Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 238c

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Vom Punkt zur vierten Dimension. Geometrie für Jedermann.

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Achtunddreißigstes Kapitel

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Körperliche Ecken, Satz von Euler, Regelmäßige Polyeder

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Nachdem wir nun, sicherlich wenig kurzweilig, die grundlegenden Sätze über Beziehungen der Elementargebilde im Raum durchbesprochen haben, stellen wir fest, daß wir mehr oder weniger nichts anderes taten, als schon bekannte $ätze der ebenen Geometrie den räumlichen Verhältnissen anzupassen. Wir gehen jetzt einen Schritt weiter und wenden uns einem Gebilde zu, das in der Stereometrie eine ebenso grundlegend wichtige Rolle spielt wie das Dreieck bzw. Vieleck in der Planimetrie. Wir meinen die körperliche Ecke, das körperliche Eck oder das Mehrkant oder Mehrflach. Man versteht darunter das, was man laienhaft als „offene Pyramide“ bezeichnen müßte. Wissenschaftlich genau ist es ein Raum, der durch drei oder mehr in einem Punkt zusammentreffende Ebenen begrenzt wird. Es entstehen allerdings durch ein solches Zusammentreffen von Ebenen in einem Punkt mehrere Ecken, wie wir schon wissen. Bei drei Ebenen etwa acht solcher Ecken, was eine Analogie zum Winkel bildet, bei dem ja auch durch Schnitt zweier Geraden stets eigentlich vier Winkel entstehen.

Wie wir aber beim Winkel gewisse Richtungen festlegen können und dadurch aus zwei schneidenden Geraden einen eindeutig bestimmten Winkel erhalten, so dürfen wir dies auch bei unserem „Raum-Winkel“ (wenn man so sagen dürfte, ohne dadurch Verwechslungen zu provozieren).

In solch einer körperlichen Ecke, die wir auch als Ecke A (BCDEFG) schreiben können, haben die einzelnen Bestandstücke vereinbarungsgemäß festgelegte Namen. So nennt man A den Scheitel oder die Spitze der Ecke die Geraden, in denen die unsere Ecke begrenzenden Ebenen einander durchschneiden, heißen die Kanten der Ecke oder schlechtweg Kanten, und die Winkel, die die Kanten in den Begrenzungsebenen miteinander bilden, also $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, $\varepsilon$, $\zeta$ heißen die „Seiten“ der Ecke.

Wir schreiben „Seite“ in dieser Bedeutung der Eindeutigkeit halber stets unter Anführungszeichen.

Schließlich nennt man die Neigungswinkel, unter denen bei den Kanten die einzelnen Ebenen zusammenstoßen, die Winkel der Ecke.

Ein Blick auf unsere Figur und die von uns schon gelegentlich der projektiven Untersuchungen gemachten Bemerkungen lehren, daß man auf die körperlichen Ecken durch Schnittebenen viele Sätze der Planimetrie übertragen kann. Wir erwähnen dabei, daß man in der Stereometrie einspringende Kanten, also Neigungswinkel der Ebenen von mehr als 180°, gewöhnlich ausschließt. Man kann nämlich durch Erweiterungen der Ebenen stets Ecken erzeugen, die keine einspringenden Kanten besitzen.

Wir stellen nun kurz die wichtigsten Sätze über körperliche Ecken zusammen:

1. In jeder dreiseitigen Ecke ist die Summe je zweier „Seiten“ größer als die dritte.

2. In jeder dreiseitigen Ecke ist die Differenz je zweier „Seiten“ kleiner als die dritte.

3. Die Summe aller „Seiten“ einer Ecke ist immer kleiner als vier rechte Winkel (denn erreichte sie vier Rechte, so entstände aus der Ecke eine Ebene und aus den Kanten ein projektives Strahlenbüschel mit dem Zentrum A).

4. Demgemäß liegt die Summe aller „Seiten“ einer Ecke zwischen 0 und 4 Rechten, wobei die Ecke bei der Seitensumme 0 zu einer Geraden, die durch den Punkt A geht, degenerieren würde.

Aus diesen Sätzen kann man schon verschiedene Folgerungen ziehen. Wir hätten etwa zwei „Seiten“ eines Dreikants mit den Winkeln 115° und 80° gegeben und sollten abgrenzen, innerhalb welchen Zwischenraumes sich eine dritte „Seite“ , die wir x nennen, bewegen darf. Nach Satz 1 ist $115^{\circ }+80^{\circ }>x$ und nach Satz 2 ist $115^{\circ }-80^{\circ }<x$, weshalb x zwischen 195° und 35° liegen müßte. Da aber weiters nach Satz 3 die Summe $115^{\circ }+80^{\circ }+x<360^{\circ }$ sein muß, bleibt als Obergrenze für x nur mehr 165°, so daß also x zwischen 35° und 165° betragen muß, damit eine dreiseitige Ecke wirklich zustande kommen kann.

Wir verlassen jetzt aus gewissen Gründen für eine kurze Zeit die Sätze über körperliche Ecken und bringen einen der wichtigsten Lagesätze der ganzen Stereometrie, nämlich den Satz von Leonhard Euler über Polyeder. Unter einem Vielflächner oder Polyeder versteht man eine allseits geschlossene räumliche Figur, die von Flächen begrenzt wird, deren Schnittlinien wieder Kanten heißen. Die Flächen bzw. die Kanten stoßen in den Ecken des Polyeders zusammen. Wenn man nun die Anzahlen dieser Flächen, Kanten und Ecken mit F, K und E bezeichnet, so lautet der Eulersche Satz: $E+F==K+2$ oder „Ecken plus Flächen ist gleich Kanten plus zwei“, was sich, in Worten ausgedrückt, gleichsam als Verslein leicht behalten läßt. Dabei müssen die Polyeder sogenannte „Eulersche Polyeder“ sein. Sie dürfen, heißt das, weder von ringförmigen Polygonen begrenzt sein, noch im Inneren Höhlungen aufweisen.

Aus dem Eulerschen Satz folgt sofort $E=K-F+2$, $K=E+F-2$ und $F=K-E+2$. Aus diesem fundamentalen Satz, dessen an sich nicht schwierigen Beweis wir aus Gründen des Raummangels fortlassen, kann man allerlei Spezialaufgaben errechnen. Etwa das höchst interessante Problem, wieviel Ecken und Kanten entstehen müssen, wenn die Anzahl der Flächen gegeben ist. Aus dem Eulerschen Satz folgt direkt $K-E==F-2$, woraus schon hervorgeht, daß bei gegebenen F die Kanten und Ecken eine konstante Differenz bilden, die stets gleich $F-2$ ist. Nun ist weiters die Anzahl aller Winkel, die die Oberfläche eines Polyeders enthält, stets doppelt so groß als die Anzahl aller Kanten, was sich daraus ergibt, daß in jedem Polygon die Anzahl der Winkel gleich ist der Anzahl der Polygonseiten, diese Polygonseiten aber stets als Kanten zu je zwei Polygonen gehören müssen, weil ja sonst kein Polyeder entstände. Daher ist die Anzahl der Polygonseiten doppelt so groß als die Anzahl der Kanten, die Anzahl der Kanten also halbmal so groß als die Anzahl der Winkel oder die Anzahl der Winkel (W) doppelt so groß als die Anzahl der Kanten, was zu beweisen war. Wir haben somit $W=2K$. Da aber jede Seitenfläche mindestens 3 Winkel haben muß, so ist $W\geqq 3F$, woraus in Verbindung mit $W=2K$ folgt, daß ${\textstyle K\geqq {\frac {3}{2}}F}$. Subtrahiert man hiervon $K-E=F-2$, so erhält man ${\textstyle E\geqq {\frac {1}{2}}F+2}$. Wir haben jetzt also die Bedingungen, wie groß mindestens E und K bei gegebenem F sein muß. Dabei gelten die Beziehungen $W=3F$ und ${\textstyle E={\frac {1}{2}}F+2}$ für Polyeder aus Dreiecken. Woraus man weiters ersieht, daß (wegen ${\textstyle E={\frac {1}{2}}F+2}$) aus Dreiecken nur Polyeder gerader Flächenanzahl gebildet werden können, da die Eckenanzahl nie etwas anderes als eine ganze Zahl sein kann. Um die Obergrenze der Kanten- und Eckenanzahl bei gegebener Flächenanzahl zu finden, überlegen wir, daß jede Ecke wenigstens aus drei Winkeln bestehen muß. Also $W\geqq 3E$, woraus in Verbindung mit $W=2K$ folgt ${\textstyle K\geqq {\frac {3}{2}}E}$. Wenn man weiters die letzte Ungleichung umformt auf $2K-3E\geqq 0$ und E dadurch eliminiert, daß man aus $K-E=F-2$ für den Wert $K-F+2$ setzt, so ergibt sich $2K-3(K-F+2)\geqq 0$ oder $-K+3F-6\geqq 0$ oder $K\leqq 3F-6$. Eliminiert man dagegen K, so erhält man $E\leqq 2F-4$. Die in diesen Ausdrücken enthaltenen Gleichungen $K=3F-4$ und $E=2F-4$ gelten für Polyeder aus lauter Dreiecken.

Nun haben wir es in der Hand, zu bestimmen, was für Polyeder man aus einer gegebenen Anzahl von Flächen bilden kann. Aus vier Dreiecken etwa haben wir als Untergrenze $K=6$ und $E=4$ und als Obergrenze dieselben Werte. Folglich gibt es nur eine Art von Tetraeder. Für ein Pentaeder (Fünfflächner) wäre $F=5$, daher $K-E=3$ und $K=8$, $E=5$ oder $K=9$ und $E=6$. Es gibt also zwei Arten von Pentaedern. Nur das zweite hat lauter dreiseitige Ecken. Keines von beiden besteht aber bloß aus Dreiecken. Für $F=6$ (Hexaeder) ist $K-E=4$ und $K=9,E=5$; oder $K=10$, $E=6$; oder $K=11$, $E=7$; oder $K=12$, $E=8$. Von diesen vier Hexaedern hat das erste lauter Dreiecke zu Seitenflächen und das letzte lauter dreiseitige Ecken.

Allgemein kann man aus F Seitenflächen eine Anzahl von n verschiedenen Polyedern bilden, und zwar ist n für eine gerade Flächenanzahl F gleich ${\textstyle {\frac {3F-10}{2}}}$ uns n' für eine ungerade Flächenanzahl F' gleich ${\textstyle {\frac {3F'-11}{2}}}$ was man an obigen Beispielen nachprüfen kann.

Ein weiteres Problem, an dessen Lösung wir nun herantreten können, ist die Frage nach dem Vorhandensein und der Anzahl sogenannter regelmäßiger Polyeder oder Vielflächner. Schon die Pythagoräer befaßten sich mit der Untersuchung dieser Polyeder, sie werden aber gleichwohl „Platonische Körper“ genannt, da sie auch von Platon und seinen Dialog-Gestalten (Theaitetos) geprüft wurden. Nebenbei bemerkt bestand im klassischen Altertum die Ansicht, daß die Atome jedes Elementes die Form eines der regelmäßigen Polyeder hätten.

Was ist nun ein regelmäßiges Polyeder? Wohl ein Körper, dessen sämtliche Begrenzungsflächen regelmäßige, kongruente Polygone und dessen Ecken regelmäßig und kongruent sind. Da aber Ecken mindestens aus drei Flächen gebildet werden müssen, können wir sofort angeben, welche Polygone zur Bildung derartiger Körper überhaupt in Betracht kommen. Der Winkel $\alpha$ eines regelmäßigen Polygons ist bekanntlich gleich ${\textstyle 2R-{\frac {4R}{n}}}$, folglich wäre die Summe dreier solcher Winkel an einer Ecke ${\textstyle (2R-{\frac {4R}{n}})\cdot 3}$ oder ${\textstyle 6R-{\frac {12R}{n}}}$ oder ${\textstyle 6R{\frac {n-2}{n}}}$. Da aber weiters eine Ecke nur entstehen kann, wenn die „Seiten“-Summe kleiner ist als 360°, so ergibt sich, daß ${\textstyle {\frac {n-2}{n}}}$ stets kleiner bleiben muß als ${\textstyle {\frac {2}{3}}}$, wenn aus drei regelmäßigen Polygonen eine Ecke entstehen soll. Da aber n mindestens gleich 3 sein' muß, da das regelmäßige Dreieck das reguläre Polygon geringster Seitenanzahl ist, so erhalten wir, da n weiter ganzzahlig sein muß, für $n=3$, $n=4$, $n=5$, $n=6$, $n=7$ usw. die Werte ${\textstyle {\frac {1}{3}}}$, ${\textstyle {\frac {1}{2}}}$, ${\textstyle {\frac {3}{5}}}$, ${\textstyle {\frac {4}{6}}}$, ${\textstyle {\frac {5}{7}}}$ usw. für ${\textstyle {\frac {n-2}{n}}}$, von denen bereits ${\textstyle {\frac {4}{6}}={\frac {2}{3}}}$ und ${\textstyle {\frac {5}{7}}}$ schon größer ist als Weitere Werte müßten aber nach der Form des Bruches ${\textstyle {\frac {n-2}{n}}}$ noch größer sein. Daraus folgt, daß das reguläre Fünfeck die Figur höchster Seitenanzahl ist, die für die Bildung von Ecken und damit von regelmäßigen Vielflächnern überhaupt in Betracht kommt. Nun können Ecken aber auch aus mehr als drei Polygonen gebildet werden. Tatsächlich lassen sich noch Ecken aus 4 und 5 regulären Dreiecken bilden, da die „Seiten“-Summe $4\cdot 60^{\circ }=240^{\circ }$ und $5\cdot 60^{\circ }=300^{\circ }$ noch unter 360° liegen. $6\cdot 60^{\circ }=360^{\circ }$, kommt also nicht mehr in Betracht. Bei $n=4$, also bei Quadraten, ist eine Ecke nur aus drei Quadraten ($90^{\circ }\cdot 3=270^{\circ }$) erhältlich. Vier Quadrate ($90^{\circ }\cdot 4=360^{\circ }$) würden schon eine Ebene bilden. Beim Fünfecke endlich, das bekanntlich als Winkel $\alpha =108^{\circ }$ besitzt, kommen auch nur drei Polygone zur Eckenbildung in Betracht ($3\cdot 108^{\circ }=324^{\circ }$). Vier reguläre Fünfecke Würden schon $4\cdot 108^{\circ }=432^{\circ }$ erfordern, also der Bedingung „Seitensumme“ $<360^{\circ }$ widersprechen.

Nun erinnern wir uns des Satzes von Euler und des zweiten Satzes $W=2K$, wobei W die Anzahl aller Winkel der Flächen des Polyeders ist. Nehmen wir nun zuerst gleichseitige Dreiecke, so wissen wir schon daß $W=3F$. Wenn man weiters je drei solcher Dreiecke zu je einer Ecke verbindet, dann ist $W=3E$. Nun haben wir vier Gleichungen mit vier Unbekannten: $E+F=K+2$, $W=2K$, $W=3F$, $W=3E$. Daraus erhält man $E=4$, $F=4$, $K=6$, $W=12$, also das regelmäßige Tetraeder.

Wenn man jetzt als Flächen regelmäßige Dreiecke nimmt, die zu je vier eine Ecke bilden, bestehen die Gleichungen $W=3F$, $W=4E$, $W=2K$, $E+F=K+2$, woraus sich $E=6$, $F=8$, $K=12$, $W=24$, also das regelmäßige Oktaeder ergibt.

Wenn man weiters je fünf gleichseitige Dreiecke je zu einer Ecke verbindet, erhält man $W=3F$, $W=5E$, $W=2K$, $E+F=K+2$ und $E=12$, $F=20$, $K=30$, $W=60$ oder ein regelmäßiges Ikosaeder.

Stellt man Quadrate zu je drei zur Ecke zusammen, dann gelten die Gleichungen: $W=4F$, $W=3E$, $W=2K$, $E+F=K+2$ und man erhält $E=8$, $F=6$, $K=12$, $W=24$ oder das regelmäßige Hexaeder (Würfel).

Für je drei zu einer Ecke vereinigte regelmäßige Fünfecke erhält man schließlich: $W=5F$, $W=3E$, $W=2K$, $E+F=K+2$, woraus folgt $E=20$, $F=12$, $K=30$, $W=60$ oder das Pentagon-Dodekaeder.

Andere regelmäßige Polyeder kann es nach unseren vorhin erörterten Bedingungen für die Bildung von Ecken nicht geben.

Nun existieren noch sogenannte halbregelmäßige Polyeder oder Archimedische Körper, deren Flächen zwar auch reguläre Vielecke sind, die aber gemischt auftreten. Etwa Dreiecke und Quadrate usw. Dabei können höchstens drei Arten von Polygonen beteiligt sein, da $(60^{\circ }+90^{\circ }+108^{\circ })=258^{\circ }$, was die Mischung aus regulärem Dreieck, Quadrat und regulärem Fünfeck wäre. Dreieck, Viereck, Sechseck ergäben $(60^{\circ }+90^{\circ }+120^{\circ })=270^{\circ }$ „Seiten“-Summe usw. Niemals aber könnte eine vierte Art regelmäßiger Polygone dabei sein, da hier das Minimum $(60^{\circ }+90^{\circ }+108^{\circ }+120^{\circ })=378^{\circ }$ wäre, was die erlaubten 360° schon überschreitet. Wir können hier leider nicht ausführlicher sein und stellen nur fest, daß es 12 Archimedische Körper mit zwei Arten und 3 Archimedische Körper mit drei Arten von Seitenflächen gibt.

Schließlich gibt es noch eine Art halbregelmäßiger Körper, die sogenannten Rhomboeder, die aus lauter kongruenten Rhomben bestehen und die in der Kristallkunde eine große Rolle spielen. Das einfachste Rhomboeder ist der „verzogene“ Würfel oder Rhomben-Hexaeder. Es gibt aber auch Rhomben-Dodekaeder usw.

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