Curso de alemán para principiantes con audio/Lección 054b

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Lección 054

Mathematik auf Deutsch - 4

BM151 - BM160

BM151

x * 8 = 16

x * 8 = 0

x * 8 = 8

x * 9 = 9

x * 9 = 72

x * 9 = 0

x * 8 = 24

x * 8 = 40

x * 8 = 56

x * 9 = 45

x * 9 = 63

x * 9 = 81

BM152

6 * x = 48

9 * y = 36

x * y = 32

---

8 * x = 72

8 * y = 24

x * y = 27

---

9 * x = 54

9 * y = 18

x * y = 12

---

8 * x = 40

9 * y = 63

x * y = 35

BM153

9 * 10 - 9 * 9

10 * 7 - 9 * 7

10 * 5 - 9 * 5

6 * 10 - 6 * 9

BM154

Suche das Doppelte von 4 * 7!

Suche das Dreifache von 3 * 10!

Suche die Hälfte von 8 * 5!

Suche den dritten Teil von 9 * 6!

BM155

Quadratzahlen

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1, 4, 9, 25, 36, 49, 64, 81, 100 heißen Quadratzahlen.

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2 * 2 = 4

3 * 3 = 9

4 * 4 = 16

5 * 5 = 25

6 * 6 = 36

7 * 7

8 * 8

9 * 9

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Eine Quadratzahl ist eine Zahl, die durch die Multiplikation einer ganzen Zahl mit sich selbst entsteht. Beispielsweise ist 144 = 12 ⋅ 12 eine Quadratzahl.

Bei einigen Autoren ist die Null keine Quadratzahl, sodass die Zahlenfolge erst mit der Eins beginnt.

Die Bezeichnung Quadratzahl leitet sich von der geometrischen Figur des Quadrats her. Die Anzahl der Steine, die man zum Legen eines Quadrats benötigt, ist immer eine Quadratzahl. So lässt sich beispielsweise ein Quadrat mit der Seitenlänge 4 mit Hilfe von 16 Steinen legen.

BM156

das kleine Einmaleins (mit Null)

Das Kleine Einmaleins (auch 1×1 oder 1mal1) ist eine Zusammenstellung aller Produkte, die sich aus der Kombination zweier natürlicher Zahlen von 1 bis 10 ergeben, meist in Tabellenform.

Das Kleine Einmaleins gehört zum arithmetischen Grundwissen der Mathematik und wird meist in der Grundschule auswendig gelernt.

Als Einmaleins werden metaphorisch auch Grundkenntnisse eines Wissensgebiets oder einer Fertigkeit bezeichnet.

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Das Kleine Einmaleins wird beim schriftlichen Multiplizieren zum Auffinden des Produkts der einzelnen Ziffern beider Faktoren verwendet. Hierfür werden die Produkte aus den Ziffernkombinationen 0 ⋅ 0 bis 9 ⋅ 9 benötigt, wobei die Produkte mit einem Faktor 0 in der Darstellung meist weggelassen werden.

Die folgende Tabelle stellt das Kleine Einmaleins dar.

*	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100

Wenn man diese Aufgaben beherrscht, kann man alle Multiplikationsaufgaben mit einstelligen Zahlen lösen.

4 * 6 = 6 * 4

Man kann auch alle dazugehörigen Divisionsaufgaben lösen.

27 : 3 = 9

9 * 3 = 27

BM157

Das Große Einmaleins ist die Erweiterung auf natürliche Zahlen von 1 bis 20. Das Große Einmaleins dient zum Auswendiglernen oft benötigter Produkte.

Die folgende Tabelle stellt das Große Einmaleins mit Faktoren bis 20 dar (einschließlich des Kleinen Einmaleins).

*	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30	33	36	39	42	45	48	51	54	57	60
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44	48	52	56	60	64	68	72	76	80
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60	65	70	75	80	85	90	95	100
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60	66	72	78	84	90	96	102	108	114	120
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70	77	84	91	98	105	112	119	126	133	140
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80	88	96	104	112	120	128	136	144	152	160
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90	99	108	117	126	135	144	153	162	171	180
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120	130	140	150	160	170	180	190	200
11	11	22	33	44	55	66	77	88	99	110	121	132	143	154	165	176	187	198	209	220
12	12	24	36	48	60	72	84	96	108	120	132	144	156	168	180	192	204	216	228	240
13	13	26	39	52	65	78	91	104	117	130	143	156	169	182	195	208	221	234	247	260
14	14	28	42	56	70	84	98	112	126	140	154	168	182	196	210	224	238	252	266	280
15	15	30	45	60	75	90	105	120	135	150	165	180	195	210	225	240	255	270	285	300
16	16	32	48	64	80	96	112	128	144	160	176	192	208	224	240	256	272	288	304	320
17	17	34	51	68	85	102	119	136	153	170	187	204	221	238	255	272	289	306	323	340
18	18	36	54	72	90	108	126	144	162	180	198	216	234	252	270	288	306	324	342	360
19	19	38	57	76	95	114	133	152	171	190	209	228	247	266	285	304	323	342	361	380
20	20	40	60	80	100	120	140	160	180	200	220	240	260	280	300	320	340	360	380	400

BM158

Einzeln werden die Reihen des Kleinen Einmaleins wie folgt dargestellt:

1er-Reihe 1 · 1 = 1 2 · 1 = 2 3 · 1 = 3 4 · 1 = 4 5 · 1 = 5 6 · 1 = 6 7 · 1 = 7 8 · 1 = 8 9 · 1 = 9 10 · 1 = 10	2er-Reihe 1 · 2 = 2 2 · 2 = 4 3 · 2 = 6 4 · 2 = 8 5 · 2 = 10 6 · 2 = 12 7 · 2 = 14 8 · 2 = 16 9 · 2 = 18 10 · 2 = 20	3er-Reihe 1 · 3 = 3 2 · 3 = 6 3 · 3 = 9 4 · 3 = 12 5 · 3 = 15 6 · 3 = 18 7 · 3 = 21 8 · 3 = 24 9 · 3 = 27 10 · 3 = 30	4er-Reihe 1 · 4 = 4 2 · 4 = 8 3 · 4 = 12 4 · 4 = 16 5 · 4 = 20 6 · 4 = 24 7 · 4 = 28 8 · 4 = 32 9 · 4 = 36 10 · 4 = 40	5er-Reihe 1 · 5 = 5 2 · 5 = 10 3 · 5 = 15 4 · 5 = 20 5 · 5 = 25 6 · 5 = 30 7 · 5 = 35 8 · 5 = 40 9 · 5 = 45 10 · 5 = 50
6er-Reihe 1 · 6 = 6 2 · 6 = 12 3 · 6 = 18 4 · 6 = 24 5 · 6 = 30 6 · 6 = 36 7 · 6 = 42 8 · 6 = 48 9 · 6 = 54 10 · 6 = 60	7er-Reihe 1 · 7 = 7 2 · 7 = 14 3 · 7 = 21 4 · 7 = 28 5 · 7 = 35 6 · 7 = 42 7 · 7 = 49 8 · 7 = 56 9 · 7 = 63 10 · 7 = 70	8er-Reihe 1 · 8 = 8 2 · 8 = 16 3 · 8 = 24 4 · 8 = 32 5 · 8 = 40 6 · 8 = 48 7 · 8 = 56 8 · 8 = 64 9 · 8 = 72 10 · 8 = 80	9er-Reihe 1 · 9 = 9 2 · 9 = 18 3 · 9 = 27 4 · 9 = 36 5 · 9 = 45 6 · 9 = 54 7 · 9 = 63 8 · 9 = 72 9 · 9 = 81 10 · 9 = 90	10er-Reihe 1 · 10 = 10 2 · 10 = 20 3 · 10 = 30 4 · 10 = 40 5 · 10 = 50 6 · 10 = 60 7 · 10 = 70 8 · 10 = 80 9 · 10 = 90 10 · 10 = 100

BM159

Gegeben sind die Zahlen 6, 12, 24, 42, 49, 21, 18, 35, 28.

a) Bestimme die Zahlen, die sich durch 6 dividieren lassen!

b) Bestimme die Zahlen, die sich durch 7 dividieren lassen!

c) Welche Zahl lässt sich durch 6 und durch 7 dividieren?

BM160

Gegeben sind die Zahlen 8, 24, 27, 56, 72, 36, 40, 63.

a) Bestimme die Zahlen, die sich durch 8 dividieren lassen!

b) Bestimme die Zahlen, die sich durch 9 dividieren lassen!

c) Welche Zahl lässt sich durch 8 und durch 9 dividieren?

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Berechne das Produkt aus 8 und 4!

Berechne den Quotienten aus 27 und 9!

Berechne den Quotienten aus 27 und 3!

Berechne das Produkt aus 9 und 6!

Berechne die Summe der ungeraden Zahlen von 1 bis 11!

BM161 - BM170

BM161

Addition

25 + 8 = 33

Wir addieren.

Wir zählen zusammen.

Wir fassen zusammen.

25 und 8 sind in dieser Gleichung die Summanden.

„25 + 8“ und „33“ heißen Summe.

---

Subtraktion

33 - 8 = 25

Wir subtrahieren.

Wir ziehen ab.

33 ist in dieser Gleichung der Minuend, 8 ist der Subtrahend.

„33 - 8“ und „25“ heißen Differenz.

--

Die Addition ist stets ausführbar.

Die Subtraktion ist nur ausführbar, wenn der Subtrahend nicht größer ist als der Minuend.

BM162

Multiplikation

7 * 4 = 28

Wir multiplizieren.

7 und 4 sind in dieser Gleichung Faktoren.

„7 * 4“ und „28“ heißen Produkt.

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Division

28 : 4 = 7

28 geteilt durch 4 ist gleich 7.

Wir dividieren.

28 ist in dieser Gleichung der Dividend, 4 ist der Divisor.

„28 : 4“ und „7“ heißen Quotient.

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Die Multiplikation ist stets ausführbar.

Die Division ist nur ausführbar, wenn der Dividend ein Vielfaches des Divisors ist und der Divisor nicht 0 ist.

BM163

Ausdruck

Ein Ausdruck ist wie ein Term eine formale Zeichenkette.

Der Ausdruck „4 * 5“ steht in Klammern.

(4 * 5) + 3

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Term = Ausdruck

In der Mathematik bezeichnet ein Term einen sinnvollen Ausdruck, der Zahlen, Variablen, Symbole für mathematische Verknüpfungen und Klammern enthalten kann.

In der Praxis wird der Begriff „Term“ häufig benutzt, um über einzelne Bestandteile einer Formel oder eines größeren Terms zu reden.

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verknüpfen

Verknüpfung

Symbole für mathematische Verknüpfungen sind: „ + “ , „ - “ , „ : “ , „ * “.

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Grob kann man sagen, dass ein Term eine Seite einer Gleichung oder Relation, z. B. einer Ungleichung, ist. Die Gleichung oder Relation selbst ist kein Term, sie besteht aus Termen.

BM164

Stets gilt:

(a + b) + c = a + (b + c)

Beispiel:

42 + 8 + 2 = (42 + 8) + 2

42 + 8 + 2 = 50 + 2

42 + 8 + 2 = 52

---

42 + 8 + 2 = 42 + (8 + 2)

42 + 8 + 2 = 42 + 10

42 + 8 + 2 = 52

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Das Assoziativgesetz (lat. associare „vereinigen, verbinden, verknüpfen, vernetzen“), auf Deutsch Verknüpfungsgesetz oder auch Verbindungsgesetz, ist eine Regel aus der Mathematik. Eine (zweistellige) Verknüpfung ist assoziativ, wenn die Reihenfolge der Ausführung keine Rolle spielt. Anders gesagt: Die Klammerung mehrerer assoziativer Verknüpfungen ist beliebig. Deshalb kann man es anschaulich auch „Klammergesetz“ nennen.

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(2 + 3) + 7 = 5 + 7 = 12 = 2 + (3 + 7) = 2 + 10 = 12

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Die Subtraktion ist hingegen nicht assoziativ.

2 - (3 - 1) = 0 ≠ (2 - 3) - 1 = -2

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Soll die Ungleichheit zweier Zahlen dargestellt werden, so wird ein durchgestrichenes Gleichheitszeichen ( ≠ ) eingesetzt.

BM164a

Stets gilt:

(a * b) * c = a * (b * c)

Beispiel:

4 * 2 * 5 = (4 * 2) * 5

4 * 2 * 5 = 8 * 5

4 * 2 * 5 = 40

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4 * 2 * 5 = 4 * (2 * 5)

4 * 2 * 5 = 4 * 10

4 * 2 * 5 = 40

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Das Assoziativgesetz (Klammergesetz) gilt für die Multiplikation und für die Addition.

Die Division und die Subtraktion sind aber nicht assoziativ,

(4 : 2) : 2 = 1 ≠ 4 : (2 : 2) = 4

BM165

Ausmultiplizieren

Distributivgesetz

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Stets gilt:

a *(b + c) = a * b + a * c

Beispiel:

5 *(2 + 4) = 5 * 6

5 *(2 + 4) = 30

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5 *(2 + 4) = 5 * 2 + 5 * 4 //(Nicht vergessen: Punktrechnung geht vor Strichrechnung)

5 *(2 + 4) = 10 + 20

5 *(2 + 4) = 30

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Das Distributivgesetz gilt für die Kombination der Addition mit der Multiplikation, wenn die Summe in Klammern steht.

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Das Distributivgesetz oder Verteilungsgesetz (lat. distribuere „verteilen“) ist eine mathematische Regel, die angibt, wie sich zwei zweistellige Verknüpfungen bei der Auflösung von Klammern zueinander verhalten.

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Insbesondere in der Schulmathematik bezeichnet man die Verwendung des Distributivgesetzes zur Umwandlung einer Summe in ein Produkt als Ausklammern oder Herausheben. Das Auflösen von Klammern durch Anwenden des Distributivgesetzes wird als Ausmultiplizieren bezeichnet.

BM166

Das Distributivgesetz bildet mit dem Assoziativgesetz und dem Kommutativgesetz grundlegende Regeln der Algebra.

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Insbesondere in der Schulmathematik bezeichnet man die Verwendung des Distributivgesetzes (Verteilungsgesetz) zum Auflösen von Klammern durch Anwenden des Distributivgesetzes als Ausmultiplizieren.

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ausmultiplizieren: a *(b + c) = a * b + a * c

ausklammern: a * b + a * c = a *(b + c)

Die gegenteilige Operation von Ausmultiplizieren ist das Ausklammern.

So wie sich Addition und Subtraktion gegenseitig aufheben, so heben sich auch Ausmultiplizieren und Ausklammern gegenseitig auf.

Die Umwandlung einer Summe in ein Produkt durch Anwenden des Distributivgesetzes wird als Ausklammern oder Herausheben bezeichnet.

Beispiel für Ausklammern:

5 * 2 + 5 * 4 = 5 *(2 + 4)

BM167

Distributivgesetz

ausmultiplizieren: a *(b + c) = a * b + a * c

ausklammern: a * b + a * c = a *(b + c)

Visualisierung des Distributivgesetzes für positive Zahlen

Als Beispiel für das Distributivgesetz können die zweistelligen Verknüpfungen der Addition ( + ) und der Multiplikation ( ⋅ ) von Zahlen dienen.

Man unterscheidet zwischen linksdistributiven und rechtsdistributiven Verknüpfungen:

$a\cdot \left(b\pm c\right)=a\cdot b\pm a\cdot c$  (linksdistributiv)

$(a\pm b)\cdot c=a\cdot c\pm b\cdot c$  (rechtsdistributiv)

In Worten:

Eine Summe (bzw. Differenz) wird mit einem Faktor multipliziert, indem man jeden Summand (bzw. Minuend und Subtrahend) mit diesem Faktor multipliziert und die Produktwerte addiert (bzw. subtrahiert).

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Das Multiplizieren von Summen kann man auch folgendermaßen in Worte fassen: Eine Summe wird mit einer Summe multipliziert, indem man jeden Summanden der einen Summe mit jedem Summanden der anderen Summe – unter Beachtung der Vorzeichen – multipliziert und die entstehenden Produkte addiert.

BM168

Beim Kopfrechnen wird das Distributivgesetz oftmals unbewusst verwendet:

6 ⋅ 16 = 6 ⋅ ( 10 + 6 ) = 6 ⋅ 10 + 6 ⋅ 6 = 60 + 36 = 96

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${\begin{aligned}6\cdot 16&=6\cdot (10+6)\quad \quad |1.{\text{Zeile}}\\&=6\cdot 10+6\cdot 6\quad \quad |2.{\text{Zeile}}\\&=60+36\quad \quad |3.{\text{Zeile}}\\&=96\quad \quad |4.{\text{Zeile}}\end{aligned}}$

Man will 6·16 im Kopf berechnen. Dazu multipliziert man 6·10 sowie 6·6 und addiert die Zwischenergebnisse. Auch das schriftliche Multiplizieren beruht auf dem Distributivgesetz.

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2 ⋅ (1 + 3) = (2 ⋅ 1) + (2 ⋅ 3)

x ∗ ( y + z ) = ( x ∗ y ) + ( x ∗ z )

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235 × 99 = 235 × (100 – 1) = 23500 – 235 = 23265

Der Flächeninhalt der beiden Rechtecke zusammen (blau und rot) beträgt c *(a + b) und setzt sich aus der Summe der beiden kleineren Rechtecke zusammen. Wie man der Zeichnung entnimmt hat das blaue Rechteck den Flächeninhalt c * a und das rote Rechteck den Flächeninhalt c * b.

Womit das Distributivgesetz geometrisch bewiesen ist.

c *(a + b) = c * a + c * b

BM169

Archivo:Deutsch BM168 JM.ogg

a *(b + c) = a * b + a * c

Wenn Variablen multipliziert werden, dann wird das Multiplikationszeichen meist weggelassen.

Malzeichen

a * b = ab

Auch wenn Variablen mit einer Zahl multiplizeirt werden, wird das Multiplikationszeichen meist weggelassen. Und die Zahl wird gewöhnlich vor die Variable geschrieben.

12 * a = 12a

Wenn aber zwei Zahlen multiplizeirt werden, dann kann das Multiplikationszeichen NICHT weggelassen werden.

3 * 4 ≠ 3 4 //(Denn 3 4 kann man mit 34 verwechseln.)

ungleich

Soll die Ungleichheit zweier Zahlen dargestellt werden, so wird ein durchgestrichenes Gleichheitszeichen ( ≠ ) eingesetzt.

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a *(b + c) = a * b + a * c

a *(b + c) = ab + ac

BM170

Archivo:Deutsch BM170 JM.ogg

Das Distributivgesetz gilt auch für längere Summe (mit mehr als 2 Summanden).

a *(b + c + d) = ab + ac + ad

a *(b - c - d) = ab - ac - ad

a *(b + c - d) = ab + ac - ad

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Das Zerlegen einer algebraischen Summe in Faktoren nennt man Ausklammern.

ab + ac + ad = a *(b + c + d)

Eine Summe kann durch Herausziehen eines in allen Summanden als Faktor vorkommenden Terms in ein Produkt umgewandelt werden.

BM171 - BM180

BM171

Archivo:Deutsch BM171 JM.ogg

Rechne vorteilhaft!

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5 *(2 + 4)

7 *(3 + 1)

5 * 2 + 4 * 2

3 * 6 + 1 * 6

(5 + 3) * 4

(4 + 2) * 3

8 * 5 + 1 * 5

5 * 7 + 2 * 7

2 * 5 + 18

42 + 5 * 15

(64 - 34) : 5

30 : 10 + 20

BM172

Archivo:Deutsch BM172 JM.ogg

Längenmaße

Millimeter mm

Zentimeter cm

Dezimeter dm

Meter m

Kilometer km

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1 mm

10 mm = 1 cm

10 cm = 1 dm

10 dm = 1m

1000 m = 1 km

---

1m = 10 dm = 100 cm

BM173

Archivo:Deutsch BM173 JM.ogg

Gewichtsmaße

Kilogramm kg

Gramm g

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1g

1000 g = 1 kg

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Flächenmaß

Quadratzentimeter cm²

---

Volumenmaß

Liter

---

Zeitmaß

Minute min

Stunde h

Tag

--

1 min

60 min = 1 h

24 h = 1 Tag

BM174

Archivo:Deutsch BM174 JM.ogg

Wie viel Wochen sind

70 Tage

14 Tage

56 Tage

28 Tage

35 Tage

63 Tage

42 Tage

7 Tage

BM175

Archivo:Deutsch BM175 JM.ogg

Geometrie

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anschaulich

sich etwas vorstellen

sich etwas leichter vorstellen

etwas vor seinem inneren Auge sehen

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Punkt

Ein Punkt ist ein grundlegendes Element der Geometrie. Anschaulich stellt man sich darunter ein Objekt ohne jede Ausdehnung vor.

Von Oskar Perron stammt die folgende Bemerkung: „Ein Punkt ist genau das, was der intelligente, aber harmlose, unverbildete Leser sich darunter vorstellt.“

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die Gerade

die Strecke

Grüne Linie: Gerade. Eine gerade, unendlich lange, unendlich dünne und in beide Richtungen unbegrenzte Linie nennt man eine Gerade. Blaue Linie: Strecke. Eine Strecke (auch Geradenabschnitt oder Geradenstück) ist eine gerade Linie, die von zwei Punkten begrenzt wird - Strecke PQ; sie ist die kürzeste Verbindung ihrer beiden Endpunkte. Rote Linie: Auf einer Geraden liegen die Punkte A und B.

Die Begrenzung einer Strecke durch diese Punkte unterscheidet sie von Geraden, die beidseitig unbegrenzt sind.

Punkte werden mit Großbuchstaben gekennzeichnet.

Geraden werden mit Kleinbuchstaben bezeichnet.

kennzeichnen = bezeichnen

Auf einer Geraden (g) liegen die Punkte A und B.

Die Strecke zwischen den Punkten A und B wird mit einem Strich über beiden Buchstaben bezeichnet.

${\overline {AB}}$ (lies: Strecke A B)

Manchmal werden die beiden Punkte der Strecke auch in eckige Klammern geschrieben: [AB] (lies: Strecke A B); statt dem Strich über den beiden Endpunkten der Strecke AB.

BM176

Archivo:Deutsch BM176 JM.ogg

Punkt

Gerade

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g, h und m sind Geraden.

A ist ein Punkt auf der Geraden h.

B und C sind Punkte auf der Geraden m.

${\overline {BC}}$ ist eine Strecke.

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Der Punkt P liegt auf der Geraden g.

Die Gerade g geht durch den Punkt P.

Der Punkt C liegt zwischen den Punkten A und B.

BM177

Archivo:Deutsch BM177 JM.ogg

Zeichen eine Gerade g!

Gib einen Punkt P an, der auf der Geraden liegt!

Zeichne eine andere Gerade h, die auch durch diesen Punkt geht!

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Geraden werden vorzugsweise mit dem Kleinbuchstagen g benannt. („g“ wie Gerade)

Punkte werden vorzugsweise mit dem Großbuchstaben P benannt. („P“ wie Punkt)

Wenn man mehrer Geraden oder Punkte hat geht das natürlich nicht. Für die nächste Gerade wird dann oft der nach „g“ folgende Buchstabe „h“ genommen. Bei mehreren Punkten fängt man dann aber lieber bei „A“ an.

BM178

Archivo:Deutsch BM178 JM.ogg

Zeichen eine Gerade h!

Gib auf ihr zwei Punkte A und B an!

Kennzeichne einen Punkt C, der zwischen diesen Punkten liegt!

BM179

Archivo:Deutsch BM179 JM.ogg

Dreieck

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Hier schneiden sich drei Geraden in den Punkten A, B und C.

Es entstehen drei Strecken: ${\overline {AB}}$, ${\overline {BC}}$ und ${\overline {CA}}$

Sie bilden das Dreieck ABC.

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Dreiecksfläche

Das ist eine Dreiecksfläche.

Ein Dreieck hat 3 Eckpunkte und 3 Seiten.

BM180

Archivo:Deutsch BM180 JM.ogg

Viereck

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A, B, C und D sind die Eckpunkte eines Vierecks.

${\overline {AB}}$, ${\overline {BC}}$, ${\overline {CD}}$ und ${\overline {CD}}$ sind die Seiten des Vierecks.

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Vierecksfläche

Das ist eine Vierecksfläche.

Ein Viereck hat 4 Seiten und 4 Ecken.

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Wie viel Ecken hat ein Viereck, wenn ich eine Ecke abschneide?

BM181 - BM190

BM181

Archivo:Deutsch BM181 JM.ogg

Strahl

Gibt man einem Punkt auf einer Geraden an, so entstehten zwei Strahlen.

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Diese Strahlen haben einen gemeinsamen Anfangspunkt.

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Zeichne zwei Geraden, die sich in einem Punkt schneiden! Wie viel Strahlen entstehen?

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Zeichne Zwei Strahlen mit gemeinsamem Anfangspunkt!

BM182

Archivo:Deutsch BM182 JM.ogg

Winkel

Zwei Strahlen, die von einem gemeinsamen Anfangspunkt ausgehen, bilden einen Winkel.

BM183

Archivo:Deutsch BM183 JM.ogg

Kreis

Alle diese Strahlen haben den gemeinsamen Anfangspunkt M.

Die Strecken ${\overline {MA}}$, ${\overline {MB}}$, ${\overline {MC}}$, ..., ${\overline {MH}}$ sind gleich lang.

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Das ist ein Kreis mit dem Mittelpunkt M.

Alle Punkte des Kreises sind vom M gleich weit entfernt.

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Das ist eine Kreisfläche.

BM184

Archivo:Deutsch BM184 JM.ogg

Parallele Geraden

Sich schneidende Geraden.

Die Geraden g und h schneiden sich.

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Parallele Geraden

Die Geraden g und h schneiden sich nicht.

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Die Geraden g und h schneiden sich nicht.

Sie haben die gleiche Richtung.

Die Geraden g und h sind parallel.

Auf dem linken Bild verlaufen die beiden parallelen Geraden schräg von links unten nach rechts oben.

Auf dem mittleren Bild verlaufen die Parallelen horizontal (waagerecht).

Auf dem rechten Bild verlaufen die Geraden vertikal (senkrecht).

BM185

Archivo:Deutsch BM185 JM.ogg

Rechte Winkel

Die Gerde g schneidet die Gerade h so, dass vier gleich große Winkel entstehen!

Jeder dieser Winkel heißt ein rechter Winkel.

Ein rechter Winkel mird mit einem zusätzlichen Punkt gekennzeichnet.

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Die Gerade g steht senkrecht auf der Geraden h.

BM186

Archivo:Deutsch BM186 JM.ogg

Streifen

Das sind zwei Streifen.

Die Geraden g und h sind parallel.

Die Geradem i und k sind parallel.

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Streifen und Geraden

Schneidet eine Gerade einen Streifen, so entstehen zwei Schnittpunkte.

Schneidet eine Gerade zwei Parallelen, so entstehen zwei Schnittpunkte.

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Streifenbreite

Die Geraden g und h bilden einen Streifen.

Die Gerade k schneidet den Streifen rechtwinklig.

Es entstehen die Schnittpunkte A und B.

Die Länge der Strecke ${\overline {AB}}$ heißt Streifenbreite.

Die Strecke ${\overline {AB}}$ ist der Abstand der beiden parallelen Geraden g und h.

BM187

Archivo:Deutsch BM187 JM.ogg

Parallelogramm

Schneiden sich zwei Streifen, so entsteht ein Parallelogramm.

Im Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten gleich lang.

Das Parallelogramm ist ein Viereck.

Der Name des Parallelogramms kommt daher, dass jeweils zwei gegenüberliegende Seiten parallel zueinander liegen.

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Rechteck

Schneiden sich zwei Streifen unter einem rechten Winkel, so entsteht ein Rechteck.

Das Rechteck ist ein Parallelogramm.

Jedes Rechteck ist auch ein Parallelogramm, aber nicht jedes Parallelogramm ist ein Rechteck.

Bei einem Rechteck sind jeweils zwei gegenüberliegende Seiten gleich lang.

Bei einem Rechteck sind alle 4 Winkel rechte Winkel.

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Quadrat

Schneiden sich zwei Streifen gleicher Breit unter einem rechten Winkel, so entsteht ein Quadrat.

Das Quadrat ist ein Rechteck.

Jedes Quadrat ist auch ein Rechteck, aber nicht jedes Rechteck ist ein Quadrat.

Bei einem Quadrat sind alle Seiten gleich lang.

Bei einem Quadrat sind alle 4 Winkel rechte Winkel.

Bei einem Quadrat sind jeweils zwei gegenüberliegende Seiten parallel zueinander. Das gilt auch für das Rechteck und für das Parallelogramm.

BM188

Archivo:Deutsch BM188 JM.ogg

Quader

Das ist ein Quader.

Ein Quader ist ein dreidimensionaler Körper

Ein Quader ist ein Körper, der von ebenen Flächen begrenzter wird.

Ein Quader ist ein Körper, der von sechs Rechtecken begrenzt wird.

Ein Quader besitzt zwölf Kanten, von denen jeweils vier gleiche Längen besitzen und zueinander parallel sind.

Der Quader hat 8 rechtwinkligen Ecken, 6 rechteckigen Seiten und 12 Kanten, von denen jeweils vier gleichlang und parallel zueinander sind.

Ein Ziegelstein hat die Form eines Quaders.

BM189

Archivo:Deutsch BM189 JM.ogg

Würfel

Das ist ein Würfel.

Ein Würfel hat

• zwölf (gleich langen) Kanten und
• acht Ecken, in denen jeweils drei Begrenzungsflächen zusammentreffen

Ein Würfel ist ein spezieller Quader, bei dem alle Kanten gleich lang sind.

Im Sonderfall gleicher Kantenlängen a = b = c bei dem alle Flächen des Quaders Quadrate sind, ergibt sich ein Würfel.

BM190

Archivo:Deutsch BM190 JM.ogg

Würfel

Spielwürfel

Ein Würfel ist ein regelmäßiger geometrischer Körper mit sechs quadratischen Flächen, bei dem alle Winkel 90 Grad betragen.

Ein Würfel ist aber auch ein Spielgerät, in der Form eines regelmäßigen geometrischen Körpers mit Symbolen (meist Zahlen) auf den Seiten.

Es gibt auch Eiswürfel oder Zuckerwürfel.

Zucker in Form von Würfeln wird als Würfelzucker bezeichnet. Wie viel Zucker möchten Sie! - Zwei Stück bitte bitte. (ODER: Zwei Stück Würfelzucker bitte.)

Eiswürfel haben in Wirklichkeit meist die Form eines Quaders oder ein noch komplizierter Form, damit man sie aus der Eiswürfelform raus bekommt.

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Quader

Die Kanten eines Quaders kann man als Länge, Breite und Höhe betrachten.

Das Volumen (V) errechnet sich aus Länge mal Breite mal Höhe.

V = L x B x H

Das Gleiche gilt für einen Würfel.

Weil beim Würfel aber alle Kanten gleich lang sind (L = a; B = a; H = a) kann man beim Würfel das Volumen noch einfacher errechnen.

V = a * a * a

V = 3 * a

V = 3a

BM191 - BM200

BM191

Archivo:Deutsch BM191 JM.ogg

perpendikular

Für „senkrecht“ kann man auch „perpendikular“ sagen.

Das ist das Symbol für „senkrecht“: $g\perp h$

g senkrecht zu h

Die Gerade g ist senkrecht zur Geraden h.

Die Gerade g ist senkrecht zu h.

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parallel

Das ist das Symbol für „parallel“: $\parallel$ "

$g\parallel h$

g parallel zu h

Die Gerade g ist parallel zur Geraden h.

Die Gerade g ist parallel zu h.

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perpendikular = rechtwinklig

vertikal = senkrecht

horizontal = waagerecht

parallel

BM192

Archivo:Deutsch BM192 JM.ogg

Dimension

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Im normalen Alltag und in der Schulmathematik haben wir einen 3-dimensionalen Raum.

dreidimensional

drei Dimensionen

Deshalb hat ein Quader drei Maße: Länge, Breise, Höhe.

Dieser dreidimensionale Raum wurde von über 2000 Jahren vom griechischen Mathematiker Euklid von Alexandria untersucht. (Alexandria in Ägypten war damal griechisch.)

In der modernen Mathematik gibt es noch andere, komplizierte Zauberräume über die wir hier nicht sprechen werden.

Der normale dreidimensionale Raum wird als „Euklidischer Raum“ bezeichnet und die normale Geometrie als „Euklidische Geometrie“. „Normal“ bedeutet hier „Schulmathematik“.

BM193

Archivo:Deutsch BM193 JM.ogg

Dimension

Dimension ist die Anzahl der Freiheitsgrade einer Bewegung in einem bestimmten Raum bezeichnet.

Dimension ist die Anzahl der Freiheitsgrade einer Position in einem bestimmten Raum bezeichnet.

Ich kann mich im „Euklidischen Raum“ in 3 Dimensionen bewegen: nach oben (bzw. unten), nach vorne (bzw. hinten), nach rechts (bzw. links).

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eine Dimension

Ein Punkt auf einer Geraden kann sich nur nach rechts oder links bewegen. (Wenn er sich nach oben bewegen würde, dann wäüre er ja nicht mehr auf der Geraden.)

Der Punkt hat im eindemensionalen Raum also nur die Freiheit (= Möglichkeit) sich in eine Richtung zu bewegen. Rechts (bzw. links) zählt als eine Richtung - plus oder minus.

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zwei Dimensionen

Ein Punkt auf einer Ebene (zum Bsp. auf einer Tischplatte) hat die Möglichkeit sich in zwei Richtungen (Dimensionen) zu bewegen. nach rechts (bzw. links) oder nach vorn (bzw. hinten). Er kann aber nicht nach oben bewegt werden, denn dann ist er nicht mehr in der Ebene (nicht mehr auf der Tischplatte).

Bei einen Punkt, der sich von links vorn nach rechts hinten bewegt, kiönnen wir uns die Bewegung als Summe einer Seitbewegung (nach rechts) und einer Bewegung nach hinten vorstellen.

Man kann sich auch noch einfacher vorstellen, dass sich der Punkt erst zu Seite bewegt und dann erst nach hinten.

Wir können uns das mit dem eindimensionalen oder zweidimensionalen Raum nur vorstellen, denn unser Raum ist in Wirklichkeit dreidimensional.

BM194

Archivo:Deutsch BM194 JM.ogg

drei Dimensionen

Ein Punkt im Zimmer (oder in einem Quader) kann sich in drei Richtungen bewegen: nach oben (bzw. unten), nach vorne (bzw. hinten), nach rechts (bzw. links).

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Plotter

Freiheitsgrade ist hier als mögliche Bewegung in eine Richtung zu verstehen.

Wir können uns das wie Schienen für einen Zu vorstellen.

Der Zug hat auf seinen Schienen nur einen Freiheitsgrad: Fahren (bzw. anhalten und in die Gegenrichtung fahren). Aber er kann nie weiter rechts (bzw. links) von der Schiene fahren. Auch nicht höher (bzw. tiefer).

Eine Ebene hat zwei Freiheitsgrade: zur Seite (rechts/links) und nach hinten (bzw. vorne).

Eine Ebene ist zweidimensional.

Beispielsweise realisiert dieser Plotter (ein spezieller großer Drucker) die zweidimensionale Bewegung mit Hilfe von zwei rechtwinkligen Schienen. Der Stift steckt dor, wo der schwarze Punkt ist. Soo der Stift nach vorne und hinten (hier im Bild oben und unten) gefahren werden, dann bewegt er sich auf der langen Mittelschiene. WEnn aber der Stift nach rechts (bzw. llinks) gefahren werden soll, dann bewegt sich die gesamte Mittelschiene mit dem Stift auf den Stützschienen am vorderen und hinteren Geräterand (im Bild: unterer und oberer) Geräterand.

Die zweidimensionale Bewegung wird am Plotter also durch zwei Schienensysteme realisiert, die rechtwinklig zueinander stehen.

BM194a

Archivo:Deutsch BM194a JM.ogg

Wir merken uns:

In einem eindimensionalen „Raum“ gibt es nur die Bewegung in eine Richtung (vor oder zurück). Beispiel: Bewegung auf einer Linie oder einer Schiene.

In einem zweidimensionalen „Raum“ gibt es nur die Bewegung in zwei Richtungen (vor oder zurück; und senkrecht dazu: hin und her). Beispiel: Bewegung auf einer Ebene; Bewegung eines Plotters.

In einem dreisimensionalen Raum (diesmal schreiben wir Raum ohne Anfürhungsstriche, denn es ist ein echter Raum. Ein eindimensionaler „Raum“ ist ja in Wirklichkeit gar kein echter Raum, denn er existiert nur in unserer Vorstellung.) - also noch mal:

In einem dreisimensionalen Raum gibt es die Bewegung in drei Richtungen. Beispiel: Zimmer, Weltraum, Würfel.

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Portalkran

Ein Portalkran kann seinen Haken in allen Drei Dimensionen bewegen.

Wie ein Plotter kann er auf der Mittelbrücke und auf den beiden Seitenschienen zweidimensional in der Ebene bewegt werden. Und zusätzlich kann er seinen Haken runterlassen oder hochziehen - das ist dann die 3. Dimension.

BM195

Archivo:Deutsch BM195 JM.ogg

vierte Dimension

vierdimensionaler Würfel

Einstein fing dann noch mit der 4. Dimension an.

Raumzeit oder Raum-Zeit-Kontinuum bezeichnet die Vereinigung von Raum und Zeit in einer einheitlichen vierdimensionalen Struktur. Sie ist in der Relativitätstheorie dargelegt.

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Wenn ich in einem dreidimensionalen Raum drei Zahlen angebe, dann ist der Punkt genau definiert, er ist exakt zu finden.

Aber bei sehr hohen Geschwindigkeiten (fast Lichtgeschwindigkeit) zeigt sich, dass Zeit und Ort eines Ereignisses sich stets gegenseitig bedingen.

Für Nichtmathematiker ist es sehr schwer sich einen vierdimensionalen Würfel vorzustellen.

Wenn wir aufschreiben: a * b * c * d * g = V dann können wir auch das Volumen im sechsdimensionalen Raum ausrechnen. Man kann sich das zwar nicht mehr vorstellen, aber mathematisch ist es korrekt.

BM196

Archivo:Deutsch BM196 JM.ogg

Dimension

Wie breit ist eine Linie?

In der Mathematik ist eine Linie ganz schmal. Ganz ganz schmal. Sie hat die Breits Null. Sie hat in der Breits keine Ausdehnung, sondern nur in der Länge.

Aber wie können wir dann eine Linie zeichnen? Wenn wir eine ganz feine Linie mit dem Bleichstift zeichnen, dann hat sie doch eine Breite, wenn auch ganz ganz wenig.

Ja, die gezeichnete Linie hat eine Breite, aber die mathematische Linie hat keine Breite. Unsere Zeichnung ist falsch. Weil wir eine Linie nicht mit Null Breite zeichnen könenn zeichnen wir sie eben etwas breiter. Aber die wirkliche Linie, von der wir in der Mathematik sprechen hat keine Breite.

Eine Linie hat nur eine Ausdehnung in einer Dimension (z. B. nach rechts bzw. links).

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Wie groß ist Ein Punkt?

Ein Punkt in der Mathematik hat keine Ausdehnung - nicht mal in einer Dimension. Ein Punkt hat Null Ausdehnung. Wir müssen uns einen Punkt mit Null Ausdehnung vorstellen. Zeichnen können wir das nicht. Aber wir können es rechnen.

nähern

annähern

Die Zeichnung unseres Punktes und unserer Linie nähert sich nur der mathematischen Vorstellung von einem Punkt und einer Linie an.

BM197

Archivo:Deutsch BM197 JM.ogg

Flachland

ein Dreieck in Flatland

Im berühmten Roman „Flatland“ (engl. für Flachland) leben die Bewohner in einer flachen, also zweidimensionalen Welt, deren Bewohner die Gestalt einfacher geometrischer Formen haben - Strich, Dreieck, Kreis. Von der Zeit betrachtet sind Linien und Dreieck nicht von allen Blickwinkeln gleich lang.

Stellen wir uns aus Draht gebogene Kreise, Dreiecke und Striche vor, die auf einer Tischplatte liegen (unsere zweidimensionalen Ebene). Für uns mit dem dreidimensionalen Raum ist es kein Problem Striche von Kreisen zu unterscheiden. Aber fürdie Bewohner von Flatland wird der Unterschied erst sichtbar, wenn sie um die Figuren („Personen“) rumgehen. Dann bleiben Kreis immer gleich groß, während Strich aus manchen Blickrichtungen zu Punkten zusammenschrumpfen. Auch Dreieck verkleinern sich dabei etwas.

BM198

Archivo:Deutsch BM198 JM.ogg

Das Buch Flatland wird vom Erzähler in der Ich-form erzählt.

In einem Traum besucht der Erzähler das eindimensionale Linienland, eine Welt, deren Bewohner nur unterschiedlich lange Strecken auf einer Geraden sind, wobei ihre Länge ihre gesellschaftliche Stellung ausmacht.

Vergeblich versucht er den König von Linienland davon zu überzeugen, dass es noch eine weitere Dimension gibt.

Ein weiterer Traum führt ihn in das nulldimensionale Punktland, wo er nichts als einen nulldimensionalen Punkt sieht, der nur sich selbst kennt und sich in Selbstgesprächen in den höchsten Tönen lobt.

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Zurück in seiner zweidimensionalen Welt erscheint dem Erzähler eine Kugel, ein Gast aus unserer dreidimensionalen Welt. Erst nach langer Mühe gelingt es der Kugel, das Quadrat von der Existenz der dritten Dimension zu überzeugen, und sie nimmt es zu einem Rundflug über seine zweidimensionale Heimat mit.

Der nun zur vollen Erkenntnis der Dimensionalität gelangte Erzähler übertrifft daraufhin die Kugel, seinen Lehrer, darin, indem er sogar die Denkbarkeit vier- und höherdimensionaler Welten beschreibt, was die Kugel verärgert, die ihn deshalb zurück in seine Welt stößt

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Was ist wenn Gott in der 4. Dimension lebt und wir ihn deshalb nicht sehen können. (Beispiel: Ein Dreieick, dass ich aus seiner Ebene rausheben ist in der Ebene verschwunden.

BM199

Archivo:Deutsch BM199 JM.ogg

Witz:

Ein Händler, der Im Mathematikunterricht nicht aufgepasst hat, handelt mit Hühnereiern.

Er verkauft die Eier auf dem Markt für 12 Cent.

Ein Käufer fragt ihn, für wieviel er die Eier beim Bauern eingekauft hat.

Der Verkäufer antwortet: Für 13 Cent.

Darauf der Käufer: Aber dann manchen Sie ja gar keinen Gewinn.

Der Verkäufer: Ja, mit einem Ei nicht. Aber die Menge macht es.

BM200

Archivo:Deutsch BM200 JM.ogg

Witz:

Leerer Raum

Zwei Personen betreten einen leeren Raum. Etwas später gehen drei Personen aus diesen Raum raus.

Was denkt ein Mathematiker jetzt?

Eine Person muß den Raum betreten, damit er wieder leer ist.

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Es wird Zeit, dass wir die Zahlenmenge der natürlichen Zahlen verlassen und in der Menge der ganzen Zahlen rechnen. Denn die ganzen Zahlen schließen auch die negativen Zahlen mit ein.

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