

Witz
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Der Mathematiklehrer erklärt eine Aufgabe: Wenn zehn Maurer zum Bau eines Hauses hundert Tage brauchen, dann brauchen hundert Maurer für dieselbe Arbeit nur zehn Tage. Habt ihr das begriffen?
Schüler: Ja
Lehrer: Dann nennt mir ein anderes Beispiel!
Klein Fritzchen: Wenn ein Schiff von Hamburg nach New York fünf Tage braucht, dann brauchen fünf Schiffe nur einen Tag!
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Übrigens: Wie kann man die Aufgabe mit den Maurern in eine Formel schreiben? Und wo ist der Denkfehler mit den Schiffen? Was stimmt an dem Beispiel mit den Schiffen nicht?


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