Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 237c

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Vom Punkt zur vierten Dimension. Geometrie für Jedermann.

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Siebenunddreißigstes Kapitel

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Hauptsätze der Stereometrie

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Ungeachtet der letzten Ausführungen haben wir bisher stets im R₂, und zwar in einem speziellen R₂, nämlich in der Ebene, Geometrie betrieben. Nur in der projektiven Geometrie erweiterten wir unser Betrachtungsgebiet, allerdings bloß andeutungsweise, in den R₃ und in höhere Räume. Wir haben auch schon einmal den Grund dafür angegeben, warum die Kenntnis planimetrischer Sätze so wichtig ist. Sie erschließt uns ja zum großen Teil auch die Stereometrie oder die Geometrie der Körper, wie wir sehen werden. Gemessen, sagten wir damals, werden nur Winkel und Strecken. Und das kann eben beiden Körpern, den „Figuren“ des R₃, auch nicht anders sein. Nun fehlt uns zur zeichnerischen Darstellung im R₃ ein wichtiges Hilfsmittel. Nämlich die Konstruktion mit Lineal allein oder mit Zirkel und Lineal. Unmittelbar könnten wir Körper nur durch „Modelle“, also wieder durch Körper abbilden. Wollen wir Körper zeichnen, dann versetzen wir Gegenstände des R₃ in den R₂. Und wir können sie nur insofern abbilden, als wir eine ihrer Dimensionen projizieren und hiezu die sogenannte perspektivische Darstellung verwenden. Nun müssen wir unsere Aussage, daß Zeichnungen von Körpern nicht konstruierbar seien, dahin abändern, daß es einen ganzen großen Zweig der Geometrie gibt, der solche Konstruktionen auf Umwegen ermöglicht. Wir meinen damit die seit De Monge auf streng wissenschaftlicher Grundlage stehende deskriptive oder darstellende Geometrie, zu der allerdings die Kenntnis der Stereometrie eine unbedingte Voraussetzung ist. Wir können in diesem Buche nicht näher auf diesen an sich ebenso wichtigen wie fruchtbaren Zweig der Geometrie eingehen. Um jedoch halbwegs eine Vorstellung davon zu vermitteln, worum es sich dabei handelt, wollen wir eine Zeichnung bringen, die zeigt, wie man etwa eine Pyramide darstellend geometrisch behandeln müßte. Der eine Teil der Zeichnung zeigt, wie man sich die Pyramide auf der „Zeichenfläche“ stehend vorstellt, und der zweite Teil, wie man zwei „Projektionsflächen“ in die Ebene der Zeichenfläche umklappt, um drei Risse unseres Körpers auf einer einzigen Ebene zu vereinigen. Wie man weiters sieht, entstehen durch das Umklappen verschiedene Möglichkeiten, diese „Risse“ rein konstruktiv zu gewinnen. Dies aber, wie erwähnt, nur nebenbei.

Nun haben wir in der Stereometrie uns zuerst über die gegenseitigen Lagebeziehungen der einzelnen Elemente, also der Punkte, Geraden und Ebenen Klarheit zu verschaffen, bevor wir uns an den eigentlichen Gegenstand, die Körper, wagen dürfen. Daß eine Gerade, die nicht in der Ebene liegt, diese Ebene entweder schneidet oder zur Ebene parallel läuft, wissen wir schon. Eine schneidende Gerade schneidet die Ebene in einem Punkt. Hat eine Gerade mit einer Ebene zwei Punkte gemeinsam, dann liegt sie als Ganze in der Ebene und kann außerdem in der Ebene in jeder Weise um einen ihrer Punkte gedreht werden, ohne die Ebene zu verlassen. Wenn zwei Ebenen eine Gerade miteinander gemeinsam haben, so ist diese Gerade die Schnittlinie dieser beiden Ebenen. Wenn zwei Ebenen einen Punkt miteinander gemeinsam haben, muß er auf einer solchen Schnittlinie liegen. Wenn zwei Ebenen drei nicht in einer Geraden liegende Punkte gemeinsam haben, so fallen diese Ebenen in ihrer ganzen Ausdehnung zusammen. Weiters haben wir schon gehört, daß eine Ebene bereits bestimmt ist durch drei nicht in einer Geraden liegende Punkte, durch eine Gerade und einen Punkt außerhalb derselben und durch zwei einander schneidende Gerade.

Unter einer Normalen oder Senkrechten auf eine Ebene versteht man eine Gerade, die mit allen, durch ihren Fußpunkt (Durchschnittspunkt mit der Ebene) gezogenen, in der Ebene liegenden Geraden rechte Winkel bildet. Es genügt allerdings schon, um diese Bedingung zu erfüllen, daß die Gerade mit zwei Strahlen, die durch den Fußpunkt gehen, rechte Winkel einschließt. Wenn aber eine Gerade zugleich mit mindestens drei, von einem ihrer Punkte ausgehenden Strahlen rechte Winkel bildet, so müssen alle diese Strahlen in einer Ebene liegen. Der letzte Satz wird praktisch beim Abdrehen von Ebenen auf der Drehbank verwendet. Denn wenn ein Drehmesser mit einer Achse einen rechten Winkel bildet, muß durch Rotation des Werkstückes eine Ebene entstehen.

Nun betrachten wir einmal den Parallelismus im Raume. Es ist dabei von vornherein klar, daß nicht alle Geraden im Raum, die einander nicht schneiden, parallel sein müssen. Denn sie könnten ja auch windschief zueinander sein. Wir müssen also unsere bisherigen Definitionen im Raum dadurch erweitern, daß wir die Forderung hinzufügen, die Geraden müßten außerdem in einer Ebene liegen. Umgekehrt kann man im Raum durch zwei Parallele stets eine Ebene legen. Man kann auch weiter folgern, daß zwei Gerade, die in zwei verschiedenen Ebenen liegen, nur dann parallel sein können, wenn sie die Schnittgeraden einer dritten Ebene mit diesen beiden Ebenen sind. Nun sind auch zwei Lote auf eine Ebene stets zueinander parallel und zwei Lote, die zugleich die Lote zweier Ebenen sind, kann es nur zwischen parallelen Ebenen geben.

Damit hätten wir die Frage des Neigungswinkels zweier Ebenen zueinander angeschnitten, da Parallelismus zwischen Ebenen nur vorliegen kann, wenn der Neigungswinkel der Ebenen zueinander Null ist.

Zuerst erörtern wir den Neigungswinkel einer Geraden mit einer Ebene. Welchen Winkel, so fragen wir, bilden etwa die Gerade AB, DB und EB mit der Ebene MN. Die Antwort lautet, daß man unter dem Neigungswinkel einer Geraden mit einer Ebene stets den Winkel versteht, den diese Gerade mit ihrer Projektion auf der Ebene bildet.

Weshalb auch in der analytischen Geometrie des Raumes der Richtungs-Cosinus verwendet wird, da dieser ja ein Verhältnis aus der Projektion einer Geraden zu dieser Geraden selbst ist.

Die Projektion aber wird gefunden, indem man von einem Punkt, der Geraden (er ist hier für alle drei Geraden gemeinsam und heißt B) das Lot auf die Ebene fällt und den Fußpunkt C des Lotes mit den Fußpunkten der Geraden verbindet. Dadurch erhalten wir in unserem Fall die drei Neigungswinkel

\alpha

,

\delta

und

\varepsilon

. Es gelten nun die leicht zu beweisenden Sätze, daß der Neigungswinkel jeweils der kleinstmögliche und sein Nebenwinkel jeweils der größtmögliche Winkel ist, den die geneigte Gerade mit irgend einer in der Ebene durch ihren Fußpunkt gehenden Geraden einschließen kann. Weiters gilt der sehr wichtige Satz, daß wenn man durch den Fußpunkt einer geneigten Geraden eine Gerade zieht, die zur Projektion dieser Geraden senkrecht ist, diese Gerade auch auf der geneigten Geraden selbst senkrecht steht; was wir in der Figur beim Punkt A durchgeführt haben. Zu diesem Satze gibt es zwei Umkehrungen, die lauten: Wenn man aus dem Fußpunkt einer geneigten Geraden in der Ebene eine Gerade zieht, die mit der geneigten Linie einen rechten Winkel bildet, dann bildet sie einen solchen auch mit der Projektion; und: Wenn eine geneigte Linie und eine aus ihrem Fußpunkt gezogene Gerade mit einer dritten durch den Fußpunkt laufenden Geraden der Ebene zugleich rechte Winkel bilden, dann ist diese Gerade die Projektion der geneigten Linie auf die Ebene.

Nun kennen wir den Begriff. des Neigungswinkels einer Geraden auf eine Ebene. Wie sieht es aber, so fragen wir, mit dem Neigungswinkel zweier Ebenen aus?

Wir suchen dazu den kleinstmöglichen Winkel, den die beiden Ebenen miteinander einschließen können, und definieren: Der Neigungswinkel" zweier Ebenen wird von zwei Geraden beider Ebenen gebildet, die beide in irgend einem Punkt der Schnittlinie dieser beiden Ebenen auf diese Schnittlinie senkrecht stehen. Man sieht aus der Zeichnung, daß es analog den aus Geraden gebildeten Winkeln auch hier Neigungswinkel und Neigungsnebenwinkel, sowie Neigungsscheitelwinkel gibt, für die alle Beziehungen der Winkel der Ebene gelten. Es muß etwa jede durch ein Lot einer Ebene gelegte Ebene stets als Ganze auf der Ebene senkrecht stehen, da sich als Neigungswinkel infolge der Eigenschaften des Lotes nur rechte Winkel ergeben können.

Wir wollen jetzt in Gedanken den Versuch machen, zwei parallele Ebenen durch eine dritte, eine Transversalebene, zu schneiden. Wir bringen in diesen Vorbemerkungen zur Stereometrie absichtlich weniger Figuren, um die für die Stereometrie so notwendige Anschauungskraft des Lesers zu stärken. Wir bitten aber, daß der Leser bei allen Sätzen, die ihm zweifelhaft oder unklar erscheinen, selbst Papier und Bleistift zur Hand nimmt und sich die hier fehlenden Zeichnungen selbst anfertigt. Er wird so eine doppelte praktische Übung leisten. Wir fragten also nach der Transversalebene. Durch unsere Definition des Neigungswinkels ist eigentlich die Parallelenziehung mit Transversale in der Ebene nichts anderes als ein „Riß“ unserer zwei Ebenen und der Transversalebene. Wir dürfen also alle Winkelbeziehungen von Parallelen und Transversale auch auf die Neigungswinkel der schneidenden Ebene mit den beiden (oder mehreren) parallelen Ebenen übertragen. Darüber hinaus müssen die zwei (oder mehreren) Schnittgeraden der Transversalebene mit den parallelen Ebenen zueinander parallel sein. Ebenso könnte man zwei oder mehrere parallele Ebenen auch durch eine geneigte Gerade schneiden. Dabei würde sich ergeben, daß diese Gerade mit allen parallelen Ebenen gleiche Neigungswinkel hat usw.

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