Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 209c

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Vom Punkt zur vierten Dimension. Geometrie für Jedermann.

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Neuntes Kapitel

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Das Dualitätsprinzip

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Nun wollen wir uns wieder in das Jahr 1812 nach Saratow an die Wolga zurückversetzen. Der uns schon bekannte Genieoffizier Poncelet hatte dieses Saratow als Kriegsgefangener eben unter den furchtbarsten Entbehrungen erreicht. Es war ja jener selbst für Rußland ungewöhnlich harte Winter, der dem großen Napoleon zum Verderben geworden war; ein Winter, in dem nach der Aussage Poncelets sogar das Quecksilber im Thermometer einfror. Poncelet war von all den Strapazen schwer erkrankt. Sein Geist aber war bewunderungswürdigerweise ungebrochen. Und von den wenigen Kopeken, die ihm zu seiner Verpflegung zur Verfügung standen, schaffte er sich grobes Papier an, während er sich die Tinte der Ersparnis halber - wahrscheinlich aus Ofenruß - selbst erzeugte. Mit diesen erschütternd großartigen Hilfsmitteln nun bearbeitete und entdeckte er, wie wir schon an früherer Stelle erwähnten, die projektive Geometrie. Und innerhalb dieser Geometrie ein Gesetz oder Prinzip, das sowohl in seiner Einfachheit als Fruchtbarkeit den Vergleich mit allen anderen Großtaten der Mathematik aushält. Es wurde durch Poncelet im Jahre 1822 und durch Gergonne unabhängig davon im Jahre 1826 veröffentlicht. Und heißt seither das Dualitätsprinzip oder das Gesetz der Dualität oder das Reziprozitätsprinzip. Verdeutschen könnte man den,Namen etwa mit „Gesetz gegenseitiger Beziehung“ oder „Zweiheitsprinzip“ oder „Gegenseitigkeitsprinzip“ oder „Wechselseitigkeitsgesetz“ oder dergleichen.

Unserer schon oft gehandhabten Methode gemäß werden wir es zuerst an einem Einzelfall darstellen, der uns zugleich in zwei der wichtigsten Sätze der Geometrie einführt. Zuerst aber noch eine kleine Vorbemerkung. Wir haben früher von Projektion und Schnitt gesprochen oder von Schein und Schnitt, was dasselbe ist. Wir haben dabei den Begriff der Projektion» zu erläutern versucht. Wir fügen noch bei, daß man rein zeichnerisch unter Projektion eigentlich nichts anderes versteht als eine gewissen Regeln folgende „Verbindung“ durch Gerade, durch die sogenannten Projektionsstrahlen. Hier ist das Wort Projektion dynamisch, also als die Tätigkeit des Projizierens aufzufassen. Nun beruht das Dualitätsprinzip im Tiefsten auf nichts anderem als auf der naturgemäßen Doppelseitigkeit des Projektionsvorganges, den wir schon erwähnten. Die Vertauschung der Begriffe Schnitt und Schein (Projektion) erzeugt also eine Art von Wechselseitigkeit, Zweiseitigkeit, Reziprozität oder Dualität. Wir werden dies an einem der einfachsten Fälle zeigen.

Wir sehen in unserer Figur die Punktreihe s mit den Punkten A, B, C, D als „Schnitt“ des Strahlenbüschels S, das aus den die Punkte auf der Geraden s erzeugenden Strahlen a, b, c, d besteht. Wir dürften aber mit demselben Recht sagen, daß das Strahlenbüschel der „Schein“ der Punktreihe ist. Wenn wir also die Begriffe Schnitt und Schein vertauschen, dann vertauschen sich automatisch die Begriffe Punktreihe und Strahlenbüschel. Dieses Beispiel gibt uns aber noch durchaus keinen richtigen Vorgeschmack von der wahren Großartigkeit des Dualitätsprinzips. Wir wollen daher, wie schon angekündigt, ein weit aufschlußreicheres und verblüffenderes Beispiel bringen, das auch in der Geschichte der Mathematik einen auffallenden Platz einnimmt. Der große Mathematiker Blaise Pascal veröffentlichte als Sechzehnjähriger im Jahre 1640 seinen berühmten sogenannten „Sechsecksatz“ über die Kegelschnitte, von dem wir einen besonderen Fall gleich zu sehen bekommen werden. Hätte Pascal das Dualitätsprinzip gekannt, dann hätte er auch sofort den zu seinem Satz dualen Satz aussprechen können, ohne weiter nachdenken zu müssen. So aber dauerte es volle 166 Jahre, bis dieser duale Satz, der Satz von Brianchon, im Jahre 1806 entdeckt wurde.

Wir hätten zwei einander schneidende Gerade (wozu nach unseren Feststellungen über unendlichferne Punkte auch Parallele zu rechnen sind). Die Geraden heißen g₁ und g. Auf der Geraden g₁, liegen drei vollkommen willkürliche Punkte A₁, B₁ und C₁. Und auf der Geraden g die drei ebenfalls willkürlichen Punkte A, B und C. Nun „verbinden“ wir A mit B₁ und A₁ mit B und bringen diese beiden Verbindungslinien zum Schnitt. Es entsteht dadurch der Punkt C₃. Dann verbinden wir B mit C₁ und B₁ mit C, wodurch der Schnittpunkt A_s entsteht. Wenn wir schließlich noch C mit A₁ und C₁ mit A verbinden und aus diesen beiden Verbindungslinien den Schnittpunkt B_s gewinnen, dann werden wir zu unserer Überraschung bemerken, daß die drei gewonnenen Schnittpunkte A_s, B_s und C_s auf einer Geraden g_s liegen. Es sei hier beigefügt, daß bei der praktischen Durchführung solcher Aufgaben in einer Zeichnung eine gewisse Übersicht und Routine notwendig ist. Gewiß, der Satz muß unter allen Umständen gelten. Aber praktisch kann es vorkommen, wenn ich die Punkte ungeschickt wähle, daß mir zur Gewinnung der Schnittpunkte die Zeichenfläche nicht ausreicht und dadurch die Zeichnung höchst unübersichtlich wird. Dies hat man manchmal auch gegen die projektive Geometrie ins Treffen geführt und gesagt, diese Geometrie mache ruhig die Voraussetzung, daß jeder „Schnitt“ auch wirklich durchgeführt werden könne, wobei man unter „wirklich“ wohl die zeichnerische Möglichkeit zu verstehen hat. Wenn ich aber Linien ziehen muß, die etwa erst nach 150 Metern den erforderlichen Schnittpunkt liefern, kann ich solche Konstruktionen nicht gut für die Praxis brauchen.

Wir wollen uns aber jetzt durch diese an sich nicht unberechtigte Kritik nicht abschrecken lassen und auch unsere Bewunderung nicht verkleinern, wenn wir schon in den nächsten Minuten das Dualitätsprinzip gleichsam die Kluft von 166 Jahren werden überspringen sehen. Wir müssen zu diesem Behuf nur die Begriffe „verbinden“ und „schneiden“ und die Begriffe „Punkt“ und „Gerade“ vertauschen, um sofort den „dualen“ Satz zum Pascalschen Satz, den Satz von Brianchon, aussprechen zu können. Theoretisieren wir nicht lange, sondern machen wir einfach die praktische Probe. Unser neuer Satz müßte lauten: Wir haben zwei Punkte P₁ und P. Denn beim „Pascal“ hatten wir zwei Gerade g₁ und g. Die Geraden beim „Pascal“ „verbanden“ je drei „Punkte“ A, B, C bzw. A₁, B₁, C₁. Deshalb müssen wir jetzt die Worte Pascals in die Sprache Brianchons übersetzen. Also in unseren zwei „Punkten“ P₁ und P „schneiden“ sich je drei „Gerade“ a₁, b₁, c₁ und a, b, c. Nun müssen wir weiter forschen. Beim „Pascal“ haben wir die drei „Punkte“ „verbunden“. Also müssen wir beim „Brianchon“ die drei „Geraden“ paarweise zum „Schnitt“ bringen, und zwar nach demselben System, wie beim „Pascal“. Also a mit b₁, a₁ mit b, b mit c₁, b₁ mit c und schließlich c mit a₁ und c₁ mit a. Dadurch aber haben wir erst die duale Konstruktion zu den Verbindungslinien beim „Pascal“ durchgeführt. Was haben wir beim „Pascal“ weiter gemacht? Nun, wir haben „Verbindungsgerade“ zum „Schnitt“ gebracht. Was müssen wir also beim „Brianchon“ machen? Wohl „Schnittpunkte“ „verbinden“. Nun ergibt die Verbindung der Schnittpunkte der Geraden a mit b₁ und a₁ mit b die Gerade c_s. Die Schnittpunkte der Geraden b mit a₁ und b₁ mit c ergeben die Gerade a_s. Und die Schnittpunkte der Geraden c mit a₁ und c1 mit a liefern schließlich die Verbindungsgerade b_s. Wir haben also konsequent und streng dual, nur einem Spiel der Gedanken folgend, statt der drei „Schnittpunkte“ A_s, B_s und C_s des „Pascal“, drei „Verbindungsgerade“ a_s, b_c und c_s des „Brianchon“ gewonnen. Nun können wir die letzte Folgerung auf Grund des Dualitätsprinzips ziehen. Wenn nämlich beim „Pascal“ die drei „Schnittpunkte“ auf einer und derselben „Geraden“ liegen müssen, dann müssen wohl die drei „Verbindungsgeraden“ des „Brianchon“ durch einen und denselben „Schnittpunkt“ P_s gehen. Und in der Tat: Wir zeichnen die Figur und überzeugen uns mit staunen_den=Verwunderung von der unfehlbaren Sicherheit unserer neu gewonnenen Denkmaschine.

Nun ist dieses Dualitätsprinzip noch viel großartiger, als wir es in diesem Falle zeigen konnten. Denn nicht nur „Punkt“ und „Gerade“ sind einander in. der Ebene dual verkoppelt. Sondern unsere Zaubermaschine erstreckt sich noch viel weiter, wovon wir sofort einige Beispiele geben werden. So lautet etwa einer der Hauptsätze der Dualitätstheorie folgendermaßen: „Jede ebene Figur ist ein Schnitt einer zentrischen Figur und jede zentrische Figur ist der Schein einer ebenen Figur.“ Wir müssen diesen sehr präzise formulierten Satz ein wenig sinnfälliger machen. Er heißt nicht mehr und nicht weniger, als daß sich die Ebene und das Strahlenbündel gegenseitig „dual“ entsprechen. Das aber ist eine der Grundwahrheiten, der tiefsten Urgründe der ganzen Geometrie des Auges. Denn der Strahlenkegel unseres Auges (zentrisches Bündel) kommt gleichsam überall, wohin er trifft, zum „Schnitt“ mit einer Ebene, mit der auf eine Ebene bezogenen Welt. Und wenn ich jetzt die Richtung von dieser „Abbildwelt“, dieser „Schnittebene“ wieder zurück ins Auge wähle, dann ist der zentrische Strahlenkegel, das „Bündel“ eben nichts anderes als der „Schein“ dieser Welt, die Projektion der „Abbildwelt“ in mein Auge. Hinter dem Schnittpunkt der Sehstrahlen innerhalb des Auges aber spielt sich der „duale“ Vorgang noch einmal ab. Denn jetzt ist das Netzhautbild an der Rückwand des Auges der Schnitt mit dem Strahlenbündel und das Strahlenbündel selbst nichts als der Schein der Schnittpunkte.

Daher und nur aus diesem Grunde ist es möglich, auf jeder beliebigen Ebene gleichsam das Abbild der sichtbaren Welt herzustellen. Denn das Auge selbst „zeichnet“ oder „malt“ nach den Gesetzen der sogenannten Zentralperspektive, worunter man eine Art der Projektion versteht, bei der die Projektionsstrahlen alle einem zentrischen Bündel angehören. Daher stimmt auch weiters nur eine in sogenannter Zentralperspektive hergestellte Abbildung wirklich mit dem überein, was wir als Abbild der Welt durch unser Auge zu sehen gewohnt sind. Es ist also jede in sogenannter „Parallelperspektive“ hergestellte Figur mehr oder weniger unnatürlich. Und hier haben wir auch die Lösung des Rätsels, warum wir „in Wirklichkeit“ keine Parallelen sehen können. Denn die Zentralperspektive schließt die Parallelität aus. Streng genommen überhaupt. In der Praxis für jede größere Länge der Parallelen, wie sie etwa der Verlauf" der Kanten unseres Kirchturmes oder der Anblick eines Eisenbahngeleises, das sich in der Ferne verliert, darstellt. Nun sind wir es aber im Gegensatz zu dieser theoretischen Einschränkung in der Praxis gewohnt, alle technischen Pläne, Risse und schließlich auch den Großteil aller geometrischen Figuren in Parallelperspektive zu zeichnen. Das rührt davon her, daß wir unserer Vorstellung des Raumes rein parallelperspektivische Verhältnisse zugrunde legen und vom Standpunkt des Auges und von seinen projektiven Eigenschaften dabei vollständig absehen. Wir müssen uns aber stets klar darüber sein, daß wir dabei bewußt von einer anderen „Wirklichkeit“, nämlich von der Wirklichkeit des Schauens abstrahieren, diese Wirklichkeit dabei also vollständig ausschalten. Wozu noch etwas zweites kommt, das hier erwähnt sein möge: Bei geometrischen Figuren aller Art legen wir noch eine andere Annahme unter, die eigentlich nur aus der Erfahrung in unserer Welt geschöpft ist. Wir denken nämlich sämtliche geometrischen Figuren gleichsam als starre Körper. Wenn wir nicht Kugeln, Würfel, Dreiecke, Kegel, Pyramiden, Oktaeder und dergleichen aus Holz, Metall oder Stein herstellen könnten, wenn wir etwa Dreiecke und Quadrate nur aus nassem Löschpapier und Körper nur aus Streusand oder gar aus Flüssigkeiten formen könnten„würden wir unsere Art von Geometrie kaum erworben haben. Denn dann würde uns die Geradlinigkeit der Lichtstrahlen allein kaum zu einem solchen mächtigen Denkgebäude geführt haben. Diese von H. Poincaré und Hugo Dingler angestellten Erörterungen müssen uns nachdenklich stimmen. Sie dürfen aber anderseits wieder durchaus nicht als Beweis dafür gelten, daß Geometrie rein aus der „Erfahrung“ entstanden sei. Zwischen dem Entstehen von Begriffen und Anschauungen „aus“ der Erfahrung und „an Hand“ der Erfahrung ist ein mächtiger Unterschied, den schon der große Kant klargestellt hat. Wir sind also höchstens dazu berechtigt zu sagen, daß unsere Art, Geometrie zu treiben, sich unter dem Einfluß der Denkmöglichkeit und des tatsächlichen Vorhandenseins starrer Körper in unserer Welt gerade in dieser Form entwickelt habe, woraus auch sicher unsere vorwiegend parallelperspektivische, mit dem wirklichen Sehen nicht übereinstimmende Vorstellung des „wirklichen“ Raumes und seiner körperlichen Inhalte folgt.

Doch wir haben jetzt durch unsere Abschweifung die Untersuchung des Dualitätsprinzips in sträflicher Weise unterbrochen. Wir sagten, daß wir zur Gewinnung des Brianchonsatzes aus dem Pascalsatz eigentlich nichts anderes brauchten als die Dualität zwischen Punkt und Gerader. Natürlich hätten wir, da es sich ja bei der Dualität um eine umkehrbare, sogenannte eineindeutige Zuordnung handelt, auch den Pascalsatz mit demselben Rüstzeug aus dem Brianchonsatz ableiten können. In plastischer Art werden oft duale Sätze als „Spiegelsätze“ bezeichnet. Ein Satz ist gleichsam das Spiegel bild seines dual zugeordneten Satzes. Nur wäre es besser, dieses „Spiegeln“ nicht allzu wörtlich zu nehmen. Denn unser dualer Spiegel ist in gewissem Sinne ein Zerrspiegel. Er formt um und verkehrt die Grundgebilde ins Gegenteil. Man sollte also richtiger von „Zauberspiegelsätzen“ sprechen. Dazu noch ein Wort: Es ist selbstverständlich, oder besser, es sollte selbstverständlich sein, daß man den Lehrsatz, von dem man ausgeht, um den dazu dualen zu finden, bewiesen haben muß. Man darf sich nicht für einen Entdecker halten, wenn man zu irgendeiner ganz unbegründeten geometrischen Behauptung im Wege des Dualitätsprinzips das Zauberspiegelbild, den dualen Satz, aufstellt. Der Pascalsatz war bewiesen, folglich hätte Brianchon, wenn er das Dualitätsprinzip gekannt hätte, seinen Satz weder selbständig entdecken müssen, noch hätte er ihn irgendwie gesondert zu beweisen brauchen. Wir formulieren also vorläufig folgendes: Wenn ein Satz der projektiven Geometrie einmal stichhaltig und zureichend bewiesen ist, dann kann man mittels des Dualitätsprinzips nicht nur sofort den Zauberspiegelsatz, den dazu dualen Satz aussprechen, sondern man braucht ihn auch nicht mehr abgesondert zu beweisen. Vorausgesetzt, daß das Dualitätsprinzip richtig gehandhabt wurde, und daß alle Vertauschungen korrekt durchgeführt wurden. Dazu aber dient am besten eine klare und übersichtliche Schreibweise. Wir werden Punkte stets mit großen lateinischen, Gerade mit kleinen lateinischen und Ebenen mit kleinen griechischen Buchstaben bezeichnen. Wenn wir Entsprechungen (Homologien) markieren wollen, dann benützen wir am besten die Indizierung. Also etwa vier Punkte A, B, C, D der Geraden d entsprechen vier Punkten A₁, B₁, C₁, D₁ der Geraden g₁, vier Punkten A₇, B₇, C₇, D₇ der Geraden g₇ und etwa vier Punkten A_n, B_n, C_n, D_n der Geraden g_n. Durch ein solches Symbolsystem, durch eine solche Bezeichnungsart, sagt die Bezeichnung selbst allerlei über Zuordnung, Entsprechung und über das Wesen des Bezeichneten aus und wird dadurch leicht, da auch die Bezeichnung etwas gleichsam Figürliches enthält, auf der einen Seite als Anschauungshilfe, auf der anderen Seite als gelenkige selbsttätige Denkmaschine, als Algorithmus. Und gerade die projektive Geometrie mit ihrem Wirrsal von Schnittpunkten, Strahlenbüscheln und Entsprechungen hat durch diesen Algorithmus selbst für den Durchschnittsmenschen Erschließungsmöglichkeiten geschaffen, wo keine oder nur noch die genialste Anschauungskraft hingelangen könnte. Sie bildet aber dadurch umgekehrt auch wieder die räumliche Vorstellungskraft in hohem Maße aus, was jeder, der uns bisher gefolgt ist, bald aus eigener Erfahrung wird bestätigen können. Nur hielte ich es pädagogisch für sehr erwünscht, wenn mein Leser nicht nur die Figuren im Buche betrachten, sondern sie, womöglich in anderem Maßstabe, selbst zeichnen würde. Das Interessante und im fertigen Bilde nicht Wiederzugebende ist bei der projektiven Geometrie die Entstehung der Zeichnung. Projizieren und Schneiden aber sind Tätigkeiten nicht bloß Ergebnisse. Und um ganz tief in das Wesen dieser .Art der Geometrie einzudringen, soll man sich am besten zuerst. die Reihenfolge der Tätigkeiten in der von uns erwähnten Schreibweise mit Buchstaben notieren, worauf man dann an Hand dieser „Gebrauchsanweisung“ die Zeichnung anfertigen kann. Dabei wird man auch auf die von uns schon erwähnten Marotten und Widerstände von Geraden stoßen, die sich erst in der nächsten Gasse wirklich schneiden wollen. Durch diese Schwierigkeiten aber wird man nur zulernen und die Vorstellungskraft neuerlich betätigen und üben. Dies ist um so notwendiger, als es seit einigen Jahrzehnten in der höchsten Wissenschaft Mode geworden ist, dicke Bücher über Geometrie zu schreiben, in denen nicht eine einzige Zeichnung vorkommt. Wir verkennen nicht, daß in solchem Beginnen eine Art sportlichen Reizes liegt. Und daß es weiters eben eine schon vorhandene riesenhafte Vorstellungskraft voraussetzt. Wir werden aber, soweit es sich um elementaren Unterricht handelt, diese Methode durchaus nicht mitmachen, sondern eher das Gegenteil anstreben, das jede bildliche Darstellung in der Geometrie als das Erste und die Erläuterung als das Zweite betrachtet.

Wir irren fortwährend vom Dualitätsprinzip ab. Der Leser darf jedoch damit getröstet sein, daß auch in diesem Abirren 'Methode liegt. Wir wollen nämlich nicht einen Wust von Dingen, Sätzen, Definitionen und Ratschlägen anhäufen, die wir infolge ihres mangelnden Zusammenhanges weder voll begreifen noch behalten können. Unsere Absicht ist es vielmehr, alles zwanglos an seiner Stelle zu besprechen, wenn dadurch auch der streng wissenschaftliche und synthetische Vorgang leidet. Wir sind gemeinsame Wanderer, wir pflücken die Blumen am Wege und sprechen unter blauem Himmel über ihren Bau, über ihre Stengel und Staubgefäße. Wenn wir zu Hause die ganze Botanik gebüffelt hätten, würden wir vielleicht am Wege einiges feststellen können, würden aber sehr oft danebengreifen, uns nicht mehr erinnern, und hätten vor allem wahrscheinlich weniger Interesse für die Eindrücke des Augenblickes.

Wie schon mehrfach angedeutet, besteht eine duale Beziehung durchaus nicht nur zwischen Punkt und Gerader. Auch nicht nur zwischen der Ebene und dem Bündel was wir bei der Untersuchung des Sehvorganges und der Abbildung behauptet haben. Um aber nicht ins Uferlose zu schweifen, werden wir uns jetzt die dualen Beziehungen schön systematisch zusammenstellen und uns dabei der Einteilung der Grundgebilde erinnern.

Es besteht also Dualität

A. Im Raum:

a) zwischen Punkt (Bündel) und Ebene (Feld),

b) zwischen Gerade (Ebenenbüschel) und Gerade (Punktreihe).

B. Im Feld:

a) zwischen Punkt (Büschel) und Gerade (Punktreihe).

C. Im Bündel:

a) zwischen Gerade (Ebenenbüschel) und Ebene (Strahlenbüschel).

Wenn wir nun, wie wir es beim „Pascal“ und „Brianchon“ schon praktisch handhabten, dazu noch stets die Begriffe „verbinden“ und „schneiden“ vertauschen, dann können wir schon bei den elementarsten Sätzen unsere neue Zaubermaschine handhaben und uns an ihrem wunderbaren Funktionieren erfreuen. Wir stellen im folgenden, wie es üblich ist, die dualen Sätze links und rechts auf der Seite »des Buches nebeneinander. Dabei bezeichnen wir die Sätze mit arabischen einfachen, die dualen mit gestrichenen Ziffern:

1. Eine Gerade ist die Verbindung zweier Punkte eines Feldes.	1'. Ein Punkt ist der Schnitt zweier Geraden des Feldes.
2. Eine Ebene ist die Verbindung zweier Geraden eines Bündels.	2'. Eine Gerade ist der Schnitt zweier Ebenen eines Bündels.
3. Eine Ebene ist die Verbindung dreier Punkte eines Baumes (Schusterstuhl !)	3'. Ein Punkt ist der Schnitt dreier Ebenen eines Raumes.
4. Eine Ebene ist die Verbindung eines Punktes und einer „Geraden des Raumes (die mit diesem Punkt nicht inzident ist).	4'. Ein Punkt ist der Schnitt einer Ebene und einer Geraden des Raumes (wobei die Gerade mit der Ebene nicht inzident ist).

Wir können schon aus diesen wenigen und vergleichsweise noch sehr primitiven Sätzen entnehmen, welche ungeheure Verbreiterungsmöglichkeit die Geometrie durch das Dualitätsprinzip gewonnen hat. Jeder bewiesene Satz trägt in sich sofort einen zweiten, und die dualen Beziehungen selbst vervielfältigen diese Menge noch im Raum, im Feld und im Bündel.

Nun wieder eine historische Reminiszenz, die für uns der Ausgangspunkt sein soll, neues Material für die Geometrie überhaupt, für die projektive Geometrie im besonderen und ganz speziell für das Dualitätsprinzip herbeizuschaffen. Etwa zur Zeit des großen Staatsmannes und Kardinals Richelieu, also in der ersten Hälfte des siebzehnten Jahrhunderts, lebte in Lyon der Sohn eines Notars namens Desargues. Dieser Mann war ein durchaus genialer Architekt und Geometriker, aber eine etwas exzentrische, wenn nicht sogar schrullenhafte Erscheinung. So ließ er, als das wahre Gegenteil eines für die Öffentlichkeit Geltungssüchtigen, seine Hauptwerke mit mikroskopisch kleinen Lettern auf lose Blätter drucken und verteilte sie nur an die allernächsten Freunde. Ja, noch mehr. Selbst diese stolze Zurückhaltung war ihm noch nicht genug. Er gebrauchte auch in diesen ohnehin fast unzugänglichen „Fliegenden Blättern" eine höchst unmathematische, der Botanik entlehnte Chiffernsprache, indem er stets nur von Wurzeln, Zweigen, Stämmen, Blüten und dergleichen sprach, wenn er geometrische Gebilde meinte. Seine Zeitgenossen hielten ihn mit subjektivem Recht für einen Schwärmer oder Narren. Nur ganz große Mathematiker wie Fermat und Pascal waren anderer Meinung über den Weisen von Lyon. Und sie hatten damit vollkommen recht. Denn Desargues war der eigentliche Begründer der projektiven Geometrie, und der heute allgemein nach ihm .benannte Satz hat für den Aufbau der neuen Geometrie eine so ungeheure Bedeutung, daß sie hinter der Wichtigkeit etwa des pythagoräischen Satzes sicher kaum zurücksteht. Wir sind darüber unterrichtet, daß Poncelet ,von der Existenz des Desargues gewußt hat. Ob er seine Lehren sehr genau kannte, steht dahin, da Poncelet es ausdrücklich beklagt, daß gerade das wichtigste Hauptwerk des Desargues verlorengegangen sei.

Nun wollte es aber der Zufall, daß ein anderer Mann, der nach Poncelet für den weiteren Ausbau der projektiven Geometrie Grundlegendes leistete, nämlich der große französische Geometriker Chasles, einmal bei einem Antiquar am Seine-Ufer in Paris umherstöberte. Und daß gerade dieser berufenste Fachmann und Mathematikhistoriker das verlorengegangene Hauptwerk des Desargues) somit im Jahre 1845 wieder auffand. Wir wissen also über Desargues heute besser Bescheid als die Mathematiker der zwischenliegenden zwei Jahrhunderte.

(Das Hauptwerk des Girard Desargues (1593-1662) hieß etwa: „Vorläufiger Entwurf zur Untersuchung dessen, was geschieht, wenn ein Kegel und eine Ebene einander begegnen.)

Der grundlegende Satz des Desargues, von dem wir sprachen und den wir in der Figur darstellen, lautet für die Ebene folgendermaßen:

„Wenn zwei ganz beliebige Dreiecke, deren Eckpunkte wir mit A₁, B₁, C₁. bzw. A₂, B₂ und C₂ bezeichnen, so liegen, daß die Verbindungsstrahlen entsprechender Eckpunkte (also A₁A₂, B₁B₂ und C₁C_{<2/sub>) sich in einem gemeinsamen Punkt S schneiden, dann liegen auch die drei Schnittpunkte der entsprechenden, genügend weit verlängerten Seiten der beiden Dreiecke auf einer und derselben Geraden.“}

So unscheinbar dieser Satz klingt und so wenig mysteriös er anmutet, so grundlegend ist er für die ganze Geometrie. Denn neben dem Pascalsatz kann nur aus ihm ein wirklich strenger Übergang von der Geometrie der Lage zur Maßgeometrie gefunden werden. was aber die wichtigste Voraussetzung für jede eigentlich aufbauende, synthetische Behandlung der Geometrie ist. Dabei gilt dieser Satz nicht bloß in der Ebene, sondern er hat zwei weitere Spielarten im Bündel und im Raum, mit denen wir uns jedoch nicht befassen wollen. Wir bemerken nur, daß der Satz des Desargues im Raum sowohl für die Perspektive als für die darstellende Geometrie von grundlegender Wichtigkeit ist.

Nun haben wir aber im Satz des Desargues einen Satz der projektiven Geometrie vor uns, für den das Dualitätsprinzip gelten muß. Wir wollen also mittels unseres Chiffernschlüssels versuchen, den zum Satz des Desargues dualen Satz zu bilden. Wir überlegen folgendermaßen: Wir hatten zwei Drei„ecke“, die wir nur dual durch Drei„seite“ ersetzen müssen, damit die Verbindungsgeraden durch_Schnittpunkte ersetzt sind.

Wenn ich nun durch die Schnittpunkte der zwei Dreiseite entsprechende Verbindungsgerade ziehe, müssen sich diese auf jeden Fall in einem einzigen Punkt, dem Punkt S, schneiden. Folglich lautet die duale Umkehrung des Satzes von Desargues:

„Wenn die Schnittpunkte homologer Seiten auf einer Geraden liegen, dann laufen die drei Verbindungslinien homologer Punkte stets durch, einen Punkt.“

Hier ist das Wirken des Dualitätsprinzips etwas weniger durchsichtig als bei den Sätzen von Pascal und Brianchon. Es mag daher zum Verständnis noch hinzugefügt werden, daß der Kernpunkt der Dualität hier in folgendem liegt: drei Gerade schneiden sich im Punkt S. Und drei Punkte liegen auf der Geraden g. Daher ändert sich die Figur nicht und es wird nur der Ausgangspunkt, gleichsam der Aufbau der Figur ein anderer. Beim Pascal dagegen hatten wir je drei Punkte auf zwei Geraden, wodurch dann infolge der dualen Umkehrung zwei Punkte, die durch je drei Gerade als Schnitt erzeugt wurden, entstanden. Durch die weiteren Operationen erhielten wir dann, wie schon gezeigt, als Endresultat beim Pascal drei Punkte, verbunden durch eine Gerade, und beim Brianchon einen Punkt als Schnitt dreier Geraden.

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