Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 113c

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Geschichte der Mathematik (Teil 13)

Apollonios also knüpfte, wie wir sagten, mit einigen nebensächlichen Konzessionen an die große hellenisch-euklidische Tradition der Mathematik nicht nur äußerlich, sondern tiefinnerlich an und führte das Spezialgebiet der Kurven zweiter Ordnung oder der Kegelschnitte zu einer durch Jahrtausende nicht mehr übertroffenen Vollendung. Gewiß, die Kegelschnitte waren bereits innerhalb der platonischen Akademie als Hilfsmittel der Würfelverdopplung entdeckt worden und wurden auch bereits durch Euklid in einer uns verlorengegangenen Schrift behandelt. Doch zeigte die Tatsache, daß noch Archimedes die alten Bezeichnungen des Menaechmos (viertes vorchristliches Jahrhundert) verwendet, ganz deutlich, daß auch Euklid durchaus nicht auf der Höhe der Erkenntnisse des Apollonios gestanden haben kann. Menaechmos und mit ihm alle Nachfolger bis einschließlich Archimedes waren sich über das Zustandekommen und die Beziehungen der Kegelschnitte noch nicht ganz klar und definierten demgemäß die Parabel als einen Schnitt einer Ebene senkrecht zur Seitenlinie eines Kegels, dessen Seiten im Scheitel einen rechten Winkel bildeten. Ein in gleicher Art geführter Schnitt an einem stumpfwinkligen Kegel dagegen ergebe eine Hyperbel, an einem spitzwinkligen Kegel eine Ellipse. Dabei wurden die Ausdrücke Parabel, Hyperbel und Ellipse nicht gebraucht, sondern man sprach vom „Schnitt des rechtwinkligen Kegels“ usf.

Dies alles, obgleich man viele Eigenschaften der Kegelschnittlinien kannte und sogar schon zur Zeit Platons mechanische Vorrichtungen zur Erzeugung von solchen Kurven (insbesondere der Parabel) besaß. Es gab also Parabelzirkel und man wußte über manches Verhältnis innerhalb dieser Kurven genau Bescheid.

Apollonios verallgemeinert gleich am Beginn seines Buches die Lehre von den Kegelschnitten, soweit es damals überhaupt möglich war. Er laßt eine Gerade, die in einem fixen Punkt festgehalten wird und beliebig nach beiden Seiten verlängert werden kann, den Umfang eines Kreises entlang gleiten, bis sie wieder in ihre Ausgangslage zurückkehrt. Dadurch erzeugt er einen Rotationskegel, allenfalls sogar einen Doppelkegel, und zeigt nun sofort, daß sich vier Arten von Schnitten aus einem und demselben spitzwinkligen Kegel gewinnen lassen: der Kreis, die Ellipse, die Parabel und die Hyperbel. Die Art der Kurve hänge lediglich von der Neigung der Schnittebene zur Kegelseite ab. Damit ist die auch heute noch gültige Erzeugung der Kegelschnitte als Schnitte durch einen und denselben Kegel festgestellt. N un ist diese, man könnte sagen, sinnfällige Art der Kurvenerzeugung durchaus nicht die allein denkbare. Ganz unabhängig von einem wirklichen Kegel stehen hinter diesen Kurven verschiedene Erzeugungsmöglichkeiten als sogenannte geometrische Örter, die sich, rein planimetrisch, aus den Eigenschaften der erwähnten Kurven ergeben und die auf uralte Aufgaben der geometrischen Algebra bis zu Pythagoras zurückführen. Zum Verständnis des Begriffes „geometrischer Ort“ sei angemerkt, daß dieses Forschungsziel schon lange in der hellenischen Geometrie bekannt war und einen Inbegriff von Abständen oder Verhältnissen bedeutet. Die Auffassung eines Gebildes als „geometrischer Ort“ entspringt der eleatisch-statischen Betrachtungsweise. So ist etwa ein Kreis der „geometrische Ort“ aller Punkte, die von einem und demselben Punkt (dem Mittelpunkt) einen gleich großen Abstand haben. Und eine Winkelhalbierende ist der geometrische Ort aller Punkte, die jederzeit von beiden Schenkeln des Winkels gleich weit abstehen, usf.

Natürlich gibt es viel kompliziertere Bedingungen für geometrische Örter, wie wir es schon bei der archimedischen Spirale gezeigt haben, als wir mit Czwalina ihre Definition in euklidischer Sprache wiederzugeben versuchten. Damit sind wir so weit, ausführen zu können, daß die Kegelschnittskurven erst durch Apollonios ihre heutigen Namen erhielten und warum ihnen gerade diese Namen beigelegt wurden. Darüber hinaus aber werden wir zu erörtern haben, wieso man behaupten konnte, Apollonios von Pergä sei gleichsam der erste Entdecker der Koordinatengeometrie gewesen.

Zu diesem Zweck müssen wir auf die drei Arten der Flächenanlegung zurückgreifen, die schon dem Pythagoras bekannt gewesen bzw. von ihm entdeckt worden sein sollen. Die erste Aufgabe, die parabolische Flächenanlegung, verlangt, daß an die gegebene Strecke ${\overline {AB}}$ ein Rechteck so angelegt werde, daß sein Flächeninhalt einer gegebenen Fläche, etwa dem Quadrat über ${\overline {ED}}$, gleich ist. Es besteht also die Flächenbeziehung

${\overline {AB}}^{2}$ = ${\overline {AB}}$ · ${\overline {AD}}$.

Wenn wir nun Strecke ${\overline {AB}}$ als q bezeichnen und konstant halten, während wir ${\overline {ED}}$ sich beliebig verändern lassen, dann muß sich naturgemäß auch ${\overline {AD}}$ verändern, um unsrer eingangs aufgestellten Bedingung zu genügen.

Nennen wir nun die Strecke ${\overline {AD}}$ = x und ${\overline {DE}}$ = y, dann drückt sich unsre Bedingung als

y² = qx aus, was mit der heute gebräuchlichen „Scheitelgleichung“ einer Parabel bei rechtwinkligen Koordinaten genau übereinstimmt. Wir Heutigen setzen allerdings aus gewissen Gründen für q die Größe 2p, was aber am Wesen der Sache gar nichts ändert, da es sich dabei um eine konstante Größe handelt.

Fig. 3 und 4

Es sei aber schon an dieser Stelle, um jedes Mißverständnis auszuschließen, festgestellt, daß bei Apollonios durchaus nicht allgemeine Koordinaten gebraucht werden, die als Achsenkreuz oder als Bezugssystem, unabhängig von jeder Figur, vorhanden sind und in die dann später behufs analytischer Untersuchung Kurven hineingelegt werden. Apollonios geht vielmehr genau in entgegengesetzter Art vor. Bei ihm ist die Figur das Primäre, und bloß gewisse, innerhalb der Figur gelegene oder zumindest mit ihr in unlösbarem Zusammenhang stehende Hilfslinien ergeben, rein planimetrisch, gewisse Proportionen und die ganze Figur unterliegt gewissen Flächeneigenschaften. Als Ergebnis ist dann die Figur durch diese inneren Beziehungen definiert. Also noch einmal: Apollonios gebraucht durchaus keine Koordinaten im cartesischen Sinne, er definiert vielmehr die Kegelschnittkurven durch Flächenbeziehungen, wobei er die ausführlich durch Euklid behandelten Aufgaben der „Anlegung“ als identisch mit den Kegelschnitten erkennt. Dies war sein unvergängliches Verdienst. Denn es zeigt sich, daß der „geometrische Ort“, der dieser Definitionsbedingung entspricht, die Kurve also, die durch den Punkt E beschrieben Wird, in unserem ersten Fall eine Parabel ist, wenn ${\overline {DE}}$ von Null bis zu einem beliebigen Streckenlängenbetrag wächst.

Der Vollständigkeit halber zeigen wir noch die beiden anderen Flächenanlegungen. Wiederum ist eine Strecke ${\overline {A_{1}B_{1}}}$ und das Quadrat über ${\overline {E_{1}D_{1}}}$.

Dazu kommt noch eine gegebene Strecke ${\overline {A_{1}F_{1}}}$, die mit ${\overline {A_{1}B_{1}}}$ das Rechteck $A_{1}B_{1}G_{1}F_{1}$ bildet.

Es soll nun ein Rechteck $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ gefunden werden, das erst um ein dem Rechteck $A_{1}B_{1}G_{1}F_{1}$ ähnliches Rechteck $B_{1}O_{1}H_{1}J_{1}$ vermindert (elleipsis, defectus) werden muß, um ein dem Quadrat über ${\overline {D_{1}E_{1}}}$ flächengleiches Rechteck $A_{1}D_{1}H_{1}J_{1}$ zu liefern.

Da nun die Ähnlichkeit von

$B_{1}C_{1}H_{1}J_{1}$ mit $A_{1}F_{1}B_{1}G_{1}$

dadurch gegeben ist, daß Punkt $J_{1}$ auf der Diagonale ${\overline {B_{1}F_{1}}}$ liegt, so besteht die Proportion

${\overline {C_{1}J_{1}}}$ : ${\overline {B_{1}C_{1}}}$ = ${\overline {F_{1}G_{1}}}$ : ${\overline {B_{1}G_{1}}}$

daher ist

${\overline {C_{1}J_{1}}}$ = ${\frac {{\overline {B_{1}C_{1}}}\cdot {\overline {F_{1}G_{1}}}}{\overline {B_{1}G_{1}}}}$ = ${\frac {{\overline {A_{1}D_{1}}}\cdot {\overline {A_{1}B_{1}}}}{\overline {A_{1}F_{1}}}}$

Nach der Voraussetzung muß also sein

${\overline {E_{1}D_{1}}}^{2}$ = ${\overline {A_{1}B_{1}}}\cdot {\overline {A_{1}D_{1}}}$ - ${\overline {A_{1}D_{1}}}{\frac {{\overline {A_{1}D_{1}}}\cdot {\overline {A_{1}B_{1}}}}{\overline {A_{1}F_{1}}}}$

Wenn wir nun ${\overline {A_{1}B_{1}}}$ wieder mit q,

${\overline {A_{1}D_{1}}}$ mit x und

${\overline {D_{1}E_{1}}}$ mit y und schließlich

${\overline {A_{1}F_{1}}}$ mit s bezeichnen, dann ergibt sich

$y^{2}=qx-x\cdot {\frac {xq}{s}}$,

was sich für uns als Scheitelgleichung der Ellipse enthüllt.

Untersucht man endlich die als hyperbolische (überschießende) Flächenanlegung bekannte Aufgabe, bei der zu einem Rechteck $A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}$ ein diesem Rechteck ähnliches Stück $B_{2}C_{2}H_{2}J_{2}$ hinzugefügt (Hyperbole) werden muß, damit ein dem Quadrat ${\overline {E_{2}D_{2}}}^{2}$ flächengleiches Rechteck $A_{2}H_{2}J_{2}D_{2}$ entsteht, dann ändert sich gegenüber der vorhergegangenen Aufgabe nur das Vorzeichen und wir erhalten

${\overline {E_{2}D_{2}}}^{2}=A_{2}B_{2}\cdot A_{2}D_{2}+A_{2}D_{2}{\frac {A_{2}D_{2}\cdot A_{2}B_{2}}{A_{2}F_{2}}}$

Dieses „Überschießen“ (Hyperbole, excessus) ergibt die Definition der Hyperbel, wenn wir wieder unsere festen Linien durch variable Größen ersetzen und die konstanten Größen g und s nennen. Wir erhalten dann die Scheitelgleichung der Hyperbel als

$y^{2}=qx+x\cdot {\frac {xq}{s}}$

die wir, ebenso wie die Ellipsengleichung, durch geeignete Umformungen auf die uns heute geläufigen analytischen Funktionen für Ellipse und Hyperbel bringen können.

Diese Tat ist aber, wie erwähnt, bloß der Beginn der Untersuchung der Kegelschnitte durch Apollonios. Darüber hinaus findet er fast alle wichtigen Eigenschaften dieser Kurven, kennt bereits den zweiten Ast der Hyperbel (den „Gegenschnitt“), erforscht Durchmesser, Brennpunkte und Tangenten und weiß über den Schnitt mehrerer Kurven, über ihre Ähnlichkeit usf., genau Bescheid. Ja, er nimmt sogar gewisse Erkenntnisse der projektiven oder „neuen“ Geometrie vorweg, die eines der reifsten Geistesprodukte des neunzehnten Jahrhunderts ist.

Bei solcher Leistungsfülle kann es uns nicht in Erstaunen setzen, daß er auch die Asymptoten der Hyperbel kennt und ihre Eigenschaften erörtert. Bekanntlich sind Asymptoten gerade Linien, die sich einer andern Linie stets zunehmend nähern, ohne sie aber je zu berühren oder zu schneiden.

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