Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 100c

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Mathematik von A bis Z (Teil 37)

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Siebenunddreißigstes Kapitel

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Interpolation, Extrapolation, Schluß

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Nun stehen wir beim Aufsuchen von Logarithmen in den Tafeln oft vor dem Problem, Zwischenwerte berechnen zu müssen, da naturgemäß nicht alle Logarithmen aller unendlich vielen Zahlen der Zahlenlinie in den Tafeln enthalten sein können. Dieses Suchen von Zwischenwerten heißt in der Mathematik die „Interpolation“ (von interpolare = einschieben, einfügen).

Da dieser Begriff in der Mathematik und Physik, speziell in der mathematischen Statistik von ungeheuerer Bedeutung ist, wollen wir ihn kurz erläutern. Auf Näheres einzugehen, verbietet die Schwierigkeit des Problems, dessen Durchdringung förmlich eine Wissenschaft für sich bildet. Die Frage, was ein interpolierter Wert sei, läßt sich arithmetisch und geometrisch beantworten. Arithmetisch ist ein interpolierter Wert eine Zwischenzahl zwischen zwei uns bekannten Zahlen. Aber nicht eine Zwischenzahl schlechthin, sondern eine Zahl an einer bestimmten „Stelle“ des Zwischenraumes. Wäre etwa der Logarithmus von 1499 gleich 3,17580 und der Logarithmus von 1500 gleich 3,17609, dann könnte mich etwa der Logarithmus von 1499,5 interessieren, den ich in einer sogenannten „fünfstelligen“ Tafel nicht unmittelbar finde. Nach dem Hausverstand sage ich mir, daß 1499,5 genau in der Mitte zwischen 1499 und 1500 liegt, daß also auch der Logarithmus in der Mitte liegen dürfte. Es wäre also der Mittelwert zwischen 3,17580 und 3,17609, der, berechnet und bezüglich der letzten Stelle aufgerundet, den Logarithmus 3,17595 liefern würde. In ähnlicher Art könnte man an anderer Stelle „interpolieren“. Etwa für 1499,8 könnte man sich sagen, man müsse eben den „Zwischenraum“ zwischen den Logarithmen auch in Zehntel teilen und zum Logarithmus der kleineren Zahl dann acht solcher ZchnLcl addieren. Der Zwischenraum ist $3\cdot 17609-3\cdot 17580$, also 0,00029, wovon ein Zehntel 0,000029 beträgt. Acht solcher Zehntelzwischenräume ergeben 0,000232, folglich wäre der Logarithmus von 1499,8 gleich dem Logarithmus von 1499 plus acht Zehntelzwischenräumen, was $3\cdot 17580+0,000232$, also 3,17603 liefert.

In dieser Art erfolgt auch im allgemeinen die Interpolation in den Logarithmentafeln mittels der sogenannten P. P. (Partes proportionales, Proportionalteile), die nichts anderes sind als unsere Zwischenraumszehntel. Dabei ist allerdings etwas sehr Wesentliches vorausgesetzt, was durchaus nicht immer zuzutreffen braucht und bezüglich der Interpolation bei Logarithmen kleinerer Zahlen auch wirklich nicht zutrifft. Es wird nämlich bei dieser Art der proportionalen oder „linearen“ Interpolation angenommen, daß der ganze Zwischenraum zwischen den bekannten zwei Zahlen gleichmäßig proportionale Zustände beinhalte. Um dies aber voll deutlich zu machen, wollen wir die geometrische Deutung des Interpolationsbegriffs untersuchen. Analytisch setzen wir für die Zahlen, deren Zwischenwerte gesucht sind, Ordinaten (= Funktionswerte, Ypsilons oder abendländische, faustische Zahlen). Wir nennen Ordinaten, deren lückenlose Zwischenwerte uns noch nicht bekannt sind, „gestreute Ordinaten“. Im Augenblick, in dem uns die Kurvengleichung bekannt ist, gibt es keine unbekannte Ordinate mehr. Denn wir können ja für jede „Stelle“, die hier nichts anderes ist als das betreffende x oder der Abszissenwert, einsetzen und erhalten so die genaue Ordinate. Analytischgeometrisch läuft also das Interpolationsproblem auf nichts anderes hinaus, als daß wir zu „gestreuten Ordinaten“ irgendeine Kurvengleichung bestimmen sollen, die so geartet ist, daß alle unsere Ordinatenendpunkte gemäß dieser Gleichung in der Kurve liegen (Punkte der Kurve sind). Nun belehrt uns aber schon eine flüchtige Skizze, daß zwischen beliebigen Ordinatenendpunkten unendlich viele Kurven möglich sind, die alle Ordinatenendpunkte verbinden (s. Fig. 72).

Das Problem der Interpolation ist also an sich unlösbar, wenn man nicht gewisse Voraussetzungen macht. Diese werden wir jetzL erörtern. Nehmen wir an, wir hätten bloß zwischen zwei Punkten der noch unbekannten Kurve zu interpolieren (s. Fig. 73).

Wählen wir sogenannte lineare Interpolation, dann verbinden wir die zwei Punkte einfach durch eine Gerade. Wenn wir nun den Zwischenraum als Summe aller Zwischenraumsteile ansehen und $\textstyle \sum \Delta x$ nennen, dann ist der Zahlen- oder Ordinatenunterschied entsprechend $\textstyle \sum \Delta y$. Nun bilden wir Zwischenraumsteile $\Delta x$, die alle gleich sein sollen. Aus der Zeichnung ist ohne weiteres zu entnehmen, daß jedem $\Delta x$ ein $\Delta y$ entspricht. Alle $\Delta y$ aber sind unter der Voraussetzung gleich groß, daß auch die $\Delta x$ gleich groß sind. Es besteht also die Proportion $\textstyle \sum \Delta x:\sum \Delta y=\Delta x:\Delta y$, wobei $\Delta x$ gleich ist der Summe $\textstyle \sum \Delta x$ dividiert durch die Anzahl der Teilungen. Wurde also in n Teile geteilt, dann ist ${\tfrac {\sum \Delta x}{n}}=\Delta x$ und entsprechend ${\tfrac {\sum \Delta y}{n}}=\Delta y$. Diese Art des proportionalen Interpolierens ist aber nur dort statthaft, wo die „Kurve“ wirklich als Gerade betrachtet werden darf. Da unsere „lineare“ Methode bei den Logarithmen größerer Zahlen verwendet wird, müssen wir uns die Logarithmenkurve ansehen. Sie ist für höhere Zahlen zwar auch keine Gerade, ist einer Geraden aber so ähnlich, daß der Fehler, den wir durch lineare Interpolation machen, wirklich verschwindend ist.

Fig. 72

Fig. 73

Nun werden in der Praxis und Theorie der Statistik durchaus nicht nur lineare Interpolationen angewendet, sondern man kann auch voraussetzen oder fordern, daß die noch unbekannte Kurvengleichung, die durch alle gegebenen Punkte befriedigt werden soll, die Form eines Polynoms oder einer Parabel n-ter Ordnung aufweise. Die Gleichung würde also lauten:

$a_{1}x^{n}+a_{2}x^{n-1}+a_{3}x^{n-2}+\dots +$$a_{n-2}x^{2}+a_{n-1}x^{1}+a_{n}x^{0}=y$.

Um aus gegebenen Punkten solche Gleichungen zu finden, sind feine und geistreiche Methoden ausgebildet worden. Ebenso zur Beantwortung der Frage, wie in solchen Fällen auf Grund der einmal gefundenen Gleichung die Interpolation vorgenommen werden muß. Hier sind die Zuwächse von y durchaus nicht mehr proportional den Zwischenraumsteilen, sondern in viel verwickelterer Art von ihnen abhängig. Außerdem spielt es noch eine Rolle, ob die Punkte, die gegeben waren, in gleichen Abständen voneinander lagen oder nicht, ob sie, wie man sagt, äquidistant oder nicht äquidistant waren. Es gibt aber neben der „linearen“ und „parabolischen“ Interpolation noch andere viel schwierigere und feinere Arten der Interpolation, die wir nicht einmal andeuten. Und es gelingt, obwohl eigentlich unendlich viel Möglichkeiten der Interpolation offenstehen, das Problem also gänzlich unbestimmt ist, trotzdem für praktische und wissenschaftliche Zwecke oft sehr präzise Interpolationswerte zu finden.

Damit uns aber die Theorie nicht zu grau wird, wollen wir an praktischen Fällen den Zweck der Interpolation zeigen. In einem Lande fänden alle zehn Jahre Volkszählungen statt. Aus Geldmangel sei einmal ein Termin nicht eingehalten worden. Die Zählungen hätten also etwa 1870, 1880, 1890, 1900, 1910, 1930 stattgefunden und die Resultate $Z_{1},Z_{2},Z_{3},Z_{4},Z_{5},Z_{6}$ ergeben. Nun interessiert man sich für die Bevölkerungszahl des Jahres 1885 oder 1907 oder 1914 oder 1921. Ebenso für 1920, in welchem Jahre keine Zählung erfolgte. Wenn wir etwa von Krieg, Seuchen u. dgl. absehen, liegt hier ein Fall der Interpolation vor. Und zwar zum Teil eine Interpolation zwischen nicht äquidistante (nicht gleichweit voneinander abstehende) Ordinaten, da einer der Zwischenräume zwanzig Jahre beträgt. Außerdem könnte es uns interessieren, wie sich die Bevölkerungszahl vor 1870, etwa 1860 verhalten habe oder wie sie etwa im Jahre 1940 aussehen wird. Dieses Problem der Gewinnung von Werten (Ordinaten), die über unseren Bereich hinausgehen, heißt das Problem der „Extrapolation“. Es fragt im Wesen danach, wie sich eine Funktion, die wir aus Einzelordinaten gewinnen sollen, außerhalb des Bereiches dieser Ordinaten gestalten würde, wenn wir das Gesetz des Bereiches nach beiden Seiten über den Bereich hinaus ausdehnten.

Zweitens ein Beispiel aus der Astronomie: Es sei uns ein Stück einer Kometenbahn durch einzelne Standortsbeobachtungen bekannt. Wir hätten aber die Bahnkurve noch nicht bestimmen können, da nur wenig Beobachtungen vorliegen. Nun können wir, wenn eine gewisse Art des Bahnverlaufs wahrscheinlich ist, im Wege der Interpolation und Extrapolation eine wahrscheinliche Bahn errechnen. Die Beobachtung kann dann zeigen, wieweit unsere Voraussetzungen gestimmt haben. Im Falle eines „Vielkörperproblems“, das heißt einer Bahn, die durch merkliche Anziehungskräfte von mehr als einem Körper bestimmt ist, sind wir sogar stets auf derartige Methoden angewiesen, da das „Vielkörperproblem“ anders als statistisch bis heute nicht zu lösen ist.

Wir wollen noch beifügen, daß die Begriffe von Interpolation und Extrapolation weit über das Gebiet der Mathematik hinaus Bedeutung besitzen. Unbewußt arbeiten wir selbst im täglichen Leben bei hundert Gelegenheiten mit Interpolationen und Extrapolationen. Politik, Geschichte, Geschäftsleben, Medizin bedienen sich dieser Begriffe und versuchen, zwischen bekannte Erscheinungen Zwischenwerte einzuschieben und den einmal bekannten Verlauf eines Bereiches in die Vergangenheit und in die nur mehr zu prophezeiende Zukunft zu übertragen. Und man sollte die strenge Vorsicht des Mathematikers speziell bezüglich der Extrapolation auch im außermathematischen Leben öfter beherzigen, als es in Wirklichkeit geschieht. Dann würden verderbliche Schlüsse von der Gegenwart auf die Zukunft manchmal vermieden werden.

Wir haben aber jetzt das Thema, das wir uns gestellt hatten, reichlich erschöpft. Und wie wir hoffen und glauben, auch unser Versprechen gehalten, den Leser vorn Einmaleins zum Integral zu führen. Wenn sich, besonders in den höheren Gebieten, zunehmend ein sehr unbefriedigender Zustand einstellte, wenn wir fast fortwährend sagen mußten, dies und jenes Problem, diese und jene Lösung überschreite bei weitem unseren Rahmen, dann war — man verzeihe mir — dieser Hinweis auf unsere Unzulänglichkeit gewollt. Klares Erkennen der eigenen Grenzen kann niemals deprimieren. Es wird ehrliche Geister vielmehr anspornen, den Stachel des Nochnichtwissens aus dem Fleische zu ziehen. Und die Erkenntnis des Nichtwissens ist ja weiter auch der einzige Antrieb, den Mangel durch Arbeit auszumerzen. Jeder Mensch, jedes Volk, die ganze Menschheit hat soviel Zukunft vor sich, als sie ungelöste Probleme bei sich trägt und auch wirklich quälend verspürt. Denn Ende des Fortschrittes ist subjektiver Schein und sogenannte Erfüllung ist Erstarrung. Jeder unserer mathematischen Heroen, ob sie nun Pythagoras, Eudoxus, Euklid, Archiinedes, Apollonius von Pergä, Alchwarizrui, Kepler, Descartcs hießen, wähnte die Entwicklung irgendwie abgeschlossen. Und alle Zeitgenossen wähnten es mit ihren geistigen Führern. Dann aber kam Newton, kam Leibniz, Euler, Lagrange, Gauß, Riemann, Weierstraß, Minkowski, Hilbert. Und es werden stets wieder andere kommen. Auch in der Mathematik. Wenn wir also bisher nur ein Stückchen in die Mathematik eindrangen, wollen wir trotzdem zu unserem Stolz uns sagen, daß wir Wesentlichstes wenigstens prinzipiell durchforschten. Und daß wir etwas sehr Bedeutsames errangen. Wir wissen nämlich, was es in der Mathematik zu erreichen, zu erlernen, zu durchforschen gibt. Und wir haben dadurch das Wichtigste: Ehrfurcht vor wahrer Geistesgröße gewonnen. Ein Faustwort sagt: „Wir sind gewohnt, daß die Menschen verhöhnen, was sie nicht verstehen.“ Wenn wir nun zu diesem Goethewort die „inverse Funktion“ bilden, dann werden wir das ausdrücken, was wir als gemeinsamen Gewinn unserer Arbeit betrachten wollen: „Es achtet nur der Mensch, was er versteht.“ Achtung aber erkennt die geachteten Dinge als wertvoll. Und Wertvollem wird und muß der Einzelne, das Volk, die Menschheit nachstreben. Nicht im Einzelinteresse, sondern zur höheren Ehre Gottes.

ENDE des Buches „Mathematik von A bis Z“

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