Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 230c

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Vom Punkt zur vierten Dimension. Geometrie für Jedermann.

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Dreißigstes Kapitel

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Ebene Trigonometrie des rechtwinkligen Dreiecks

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Aus unserer letzten Hilfstafel könnte man bei näherem Studium allerlei entnehmen. Vor allem die Symmetrie, die zwischen Sinus und Cosinus einerseits und Tangens und Cotangens anderseits herrscht. Natürlich hätten wir diese Symmetrie schon aus unseren Zeichnungen ersehen können. ` Ebenso ist es rein planimetrisch möglich, eine Reihe von Winkelfunktionen (etwa für 30°, 45°, 60° usw.) verhältnismäßig einfach festzustellen. Wir wollen jedoch nicht näher auf die an sich sehr interessante Berechnungsweise der „wirklichen Längen" eingehen, sondern wollen aus unserem Wissen die erste Nutzanwendung ziehen, nämlich die Berechnung einzelner Stücke rechtwinkliger Dreiecke mit Hilfe anderer gegebener Stücke, die Winkel und Seiten sind. Dazu dienen uns die sogenannten trigonometrischen Fundamentalsätze über das rechtwinklige Dreieck.

1. Da $sin\ \alpha$ in einem rechtwinkligen Dreieck mit den Seiten a, b und c gleich ist ${\frac {a}{c}}$, so ist $a=c\cdot sin\ \alpha$, weiters $b=c\cdot \beta$, da $sin\ \beta$ wieder ${\frac {b}{c}}$ sein muß.

Winkel $\alpha$ ist stets der der Seite a gegenüberliegende Winkel, $\beta$ der der Seite b gegenüberliegende Winkel usw.

2. Da $cos\ \alpha ={\frac {b}{c}}$, so ist $b=c\cdot cos\ \alpha$, oder da $cos\ \beta ={\frac {a}{c}}$, so ist $a=c\cdot cos\ \beta$.

3. Da $tg\ \alpha ={\frac {a}{b}}$, so ist $a=b\cdot tg\ \alpha$. Da aber auch $tg\ \beta ={\frac {b}{a}}$, so ist $b=a\cdot tg\ \beta$.

4. $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ (Lehrsatz des Pythagoras).

Es kann nicht mehr als vorstehende vier Fundamentalgleichungen über das rechtwinklige Dreieck geben. Mit ihrer Hilfe können wir jede sinnvolle Aufgabe trigonometrischer Art über das rechtwinklige Dreieck auflösen. Sinnvoll aber ist solch eine Aufgabe nur dann, wenn mindestens zwei Stücke des Dreiecks (darunter eine Seite) gegeben sind. Eines dieser Stücke muß übrigens ein spitzer Winkel sein.

Es ist nun klar, daß wir mit unseren Kenntnissen jetzt nicht nur das rechtwinklige Dreieck, sondern alle Figuren geradliniger Art beherrschen, die sich in rechtwinklige Dreiecke zerlegen lassen; Vorausgesetzt, daß in jedem dieser Zerlegungsdreiecke je zwei. entsprechende Bestimmungsstücke gegeben sind. Wir beherrschen also gleichseitige, gleichschenklige und unter Umständen auch ungleichseitige Dreiecke, wenn die Höhe gegeben ist. Dann Rechtecke und Quadrate mit ihren Diagonalen. Alle regelmäßigen Vielecke, die ja durch Teildreieckshöhen in unserem Sinne zerlegbar sind. Rhomben und Deltoide usw. Natürlich sind wir jetzt auch imstande, eine große Anzahl praktischer Aufgaben rechnerisch zu lösen. Wenn wir etwa an unserem Entfernungsmesser mit einem sogenannten Transporteur - (Der bekannte, in jeder Papierhandlung erhältliche, in 180 Grade eingeteilte Halbkreis.) - den Winkel zwischen Visierstange und Meßstange abgemessen hätten, den wir ja bereits, ohne seine Größe zu untersuchen, einfach den Winkel $\alpha$ nannten, dann „hätten wir auch trigonometrisch die Entfernung der Leuchtboje errechnen können. Die Standortshöhe h durch die Entfernung e ist ja der Tangens des Winkels $\alpha$. Also ${\frac {h}{e}}=tg\ \alpha$ oder $h=e\cdot tg\ \alpha$ oder $e={\frac {h}{tg\ \alpha }}$. Da in den Tafelwerken nur die Logarithmen der Winkelfunktionen angegeben sind, hätten wir anzusetzen, wenn etwa der Winkel $\alpha$ gleich 7 1/2 Graden wäre: $log\ e=log\ h-log\ tg\ \alpha$. Da aber $\alpha =$ 7 1/2° und $h=37,49$ Meter, so schreiben wir unter Benützung der besonders übersichtlichen Logarithmentafel von Dr. Adolf Greve (Verlag Velhagen & Klasing): $log\ e=1,57392-(9,11943-10)=2,45449$. Somit ist $e=284,77$ Meter.

Noch ein Beispiel für viele andere. Es wäre gefragt, wie groß in einem regelmäßigen n-Eck, dessen Seite a gegeben ist, der Radius des einbeschriebenen und des umbeschriebenen Kreises ist. Weiters wollen wir noch wissen, wie groß die Seite des regelmäßigen Polygons ausfällt, das dem umbeschriebenen Kreis umbeschrieben ist.

Es ist dabei unser Ehrgeiz, womöglich nicht rekursiv zu rechnen, das heißt, wir werden nicht ein Stück berechnen und dann mit Hilfe dieses Stücks wieder ein anderes. Sondern wir müssen jedes der drei gefragten Stücke, wenn es geht, unmittelbar aus ${\frac {a}{2}}$ gewinnen. Nun haben wir neben ${\frac {a}{2}}$ noch etwas Zweites stillschweigend mitgegeben. Sonst kämen wir überhaupt nicht weiter. Nämlich den Winkel $\alpha$. Dieser Winkel $\alpha$ wird durch die Eigenschaft unseres Polygons als regelmäßiges n-Eck bestimmt. Da nämlich O der gemeinsame Mittelpunkt des In-Kreises und des Um-Kreises ist, wird dort der volle Winkel von 360 Graden in n Teile zerlegt, wenn ich alle bezügl. Umkreisradien r' ziehe. Der Winkel $\alpha$ ist aber wieder die Hälfte dieses Winkels ${\frac {360}{n}}$ also $\alpha ={\frac {360}{2n}}={\frac {180}{n}}$, da der In-Kreis-Radius die Höhe, also auch die Winkelsymmetrale des gleichschenkligen Dreiecks AOB ist. Nun ist $sin\ \alpha ={\frac {a}{2}}:r'$ und $tg\ \alpha ={\frac {a}{2}}:r$. Folglich kann ich sofort die gefragten Stücke r' und r erhalten. Es ist $sin\ \alpha =sin{\frac {180}{n}}={\frac {a}{2r'}}$, somit $2r'\cdot sin{\frac {180}{n}}=a$ oder $r'={\frac {a}{2\cdot sin{\frac {180}{n}}}}$ und da $tg{\frac {180}{n}}={\frac {a}{2r}}$, so ist $2r\cdot tg{\frac {180}{n}}=a$ und $r={\frac {a}{2\cdot tg{\frac {180}{n}}}}$. Wir hätten also, um unsere Aufgabe voll zu lösen, nur noch ${\frac {a'}{2}}$ zu berechnen. Die Hilfslinie s nützt uns dazu nichts, da wir das unregelmäßige Dreieck, dessen Seiten s und ${\frac {a'}{2}}$ wären, noch nicht auswerten können, obgleich uns darin die Winkel zugänglich wären. Wir ziehen also das ganze Dreieck OA'E in Betracht, in dem ${\frac {a'}{2}}$ eine Kathete und $\alpha$ ein Winkel ist. Nun kennen wir aber leider bloß $\alpha$ und ${\frac {a}{2}}$, müssen also zuerst noch eine Seite aus ${\frac {a}{2}}$ berechnen. Wir brauchen dies nicht mehr abgesondert zu tun, da OE ja gleich r' ist, was wir als ${\frac {a}{2\cdot sin{\frac {180}{n}}}}$ oder ${\frac {a}{2}}\cdot sin{\frac {180}{n}}$ festgestellt haben. Nun ist aber weiter ${\frac {a'}{2}}:r=tg\ \alpha =tg{\frac {180}{n}}$ also ${\frac {a'}{2}}=r'\cdot tg{\frac {180}{n}}$. Daraus ergibt sich $a'=2r'\cdot tg{\frac {180}{n}}$. Wenn wir nun für r' seinen Wert ${\frac {a}{2}}\cdot sin{\frac {180}{n}}$ einsetzen, so erhalten wir

$a'=2\cdot {\frac {a}{2}}\cdot sin{\frac {180}{n}}\cdot tg{\frac {180}{n}}=a\cdot sin{\frac {180}{n}}\cdot tg{\frac {180}{n}}$.

Wir hätten bei unserer ganzen Aufgabe auch mit dem Winkel $(90-\alpha )$ rechnen können und dadurch andere Funktionen erhalten. So wäre etwa $r:{\frac {a}{2}}=tg\ (90-\alpha )$ gewesen, wodurch sich nach unserer Tabelle ergeben hätte:

$r={\frac {a}{2}}\cdot tg\ (90-\alpha )={\frac {a}{2}}\cdot cot{\frac {180}{n}}$. Nun erhalten wir aber sofort wieder unsere erste Formel, wenn wir aus der zweiten Tabelle $cot\ \alpha ={\frac {1}{tg\ \alpha }}$ ablesen. Dann wird eben ${\frac {a}{2}}\cdot cot{\frac {180}{n}}$ zu ${\frac {a}{2}}\cdot {\frac {1}{tg{\frac {180}{n}}}}$, was nichts anderes ist als ${\frac {a}{2\cdot tg{\frac {180}{n}}}}=r$, wie wir es zuerst erhielten.

Wir müssen es uns leider versagen, die Anzahl unserer Beispiele zu vermehren. Wir haben nur noch plötzlich Lust bekommen, aus Seiten einen Winkel zu berechnen. Und wir fragen uns deshalb, unter welchem Winkel seinerzeit auf der Terrasse wohl die Leuchtboje anvisiert wurde. Wir kennen beide Katheten des rechtwinkligen Dreiecks, das damals praktisch zustande kam. Nämlich $h=37,49\ m$ und $e=464,88$ Meter. Katheten können zur Bildung des Tangens und Cotangens verwendet werden. Wir untersuchen einmal zur Abwechslung den Cotangens $\alpha$. Also $cot\ \alpha =e:h=464,88:37,49$. Da wir schon wissen, daß wir logarithmieren müssen, so schreiben wir gleich $log\ cot\ \alpha =log\ 464,88-log\ 37,49$. Das ist aber $log\ cot\ \alpha =2,66734-1,57392=1,09342$. Da aber die Logarithmen der Winkelfunktionen nicht in dieser Art angegeben werden, müssen wir in der Tafel bei $11,09342-10$ suchen, da sie stets als $log\ x+10-10$ angeschrieben sind. Dabei ist das $(-10)$ in den Tafeln fortgelassen. (Zweck dieses Gebrauches ist der, jeden Logarithmus ohne die Kennziffer $(-1)$, $(-2)$ usw. hinstellen zu können. Denn wäre etwa $cos\ a={\frac {1}{2}}=0,5$, dann wäre der Logarithmus $0,69897-1$, wofür in der trigonometrischen Tafel $10,69897-1-10$, also $9,69897-10$ oder einfach $9,69897$ steht.) Wir finden unseren Wert zwischen 4° 6' und 4° 37', womit wir uns begnügen, da ja unsere ganze Messung sehr ungenau war. Der Winkel $\alpha$ war also etwa 4 1/2 Grade. Genau hätten wir 4° 36' 38" erhalten.

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