Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 099c

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Mathematik von A bis Z (Teil 36)

36

Sechsunddreißigstes Kapitel

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Logarithmen

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Wenn wir von der Höhe, die wir schon erklommen haben, zurückblicken und eine Heerschau der Rechnungsoperationen halten, dann finden wir:

	Thetische Operationen	Lytische Operationen
1.	Addition	Subtraktion
2.	Multiplikation	Division
3.	Potenzierung	Radizierung (Wurzel)
4.	-	-
5.	Integration	Differentiation

Warum aber ist Nr. 4 unserer Zusammenstellung unbesetzt? Die Antwort ist einfach: Weil eben unter Nr. 4 das Logarithmieren oder der Logarithmus Platz finden soll. Zuerst eine Worterklärung. Logarithmus hat nicht etwa mit Algorithmus sprachlich etwas zu tun. Wir wissen ja, daß Algorithmus nichts ist als eine Verballhornung des arabischen Namens Alchwarizmi. Logarithmus dagegen kommt vom Worte „logos arithmos“, was soviel bedeuten soll wie „richtiges Verhältnis“. Gefunden wurden die Logarithmen von Michael Stifel und Sir John Napier (auch Neper).

Nun aber werden wir nicht mit historischen Reminiszenzen die Zeit vertrödeln, so interessant sie auch sein mögen, sondern wir werden die letzte Stufe, die wir zu steigen haben, ebenso mutig und sicher überwinden wie alles Bisherige.

Es ist einleuchtend, daß aus der Potenz zwei verschiedene Typen von Funktionen hervorgehen können. Der erste Typus ist der, mit dem wir bisher ausschließlich operiert haben. Nämlich irgendein y ist irgendein x zur n-ten Potenz, wobei n eine Konstante ist. Wir lernten $x^{0},x^{1},x^{2},x^{3},x^{4},\dots ,x^{n}$ kennen. Es sind dies alles sogenannte Potenz-Funktionen. Und die Gegenoperation dazu war die Wurzel. Wenn $x^{n}=y$, so war eben $x={\sqrt[{n}]{y}}$. Natürlich ist dabei auch die Inversion (Umkehrfunktion, inverse Funktion) möglich. Wir könnten auch schreiben $y^{n}=x$ oder $y={\sqrt[{n}]{x}}$. Nun ist es aber auch denkbar, daß der Potenzexponent nicht konstant ist, sondern daß die willkürlich Veränderliche im Exponenten steht. Also etwa $y=a^{x}$. Die Frage lautet dann nicht: „Was erhalte ich, wenn ich einen willkürlichen x-Wert mit der Konstanten n potenziere?“, sondern: „Was erhalte ich, wenn ich die Konstante a zu einer willkürlichen Potenz x erhebe?“ Man nennt diese Funktion, bei der eine Veränderliche im Exponenten steht, die Exponential-Funktion. Um aber die Sache ganz deutlich zu machen, wählen wir ein Beispiel. Beidemal erhalte die willkürliche Veränderliche x die Werte 1, 2, 3 und 4. Die Konstante sei in beiden Fällen 5.

Dann ergibt die Potenzfunklion $y=x^{n}$ für $n=5$ die Werte $y=1^{5}=1$, $y=2^{5}=32$, $y=3^{5}=243$ und $y=4^{5}=1024$.

Die Exponentialfunktion $y=a^{x}$ dagegen ergibt für $a=5$ die Werte $y=5^{1}=5$, $y=5^{2}=25$, $y=5^{3}=125$ und $y=5^{4}=625$.

Es ist nun klar, daß wir aus $y=x^{n}$ etwa bei $y=1024$ und bekanntem $n=5$ für x den Wert ${\sqrt[{5}]{1024}}=4$ hätten errechnen können, da ja $y=x^{5}=1024$ vorausgesetzt war. Bei der Exponentialfunktion $y=a^{x}$ lautet die Frage nach der Gegenoperation ganz anders. Nämlich: „Zu welcher Potenz muß ich die bekannte Konstante $a=5$ erheben, um etwa $y=125$ zu erhalten?“ Es nützt uns auch nichts, wenn wir ${\sqrt[{x}]{125}}=x$ hinschreiben. Denn ein Ziehen einer x-ten Wurzel ist durch keine uns bekannte Operation vollziehbar. Höchstens könnten wir bei ganz einfachen Verhältnissen durch Probieren das Resultat finden. Aber man versuche nur etwa herauszufinden, zu welcher Potenz man 10 erheben müßte, um 2 zu erhalten, und man wird sich der vollen Hilflosigkeit dem Problem der Exponentialfunktion gegenüber bewußt werden, soweit es sich um deren lytisches Gegenstück handelt.

Also noch einmal: Wenn $y=a^{x}$, soll gesucht werden, wie groß x bei bekanntem a und bekanntem y ist. Diese lytische Gegenoperation der Exponentialfunktion nun heißt „Logarithmus“. Wenn $y=a^{x}$, dann ist x der Logarithmus von y, bezogen auf die konstante Basis a. Geschrieben $x=\log _{a}y$. Auch diese Funktion ist wie jede umkehrbar und wir können als logarithmische Funktion die Funktion $y=\log _{a}x$ anschreiben, wobei jedoch jetzt die Frage lautet, zu welcher Potenz y wir die Konstante a erheben müssen, um ein willkürlich gewähltes x zu erhalten. Also etwa: Zu welcher Potenz y muß man die Konstante 10 erheben, um für x den von uns gewählten Wert 2 zu erhalten? Oder analytisch: Welche Ordinate entspricht bei der Funktion $y=\log _{10}x$ einem Abszissenwert $x=2$? Wir verraten, daß y in unserem Falle 0,30103... wäre, wodurch wir alles wüßten, was uns interessiert. Denn

$0,30103\dots =\log _{10}2$ oder $10^{0,30103\dots }=2$.

Wir ergänzen also unsere Tabelle und behaupten:

	Thetische Operationen	Lytische Operationen
1.	Addition (a+b+c...)	Subtraktion (a-b-c...)
2.	Multiplikation (a•b•c...)	Division (a:b...)
3.	Potenzierung $(a^{n})$	Radizierung $({\sqrt[{n}]{a}})$
4.	Exponentialfunktion $(a^{x})$	Logarithmus $(\log _{a}x)$
5.	Integration $\int f'(x)\;dx$	Differentiation $\textstyle [{\frac {dy}{dx}}=y'=f'(x)]$

Nun kennen wir aber erst den Operationsbefehl des Logarithmus und durchaus noch nicht das Verfahren, also nicht den „Algorithmus des Logarithmus“.

Um diesen zu gewinnen, müssen wir vorweg auf zweierlei aufmerksam machen: Die Logarithmen sind im allgemeinen, wenn es sich nicht um Logarithmen von Potenzen der Basis handelt, Irrationalzahlen. Die Art ihrer Berechnung ist schwierig und würde über unseren Rahmen hinausführen. Wir sind aber in der glücklichen Lage, schon um billiges Geld sogenannte Logarithmentafeln erstehen zu können, die die Logarithmen fast aller praktisch in Betracht kommenden Zahlen enthalten. Darüber hinaus sogar noch die Logarithmen der Winkelfunktionen. Was diese Arbeit, die uns unerschrockene Rechner dreier Jahrhunderte abgenommen haben, bedeutet, ist gar nicht zu ermessen. Denn erst die Verwendung von Logarithmen setzt uns in den Stand, kompliziertere Potenzierungen und Wurzeln überhaupt berechnen zu können. Das „überhaupt“ ist so zu verstehen, daß die direkte Berechnung solcher Wurzeln und Potenzen sonst ungeheuerste Mühe verursachte.

Es obliegt uns nicht, Einrichtung und Gebrauch von Logarithmentafeln zu erläutern. Wir weisen nur darauf hin, daß es durch die Logarithmen gelingt, die Multiplikation in Addition, die Division in Subtraktion, die Potenzierung in Multiplikation und das Wurzelziehen in Division zu verwandeln; also sowohl die thetischen als die lytischen Operationen der zweiten und dritten Stufe je um eine Stufe herabzusetzen.

Als Basis eines sogenannten Logarithmensystems, das heißt als Konstante, darf prinzipiell jede beliebige Zahl verwendet werden. Praktisch sind ausschließlich die Zahl 10 als Basis der sogenannten gemeinen oder Briggsschen Logarithmen und die Zahl e (2,7182818...) als Basis der sogenannten natürlichen oder Neperschen Logarithmen im Gebrauch. Die Bezeichnung $\log _{10}x$ ist ungebräuchlich. Man schreibt einfach $\log x$ und meint damit den Logarithmus mit der Basis 10. Für den Neperschen Logarithmus schreibt man entweder $\log _{e}x$ oder $\ln x$. Die Bezeichnung ln x bedeutet „logarithmus naturalis“ (natürlicher Logarithmus). Wir werden für $\log _{10}x$ stets $\log x$ und für den natürlichen der Deutlichkeit halber $\log _{e}x$ schreiben. Für Logarithmen überhaupt, wo es auf die Basis nicht ankommt, schreiben wir $\log _{a}x$, wobei a irgendeine Konstante sein kann.

Natürlich heischt es das Gesetz der Gleichung, daß eine Gleichung sich auch nicht ändert, wenn man auf beiden Seiten logarithmiert. Ist $c=d$, dann ist $\log _{a}c=\log _{a}d$, und ist $\log _{a}c=\log _{a}d$, dann ist auch $c=d$. Den zweiten Vorgang nennt man das Aufsuchen des Numerus (der „Zahl“, das heißt der logarithmierten Zahl) oder das Entlogarithmieren (Delogarithmieren).

Als sogenannte logarithmische Grundeigenschaft bezeichnet man die Beziehung

$\log _{a}(c\cdot d)=\log _{a}c+\log _{a}d$,

also die Tatsache, daß der Logarithmus eines Produktes die Summe der Logarithmen der Faktoren ist. Diese „Grundeigenschaft“ wollen wir ableiten. Wenn uns etwa zwei Logarithmen der Basis a gegeben sind und daher $\log _{a}b=B$ und $\log _{a}c=C$ ist, dann ist nach der Entstehungsweise der Logarithmen (Exponentialfunktion!) sicherlich $b=a^{B}$ und $c=a^{C}$. Denn der Logarithmus ist ja nichts als die Potenz, zu der ich die Basis a erheben muß, um den Numerus (b oder c) zu erhalten. Wenn aber $b=a^{B}$ und $c=a^{C}$, dann ist sicher $b\cdot c=a^{B}\cdot a^{C}=a^{B+C}$. Betrachte ich nun diese Gleichung $b\cdot c=a^{B+C}$ näher, dann kann ich daraus einen neuen Logarithmus der Basis a gewinnen. Nämlich $\log _{a}(b\cdot c)=B+C$. Denn $B+C$ ist der Exponent, zu dem ich a erheben muß, um $b\cdot c$ zu erhalten, also der Logarithmus von $b\cdot c$. Nun setze ich endlich, da $B=\log _{a}b$ und $C=\log _{a}C$, was wir als Voraussetzung an den Anfang stellten, diese Werte in die Gleichung $\log _{a}bc=B+C$ ein und erhalte die „logarithmische Eigenschaft“:

1. $\log _{a}(b\cdot c)=\log _{a}b+\log _{a}c$

Denkende Leser werden sofort sehen, daß es sich hier um eine Auswirkung der Rechnungsregeln mit Potenzanzeigern handelt, was ja nicht verwunderlich ist, da der Logarithmus aus der Potenzierung mit dem Exponenten x entstanden ist.

Die übrigen Rechenregeln des Logarithmus schreiben wir ohne Ableitung hin:

2. $\textstyle \log _{a}({\frac {c}{d}})=\log _{a}c-\log _{a}d$ (logarithmische Division)

3. $\textstyle \log _{a}(c^{d})=d\cdot \log _{a}c$ (logarithmische Potenzierung)

4. \textstyle \log_a (\sqrt[d]{c}) = \frac{1}{d} \log_a c </math> (logarithmische Radizierung).

Die vierte Regel folgt eigentlich direkt aus der dritten, da $\textstyle \log _{a}({\sqrt[{d}]{c}})=\log _{a}(c^{\frac {1}{d}})$, was auch nach Regel drei als $\textstyle {\frac {1}{d}}\log _{a}c$ zu berechnen wäre.

Nach dieser flüchtigen Orientierung über Logarithmen überhaupt, die fleißige Leser durch Studium und Übungen aus guten Logarithmentafeln, in denen stets ausführliche Gebrauchsanweisungen enthalten sind, ergänzen mögen, wenden wir uns jetzt dem Zentrum der höheren Mathematik zu, der Achse, um die sich Differentialrechnung und Integralrechnung gleichsam dreht, nämlich der Basis e der natürlichen Logarithmen. Daß auch für e-Logarithmcn alle Regeln, die wir eben aufstellten, Geltung besitzen, bedarf deshalb keiner näheren Erklärung, weil wir ja forderten, daß das a (die Basis) jede beliebige Zahl, also auch e, sein könne und sein dürfe. Es ist deshalb etwa $\log _{e}(a\cdot b)$ natürlich auch gleich $\log _{e}a+\log _{e}b$ usw.

Scheinbar abrupt stellen wir uns folgendes Problem: Irgendein Wert, den wir ruhig mit dem einfachsten, also mit 1 annehmen können, solle um eine denkbar winzige Größe wachsen. Also etwa um einen winzigsten Teil von 1, um $\textstyle {\frac {1}{n}}$, wobei n der Annahme gemäß ungemein riesengroß ist. Nun soll dieses Gewachsene „organisch“ weiterwachsen. Das heißt, es soll sich auf dieselbe Art weiterentwickeln. Und so fort ins Unbegrenzte. Die Frage lautet nun, bis zu welchem Wert der Wert 1 in dieser Art anwachsen wird. Auf den ersten Blick sollte man denken, er werde sich zu unendlichem Wert steigern. Dem ist aber durchaus nicht so, ebensowenig wie jede unendliche Aneinanderfügung von Ordinaten eine unendliche Fläche ergeben muß. Wir sahen das schon bei der Quadratur. Oder auch bei „konvergierenden“ Reihen. Auch die Archimedische Reihe $\textstyle (1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{64}}+\dots$ fügt unendlich viele „Etwas“ zusammen und ergibt gleichwohl bloß $\textstyle s_{\infty }={\frac {1}{1-{\frac {1}{4}}}}={\frac {1}{\frac {3}{4}}}={\frac {4}{3}}=1{\frac {1}{3}}$ als Gesamtsumme. Ähnlich verhält es sich mit der „Leibniz-Reihe“ und mit allen fallenden geometrischen Reihen überhaupt. Sehen wir nun scharf zu, was aus unserem wachsenden Eins wird. Noch einmal: Die Eins soll gleich am Beginn das denkbar kleinste Wachstum erfahren. Gleichsam als Entschädigung für diese Beschränkung erlauben wir ihm aber ein Wachstum in unbegrenzt vielen Steigerungsstufen. „Wachse und mehre dich und erfülle die Erde“, rufen wir unserem Eins zu.

Wenn also 1 um ${\tfrac {1}{n}}$ wächst, wobei ${\tfrac {1}{n}}$ beliebig klein ist, dann entsteht daraus $(1+{\tfrac {1}{n}})$,das wir vorläufig a nennen wollen. Nun soll das a wieder in gleicher Art wachsen. Das heißt, a soll sich neuerlich um den beliebig kleinsten Teil seiner selbst vermehren, also um ${\tfrac {n}{n}}$. Dadurch entsteht $(a+{\tfrac {a}{n}})$ das wir b nennen wollen. Gehen wir weiter, so entsteht jetzt $(b+{\tfrac {b}{n}})$ usw. Nun wollen wir einmal zusehen, was sich da ergibt. Wir forderten, daß $(1+{\tfrac {1}{n}})$ gleich a war. Daher wird aus $(a+{\tfrac {a}{n}})={\tfrac {an+a}{n}}=a{\tfrac {n+1}{n}}=a({\tfrac {n}{n}}+{\tfrac {1}{n}})=a(1+{\tfrac {1}{n}})$ sofort $(1+{\tfrac {1}{n}})(1+{\tfrac {1}{n}})=(1+{\tfrac {1}{n}})^{2}$ wenn man für a wieder $(1+{\tfrac {1}{n}})$ einsetzt. Der zweite Ausdruck $(b+{\tfrac {b}{n}})$ ist aber gleich

${\tfrac {bn+b}{n}}=b{\tfrac {n+1}{n}}=b({\tfrac {n}{n}}+{\tfrac {1}{n}})=$$\textstyle \;b({\tfrac {n}{n}}+{\tfrac {1}{n}})=$$\textstyle \;b(1+{\tfrac {1}{n}})$.

Wenn man wieder berücksichtigt, daß wir mit b nichts anderes bezeichneten als $(a+{\tfrac {a}{n}})$ und daß dieses $(a+{\tfrac {a}{n}})$ sich eben als $(1+{\tfrac {1}{n}})^{2}$ ergab, dann ist

$b(1+{\tfrac {1}{n}})=(1+{\tfrac {1}{n}})^{2}\cdot (1+{\tfrac {1}{n}})=(1+{\tfrac {1}{n}})^{3}$.

Da wir diese Rechnung beliebig weit fortsetzen können und nunmehr wissen, daß das „organische Wachstum“ beim ersten Schritt $(1+{\tfrac {1}{n}})$, beim zweiten Schritt $(1+{\tfrac {1}{n}})^{2}$, beim dritten Schritt $(1+{\tfrac {1}{n}})^{3}$ ergibt, und daß unser „Bildungsgesetz“ unzweifelhaft die Fortsetzung dieser Beziehung fordert, dann darf man ruhig schließen, daß der Wert des unmerklich um ${\tfrac {1}{n}}$ gewachsenen Eins nach n Schritten den Wert $(1+{\tfrac {1}{n}})^{n}$ erhält. Nehme ich nun dieses n beliebig groß an, dann darf ich das Binom $(1+{\tfrac {1}{n}})^{n}$ nach dem binomischen Satz entwickeln. Und zwar ist, da alle Potenzen von 1 wieder 1 ergeben, also fortgelassen werden können, wo sie als Faktor auftreten:

$\textstyle (1+{\tfrac {1}{n}})^{n}=1^{n}+{\binom {n}{1}}{\binom {1}{n}}^{1}+{\binom {n}{2}}{\binom {1}{n}}^{2}+{\binom {n}{3}}{\binom {1}{n}}^{3}+{\binom {n}{4}}{\binom {1}{n}}^{4}+\dots$

$\textstyle =1+{\frac {n}{1!}}\cdot {\frac {1}{n}}+{\frac {n(n-1)}{2!}}\cdot {\frac {1}{n^{2}}}+{\frac {n(n-1)(n-2)}{3!}}\cdot {\frac {1}{n^{3}}}+$

$\textstyle {\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{4!}}\cdot {\frac {1}{n^{4}}}+\dots$.

Wenn man nun das n beliebig riesengroß annimmt, dann spielen dagegen alle endlichen Minuenden (Abzugsposten) 1, 2, 3 usw. keine Rolle und dürfen vernachlässigt werden. Denn ein gleichsam unendlich großes n ändert sich nicht, wenn man 1, 2, 3 usw. davon abzieht. Also darf ich ruhig für $(n-1)$ oder $(n-2)$ oder $(n-3)$ usw. einfach n setzen. Dadurch erhält unsere Binomialreihe, die jetzt zur unendlichen fallenden Reihe wird, die Form:

$\textstyle (1+{\frac {1}{n}})^{2}=1+{\frac {n}{1!}}\cdot {\frac {1}{n}}+{\frac {n\cdot n}{2!}}\cdot {\frac {1}{n^{2}}}+{\frac {n\cdot n\cdot n}{3!}}\cdot {\frac {1}{n^{3}}}+{\frac {n\cdot n\cdot n\cdot n}{4!}}\cdot {\frac {1}{n^{4}}}+\dots$

$\textstyle =1+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\dots +{\frac {1}{n!}}$

Ausgerechnet erhält man für diese Reihe den Wert

$\textstyle (1+{\frac {1}{n}})^{2}=1+1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{120}}+\dots$

Nun interessiert uns die Summe, die eine unendliche Gliederzahl dieser Reihe liefert. Sicher wird die Summe größer sein als 2, da ja schon die ersten zwei Glieder zusammen 2 ergeben. Wenn wir weiter bedenken, daß nach Fortlassung unseres ersten Gliedes unsere Reihe

$\textstyle (1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{120}}+\dots )$

lauten würde, können wir sie mit einer sogenannten „Majorante“ oder „majoranten Reihe“ vergleichen, deren unendliche Summe wir berechnen können, weil sie eine fallende geometrische Reihe ist. Es wäre die Reihe

$\textstyle (1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\dots )$

Diese Reihe ist offensichtlich eine „majorante“, das heißt gliedweise größere (übertreffende) Reihe unserer ersten. Es gehört nämlich zum Charakter der Majorante, daß jedes einzelne Glied der „Majorante“ zumindest gleich, aber in der Regel größer ist als das analoge Glied der zu prüfenden Reihe. Also:

Zu prüfende Reihe:

$\textstyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{120}}+\dots$

Majorante Reihe:

$\textstyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\dots$

Eine einfache Überlegung ergibt, daß aus der Definition der Majorante ihre unendliche Summe (wie übrigens jede Summe von n ihrer Glieder) größer sein muß als die Reihensumme der zu prüfenden Reihe. Nun ist in unserem Fall die Summe der majoranten Reihe $\textstyle s_{\infty }={\frac {1}{1-{\frac {1}{2}}}}={\frac {1}{\frac {1}{2}}}=2$. Da wir aber bei der zu prüfenden Reihe die erste 1 fortließen, muß ich sie beim endgültigen Vergleich auch zur Majorante addieren. Also erhalte ich: $s_{\infty }$ der Majorante +1 ist auf jeden Fall größer als die Summe der geprüften Reihe +1. Da ($s_{\infty }$ der Majorante +1) gleich 3 ist, so ist auf jeden Fall 3 größer als $\textstyle (1+{\frac {1}{n}})^{n}$ für $\lim n=\infty$. Also, und das wollten wir ermitteln, liegt der Wert für $\textstyle (1+{\frac {1}{n}})^{n}$ dann zwischen 2 und 3, wenn man n beliebig groß wählt.

Durch Ausrechnung einer hinreichend großen Anzahl von Gliedern der Binomialreihe finden wir als Wert für $\textstyle (1+{\frac {1}{n}})^{n}$ die Zahl 2,718 281 828 459 04...

Diese Zahl ist wie die Kreiszahl $\pi$ eine Irrationalzahl und wird seit Euler auf der ganzen Welt mit „e“ bezeichnet. Sie ist aus Gründen, die wir gleich erkennen werden, die wichtigste Zahl der ganzen Mathematik.

Wieder ohne Angabe unserer Ziele wollen wir uns die Aufgabe stellen, die Exponentialfunktion der Zahl e in eine Reihe zu entwickeln. Wir schreiben also die sicherlich richtigen Gleichungen an:

$\textstyle e=(1+{\frac {1}{2}})^{n}$

$\textstyle e^{x}=[(1+{\frac {1}{2}})^{n}]^{x}$

wobei n selbstredend stets als beliebig riesengroß betrachtet wird. Da nun nach den Regeln der Potenzrechnung der Ausdruck $\textstyle [(1+{\frac {1}{2}})^{n}]^{x}$ gleichbedeutend ist mit $\textstyle (1+{\frac {1}{2}})^{nx}$, so sind wir wieder in der Lage, eine „binomische Reihe“ aufzustellen:

$\textstyle (1+{\frac {1}{2}})^{nx}=1^{nx}+{\binom {nx}{1}}{\binom {1}{n}}^{1}+{\binom {nx}{2}}{\binom {1}{n}}^{2}+{\binom {nx}{3}}{\binom {1}{n}}^{3}+\dots$

$\textstyle =1+{\tfrac {nx}{1!}}\cdot {\tfrac {1}{n}}+{\tfrac {nx(nx-1)}{2!}}\cdot {\tfrac {1}{n^{2}}}+{\tfrac {nx(nx-1)(nx-2)}{3!}}\cdot {\tfrac {1}{n^{3}}}+\dots$

Nach einer ähnlichen Überlegung wie früher nehmen wir an, daß bei endlichem x auch nx durch die Multiplikation mit dem riesengroßen, über alle Grenzen geforderten n so groß wird, daß wir die Minuenden einfach vernachlässigen dürfen. Dann erhalten wir:

$\textstyle (1+{\frac {1}{2}})^{nx}=1+{\tfrac {nx}{1!}}\cdot {\tfrac {1}{n}}+{\tfrac {nx(nx-1)}{2!}}\cdot {\tfrac {1}{n^{2}}}+$$\textstyle {\tfrac {nx(nx-1)(nx-2)}{3!}}\cdot {\tfrac {1}{n^{3}}}+\dots$

$\textstyle =1+{\tfrac {x}{1!}}+{\tfrac {x^{2}}{2!}}+{\tfrac {x^{3}}{3!}}+\dots$

Diese Reihe heißt die Exponentialreihe. Nun kehren wir zur ursprünglichen Gleichung zurück und stellen fest, daß

$\textstyle e^{x}=1+{\tfrac {x}{1!}}+{\tfrac {x^{2}}{2!}}+{\tfrac {x^{3}}{3!}}+{\tfrac {x^{4}}{4!}}+\dots +{\tfrac {x^{n}}{n!}}$

Wir versuchen jetzt, die Exponentialreihe zu differentiieren, was leicht ist, da wir nach den Regeln der Differentialrechnung einfach gliedweise differentiieren dürfen.

Ist also

$\textstyle y=e^{x}=1+{\tfrac {x}{1!}}+{\tfrac {x^{2}}{2!}}+{\tfrac {x^{3}}{3!}}+\dots$, dann ist $\textstyle {\frac {dy}{dx}}=y'={\frac {d(e^{x})}{dx}}=0+{\tfrac {1}{1!}}+{\tfrac {2x}{2!}}+{\tfrac {3x^{2}}{3!}}+\dots$, was weiter wieder $\textstyle 0+1+{\tfrac {2x}{1\cdot 2}}+{\tfrac {3x^{2}}{1\cdot 2\cdot 3}}+{\tfrac {4x^{3}}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}}+\dots$ ergibt und nach Ausrechnung die Reihe $\textstyle 1+{\tfrac {x}{1}}+{\tfrac {x^{2}}{1\cdot 2}}+{\tfrac {x^{3}}{1\cdot 2\cdot 3}}+\dots$ liefert. Das ist aber nichts anderes als die ursprüngliche Exponentialreihe.

Wir sind also auf eine Funktion gestoßen, deren Differentialquotient gleich der Funktion selbst ist. Jetzt wird man begreifen, warum wir die Zahl e als Achse der höheren Mathematik bezeichneten. Denn $e^{x}$ ist die einzige Funktion, die mit ihrem Differentialquotienten gleich ist. Wenn aber ein Differentialquotient gleich der Stammfunktion ist, dann ist auch das Integral dieses Differentialquotienten der Differentialquotient selbst. Also $\textstyle {\frac {d(e^{x})}{dx}}=e^{x}$ und $\textstyle \int e^{x}\;dx=e^{x}\pm C$. Man wird jetzt auch weiter einsehen, welche ungeheuere Erleichterung es für die Rechnung bedeutet, wenn es gelingt, eine Größe als e-Potenz darzustellen. Mit diesem Zaubertrick wird in der höheren Mathematik ununterbrochen operiert.

Doch wir müssen, nachdem wir die Basis des natürlichen Logarithmensystems und die Exponentialfunktion dieser Basis erörtert haben, nunmehr zur logarithmischen Funktion zurückkehren, die auf der Basis von e lauten muß:

$y=\log _{e}x$.

Wenn y der e-te Logarithmus von x ist, dann ist wohl $e^{y}=x$, was eigentlich bloß eine andere Schreibweise für dieselbe Sache ist. Durch unsere Operation sind die Veränderlichen vertauscht, also die Funktionsbeziehungen umgekehrt worden. Wir haben jetzt:

$x=e^{y}$

mit x als zwangsläufiger und y als willkürlicher Veränderlicher. Nun differentiieren wir einmal diese „inverse“ Funktion. Diesmal natürlich „nach y“, das heißt mit x im Nenner und y im Zähler. Wir können bei dieser Gelegenheit zum erstenmal den neuen „Zaubertrick“ am Werke sehen. Denn $e^{y}$ ist eine Exponentialfunktion mit der Basis e, hat also wie jede e-Potenz mit veränderlichem Potenzanzeiger als Differentialquotienten „sich selbst“, wie man sagt. Also

$x=e^{y}$

${\tfrac {dx}{dy}}=e^{y}$

Sind aber zwei Größen einer dritten gleich, dann sind sie auch untereinander gleich. Folglich ist ${\tfrac {dx}{dy}}=x$. Wir wollten aber gar nicht ${\tfrac {dx}{dy}}$ sondern ${\tfrac {dy}{dx}}$ finden. Auch dieses Problem ist jetzt leicht lösbar. Denn ${\tfrac {dy}{dx}}$ ist arithmetisch gesprochen nichts als der reziproke Wert von ${\tfrac {dx}{dy}}$, wie etwa ${\tfrac {3}{2}}$ der Kehrwert von ${\tfrac {2}{3}}$ ist. Da wir aber eine Gleichung ${\tfrac {dx}{dy}}=x$ vor uns haben, müssen wir den Kehrwert auf beiden Seiten bilden, um die Gleichung richtig zu erhalten. Sind nämlich zwei Größen einander gleich, dann müssen auch die Kehrwerte einander gleich sein. Wenn etwa ${\tfrac {6}{2}}$ gleich 3 ist, dann ist auch ${\tfrac {2}{6}}={\tfrac {1}{3}}$, was offensichtlich stimmt. Nun bilden wir endlich den Kehrwert:

$\textstyle {\frac {1}{\frac {dx}{dy}}}={\frac {1}{x}}$ oder $\textstyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{x}}$.

Wir haben also auf langen Wegen das äußerst überraschende Resultat gewonnen, daß der Differentialquotient der Funktion $y=\log _{e}x$ gleich ist ${\tfrac {1}{x}}$. Nun ist aber dieses ${\tfrac {1}{x}}$ nach den Regeln der Potenzierung nichts anderes als $x^{-1}$. Einen Differentialquotienten $x^{-1}$ hätten wir aus der Regel der Differentiierung von Potenzen, die $nx^{n-1}$ lautet, nie erhalten können. Denn der Differentialquotient von $x^{3}$ war $3x^{2}$, der von $x^{2}$ gleich $2x$, der von $x^{1}$ gleich 1, der von $x^{0}$ gleich $0\cdot x^{0-1}=0\cdot x^{-1}$, was 0 ergibt, da $x^{0}=1$ ja eine Konstante darstellt, die bei der Differentiation verschwindet. Nach $x^{0}$ aber folgt absteigend $x^{-1}$, was als Differentialquotienten $-1\cdot x^{-1-1}$, also $-x^{-2}$ liefert. Es ist daher auch kein Wunder, daß wir bei der Integration die Lücke der Regel ${\tfrac {1}{m+1}}x^{m+1}$ fanden, wenn x den Exponenten $m=-1$ hatte. Denn wir wissen ja, daß der „Integrand“, das heißt der Ausdruck, der unter dem Integral steht, stets als Differentialquotient einer Stammfunktion $F(x)$ betrachtet werden muß, wenn man die Stammfunktion finden soll. Da nun sowohl die Regel ${\tfrac {1}{m+1}}x^{m+1}$ bei $x=-1$ versagte und weiters auch in der Differentialrechnung sich keine Funktion fand, die $x^{-1}$ als Differentialquoticnten hatte, waren wir in einer verzweifelten Lage und konnten die Hyperbelquadratur der Hyperbel $y={\tfrac {1}{x}}=x^{-1}$ in keiner Weise ausführen.

Jetzt aber ist das Rätsel gelöst. Die Stammfunktion von $x^{-1}$ oder ${\tfrac {1}{x}}$ ist $y=\log _{e}x$, da ja $y'$ oder $f'(x)$ dieser Funktion ${\tfrac {dy}{dx}}={\tfrac {1}{x}}=x^{-1}$ lautet. Es ist also $\textstyle F(x)=\int \limits _{a}^{b}x^{-1}\;dx=\int \limits _{a}^{b}{\tfrac {1}{x}}\;dx=\int \limits _{a}^{b}y'\;dx$

Und diese gesuchte Funktion y zum Differentialquotienten $y'$ ist nichts anderes als $y=\log _{e}x$. Folglich ist das allgemeine Integral von $x^{-1}$ das Integral $\textstyle F(x)=\int x^{-1}\;dx=\log _{e}x\pm C$. Und das bestimmte Integral lautet:

$\textstyle F_{a,b}=\int \limits _{a}^{b}x^{-1}\;dx=$$\textstyle (\log _{e}b\pm C)-(\log _{e}a\pm C)=$$\textstyle \log _{e}b-\log _{e}a$.

Infolge der „logarithmischen Eigenschaft“ sind hiebei noch Umformungen möglich. Man darf nämlich statt $\log _{e}b-\log _{e}a$ auch $\log _{e}{\tfrac {b}{a}}$ schreiben, was wegen Kürzungsmöglichkeit in manchen Fällen das Ergebnis vereinfacht. Wäre nämlich etwa der Integrationsbereich von $x=a$ bis $x=a^{2}$ gesucht, so würde das bestimmte Integral $\log _{e}a^{2}-\log _{e}a$ lauten, falls a größer als eins wäre. Da aber $\log _{e}a^{2}-\log _{e}a=\log _{e}{\tfrac {a^{2}}{a}}$, so ist das bestimmte Integral einfach $\log _{e}a$. Ebenso wird die Integrationskonstante beim allgemeinen (unbestimmten) Integral aus Einfachheitsgründen gewöhnlich folgendermaßen ausgedrückt:

$F(x)=\int x^{-1}\;dx=\log _{e}x\pm C$ ist ja gleich $\log _{e}x+\log _{e}c$, das heißt, wir betrachten die Konstante, die ja beliebig groß ist, als den Logarithmus irgendeiner Zahl (eines Numerus) c. Nun ist dann, da $\log _{e}x+\log _{e}c=\log _{e}xc$, das allgemeine Integral, anders geschrieben, einfach $\log _{e}xc$.

Nun wollen wir noch beifügen, daß man natürlich ein Logarithmensystem in ein anderes umrechnen kann. Wir rechnen zwar in der höheren Mathematik, solange die Rechnung allgemein bleibt, ausschließlich mit e-Logarithmen. Die Gründe dafür sind aus dem Bisherigen klar. Da aber sämtliche Logarithmentafeln mit verschwindenden Ausnahmen nicht die natürlichen, sondern die Zehner-Logarithmen enthalten, sind wir oft gezwungen, die Ergebnisse aus dem e-System ins dekadische umzurechnen. Dazu dient der sogenannte „Modul“. Wir bringen die Modulformeln ohne Ableitung. Der Modul ist die Zahl 0,434 294 481 9... und wird mit m bezeichnet. Will man nun einen natürlichen Logarithmus in einen dekadischen umrechnen, dann hat man die Formel $\log _{e}x={\tfrac {1}{m}}\log _{10}x$ zu benützen. Umgekehrt ist $\log _{10}x=m\cdot \log _{e}x$. Es sei der Einfachheit halber auch noch der Wert ${\tfrac {1}{m}}$ angegeben, der 2,302 585 092 9... beträgt. Diese Modulzahlen gelten aber natürlich nur für Relationen von e-Logarithmen und dekadischen Logarithmen, nicht für Umrechnungen aus anderen (praktisch nicht in Betracht kommenden) Logarithmensystemen.

Schließlich wollen wir noch ein Bild der Kurve $y=\log _{e}x$, also der sogenannten Logarithmenkurve an fügen. Da der Logarithmus von 1 in jedem System 0 ist, da ja $e^{y}=x$ sein muß und x aber eins sein soll und sich eins als Potenzwert nur ergibt, wenn man irgendeine Basis mit 0 potenziert, so schneidet die Logarithmenkurve die x-Achse bei $x=1$, $y=0$. Beim Wert $x=e$ ist $y=1$, da $e^{y}$ gleich sein soll x, das x aber gleich sein soll e, also $e^{1}=e$ wird. Ähnlich ist bei $x=e^{2}$ das $y=2$, bei $e^{3}$ das $y=3$ usw. Allgemein ist in jedem Logarithmensystem der Logarithmus der Basis gleich 1 und der Logarithmus einer Potenz der Basis gleich dem Potenzanzeiger, was ja aus der Definitionsgleichung $y=\log _{a}x$, $a^{y}=x$ klar ist. Also ist der dekadische Logarithmus von 1 gleich 0, von 10 gleich 1, von 1000 gleich 3, von 1.000.000 gleich 6. Von ${\tfrac {1}{10}}$ -1, ${\tfrac {1}{1000}}$ gleich 3 usw. Für alle, zwischen ganzen Potenzen der Basis liegenden Zahlen ergeben sich als Logarithmen Irrationalzahlen, die selbstverständlich den Logarithmus der nächstniederen Basispotenz enthalten. So ist $\log _{10}105$ etwa 2,02119...

Dieses 2, das der Logarithmus von $10^{2}=100$ ist, nennt man die „Kennziffer“ oder „Charakteristik“, den dezimalen Rest aber die „Mantisse“ (von mantissa = Rest). Für Näheres wird noch einmal auf die Logarithmenbücher verwiesen.

Fig. 71-1

Fig. 71-2

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