Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 231c

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Vom Punkt zur vierten Dimension. Geometrie für Jedermann.

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Einunddreißigstes Kapitel

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Ebene Trigonometrie des schiefwinkligen Dreiecks

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Da wir uns nun schon so unbefangen in der Trigonometrie umhertummeln, wollen wir noch einen flüchtigen Blick auf die Geschichte dieses Zweiges unserer Wissenschaft werfen. Die Trigonometrie ist sehr alt, da sie stets einen wichtigen Behelf der Astronomie darstellte. Schon die alten Ägypter, Inder, Babylonier und Assyrer besaßen mehr oder weniger ausgebildete Methoden der Trigonometrie. Bei den Griechen wird Hipparchos von Nicäa (etwa 160-125 v. Chr. Geb.) als Erfinder der Trigonometrie genannt. Doch erst das Werk des Astronomen Ptolemäus von Alexandria (etwa 125-140 n. Chr. Geb.), dessen nach ihm benanntes „Ptolemäisches Weltsystem“ bis zu Kopernikus und Galilei in allgemeiner Geltung stand - also erst die „Megále Syntaxis“ oder der „Almagest" verbreitete trigonometrische Kenntnisse in der ganzen gebildeten Welt. Almagest nannten die Araber das von ihnen übersetzte Hauptwerk des Ptolemäus. Die Übersetzung erfolgte im Jahre 827 nach Chr. Geb. Es berührt heute merkwürdig, daß bei einem zwischen dem siegreichen Kalifat von Bagdad und dem byzantinischen Kaisertum abgeschlossenen Friedensvertrag eine der Hauptfriedensbedingungen die A Auslieferung eines Exemplars der „Megále Syntaxis“ an die Kalifen bildete. Unter Friedrich II., dem Hohenstaufen, wurde der Almagest in das Lateinische zurückübersetzt und war dann bis auf Kopernikus und Kepler- eine Hauptquelle der Trigonometrie, die sich von dieser Zeit an im Abendlande in zunehmender Verfeinerung fortzuentwickeln begann. Heute - das kann ruhig behauptet werden - ist die Trigonometrie ein Gebiet der Mathematik, das so gut wie abgeschlossen vor uns liegt und in dem kaum irgendeine Überraschung mehr zu erwarten ist. Mit unseren modernen Theodoliten, Sextanten, Meridionalen, und wie alle die Winkelmeßinstrumente heißen mögen, beherrschen wir in unwahrscheinlicher Meßgenauigkeit die Winkel des Himmels und der Erde. Und es soll verraten werden, daß bei der Messung astronomischer Winkel einige hundert Fehlerquellen bei jeder Messung berücksichtigt und so viel als möglich ausgemerzt werden.

Wir wollen aber hübsch bescheiden bleiben und uns nicht in Bereiche verirren, die mehrjährige Studien zu ihrer vollen Erforschung benötigen. Wir werden schon sehr zufrieden sein müssen, wenn wir endlich Aufschluß über die allgemeinen trigonometrischen Gesetze erhalten, die im unregelmäßigen Dreieck herrschen. Denn stets werden wir ja doch nicht bloß auf rechtwinklige Dreiecke angewiesen bleiben wollen. Trotzdem werden wir ihnen nicht entgehen. Denn wir müssen alle Sätze der Trigonometrie auch im unregelmäßigen Dreieck aus den Erkenntnissen im rechtwinkligen ableiten. Wir müssen es nur schlau anstellen und es zu erreichen suchen, daß die rechtwinkligen Dreiecke im geeigneten Augenblick wie überflüssige Gerüste spurlos verschwinden.

Auch bei den unregelmäßigen Dreiecken gibt es eine begrenzte Anzahl- von Fundamentalgleichungen, die den Kongruenzsätzen entsprechen. Im unregelmäßigen Dreieck müssen auch stets drei Bestimmungsstücke bekannt sein, damit wir die anderen daraus berechnen können.

Entspricht der trigonometrische Auflösungsfall dem WSW-, SWW- oder SsW-Satz, so muß man eine Gleichung bilden, in der zwei Seiten und die Funktionen zweier Winkel erscheinen. Drei dieser Stücke sind gegeben, eines davon kann nach den Regeln der Gleichungen gesucht sein.

Unserem geforderten Zweck entspricht der sogenannte Sinussatz, der behauptet, daß sich in jedem Dreieck, sehe es wie immer aus, die Seiten so verhalten, wie die Sinus der diesen Seiten gegenüberliegenden Winkel. Also

$a:b:c=sin\ \alpha :sin\ \beta :sin\ \gamma$.

Daraus lassen sich natürlich die Teilproportionen bilden:

$a:b=sin\ \alpha :sin\ \beta$;

$a:c=sin\ \alpha :sin\ \gamma$;

$b:c=sin\ \beta :sin\ \gamma$,

aus deren jeder bei drei gegebenen Stücken das vierte errechnet werden kann.

Zum Beweis ziehen wir die „Höhe CD. Da $h:a=sin\ \beta$, so ist $h=a\cdot sin\ \beta$. Die Höhe h gehört aber auch dem Dreieck ACD an. Folglich ist auch $h:b=sin\ \alpha$ und $h=b-sin\ \alpha$. Daher ist weiter $a\cdot sin\ \beta =b\cdot sin\ \alpha$ oder $a:b=sin\ \alpha :sin\ \beta$. Ebenso erhält man durch Ziehen der zwei anderen Höhen $a:c==sin\ \alpha :sin\ \gamma$ und $b:c=sin\ \beta :sin\ \gamma$. Daher ist weiter ${\frac {a}{sin\ \alpha }}={\frac {b}{sin\ \beta }}$, ${\frac {b}{sin\ \beta }}={\frac {c}{sin\ \gamma }}$ und ${\frac {a}{sin\ \alpha }}={\frac {c}{sin\ \gamma }}$, also ${\frac {a}{sin\ \alpha }}={\frac {b}{sin\ \beta }}={\frac {c}{sin\ \gamma }}$, womit die Proportion $a:b:c==sin\ \alpha :sin\ \beta :sin\ \gamma$ als richtig erwiesen ist. Diese somit im ganzen Dreieck konstante Größe des “Quotienten der Seite durch den Sinus des Gegenwinkels heißt auch die „Konstante des Dreiecks“ und sie ist, wie man leicht beweisen kann, stets gleich dem Durchmesser des dem Dreieck umbeschriebenen Kreises. Dadurch werden naturgemäß eine Reihe weiterer Beziehungen gewonnen.

Wenn wir nun den zweiten trigonometrischen Auflösungsfall suchen, der dem SWS-Satz entspricht, so ist es klar, daß man durch den gegebenen Winkel die halbe Summe der beiden anderen Winkel kennt. Diese muß nämlich etwa bei gegebenem $\alpha$ gleich sein ${\frac {\beta +\gamma }{2}}={\frac {180-\alpha }{2}}$. Wenn man dazu noch die halbe Differenz dieser beiden Winkel, also ermitteln könnte, so ließen sich dadurch (aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten) sofort die beiden Winkel $\beta$ und $\gamma$ und damit die dritte Seite berechnen. Diesem Zwecke dient der Tangenssatz, der lautet: Die Summe zweier Winkel eines Dreiecks verhält sich zu ihrer Differenz, wie der Tangens der halben Summe der gegenüberliegenden Winkel zum Tangens der halben Differenz dieser Winkel.

Der Beweis dieses Satzes ergibt sich rein rechnerisch aus dem Sinussatz. Da nämlich $a:b=sin\ \alpha :sin\ \beta$, so muß nach allgemeinen Regeln der Proportionen auch die Proportion richtig sein: $(a+b):(a-b)=(sin\ \alpha +sin\ \beta ):(sin\ \alpha -sin\ \beta )$. Nun ist nach den Lehren der Goniometrie das Verhältnis der Summe der Sinus zweier Winkel zur Differenz der Sinus dieser beiden Winkel gleich dem Tangens aus der halben Summe dieser Winkel zum Tangens von deren halber Differenz, wenn man entsprechende Umformungen vornimmt. Also finden wir als zweite Fundamentalgleichung:

$(a+b):(a-b)=tg{\frac {\alpha +\beta }{2}}:tg{\frac {\alpha -\beta }{2}}$

womit wir wieder eine Reihe von Aufgaben beherrschen.

Nun bliebe von den Kongruenzsätzen noch der SSS-Satz. Wir hätten also die Winkel ausschließlich durch Seiten des Dreiecks auszudrücken. Oder, wenn man will, eine Methode zu finden, die Winkel bloß aus Seitenbeziehungen herauszuholen. In jeder unserer Gleichungen darf also stets nur ein Winkel enthalten sein, während wir drei Seiten als gegeben annehmen, die also immer alle drei in der Gleichung aufscheinen müssen. Diese Aufgabe erfüllt der Cosinussatz, der lautet: In jedem Dreieck ist das Quadrat einer Seite gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten, vermindert um das doppelte Produkt aus diesen beiden Seiten und dem Cosinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels.

Zum Beweis benützt man vorerst den „Pythagoras“. Es ist nämlich in der für den Sinussatz gezeichneten Figur 116 sicherlich $a^{2}=h^{2}+{\overline {BD}}^{2}$. Nun ist aber weiter $h=b\cdot sin\ \alpha$ und $BD=c-b\cdot cos\ \alpha$. Daher ist, wenn wir unsere Werte in die erste Gleichung einsetzen

${\begin{aligned}a^{2}&=b^{2}\cdot sin^{2}\alpha +(c-b\cdot cos\ \alpha )^{2}\\&=b^{2}\cdot sin^{2}\alpha +c^{2}-2b\cdot c\cdot cos\ \alpha +b^{2}\cdot cos^{2}\alpha \\&=b^{2}\cdot (sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha )+c^{2}-2b\cdot c\cdot cos\ \alpha \end{aligned}}$

Nun ist, wie wir schon einmal feststellten,

$sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha =1$, folglich bleibt

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2b\cdot c\cdot cos\ \alpha$, also eine Formel von genau der Struktur, die wir erhalten wollten.

In analoger Art erhält man auch

$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2a\cdot c\cdot cos\ \beta$ und

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2a\cdot b\cdot cos\ \gamma$.

Zum Cosinussatz wäre noch zu bemerken, daß er in gewissem Sinn ein verallgemeinerter „Pythagoras“ ist. Denn wird der Winkel $\alpha$, $\beta$ oder $\gamma$ ein rechter, dann wird sein Cosinus sogleich 0 und das dritte subtraktive Glied der Gleichungen fällt weg. Man muß bei der Verifikation nur beachten, daß die Seiten ihre Rollen als Hypotenusen und Katheten ändern. Der Winkel ist, wie wir schon sagten, stets von den zwei Seiten eingeschlossen, die im Produkt neben dem Cosinus stehen. Das sind also jeweils die Katheten. Und die Hypotenuse ist demgemäß stets die Seite, die isoliert links vor dem Gleichheitszeichen steht. Daher heißt der durch Nullwerdung des Cosinus von 90° geschrumpfte Cosinussatz in allen drei Fällen, daß das Hypotenusenquadrat gleich ist der Summe der beiden Kathetenquadrate.

Zum Abschluß bringen wir noch ohne weiteren Beweis, der zu viele Hilfssätze der Goniometrie voraussetzen würde, die für manche Zwecke äußerst verwendbaren „Mollweideschen Gleichungen“ (genannt nach ihrem Erfinder, Professor Mollweide, gest. 1828 in Halle a/Saale). Es ist

${\frac {\alpha +\beta }{c}}={\frac {cos{\frac {\alpha -\beta }{2}}}{sin{\frac {\gamma }{2}}}}$ und

${\frac {\alpha -\beta }{c}}={\frac {sin{\frac {\alpha -\beta }{2}}}{cos{\frac {\gamma }{2}}}}$

Wie man prüfen kann, ist es möglich, unseren bereits oben formulierten Tangenssatz durch Division der beiden Mollweideschen Gleichungen abzuleiten. Allerdings unter Zuhilfenahme einiger goniometrischer Umformungen.

(Zur Verifikation wird angemerkt, daß

$\alpha +\beta =180-\gamma$,

folglich ${\frac {\alpha +\beta }{2}}=90-{\frac {\gamma }{2}}$,

daher $sin{\frac {\alpha +\beta }{2}}=cos{\frac {\gamma }{2}}$

und $cos{\frac {\alpha +\beta }{2}}=sin{\frac {\gamma }{2}}$).

Damit hätten wir den von uns geplanten Überblick über die sogenannte „ebene Trigonometrie“ abgeschlossen. Wir bringen nur noch einige charakteristische Aufgaben, um die Anwendung der Sätze über das ungleichseitige Dreieck zu zeigen. Da wir jedoch mit Absicht praktische Beispiele heranziehen, wird es notwendig sein, auch die instrumentale Ausrüstung des praktischen „Geometers“ kennenzulernen. Zur Messung von Längen werden gewöhnlich Bandmaße verwendet, die vorwiegend aus Stahlbändern hergestellt und auf sogenannte Trommeln aufgespult sind. Natürlich können aber auch für größere Strecken möglichst dehnungsfreie Seile oder für kleine Längen Meßlatten benutzt werden. Letztere dienen hauptsächlich der Messung nicht allzu großer Höhen. Sie sind üblicherweise in Dezimeter geteilt, die abwechselnd rot und weiß gestrichen sind, damit man auch auf große Distanzen die Strecken bequem ablesen kann.

Zur Winkelmessung dient als Hauptinstrument der Theodolit, den wir uns, ohne ihn allzugenau zu analysieren, schematisch als ein Fernrohr mit Fadenkreuz vor der Linse vorstellen können, das sowohl um eine senkrechte als um eine waagrechte Achse drehbar ist. Beide Drehungen sind auf Kreisscheiben ablesbar, die ein genaues Winkelmaß eingraviert haben. Wir können also sowohl Winkel in horizontalen wie in vertikalen Ebenen messen. Damit aber der Theodolit stets ausgerichtet ist, steht er auf einem Dreifuß-Stativ, das einem Kamera-Stativ ähnlich ist, und trägt außerdem noch drei verstellbare Füße, mit denen er auf der Stützplatte des Stativs ruht. Zur Kontrolle seiner „Ausrichtung“ ist eine Libelle oder Wasserwaage, eventuell auch noch ein Senkblei oder Lot mit dem Instrument verbunden.

Man stellt also den Theodoliten, etwa auf beiden Skalen auf den Nullpunkt ein und dreht das Fernrohr dann so lange um die betreffende waagrechte oder senkrechte Achse, bis man die gesuchte „Marke“ anvisiert hat. Dann liest man den Winkel ab und notiert ihn. Für gewöhnlich, das werden wir gleich sehen, sind Winkel zwischen zwei „Marken“, also, geometrisch gesprochen, von zwei Dreieckseiten eingeschlossene Winkel gesucht. Um solche Winkel festzustellen, visiert man am besten zuerst die eine und dann die andere „Marke“ an und findet den Winkel als Differenz der beiden Ablesungen. Das sind aber schon Einzelheiten, die uns eigentlich nichts angehen.

Wir stellen uns also jetzt, ausgerüstet mit Meßband und Theodoliten, die Aufgabe, die Höhe eines für uns unzugänglichen Berges trigonometrisch zu bestimmen.

Der Gang unserer Rechnung ist nicht schwierig. Zuerst bestimmen wir mit dem Meßband die Standlinie c (AB). Dann gewinnen wir mittels des Theodoliten durch Anvisieren der Bergspitze C aus den Punkten A und B die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\delta$, welch letzterer $(180-\beta )$ ist. Da wir h aus dem rechtwinkligen Dreieck BCD errechnen wollen, müssen wir zum Winkel $\delta$, den wir schon kennen, noch die Seite a zu gewinnen trachten. Diese können wir aber mittels des Sinussatzes dem Dreieck ABC entnehmen. Denn es muß die Proportion bestehen $a:c=sin\ \alpha :sin\ \gamma$ also $a={\frac {c\cdot sind\ \alpha }{sin\ \gamma }}$. Da aber weiters ${\frac {a}{h}}$ der Sinus von Winkel $\delta$ ist, so ist ${\frac {h}{a}}=sin\ \delta$ und $h=a\cdot sin\ \delta$.

Also erhielten wir als Schlußformel

$h={\frac {c\cdot sind\ \alpha }{sin\ \gamma }}\cdot sind\ \delta$

Eine andere klassische Aufgabe der praktischen Trigonometrie besteht darin, die Entfernung zweier Punkte voneinander zu messen, die durch ein dazwischenliegendes Hindernis, etwa durch einen Wald, der Messung mit dem Meßband nicht zugänglich sind.

Um die Messung durchzuführen, suche man sich einen dritten Punkt C, von dem man sowohl die Kirche bei A als den Wegweiser bei B erblicken kann. Hierauf stelle man von C den Winkel $\gamma$ fest und messe die beiden Distanzen (Seiten) CB und CA mit dem Meßband.

Nach dem Tangenssatz ist ${\frac {a-b}{a+b}}=tg{\frac {\alpha -\beta }{2}}:tg{\frac {\alpha +\beta }{2}}$ folglich $tg{\frac {\alpha -\beta }{2}}={\frac {a-b}{a+b}}\cdot tg{\frac {\alpha +\beta }{2}}$. Das Bestimmungsstück ${\frac {\alpha +\beta }{2}}$ist aber gleich $90-{\frac {\gamma }{2}}$, da $\alpha +\beta =180-\gamma$. Nun muß aber weiter nach unserer Tabelle der Tangens von $(90-{\frac {\gamma }{2}})$ gleich sein mit dem $cot{\frac {\gamma }{2}}$, womit auch $tg{\frac {\alpha +\beta }{2}}$ gleich wird $cot{\frac {\gamma }{2}}$.

Die Gleichung ${\frac {\alpha +\beta }{2}}=90-{\frac {\gamma }{2}}$ verändert sich ja nicht, wenn ich beiderseits den Tangens einführe. Also $tg{\frac {\alpha +\beta }{2}}=tg\ (90-{\frac {\gamma }{2}})$.

Daraus folgt weiter, daß $tg{\frac {\alpha -\beta }{2}}={\frac {a-b}{a+b}}\cdot cot{\frac {\gamma }{2}}$. Da a, b und $\gamma$ bekannt sind und ${\frac {\alpha +\beta }{2}}=90-{\frac {\gamma }{2}}$ ebenfalls bekannt ist, so habe ich jetzt zwei neue Werte. Nämlich für ${\frac {\alpha +\beta }{2}}$ und für ${\frac {\alpha -\beta }{2}}$. Aus diesen beiden Größen ist aber sowohl $\alpha$ als $\beta$ errechenbar, an $\alpha ={\frac {\alpha +\beta }{2}}+{\frac {\alpha -\beta }{2}}$ und $\beta ={\frac {\alpha +\beta }{2}}-{\frac {\alpha -\beta }{2}}$. Da ich jetzt aber a, b, $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ kenne, darf ich sofort den Sinussatz anwenden und kann c entweder aus $a:c=sin\ \alpha :sin\gamma$ oder aus $b:s=sin\ \beta :sin\ \gamma$ als $c={\frac {a\cdot sin\ \gamma }{sin\ \alpha }}$ oder $c={\frac {b\cdot sin\ \gamma }{sin\ \beta }}$ gewinnen.

Man könnte bei bekanntem a, b und y natürlich auch nach dem Cosinussatz das c berechnen. c wäre ${\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\ cos\ \gamma }}$. Doch ist diese Formel schwer logarithmierbar und man zieht die scheinbar kompliziertere Berechnungsart, wie wir sie gaben, in der Praxis aus Logarithmierungs-Gründen vor.

Noch einfacher ist die Berechnung der Entfernung zwischen zwei Punkten, wenn ich nur zu einem dieser Punkte gelangen kann.

Wir wählen auf dem rechten Flußufer, auf dem wir uns befinden, einen Punkt C, messen die Entfernung CB (= a) bis zum Wasserturm und visieren die Windmühle (A) sowohl von C als von B an. Dadurch gewinnen wir die Seite a und die Winkel $\beta$, $\gamma$ und $\alpha$, welch letzterer gleich ist $180-(\beta +\gamma )$. Wir verwenden wieder den Sinussatz und schreiben $a:c=sin[180-(\beta +\gamma )]:sin\gamma$. Da aber nach der Tabelle $sin[180-(\beta +\gamma )]$ gleich sein muß $sin(\beta +\gamma )$, so erhalten wir als Schlußformel $c={\frac {a\cdot sind\ \gamma }{sind\ (\beta +\gamma )}}$.

Nun noch zum endgültigen Abschluß der ebenen Trigonometrie eine Winkelbestimmung. Wir stehen auf einem nicht allzuhohen Aussichtspunkt und sehen in gleicher Höhe mit uns zwei Städte, die voneinander, wie wir wissen, c Kilometer weit entfernt sind. Wir wissen weiters, daß unser Aussichtspunkt von der einen Stadt a Kilometer und von der anderen Stadt b Kilometer weit abliegt. Wir haben keinen Theodoliten zur Verfügung und wollen berechnen, in welchem Winkelraum von unserem Standpunkt aus die beiden Städte liegen.

Wir haben also a, b, c gegeben und wollen $\gamma$ suchen. Dies ist ein typischer Fall des Cosinus-Satzes. Denn $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2a\cdot b\cdot cos\ \gamma$, und $cos\ \gamma$ ist demnach gleich $cos\ \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2a\cdot b}}$, womit auch der Winkel $\gamma$ ohneweiters aus den trigonometrischen Tafeln zu ermitteln ist.

Man hat und dies als Schlußbemerkung - eine ganze Reihe von Formeln aufgestellt, die das Rechnen, speziell das Rechnen mit Logarithmen, erleichtern. Sie sind aber alle nichts anderes als mehr oder weniger unmittelbare Ableitungen aus den von uns aufgestellten Fundamental-Gleichungen, die zu einem ersten Verständnis der Trigonometrie vollauf genügen, und mit deren Hilfe ein findiger Rechner auch alle trigonometrischen Aufgaben, wenn auch manchmal auf Umwegen, lösen kann.

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