Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 114c

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Geschichte der Mathematik (Teil 14)

Wir müssen nun, abgesehen von der speziellen Leistung des Apollonios, auf die wir, dem Charakter unsrer Epochengeschichte entsprechend, nicht näher eingehen können, erörtern, warum die Behandlung der Kegelschnittskurven an und für sich für die Mathematik von einer so weitreichenden Bedeutung ist, daß sie überhaupt als Epoche bezeichnet werden kann. Dazu aber müssen wir über Kurven im allgemeinen und über den Kegel im besonderen sprechen.

Dem oberﬂächlichen und über tiefere Zusammenhänge nicht aufgeklärten Betrachter wird es wohl einleuchten, daß man sich eingehend mit einer Kurve wie dem Kreis befaßt. Er ist schließlich gleichsam das Ideal der Regelmäßigkeit und ist außerdem in hundert Spielarten tief in der Natur verwurzelt. Insbesondere für Forscher, die überzeugt waren, daß sowohl alle Himmelskörper Kugelgestalt hätten und sich zudem noch in Kreisbahnen bewegten. Aber auch Technik und Architektur stießen bei jeder Gelegenheit auf Kreisfornien. Achsen, Räder, Schiffsmasten, Säulen, Sitzanordnungen von Theatern, um nur allereinfachste Tatsachen anzuführen. Dazu kam noch der Zirkel als solcher. Viel von dem, was praktisch ausgeführt werden sollte, wurde vorher gezeichnet. Und für die Zeichnung benutzte man Lineal und Zirkel, so daß durch diese Art des Konstruierens allein schon fast überall die Kreisform offen oder verdeckt auftreten mußte. Und es kann an dieser Stelle die Frage nicht unterdrückt werden, ob nicht noch heute sowohl die Konstruktionezeichnung als die spätere Ausführung durch kreisende Werkzeugmaschinen die Formgebung in der Technik wesentlich beeinflußt und viele darüber hinausreichende Formen unterdrückt oder übersehen läßt, die sowohl praktischer als wirksamer wären.

Das also ist klar. Warum aber setzte ein so heißes Bemühen ein, auch andre Kurven zu erforschen? War dies etwa nichts andres als geometrische Expansionslust hellenischer Mathematiker? Oder gibt es da tiefere Zusammenhänge? Wir antworten sofort, daß es mehrere derartige Zusammenhänge gibt, von denen wir einige schon aufgezeigt haben. In einer eigentümlich konvergenten Entwicklung trafen gerade bei Apollonios zwei rein mathematische Überlegungsreihen in der Lehre von den Kegelschnitten zusammen. Nämlich das Problem der Auflösung quadratischer Gleichungen, wie es sich seit Pythagoras als „geometrische Algebra“ durch die Methode der Flächenanlegung entwickelt hatte, und die Gruppe der drei „klassischen Probleme“, die zu ihrer Auflösung höhere als quadratische Gleichungen erforderlich machten, die man wieder seit der platonischen Schule durch den Schnitt mehrerer Kegelschnitte gewann und die in letzter Linie die Entdeckung der Kegelschnittskurven veranlaßt hatten. Dazu war aber noch die Lehre von den stetigen Proportionen und von den geometrischen Örtern getreten, in welch letzterer unausgesprochen eine vorläufig noch statische Auffassung des Funktionsbegriffes lag. Denn eine Kurve, die diesen oder jenen algebraischen Bedingungen entspricht, und umgekehrt wieder eine algebraische Bedingung, der jederzeit dieser oder jener geometrische Ort entsprechen muß, ist im Wesen nichts andres als eine Funktion und ihre Bildkurve, insbesondere dann, wenn man nur eine Größe als veränderlich ansieht und eine andre von ihr abhängen laßt.

Um nicht falsche Vorstellungen zu erwecken, sei betont, daß es noch einiger grundlegender Riesenschritte bedurfte, um das Bewußtsein dieser tiefen Zusammenhänge ins volle Licht der Klarheit zu stellen. Es ist aber unleugbar, daß das Werk des Apollonios all diese Dinge im Keim bereits enthielt und daß es tatsächlich eine Verbindung, Zuordnung oder Koordinierung zwischen Algebra und Geometrie durchführte, die sich allerdings deshalb nicht voll äußern konnte, weil die hellenische Algebra ebenfalls in Geometrie gehüllt war. Dadurch aber ergab sich der eigentümliche Zustand, daß zwischen der Algebra geometrischer Prägung und der eigentlichen Geometrie noch eine weitere Schicht rein geometrischer Beziehungen sich herausstellte, die oft zu überraschenden Entdeckungen führte. Es ist nämlich ein großer Unterschied zwischen der geometrischen Analysis der Gegenwart und der der Griechen. Wir Heutigen - das werden wir noch ausführlich erörtern -~ stellen in unsrer algebraischen Buchstabendarstellung symbolisch eine Funktion auf und gewinnen in der scheinbar weltenweit hiervon verschiedenen Form geometrischer Abbildung dazu das koordinierte Gebilde. Apollonios dagegen, um konkret zu sprechen, zeichnete eine Ellipse und verschmolz mit dieser Ellipse die algebraisch-geometrische Zeichnung der betreffenden Anlegungsaufgabe, wobei die erste Zeichnung Geometrie, die zweite aber Algebra bedeutete. Dadurch hatte er allerdings nicht die Vorteile des algebraischen Algorithmus, der algebraischen Denkmaschine, konnte aber anderseits das Geometrische des einen Gebildes mit dem Geometrischen des andern Gebildes zwanglos verbinden und dadurch neue Zusammenhänge gewinnen.

Nun ist diese Tatsache aber für die Kegelschnitte an und für sich nicht charakteristisch. Denn die gleiche Methode wäre, allerdings mit schwer überwindlichen Komplikationen, auch für höhere Kurven denkmöglich.

Worin also liegt das Hauptmoment, das gerade den Kegelschnitten ihren epochalen und bevorzugten Platz unter allen möglichen Kurven einräumt? Gut, wir wissen, daß sie gleichsam den ganzen Bereich der zweitgradigen Gleichungen abbildmäßig erschöpfen. Das hat Apollonios schon in seinen Definitionen dieser Kurven festgestellt. Wir fügen auch bei, daß sie viel später in ihrer kosmischen Bedeutung als Bahnen von Planeten und Kometen, als Rotationsform von Himmelskörpern und als Bahn des Wurfes schwerer Körper erkannt wurden. Das aber ist noch nicht alles. Die bisher noch unausgesprochene Hauptwichtigkeit der Kegelschnittskurven liegt tief im Sinnesapparat des Menschen selbst begründet. Die Erfahrungsmöglichkeit des Menschen ist vor allem durch sein Auge beeinflußt. Er ist ein Augengeschöpf ??? katexoohen ???. Und die Lichtstrahlen, die in das Auge eindringen oder nach der andern Richtung als Sehstrahlen das Auge verlassen, um die Welt des Auges zu konstituieren, also all das zu apperzipieren, was wir sehen, bilden nach den Gesetzen der Brechung und Strahlenvereinigung in einer bikonvexen Linse einen Kegel. Jedes Abbild der für uns nur durch diesen Strahlenkegel vermittelten optischen Wirklichkeit stellt sich für uns als ein Kegelschnitt dar, aller Perspektive und Projektion muß die Beziehung von Kegel und Schnittebene unentrinnbar zugrunde liegen. Und es ist keine Übertreibung, wenn unsre ganze sichtbare Welt als „Kegelschnittswelt“ bezeichnet wurde.

Die Ansätze solcher Erkenntnis, die uns erst im neunzehnten Jahrhundert durch die „neue“ oder „projektive“ Geometrie bis zu den letzten Konsequenzen vermittelt wurde, finden sich schon bei Apollonios von Perga, indem er bereits mit Strahlenbüscheln operiert und ihren Zusammenhang mit den Kegelschnitten erörtert.

Es ist also durchaus unangebracht, die Kegelschnittslehre des Apollonios als „Spezialuntersuchung“, die gleichsam nur nebensächliche Bedeutung oder artistischen Reiz hätte, abzutun. Gewiß, sie ist eine artistische, geradezu eine Virtuosenleistung. Dieses Werk ist auch die erste und bis zu ihrer Zeit umfassendste Spezialuntersuchung der Mathematik, soweit wir unterrichtet sind. Aber ihr Gegenstand ist darüber hinaus, wie wir darzulegen versuchten, von geradezu ungeheurer und einschneidender Wichtigkeit. Dies alles ganz abgesehen von den Folgen, die sich für die Entwicklung der Mathematik aus den methodischen Entdeckungen und Ahnungen des Apollonios ganz allgemein ergaben.

Noch ein sehr wichtiger Punkt darf nicht unberührt gelassen werden. Er betrifft die Erforschung der Asymptoten. Wie bekannt, sind Asymptoten in der Kegelschnittslehre die geraden Linien, die sich unter gewissen Bedingungen den beiden Asten der Hyperbel bis in die Unendlichkeit zunehmend nähern, ohne sie jedoch irgend einmal als Tangente zu berühren oder sie als Schnittlinie zu schneiden. Die bloße Existenz solcher Linien, ob sie nun erst durch Apollonios entdeckt wurden oder ob sie schon vor ihm bekannt waren, brachte neuerlich von zwei Seiten her das ganze Gebäude euklidischer Geisteskultur ins Schwanken. Erstens war damit der im Hellenentum so streng Verpönte und stets zurückgeschobene Begriff des Unendlichen wieder auf die Tagesordnung gekommen. Gut, man konnte auch hier beschönigend von „beliebiger“ Annäherung sprechen. Wo aber nahm diese beliebige Annäherung schließlich ihr Ende? Und es wurde dem Geometer erst so recht bewußt, daß die Parabel und die Hyperbel offene Kurven waren, die sich irgendwohin ins Grenzenlose verloren, von denen man also wohl an jeder beliebigen Stelle das Gesetz ihrer Gestalt, jedoch niemals die Gestalt selbst kannte. Es tauchte aber noch ein zweites gefährliches Bedenken auf. Und dieses Bedenken betraf das Postulat der Parallelen. Es hatte sich nämlich plötzlich zwischen die Linien, die einander schnitten und solche, die voneinander stets gleichen Abstand hielten, einander also nicht schnitten, eine dritte beunruhigende Gattung von Linien eingeschoben, die einander weder schnitten noch aber auch voneinander stets den gleichen Abstand hielten. In der euklidischen Fassung des Parallelenpostulats war das Charakteristikum für einen in Sicherheit zu erwartenden Schnitt zweier Linien ihre gegenseitige Annäherung, der gleichbleibende Abstand dagegen war die Bedingung des Nichtschneidens oder des Parallelismus. Durch die Asymptoten stellte es sich aber plötzlich heraus, daß auch bei Annäherung durchaus nicht unter allen Umständen irgendwann ein Schnittpunkt erfolgen mußte. Gut, man konnte einwenden, es handle sich bei Euklid um zwei Gerade, bei den Asymptoten dagegen um eine Kurve und um eine Gerade, die also recht wohl anderen Gesetzen folgen konnten als zwei Gerade. Aber es war trotzdem durch die Asymptoten eine schwere Beunruhigung eingetreten, die überhaupt durch weitere Jahrtausende gerade das Parallelenpostulat stets wieder zur Diskussion stellten sollte. Denn dieses Postulat - und hier liegt wieder ein sehr verborgener Zusammenhang - widerspricht irgendwie, ohne daß man sich gewöhnlich darüber Rechenschaft ablegt, dem Augenschein. Die Welt des Auges, die Kegelwelt, wie wir sie früher nannten, kennt keine Parallelen. Niemand, der durch Augen die Welt erfaßt, hat, so sonderbar das klingen mag, Parallelen in „Wirklichkeit“ gesehen. Parallele Gerade sind eine Forderung, eine Fiktion, aber keine optisch wahrnehmbare Tatsache. Gewiß, sie können real existieren, können durch Abstandsmessung geprüft und bestätigt werden, etwa, wie es möglich ist, ein Eisenbahngeleise bis in unendliche Fernen zu legen, wenn man unendliche Raume und Zeiten zur Verfügung hätte. Aber sie liegen außerhalb jeder Wahrnehmungsgrenze.

Apollonios von Pergä, der „große Geometer“, der Virtuose unter den althellenischen Meistern der Mathematik, mit dem das eigentliche Heldenzeitalter antiker Mathematik seinen Abschluß findet, hat also, jenseits dieser Virtuosität, mehr als nur ein grundlegendes Problem der Mathematik zur Diskussion gestellt. Und wenn er auch in gewissem Sinn innerhalb der griechischen Geometrie einen Schlußstein setzte, so wurde, wie die Zukunft der Entwicklung zeigte, dieser vermeintliche Schlußstein recht eigentlich wieder der Grundstein für späteren Höherbau.

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