Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 239c

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Vom Punkt zur vierten Dimension. Geometrie für Jedermann.

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Neununddreißigstes Kapitel

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Prinzip von Cavalieri, Raum-Messung

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So interessant es nun auch wäre, alle Folgerungen aus dem Eulerschen Satz weiter zu durchforschen, müssen wir leider hier abbrechen und wieder zu den Eigenschaften der Ecken zurückkehren, die wir sofort auf die Polyeder überhaupt übertragen werden. Im R₃ unterscheidet man nicht bloß Kongruenz und Ähnlichkeit, sondern Kongruenz, symmetrische Gleichheit und Ähnlichkeit. Wir deuteten schon einmal an, daß man symmetrische Gebilde' stets dadurch kongruent machen kann, daß man sie in den höheren Raum R_{n + 1} herausnimmt und „umklappt“. Im R₁ kann man zwei gerichtete Strecken nicht zur kongruenten Deckung bringen. Sie bleiben symmetrisch, auch wenn man sie übereinanderschiebt, da ihre Richtungspfeile stets nach verschiedenen Richtungen weisen. Dieses „Gerichtetsein“ der Strecken ist kein Kniff zur Durchsetzung unserer Behauptung. Man stelle sich bloß unregelmäßig gelagerte aber symmetrisch liegende Teilpunkte auf den beiden Strecken vor und man wird die Notwendigkeit der Gleichrichtung zur Kongruenz von Strecken sofort einsehen.

Man ist durch „Schieben“ nie imstande, A mit A', B mit B' usw. zugleich zur Deckung zu bringen. Wohl aber im R₂ durch „Drehung“. Im R₂ gilt dasselbe etwa bei symmetrischen Dreiecken, die man zur Kongruenz in den R_{n + 1} also den R₃ heben und dort „umklappen“ muß. Bei symmetrischen körperlichen Ecken im R₃, die etwa dadurch entstehen, daß man alle, die Ecke bildenden Geraden über den Scheitel hinaus verlängert und dadurch eine „Scheitel-Ecke“ gewinnt, ist kein Mensch je imstande, diese zwei Ecken, wenn man sie auseinandernimmt, zur Kongruenz zu bringen. Es fehlt der R₄ für das „Hinausnehmen“ und „Umklappen“. Es gibt nur ein Umdrehen in sich wie beim Handschuh, das Kongruenz ermöglicht. So wie man etwa auch ein symmetrisches Dreieck in der Ebene in sich umwenden und dadurch kongruent machen könnte. Schließlich könnten wir uns ja auch die Gerade mit den Teilpunkten etwa in der Art eines unendlich dünnen Schlauches in sich umgedreht denken, wodurch Kongruenz entstände.

Die Polyeder selbst sind einander dann kongruent, wenn ihre Flächen und Ecken bezüglich kongruent sind. Eine einzige, bloß symmetrisch gleiche Ecke würde die Kongruenz zerstören. Das Rechts-Links-Problem, das sowohl im R₁ als im R₂ stets durch die höheren Räume aufgehoben werden kann, gewinnt im R₃ einen absoluten Charakter, was jeder nachfühlen wird, der knapp vor der Abreise in einer Schuhschachtel zwei rechte oder zwei linke Schuhe entdeckt, bei denen ein „Umdrehen“ à la Handschuh untunlich ist. Wir werden in den Schlußkapiteln noch staunenswerte Dinge über rechts und links erfahren.

Jetzt aber wenden wir uns der Inhaltsmessung im Raume zu, dem letzten Untersuchungsgegenstand, den wir in der Stereometrie näher betrachten. Wie die Fläche in Quadraten der Längeneinheit ausgemessen wird, so wird der Raum in Würfeln der Längeneinheit gemessen. Aus der Quadratur wird die Kubatur und es bedarf keiner Erläuterung, daß etwa 5 Schichten von Würfeln, die in einer Länge von 8 und in einer Breite von 3 Längeneinheiten aufeinandergebaut sind, $5\cdot 8\cdot 3=120$ Würfel enthalten müssen. Wie beim Rechteck Länge mal Breite, so ist im Raume Länge mal Breite mal Höhe die Grundformel der Messung. Nun ist es aber ein Kreuz der Geometriker, daß sich eine durchaus strenge Überleitung vom Flächeninhalt zum Rauminhalt nicht finden läßt. Wir müssen da entweder mit primitiven oder mit höchst komplizierten Vorstellungen arbeiten, die eigentlich in die höhere Mathematik gehören, so plausibel sie an und für sich sein mögen. Wir meinen in erster Linie den Satz von Cavalieri, der als Fundamentalsatz der Raummessung angesprochen werden darf.

Wir hätten eine Reihe verschieden geformter Plättchen, die alle den gleichen Flächeninhalt haben, was wir als Voraussetzung behaupten. Es ist wohl ohne jede Erläuterung klar, daß unsere verschiedenen mehr oder weniger schiefen „Türme“ alle den gleichen Rauminhalt haben, da sie aus gleichviel flächengleichen Plättchen aufgebaut sind. Nun ist das aber doch wieder nicht so klar, als es auf den ersten Augenblick erscheint. Denn wir wissen nur, daß unsere Plättchen einander und jede Art von Plättchen untereinander flächengleich sind. Wir müssen uns also die Plättchen wieder in dünnere und stets dünnere Plättchen zerlegt denken, bis wir endlich bei unendlich dünnen Plättchen sagen können, sie seien untereinander wirklich gleich. Nun ist es aber paradox, aus unendlich dünnen Plättchen „Türme“ bauen zu wollen. Denn wir wissen nicht einmal, ob selbst unendlich viele unendlich dünne Plättchen einen Turm erzeugen können. Wieder befinden wir uns in einer Antinomie oder Gegengesetzlichkeit, die mit dem Problem der Stetigkeit und des Diskreten zu tun hat. Wir dürfen aber trotzdem dem Satz Cavalieris vertrauen, da ihn bisher jede Erfahrung und jede indirekte mathematische Probe bestätigt hat. Er lautet: „Wenn bei mehreren Körpern ein Schnitt durch eine und dieselbe parallel zur Grundfläche gelegte Ebene stets flächengleiche Schnittflächen ergibt, in welcher Höhe immer man die Körper schneidet; und wenn außerdem noch die Grundflächen und Höhen der Körper gleich sind: dann sind alle diese Körper gleich an Rauminhalt.“

Der Satz Cavalieris ist eigentlich nichts anderes als eine erweiterte räumliche Entsprechung des Euklidischen Satzes von der Inhaltsgleichheit aller Parallelogramme, die gleiche Grundlinie und gleiche Höhe haben. Ich könnte beim Satz Euklids (oder wer immer diesen, in den Elementen Euklids enthaltenen Satz aufgestellt hat) mir ebensogut Parallelogramme aus stets dünneren Streifen zusammengesetzt denken, bis schließlich bloß Strecken übrig bleiben, und dann behaupten: Wenn in mehreren Parallelogrammen der Schnitt einer Geraden, die zur Grundlinie parallel ist, in jeder beliebigen Höhe gleiche Strecken liefert, und wenn außerdem Grundlinie und Höhe dieser Parallelogramme gleich sind, dann sind die Parallelogramme alle inhaltsgleich. Nun ist die erste Bedingung beim Parallelogramm dadurch erfüllt, daß Parallele zwischen Parallelen gleich sein müssen. Bleibt also die Euklidische Forderung als Schlußfolgerung. Wir fügen noch hinzu, daß der Euklidsatz gleichsam eine projektive Entsprechung des Cavalierisatzes für die Ebene darstellt und umgekehrt, wodurch man allenfalls auf dem Umwege über die projektive Geometrie genugtuende Raummessungssätze erhalten könnte.

Da wir nun im Besitz zahlreicher Grundbegriffe der Stereometrie sind, wollen wir die wichtigsten Körper mit Ausnahme der schon besprochenen Polyeder durchgehen.

1. Das Prisma. Es ist ein Polyeder, der von zwei parallelen und kongruenten Polygonen als Grundflächen und von soviel Parallelogrammen als Seitenflächen begrenzt ist, als jede der beiden Grundflächen Seiten hat. Es heißt nach dieser Seitenanzahl der Grundflächen ein drei-, vier-, fünf-, en-seitiges Prisma. Man spricht hier von „Seitenflächen“ im Gegensatz zu „Grundflächen“.

Allgemein sei angemerkt, daß man unter der Oberfläche einer räumlichen Figur die Summe der Flächeninhalte aller Begrenzungsflächen versteht.

Mantel oder Mantelfläche nennt man alle n Seitenflächen mit Ausnahme der Grundflächen (Prisma, Zylinder) oder der Grundfläche (Pyramide, Kegel).

Also beim Prisma 2 Grundflächen plus n Seitenflächen. Zeichnet man alle diese Flächen so auf Papier, daß man daraus ein Modell des betreffenden Körpers zusammenbiegen kann, so nennt man eine solche Projektion aller Begrenzungsflächen in eine Ebene ,das „Netz“ dieser Figur. Es wird dem Leser dringendst geraten, zwecks tieferen Eindringens in die Stereometrie sich möglichst viele solcher „Netze“ selbst zu zeichnen und hieraus dann Polyedermodelle zu kleben.

Nun kann ein Prisma weiter sein:

a) Ein gerades Prisma, wenn alle Seitenkanten auf die Grundflächen senkrecht stehen.

b) Ein regelmäßiges Prisma, wenn die Grundflächen regelmäßige Vielecke sind.

c) Ein Parallelepipedon, wenn die Grundflächen selbst Parallelogramme sind.

d) Ein gerades Parallelepipedon, wenn dazu noch die Seitenkanten auf die Grundflächen senkrecht stehen.

e) Ein rechtwinkliges Parallelepipedon, wenn es ein gerades ist, und dazu noch die Grundflächen Rechtecke sind.

f) Ein Würfel, wenn es ein rechtwinkliges Parallelepipedon ist, bei dem die Grundkanten und die Seitenkanten gleich lang sind, oder, was dasselbe ist, bei dem sowohl die Grundflächen als auch die Seitenflächen sämtlich Quadrate sind.

Da nun aus den Sätzen über Parallele bewiesen werden kann, daß in jedem Prisma die Grundflächen kongruent sind jedem zu den Grundflächen parallelen Schnitt und da weiters sicherlich ein rechtwinkliges Parallelepipedon den Rauminhalt Länge mal Breite mal Höhe hat, was mit „Grundfläche mal Höhe“ identisch ist, folgt aus dem Satz von Cavalieri, daß auch in jedem anderen Prisma (dessen Grundfläche und Höhe man sich ja stets identisch mit denen des rechtwinkligen Parallelepipedons denken kann) der Rauminhalt auch der Formel $g\cdot h$ gehorcht; wobei die Grundfläche stets nach planimetrischen Regeln zu berechnen ist, während die Höhe allenfalls auch durch planimetrische Sätze (Pythagoras, trigonometrische Sätze usw.) gewonnen werden kann. Das hängt natürlich von den gegebenen Bestandstücken ab. Eine spezielle Form des Prismas ist der Zylinder, wie der Kreis ein unendlichseitiges Polygon ist. Wir dürfen also sofort die Prismasätze auch auf den Zylinder übertragen und finden als seinen Rauminhalt $r^{2}\cdot \pi \cdot h$, gleichgültig, ob der Zylinder gerade oder schief ist. Selbst einen elliptischen Zylinder kann man als eine Spielart des Prismas betrachten. Da der Flächeninhalt der Ellipse gleich ist $a\cdot b\cdot \pi$, so ist der Rauminhalt des Ellipsenzylinders $a\cdot b\cdot \pi \cdot h$ (wobei die große und b die kleine Halbachse der Ellipsen-Grundfläche sind).

2. Als zweite Figur betrachten wir die Pyramide, bei der von einer polygonalen Grundfläche Gerade als Kanten ausgehen, die einander alle in einem und demselben Punkt, dem Scheitel oder der Spitze der Pyramide, treffen. Die Seitenkanten bilden hier mit den Grundkanten Dreiecke.

a) Eine regelmäßige Pyramide hat als Grundfläche ein reguläres n-Eck und als Seitenflächen gleichschenklige Dreiecke. Sie ist also P

b) auch eine gerade Pyramide, die unabhängig von der Regelmäßigkeit der Grundfläche als Seitenflächen gleichschenklige Dreiecke haben muß.

c) Alle anderen Pyramiden, gleichviel ob ihre Grundfläche ein regelmäßiges Vieleck ist oder nicht, heißen schiefe Pyramiden.

d) Eine Pyramide, die ein gleichseitiges Dreieck zur Grundfläche und drei gleichseitige Dreiecke zu Seitenflächen hat, heißt ein regelmäßiges Tetraeder.

e) Eine Pyramide, die vier gleichseitige Dreiecke zu Seitenflächen und ein Quadrat zur Grundfläche hat, ist die Hälfte eines regelmäßigen Oktaeders.

f) Schließlich kann man eine Pyramide von unendlich großer Seitenanzahl als Kegel' bezeichnen. Jedenfalls gelten alle Pyramidensätze ebensogut auch für Kegel, die auch schief oder elliptisch sein dürfen.

Der Fundamentalsatz für die Pyramide besagt, daß parallele Schnitte zur Grundfläche stets der Grundfläche ähnliche Polygone liefern müssen, was wir schon aus der projektiven Geometrie wissen. Außerdem verhalten sich die Grundfläche und eine ihr parallele Durchschnittsfläche stets so wie die Quadrate ihrer Abstände von der Spitze, was man leicht aus planimetrischen Sätzen mit Hilfe ähnlicher Dreiecke beweisen kann.

Um den Rauminhalt einer Pyramide zu messen, gehen wir vom Prisma aus. Und zwar vom dreiseitigen.

Wir behaupten, daß jedes dreiseitige Prisma stets in drei inhaltsgleiche dreiseitige Pyramiden zerlegt werden kann. Wir betrachten zuerst die beiden Pyramiden ABCD und BCDE und verlegen ihre gemeinsame Spitze nach C. Dann haben die beiden Pyramiden die gleiche Grundfläche (ABD resp. BDE) und die gleiche Höhe, nämlich das Lot von C auf ABED. Sie sind somit nach dem Cavalierisatz inhaltsgleich, da sie sich nach dem soeben besprochenen Proportionssatz zwar nicht aus gleichbleibenden, dafür aber aus sich entsprechend verjüngenden Plättchen zusammensetzen. Denn bei jeder der beiden Pyramiden verhält sich die parallele Schnittfläche in der Höhe h' zur Grundfläche wie die Quadrate der Abstände vom Scheitel. Also Grundfläche zu Schnittfläche wie $h^{2}:(h-h')^{2}$. Wenn aber $F:f=h^{2}:(h-h')$ und $F:f'=h^{2}:(h-h')^{2}$, muß f gleich sein f', wobei wir die Schnittflächen in der Höhe h' mit f und f' bezeichnen. Nun können wir mit der gemeinsamen Spitze D die beiden dreiseitigen Pyramiden BCDE und CDEF bilden, bei denen wieder die Grundflächen BCE und CEF gleich sind, während die Höhe das Lot von D auf BCFE ist. Da auch hier wieder der durch die Pyramiden-Proportion modifizierte Cavalieri gilt, so ist jetzt Pyramide BCDE inhaltsgleich der Pyramide CDEF, woraus endlich folgt, daß die Pyramiden ABCD, BCDE und CDEF, die zusammen das Prisma ausfüllen, einander inhaltsgleich sind.

Da man nun etwa die Pyramide ABCD auch so betrachten kann, als ob sie ABC als Grundfläche und D als Spitze oder Scheitel hätte, folgt, daß sie mit dem Prisma die gleiche Grundfläche und Höhe haben muß. Da sie aber weiters der dritte Teil des Prismas ist und das Prisma als Inhalt $g\cdot h$ hat, so ist der Inhalt der Pyramide ${\textstyle {\frac {g\cdot h}{3}}}$. Da man aber weiters, wie wir wissen, jedes Polygon in ein Dreieck verwandeln kann, so kann man jedes n-Eck, das g bildet, in ein Dreieck verwandeln, wodurch, wieder nach Cavalieri, das neue dreiseitige Prisma gleich sein muß dem n-kantigen Prisma. Und wodurch schließlich auch die n-seitige Pyramide inhaltsgleich sein muß der neuen dreiseitigen, somit einem Drittel des Raumgehaltes des Prismas. Durch diese Verallgemeinerung dürfen wir jetzt auch den Kegel als den dritten Teil eines Zylinders gleicher Grundfläche und Höhe ansprechen und erhalten als Rauminhalt des Kreiskegels ${\textstyle {\frac {r^{2}\cdot \pi \cdot h}{3}}}$ und als Inhalt des elliptischen Kegels ${\textstyle {\frac {a\cdot b\cdot \pi \cdot h}{3}}}$.

Weitere Formeln der Stereometrie führen wir nicht an, da sie in jeder Formelsammlung enthalten sind und außerdem aus unseren planimetrischen Sätzen stets leicht abgeleitet werden können. Es bedarf wohl keiner besonderen Erwähnung, daß auch die Trigonometrie in der Stereometrie eine gewaltige Rolle spielt. Ebenso die niedere und insbesondere die höhere Analysis. Erst durch die Integralrechnung wird man in den Stand gesetzt, allerlei krummflächig begrenzten räumlichen Gebilden, insbesondere den Rotationskörpern, die durch Umdrehung einer Kurve um eine Achse entstehen, an den Leib zu rücken. Der regelmäßigste dieser Umdrehungskörper ist die Kugel, die wir abgesondert behandeln werden, da wir vorerst noch die drei großen Konstruktionsprobleme der Geometrie betrachten wollen, die sehr viel zum Aufschwung der Geometrie beitrugen, da sie jeder Lösung mit gewöhnlichen Mitteln (also mit Zirkel und Lineal) trotzten.

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