Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 208c

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Vom Punkt zur vierten Dimension. Geometrie für Jedermann.

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Achtes Kapitel

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Projektive Grundgebilde und der unendlich ferne Punkt

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Die projektive Geometrie bedient sich ausschließlich der sogenannten Grundgebilde, aus denen sie alles weitere aufbaut. Zuerst haben wir die Grundgebilde erster Stufe zu betrachten. Diese Grundgebilde erster Stufe sind:

a) Der Punkt oder das Strahlenbüschel. Schon hier fällt uns das „oder“ auf. Dieses „oder“, diese Zweiheit, ist eine der Eigentümlichkeiten der ganzen projektiven Geometrie. Ein Punkt kann nämlich sowohl als mögliches Ausgangszentrum von verschiedenen Strahlen als auch als Vereinigungs- oder Schnittpunkt von Strahlen betrachtet werden. Punkt und Strahlenbüschel sind im Ergebnis dasselbe. Sie sind nur entstehungsgemäß verschieden.

Den Punkt in dieser Betrachtungsart nennen wir S. Es kann auch geschehen, daß der Punkt unendlich weit entfernt liegt. Dann nehmen wir nur die von ihm ausgehenden Strahlen als parallele Gerade wahr. Schließlich definieren wir: Der Punkt oder das Strahlenbüschel ist der Inbegriff aller Strahlen der Ebene, die durch ein Zentrum gehen.

b) Das zweite Grundgebilde erster Stufe ist die Gerade oder die Punktreihe. Diese Punktreihe, die mit s bezeichnet wird, ist der Inbegriff aller Punkte einer Geraden. Als Träger der Punktreihe aber wird umgekehrt wieder die Gerade bezeichnet. Also wieder eine anscheinend im Kreis laufende Definition, die aber in Wahrheit nichts ist als eine wechselseitige Koppelung zweier nicht mehr weiter definitionsfähiger Anschauungstatsachen.

c) Als drittes Grundgebilde erster Stufe stellen wir die Ebene fest, die hier in der Bedeutung vorzustellen ist, die wir ihr bisher stets gaben.

d) Schließlich wird noch zu den Grundgebilden erster Stufe das sogenannte Ebenenbüschel gerechnet, das man sich etwa so vorzustellen hat, wie ein aus glatten Holzbrettchen zusammengefügtes Kindermühlenrad. Definiert wird es als Inbegriff aller Ebenen durch eine Gerade, wodurch man umgekehrt wieder einen anderen Begriff der Geraden als Schnittlinie beliebig vieler Ebenen gewinnen könnte.

Zu diesen Grundgebilden erster Stufe müssen wir noch eine wichtige Bemerkung anfügen. Beim Punkt oder Strahlenbüschel behaupteten wir, es wäre auch möglich, sich vorzustellen, daß der Schnittpunkt der Strahlen (Geraden) so weit entfernt liege, daß uns die Strahlen als Parallele erschienen. In einer gewissen Annäherung kennen wir diese Erscheinung von den Sonnenstrahlen. Stellen wir uns den „Punkt“ als den. Mittelpunkt der Sonne vor und machen wir weiters die sicherlich mögliche und gestattete Festsetzung, daß wir durch die Sonne eine Schnittebene legen.

Die Sonne wird nun in dieser Ebene nach allen Seiten Strahlen aussenden. Es handelt sich also hier um den typischen Fall eines Strahlenbüschels in einer Ebene. Nun träfe diese strahlende Ebene einen sehr weit von der Sonne entfernten Gegenstand, etwa die Erde. Man kann sich vorstellen, daß wir hier auf der Erde genau die Lage dieser strahlenden Ebene kennen und daß wir sie durch einen besonders dünnen Spalt eines sonst lichtdicht geschlossenen Fensters in ein verdunkeltes Zimmer eintreten lassen. Nun würde der Spalt in der Mitte überdeckt und wir würden untersuchen, wie sich die im oberen Teil eintretenden Strahlen lagemäßig zu den im unteren Teil eintretenden Strahlen verhalten. Genau genommen müßten die Strahlen auseinanderlaufen, divergieren, da sie, ja Strahlen eines Büschels sind und da sich die Sonne in einer endlichen, genau meßbaren Entfernung befindet. Wir werden-aber gleich wohl die Strahlen unbedingt für parallel ansehen, was jeder, der einmal den durchstrahlten Sonnenstaub betrachtet hat, bestätigen wird. Insbesondere wenn er Strahlen oder Strahlengruppen beobachtet hat, die durch die Brettchen eines Rouleaus getrennt waren.

Wenn es uns nun also - und in der Physik und Optik wird das so gehandhabt - schon erlaubt ist, Strahlen, die aus zwar großer aber vergleichsweise noch sehr greifbarer Entfernung kommen, praktisch als parallel anzusehen, obwohl sie Strahlen eines zentrischen Büschels sind, so kann man sich mit Fug und Recht diesen Gedanken bis zu den äußersten Folgerungen ausgesponnen denken. Wir können Fixsternentfernungen denken, darüber hinaus Spiralnebelentfernungen, zu denen sich die Entfernung der Sonne von der Erde verhält wie ein Mikromillimeter zum Erddurchmesser, und wir dürfen auch diese Entfernungen noch als Vergleichsweise klein und durchaus als endlich betrachten; wenn auch kein Meßinstrument der Gegenwart und Zukunft imstande wäre, den Parallelismus von Strahlen, die aus einem dort gelegenen Zentrum zu uns kommen, zu widerlegen. Wir sind aber theoretisch korrekt und fordern für wirkliche Parallelität der Strahlen eines Büschels die wirkliche Unendlichkeit der Entfernung des Zentrums, den sogenannten unendlich fernen Punkt.

Nun ergab sich aber schon für Poncelet die Frage, wo dieser unendlichferne Punkt liegt, wenn wir auf einem Blatt Papier zwei Parallele vor uns haben. Es wäre sehr naheliegend, zu behaupten, es gäbe zwei unendlichferne Punkte, und zwar müsse ich nur die Parallelen nach beiden Richtungen ins Unendliche verlängern.

Gut, wir könnten so etwas behaupten, denn es ist von vornherein nicht einzusehen, warum sich die Parallelen nach der einen Seite anders verhalten sollen als nach der anderen, wenn sie im endlichen Bereich wirklich und hundertprozentig parallel sind. Jede andere Annahme verletzt gleichsam unser Gefühl für Regelmäßigkeit und Symmetrie. Wir müssen uns aber jetzt erinnern, wovon wir ausgegangen sind. Wir wollten doch behaupten, daß wir Parallele ansehen könnten, als ob sie Strahlen eines unendlich fernen Strahlungszentrums wären. Wir würden also diesen Gedanken, von dem wir begannen, sofort aufgeben müssen. Denn daß zwei Parallele Strahlen zweier unendlich ferner Strahlungsmittelpunkte seien. ist ein sehr verwickelter und mit allerlei Voraussetzungen belasteter Gedanke der uns den Begriff unserer Grundgebilde vollständig verwischt, wenn nicht gar über den Haufen wirft. Aber noch eine zweite Schwierigkeit taucht auf. Wir können nicht gut die wichtigste Eigenschaft einer Geraden, daß sie nämlich durch zwei Punkte eindeutig bestimmt sei, schlankweg aufgeben. Wenn wir aber zwei unendlichferne Punkte behaupten würden, dann wäre jede der beiden Parallelen eindeutig nur durch die beiden unendlichfernen Punkte U₁ und U₂ und durch einen dritten Punkt im Endlichen, den wir A oder B nennen wollen, bestimmt: *Also eine derart ins Gewicht fallende Schwierigkeit, daß wir unsere ganze Geometrie zuliebe dieser Zweiheit unendlichferner Punkte umstellen müßten.

Wir halten deshalb an der Vorstellung fest, daß parallele Gerade nichts anderes seien als Strahlen aus einem unendlichfernen Strahlungsmittelpunkt. Diese Annahme ist zudem sehr naturgemäß, da wir ja eine der Annahme im höchsten Maße angenäherte Wirklichkeit bei den Sonnenstrahlen gesehen haben. Und es würde sicherlich niemandem einfallen, zu behaupten, daß die parallel eintretenden Sonnenstrahlen von zwei Sonnen, herrührten.

Wir können vorläufig die ganze Tragweite unserer neuen Festsetzung des unendlichfernen Punktes noch nicht überblicken. Wir stellen nur fest, daß wir durch sie zwei Dinge gewonnen haben. Erstens sind wir in unserer projektiven Geometrie die uns schon mehrmals äußerst lästigen Parallelen überhaupt gleichsam losgeworden. Es gibt für uns nur mehr zwei Arten von Geraden: Solche, die sich schneiden, und solche, die sich nicht schneiden. Zu den sich nichtschneidenden Geraden zählen aber die Parallelen durchaus nicht mehr. Denn sie schneiden sich ja im unendlichfernen Punkt. Nichtschneidende Gerade sind die einander kreuzenden oder windschiefen Geraden, wie wir vorgreifend bemerken. Natürlich ist dieses „Kreuzen“ in der Ebene unmöglich. Dazu müssen wir den R₃ heranziehen, wie man im Bilde deutlich sieht.

Also noch einmal: In der Ebene schneiden einander alle Geraden, wenn man sie nur beliebig weit verlängert. Auch die Parallelen. Und daher ist jede Gerade gleichsam Angehörige eines möglichen Strahlenbüschels und darf als solche behandelt werden. Aber auch der Satz, daß eine Gerade durch zwei Punkte eindeutig bestimmt ist, bleibt unbedingt erhalten. Denn in dieser Betrachtungsweise ist jede Gerade durch irgendeinen ihrer Punkte und durch ihre Richtung bestimmt. Richtung heißt aber, in die Sprache der projektiven Geometrie zurückübersetzt, nichts anderes als gedachte oder verwirklichte Verbindung mit einem endlich oder unendlich fernen Strahlungsmittelpunkt.

Wir wollen uns jetzt mit den Grundgebilden zweiter Stufe befassen, die zum synthetischen Aufbau der projektiven Geometrie verwendet werden. Es sind dies:

a) Das sogenannte „ebene Feld“. Dieses ebene Feld ist nun nichts anderes als der Inbegriff aller Punkte und Geraden einer Ebene. Symbolisch wird das ebene Feld gewöhnlich mit dem kleinen griechischen Buchstaben η (Eta) oder mit einem anderen kleinen, griechischen Buchstaben bezeichnet.

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Zur Erleichterung sei hier das griechische Alphabet angefügt:

A, α Alpha a	---	Ι, ι Jota i	---	Ρ, ρ Rho rh
B, β Beta b	---	Κ, κ Kappa k	---	Σ, σ Sigma s
Γ, γ Gamma g	---	Λ, λ Lambda l	---	Τ, τ Tau t
Δ, δ Delta d	---	Μ, μ My m	---	Υ, υ Ypsilon y
Ε, ε Epsilon e	---	Ν, ν Ny n	---	Φ, φ Phi ph
Ζ, ζ Zeta z	---	Ξ, ξ Xi x	---	Χ, χ Chi ch
Η, η Eta ē	---	Ο, ο Omikron o	---	Ψ, ψ Psi ps
Θ, θ Theta th	---	Π, π Pi p	---	Ω, ω Omega ō

Dazu wird bemerkt, daß wir später nicht bloß Ebenen, sondern auch Winkel mit kleinen griechischen Buchstaben bezeichnen werden.

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b) Das zentrische Bündel, das der Inbegriff aller Geraden und Ebenen des Raumes ist, die durch einen Punkt gehen. Man hat sich also unter einem zentrischen Bündel etwa alle Strahlen vorzustellen, die von der Sonne nach allen Seiten (diesmal nicht bloß in einer Schnittebene) ausgestrahlt werden. Banal gesprochen, ist das zentrische Bündel ein zusammengerollter Igel, dessen Stacheln die Strahlen sind. Es kann aber natürlich auch unter kleinerem „Öffnungswinkel“ seine Strahlen aussenden. So ist etwa ein Punkt in der Ebene, der bloß nach oben strahlt, dessen Strahlen also gleichsam eine Halbkugel dicht oder weniger dicht erfüllen, ebenfalls ein zentrisches Bündel. Weiters, wenn wir den „Öffnungswinkel“ noch mehr verengen, überhaupt jeder Strahlenkegel, etwa der Strahlenkegel, der ins Auge oder in den photographischen Apparat tritt, oder der Strahlenkegel, den ein Scheinwerfer oder eine Taschenlampe aussendet. Damit ist aber der Begriff des zentrischen Bündels noch nicht erschöpft. Das zentrische Bündel, dessen konventionelle Bezeichnung Z ist, liegt auch dann vor, wenn Ebenen durch einen Punkt gehen. Jede nach unten offene und beliebig verlängerbare Pyramide beliebiger Flächenanzahl ist also auch ein zentrisches Bündel. Ebenso eine Vielzahl von Ebenen, die durch einen Punkt gehen, wie etwa das, was man in der analytischen Geometrie als „räumliches Koordinatensystem“ bezeichnet und das man sich etwa vorstellen kann als acht zu je vier in zwei Stockwerken übereinanderliegende, allerdings auf mehreren Seiten offene Zimmer. Oder als Schnitt dreier Ebenen in einem Punkt und dergleichen.

Schließlich hätten wir, bevor wir uns unsere ganzen Grundgebilde noch einmal schematisch zusammenstellen, noch das Grundgebilde dritter Stufe zu erwähnen, das man als das „räumliche System“ bezeichnet. Darunter versteht man den Inbegriff aller Punkte, Geraden und Ebenen des Raumes, also die Gesamtheit sämtlicher im R, möglicher und vorkommender Grundgebilde.

Wir haben nunmehr alle Bausteine beisammen, um die ganze Geometrie nach der projektiven Methode in synthetischer Art aufbauen zu können. Bevor wir aber weitergehen, stellen wir uns jetzt die projektiven Grundgebilde ohne weitere Erläuterung noch einmal zusammen:

A. Grundgebilde erster Stufe oder Elemente:

a) Punkt oder Strahlenbüschel.

b) Gerade oder Punktreihe.

c) Ebene.

B. Grundgebilde zweiter Stufe:

a) Das ebene Feld.

b) Das zentrische Bündel.

C. Grundgebilde dritter Stufe:

a) Das räumliche System.

Anfängern macht die Unterscheidung des Bündels und des Büschels oft Schwierigkeiten, das heißt, diese Bezeichnungen geben zu Verwechslungen Anlaß. Es ist dies bis' zu einem gewissen Grad verständlich. Denn im gewöhnlichen Sprachgebrauch sind Bündel und Büschel beides räumliche Gebilde. Daher wollen wir uns eine Gedächtniskrücke zimmern. Das Bündel, so merken wir uns in Anlehnung an ein Bündel Stroh oder einen Bund Spargel, ist das räumliche Gebilde. Zusammenbinden kann man nur körperliche Dinge. Das andere, das Büschel, ist dagegen ein ebenes Gebilde. Wir prägen uns, da andere Gedächtnishilfen nicht zu finden sind, ein, daß wir etwa ein Haarbüschel glatt auf eine Ebene, ein Blatt Papier ausbreiten. Nach kurzem Gebrauch werden wir ja ohnedies solcher primitiver Gedächtnishilfen entraten können, und es wird uns nicht einfallen, das Büsche] als ein räumliches Gebilde zu betrachten.

Nachdem wir nun die Grundgebilde der projektiven Geometrie oder der Geometrie der Lage besprochen haben, wollen wir uns einige Grundbegriffe einprägen, die für den weiteren Aufbau notwendig sind. Zuerst folgt aus dem Namen, daß diese Art von Geometrie etwas mit Projektion zu tun hat. Das lateinische Wort projicere entspricht etwa unserem Wort „entwerfen“, „hinwerfen“. Wir dürften es aber auch, um seine Bedeutung vollkommen richtig wiederzugeben, mit Abbildung übersetzen. Jeder weiß, was eine Laterna magica oder was ein Kinovorführungsapparat ist. Diese beiden Apparate nennt man auch „Projektions“apparate. Sie entwerfen ein Bild auf die Wand oder werfen dieses Bild auf die weiße Fläche. Projektion ist also „werfendes Abbilden“ und das Abbild, die Projektion, kann man auch als den „Schnitt“ des Projektionskegels bezeichnen. Man kann auch jeden Punkt oder jedes Stückchen der Projektion als den Schnitt des betreffenden Lichtstrahles oder des Strahlenbündels benennen. Dabei möchten wir ganz allgemein darauf aufmerksam machen, daß unsere Sprache sehr oft. dadurch ungenau ist, daß sie den erzeugenden Vorgang und das erzeugte Ergebnis mit dem gleichen Wort bezeichnet. So versteht man etwa unter Wurf sowohl die Tätigkeit des Werfens als das Ergebnis des Werfens. Man sagt, es sei ein großer Wurf, also das Ergebnis des Werfens, gelungen. Man spricht auch vom Wurf, wenn es sich um die schon vorhandene Nachkommenschaft eines Säugetieres, etwa eines Schweines oder Hundes handelt, obwohl man präziser „das Geworfene“ sagen müßte. Ebenso ist es hier. Auch ,hier wird gleichsam die statische und die dynamische Bedeutung des Wortes Projektion nicht streng voneinander getrennt, und man nennt Projektion sowohl die Tätigkeit des Abbildens als das fertige Abbild. Daher ist das Wort Abbild eigentlich bedeutend eindeutiger. Denn darunter kann man niemals die Tätigkeit, sondern stets nur das vollendete Ergebnis verstehen. Ebenso ist es bei einem zweiten wichtigen Grundbegriff der projektiven Geometrie, beim sogenannten Schnitt. Wir bringen zwei Gerade oder zwei Ebenen zum Schnitt, zur Durchdringung, zur Durchschneidung. Schnitt ist aber auch wieder die schon erfolgte Durchdringung. Etwa, wenn wir sagen, daß der Schnitt zweier Geraden stets einen Punkt als Ergebnis liefere. Nun hätten wir nur noch einen Grundbegriff, nämlich die Inzidenz zu erörtern. Wir werden dann alle Grundbegriffe durch entsprechende Beispiele illustrieren. Also Inzidenz heißt (vom lat. incidere) eigentlich der Zusammenfall, das Zusammenfallen, Zusammentreffen. Und man spricht von Inzidenz in folgenden, aus der reinen Anschauung ohneweiters vorstellbaren Fällen. Inzidenz liegt z. B. vor, oder inzident sind zwei Gebilde, wenn

a) bei einem Punkt und einer Geraden der Punkt auf der Geraden liegt.

b) Bei Punkt und Ebene, wenn der Punkt in der Ebene liegt.

c) Bei einer Geraden und einer anderen Geraden, wenn sie einander schneiden.

d) Bei einer Geraden und einer Ebene, wenn die Gerade in der Ebene liegt.

Damit hätten wir die wichtigsten Fälle der Inzidenz erschöpft. Wenn zwei Gerade nicht inzident sind, dann sind sie gekreuzt oder windschief, was man auch umgekehrt ausdrücken kann. Nämlich: Windschiefe oder einander kreuzende Gerade sind nicht inzident.

Somit wären die zum Aufbau der Geometrie der Lage notwendigen Grundgebilde und Grundbegriffe erörtert. Wenn wir näher zusehen, werden wir zu unserer Überraschung finden, daß an elementaren Begriffen überhaupt nur folgende verwendet werden müssen: Punkt, Gerade, Ebene, Inzidenz, Getrenntsein. Alle übrigen Begriffe lassen sich aus diesen Begriffen herleiten. So etwa sämtliche sogenannten graphischen und deskriptiven Eigenschaften der Figuren, die nichts anderes sind als Beziehungen zwischen den Elementen der Figuren. Zur Angabe dieser Beziehungen wird aber, wie wir sehen werden, niemals etwas anderes notwendig sein als die oben erwähnten Begriffe. Daraus folgt auch für die zeichnerische Darstellung eine geradezu ungeheuer wichtige Konsequenz. Da wir projektiv alle Arten von Figuren aus obigen Elementen gewinnen können, ist zum Zeichnen~-nichts anderes notwendig als die Zeichenebene und höchstens noch ein Lineal zum Ziehen der Geraden. Alles Weitere muß nach unserer Ankündigung überflüssig sein. Man hat deshalb auch die Geometrie der Lage, bzw. ihre zeichnerischen Folgewirkungen schon mehrfach als die Konstruktionsmethode oder Zeichenkunst „ohne Zirkel“ oder als die Zeichenkunst „nur mit dem Lineal“ benannt.

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