Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 207c

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Vom Punkt zur vierten Dimension. Geometrie für Jedermann.

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Siebentes Kapitel

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Projektive Geometrie

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Zu diesem Zweck machen wir einen gewaltigen Schritt vorwärts, den wir vorerst mit einem geschichtlichen Rückblick begleiten wollen: Es ist beinahe ein historisches Rätsel, daß die' perspektivische Betrachtung der Geometrie, besser die Untersuchung der ganzen Geometrie als perspektivische Angelegenheit, so spät einsetzte. Denn eine natürliche Geometrie, die das Beiwort „natürlich“ wirklich verdient, müßte stets perspektivische Züge tragen, wie wir dies bei der Betrachtung des Abbildungsvorganges im Auge gesehen haben. Aus begreiflichen Gründen haben sich Maler und Architekten, insbesondere in der Renaissance, mit perspektivischen Problemen befaßt und sowohl Leonardo da Vinci als Albrecht Dürer besaßen nachweisbar große Kenntnisse dessen, was wir heute als „darstellende“ oder „deskriptive“ Geometrie bezeichnen. Ich glaube aber, daß das historische Rätsel weniger rätselhaft wird, wenn wir: bedenken, daß sich Maler und Architekten infolge ihrer höheren intuitiven Fähigkeiten und infolge des Zwanges ihrer Beschäftigung mit Perspektive befassen konnten und mußten. Die andere Welt, auch die Welt gelehrter Geometriker, besaß weder einen sicheren Einblick in die Natur des Auges noch des Lichtes. In dieser Beziehung aber wurde der Weg erst durch die Fortschritte der Optik seit Galilei, Huygens und Newton und durch die Fortschritte der Anatomie und der Naturwissenschaften überhaupt im siebzehnten Jahrhundert frei. Es währte allerdings noch fast ein Jahrhundert, bis dieser Weg betreten wurde. Gaspard de Menge (1746 bis 1818), ein französischer Marineingenieur und Mathematiker, dessen wechselvolles Schicksal ihn unter anderem als Marineminister dazu bestimmte, das berüchtigte Todesurteil an Ludwig XVI. vollstrecken zu lassen, begründete im Jahre 1799 in aller Größe und Systematik die „darstellende Geometrie“. Seinem ebenso genialen Schüler Poncelet aber war es vorbehalten, einen noch größeren Schritt der Neubegründung der Geometrie zu tun. Als er nach dem Rückzug Napoleons aus Moskau im Jahre 1812 in russische Gefangenschaft geriet und aller wissenschaftlichen Hilfsmittel entblößt in Saratow an der Wolga schmachtete, legte er den Grund zur damals sogenannten „projektivischen“ Geometrie, die heute als projektive, neue oder als Geometrie der Lage bezeichnet wird und auch manchmal synthetische Geometrie heißt. Im Entdeckungsfieber glühend, kehrte Poncelet im Jahre 1814 aus Saratow nach Metz zurück. Seine Landsleute verkannten jedoch seine Leistung derart gründlich, daß die französische Akademie die Veröffentlichung seiner Arbeiten ablehnte, so daß er sie in Deutschland, in Grelles Journal erscheinen lassen mußte. Diese Tatsache aber wurde für die weitere Entwicklung der Geometrie schicksalhaft. Denn in Deutschland fiel die neue Entdeckung sogleich auf fruchtbaren Boden und sie wurde auch von deutschen Gelehrten und Forschern wie Staudt, Pasch und anderen auf ihre heutige beherrschende Höhe gebracht, wobei der Name Graßmann, der an Leibniz anknüpfte, nicht unerwähnt bleiben darf.

Was ist nun diese als große Entdeckung angekündigte projektive Geometrie? Wir müssen noch nachtragen, daß schon wichtige, allerdings isolierte Erkenntnisse dieser Art von Geometrie aus dem siebzehnten Jahrhundert, von Desargues und Pascal herrühren, auf die wir auch später zurückkommen Werden. Jetzt wollen wir die Historie verlassen und dem Beinamen dieser Geometrie gemäß, rein synthetisch, das heißt rein aufbauend, vom Einfachsten zum Höheren aufsteigend vorgehen. Wir verraten nur noch, daß es sich bei der projektiven Geometrie um eine reine Geometrie der Lage handelt. Und weiters um eine natürliche, also aus dem Auge abgeleitete Geometrie, deren Begriffe wir schon oft einschmuggelten und zwanglos verwendeten. Ich weise nur, um jede Verwirrung zu vermeiden, darauf hin, daß die projektive Geometrie sehr stark von all dem abweicht, was wir in der Schule als Geometrie lernten. Sie ist aber nicht etwa nur ein Teil oder eine Spielart der Geometrie, sondern eine der möglichen Arten, die Geometrie überhaupt zu untermauern. So hat auch etwa Pierre Boutroux richtig bemerkt, daß die ganze projektive Geometrie nichts anderes sei als eine Reaktion gegen die Vorherrschaft der durch die analytische Geometrie großgewordenen Maßgeometrie. Sie stelle bis zu einem gewissen Grad bloß eine Rückkehr zur altgriechischen klassischen Proportionengeometrie dar. Diese Bemerkung können wir aber vorläufig nur sehr unvollständig verstehen. Deshalb werden wir jetzt ohne weitere Überleitung den Sprung ins Geheimnis der projektiven Geometrie wagen.

Wir haben uns von den verschiedensten Seiten her bemüht, geometrische Grundbegriffe wie Dimension, Punkt, Gerade usw. zu definieren oder wenigstens zu erläutern. Wir werden auch all das, was wir dort lernten, nicht vergessen, sondern genau im Gedächtnis behalten. Nur wenden wir jetzt alles noch weiter vereinfacht und mit anderen Absichten an.

Noch eine allerletzte Vorbemerkung: Die projektive Geometrie hat ihre feststehende Sprache und ihre feststehende Bezeichnungsweise, von der wir unter keinen Umständen abweichen wollen. Ihre Stärke und ihr Erkenntniswert liegt zum guten Teil in dieser Sprache, die wir wohl oder übel erlernen müssen, um uns stets verständigen zu können. Der Gewinn wird aber sehr groß sein. Denn gerade die projektive Geometrie verschafft uns eine Art von Algorithmus oder selbsttätiger Denkmaschine, die uns in Gebieten, in denen unsere Vorstellungskraft versagt oder in die sie nicht mehr hinreicht, sicher und verhältnismäßig einfach führen kann.

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