Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 098c

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Mathematik von A bis Z (Teil 35)

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Fünfunddreißigstes Kapitel

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Weitere Quadratur-Probleme

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Nach diesen Feststellungen, die wir leider nicht noch viel weiter führen können, wollen wir einmal den Algorithmus des Integrals an einem Grenzfall erproben. Wir leisten uns den Scherz, die Quadratur des Quadrats zu versuchen. Und zwar mittelst der Integralrechnung. Die „Kurve“ die unser Quadrat einschließen soll, ist natürlich eine Gerade, parallel der Abszissenachse. Ihr Abstand von dieser Achse muß die gewünschte Seitenlänge des Quadrats, nämlich a sein.

Fig. 66

Die Gleichung dieser Kurve hat zu lauten $y=a$ oder, um ein x einzuschmuggeln, $y=ax^{0}$. Um ein Quadrat zu erhalten, müssen wir von $x=0$ bis $x=a$ integrieren. Nun schreiben wir an:

$\textstyle F=\int \limits _{0}^{a}ax^{0}\;dx=a\int \limits _{0}^{a}x^{0}\;dx$.

Das allgemeine Integral $\textstyle \int ax^{0}\;dx\pm C$ ergibt $\textstyle F=a\int x^{0}\;dx\pm C=a{\frac {1}{0+1}}x^{0+1}\pm C=ax\pm C$. Das bestimmte Integral muß daher sein:

$F=(a\cdot a\pm C)-(a\cdot 0\pm C)=a^{2}-0=a^{2}$, womit wir die Fläche des Quadrats durch Integration erhalten haben. Die Integralkurve ist in unserem Falle eine Gerade der Gleichung $F=ax\pm C$. Wir wollen noch beifügen, daß man auf die gleiche Art auch die Flächenformel des Rechtecks durch Integration gewinnen kann. Wäre nämlich der Integrationsbereich nicht 0 bis a, sondern etwa 0 bis b, dann bliebe das allgemeine Integral bestehen, da ja die Ausgangskurve $y=ax^{0}$ bestehen bleibt. Das bestimmte Integral aber würde liefern:

$F=(a\cdot b\pm C)-(a\cdot 0\pm C)=ab-0=ab$,

was offensichtlich die Formel einer Rcchtecksfläche darstellt. Schließlich wird bemerkt, daß die Integralkurve nur an der Stelle $x=a$ einen Wert für ein Quadrat liefern kann. An allen anderen Stellen liefert sie naturgemäß Werle für Rechtecke, deren eine Seite a ist.

Nun wollen wir noch die Aufgabe des großen Archimedes, die Quadratur der „gemeinen Parabel“, die er als:

Parabelsegment = Einbeschriebenes Dreieck × $\textstyle (1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}+\dots )$, darstellt, was weiter:

Einbeschriebenes Dreieck × $\textstyle {\frac {4}{3}}$ liefert, durch die Integralrechnung nachprüfen. Gewöhnlich wird in der Schule als Formel der Parabel $y^{2}=2px$ gelernt. Nun ist dies durchaus nicht die einfachste Form einer Parabelgleichung, sondern eine sogenannte inverse Funktion. Setzen wir, was wir jederzeit dürfen, den Parabel-Parameter p gleich $\textstyle {\frac {1}{2}}$, dann wird aus $y^{2}=2px$ die Gleichung $y^{2}=x$ oder $y={\sqrt {x}}$. Nach den Regeln der Funktionenlehre und der analytischen Geometrie bedeutet die Vertauschung von x und y in ihren Rollen als abhängige und unabhängige (zwangsläufige und willkürliche) Veränderliche nichts als die Drehung der Kurve im Koordinatensystem um 90 Grade. Die Parabel $y^{2}=x$ liegt gleichsam horizontal, die Parabel $x^{2}=y$ (oder $y=x^{2}$) vertikal im Koordinatensystem.

Fig. 67-1

Fig. 67-2

Die eine Kurve im Verhältnis zur anderen heißt „inverse (umgekehrte) Kurve“, die Funktionen zueinander heißen „inverse Funktionen“. Dies aber nur nebenbei zur Beruhigung allfälliger Skrupel, wenn wir im folgenden die Funktion $y=x^{2}$ gleichsam als Funktion der Urparabel in Anspruch nehmen.

Im archimedischen Sinne beschrieben wir in ein Parabelsegment S, das eigentlich ein Halbsegment ist, ein Dreieck ein:

Fig. 68

Der Integralrechnung ist nun in erster Linie das schraffierte Flächenstück zugänglich, das den Integrationsbereich von $x=0$ bis $x=a$ darstellt. Unsere Funktion der Kurve lautet $y=x^{2}$, das allgemeine Integral daher $\textstyle F=\int x^{2}\;dx\pm C$, was $\textstyle F={\frac {1}{3}}x^{3}\pm C$ liefert.

Da wir das bestimmte Integral $\textstyle F_{0,a}=\int \limits _{0}^{a}x^{2}\;dx$ auswerten sollen, haben wir anzusetzen:

$\textstyle F_{0,a}=({\frac {1}{3}}a^{3}\pm C)-({\frac {1}{3}}0^{3}\pm C)={\frac {a^{3}}{3}}$.

Wie groß aber ist jetzt das Parabelhalbsegment? Nun, das können wir leicht durch eine weitere Subtraktion gewinnen. Es ist nämlich das Rechteck, das die Seiten $x=a$ und y hat, minus unserer Quadratur der schraffierten Fläche. Es ist also $\textstyle ay-{\frac {a^{3}}{3}}$ Nun ist nach der Ausgangsfunktion y gleich $x^{2}$, also im Falle $x=a$ soviel wie $a^{2}$. Folglich ist

$\textstyle ay-{\frac {a^{3}}{3}}=a\cdot a^{2}-{\frac {a^{3}}{3}}=$$\textstyle a^{3}-{\frac {a^{3}}{3}}=$$\textstyle {\frac {3a^{2}-a^{3}}{3}}=$$\textstyle {\frac {2}{3}}a^{3}$.

Nun hat aber Archimedes seine Quadratur nicht in Einheiten von a, sondern in einbeschriebenen Dreiecken angegeben. Wir müssen also noch ermitteln, wie groß das einbeschriebene Dreieck $OPP_{1}$ ist. Es ist ein rechtwinkliger Triangel mit den Katheten y und $x=a$. Seine Fläche ist demnach $\textstyle {\frac {y\cdot a}{2}}$ oder, da $y=x^{2}=a^{2}$, so hat es die Fläche $\textstyle {\frac {a^{2}\cdot a}{2}}={\frac {a^{3}}{2}}$.

Nun multipliziert Archimedes dieses Dreieck mit der fallenden geometrischen Progression $\textstyle (1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{64}}+\dots )$,deren unendliche Summe nach einer schon erwähnten Formel $\textstyle s_{\infty }={\frac {1}{1-q}}$ (wobei q in unserem Falle $\textstyle {\frac {1}{4}}$ beträgt), $\textstyle {\frac {1}{1-{\frac {1}{4}}}}={\frac {1}{\frac {1}{3}}}={\frac {4}{3}}$ ergeben muß. Nun haben wir alles beisammen, was wir brauchen. Nach Archimedes ist die Fläche des Parabelhalbsegmentes gleich dem Dreieck $\textstyle {\frac {a^{2}}{2}}$ mal der Reihensumme $\textstyle {\frac {4}{3}}$ also $\textstyle {\frac {a^{2}}{2}}\cdot {\frac {4}{3}}={\frac {2a^{2}}{3}}$, was genau den Wert ergibt, den wir durch Integration fanden. Und wir wollen uns an dieser Stelle in tiefer Verehrung vor dem erleuchteten Geist Griechenlands im allgemeinen und eines Eudoxus und Archimedes, den ersten Bahnbrechern der Integralrechnung, im besonderen verneigen.

Selbstverständlich ist es auch möglich, mittels der Integralrechnung das Halbsegment der „liegenden“ Parabel ($y^{2}=x$ oder $y={\sqrt {x}}$) direkt zu quadrieren. Wir können an diesem Beispiele sehen, daß unser Algorithmus der Integralrechnung auch auf gebrochene Potenzen sicher und leicht anzuwenden ist. Würden wir also, um Verwechslungen mit der Schreibweise der eben berechneten Quadratur zu vermeiden, den „Bereich“ von $x=0$ bis $x=b$ wählen, dann hätten wir das bestimmte Integral

$\textstyle F=\int \limits _{0}^{b}{\sqrt {x}}\;dx=\int \limits _{0}^{b}x^{\frac {1}{2}}\;dx$ auszuwerten. Unser b wäre dann das Stück der Parabelachse vom Hauptscheitel bis zum Schnittpunkt mit der Sehne, die das Segment begrenzt: somit genau dasselbe Stück, daß wir in Fig. 54 als b bezeichneten. Nun die Berechnung: Allgemeines Integral von

$\textstyle {\sqrt {x}}=F=\int x^{\frac {1}{2}}\;dx\pm C=$

$\textstyle {\frac {1}{{\frac {1}{2}}+1}}x^{{\frac {1}{2}}+1}\pm C={\frac {1}{\frac {3}{2}}}x^{\frac {3}{2}}\pm C=$

$\textstyle {\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}\pm C={\frac {2}{3}}{\sqrt {x^{3}}}\pm C$.

Setzt man nun die Grenzen 0 und b ein, dann erhält man als bestimmtes Integral:

$\textstyle F=\int \limits _{0}^{b}x^{\frac {1}{2}}\;dx=$$\textstyle ({\frac {2}{3}}{\sqrt {b^{3}}}\pm C)-({\frac {2}{3}}{\sqrt {0^{3}}}\pm C)=$$\textstyle {\frac {2}{3}}{\sqrt {b^{3}}}$

oder ${\frac {2}{3}}b{\sqrt {b}}$.

Da nun weiters bei der „liegenden“ Parabel b nichts anderes als die Basis des „großen archimedischen Dreiecks“ und ${\sqrt {b}}$ (nach der Parabelgleichung $y={\sqrt {x}}$) die Halbsehne, somit die Höhe des „großen Dreiecks“ bedeutet, müßten wir im Sinne des Archimedes zuerst das „große Dreieck“ aus b und ${\sqrt {b}}$, also $\textstyle {\frac {b{\sqrt {b}}}{2}}$ bilden und dieses dann mit der Reihensumme $\textstyle s_{\infty }=(1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}+\dots )={\frac {4}{3}}$ multiplizieren. Wir erhielten dann für das Parabelhalbsegment den Wert ${\frac {4}{3}}\cdot {\frac {b{\sqrt {b}}}{b}}={\frac {2}{3}}b{\sqrt {b}}$, was genau der Wert ist, den wir durch Integration erzielten.

Nun haben wir schon so große Übung im Integralrechnen, daß wir einmal eine einfache Minuspotenz von x, nämlich $x^{-1}$, oder, was dasselbe ist, $\textstyle {\frac {1}{x}}$ in den Kreis unserer Betrachtungen ziehen. Die Gleichung $\textstyle y={\frac {1}{x}}$ stellt eine Hyperbel dar, deren beide Äste mittels geeigneter Reihen von x-Werten leicht in ein Koordinatensystem zu zeichnen sind. Bei $x=1$ ist y ebenfalls 1 und ein Schnitt mit der y- oder x-Achse ist nicht zu finden. Denn wenn x selbst noch so groß wird, wird y nicht 0. Und wenn x = Null gesetzt wird, wird $\textstyle y={\frac {1}{0}}$, also ein Wert, den wir als $\infty$ anzusprechen pflegen. Demnach verläuft unsere Kurve mit ihren beiden Ästen im ersten bzw. dritten Quadranten und die Koordinatenachsen sind, wie man sagt, die Asymptoten der Hyperbel, das heißt Gerade, denen sich die Kurve mehr und mehr nähert, ohne sie je erreichen zu können.

Zuerst noch eine kurze Einschaltung: Kreis, Ellipse, Parabel, Hyperbel sind die sogenannten Kurven zweiter Ordnung, weil ihre Gleichungen quadratische sind. Das x in der ersten Potenz im Nenner darf uns bei der Hyperbel nicht täuschen. Unser $\textstyle y={\frac {1}{x}}$ ist auch eine quadratische Funktion, da wir das x ohne Multiplikation mit einer anderen Variablen nicht isolieren können. Geometrisch betrachtet sind die Kurven zweiter Ordnung Kegelschnitte. Die Art des Schnittes ist aus den folgenden Zeichnungen zu ersehen (s. Fig. 69).

Schon die Lage auf dem Kegel muß jedem, der ein geometrisches Gefühl hat, zeigen, daß die Hyperbel stets breiter und breiter wird (ebenso die Parabel), während Kreis und Ellipse „geschlossene krumme Linien“ sind.

Fig. 69-1 (Schnitt parallel zur Grundfläche: Kreis; Schnitt schräg zur Grundfläche: Ellipse; Schnitt parallel zur Gegenseite: Parabel; Schnitt parallel zur Achse: gleichseitige Hyperbel

Fig. 69-2

Fig. 69-3

Fig. 69-4

Fig. 69-5 (Hyperbel

Wir sehen aber aus der folgenden Zeichnung noch etwas anderes: daß eine Hyperbelquadratur ohne weiteres möglich sein muß.

Fig. 70

Etwa das SLück von $a=x$ bis $x=b$ muß sehr leicht zu berechnen sein, da wir ja die Funktion $\textstyle y={\frac {1}{x}}$ kennen, die außerdem noch sehr einfach aussieht. Wie wir es gewohnt sind, bestimmen wir zuerst das allgemeine Integral

$\textstyle F(x)=\int {\frac {1}{x}}\;dx=\int x^{-1}\;dx$.

Wir sagten seinerzeit ausdrücklich, daß die Formel $\textstyle \int x^{m}\;dx$ für jedes positive, negative oder gebrochene m gleich sei $\textstyle {\frac {1}{m+1}}x^{m+1}$. Nun gilt es, unseren Algorithmus auch hier zu bewähren. Also

$\textstyle F(x)=\int x^{-1}\;dx\pm C={\frac {1}{-1+1}}x^{-1+1}\pm C=?$

Wir stocken entsetzt. Denn wir erhalten als allgemeines Integral, von dem jedes bestimmte abhängt, den Wert $\textstyle {\frac {1}{0}}\cdot x^{0}={\frac {1}{0}}\cdot 1={\frac {1}{0}}$ oder $\infty$. So etwas ist uns bisher noch nicht untergekommen. Denn jedes Einsetzen ergäbe von vornherein ein Unding wie etwa

$(\infty b^{0}\pm C)-(\infty a^{0}\pm C)=\infty -\infty =0$

wenn man überhaupt so rechnen darf. Dabei steht die Quadratur sinnfällig schraffiert vor uns. Es gibt also eine Stelle (und es ist die einzige), an der die Formel $\textstyle \int x^{m}\;dx={\frac {1}{m+1}}x^{m+1}$ nicht angewendet werden darf. Das ist bei $x^{-1}$ oder $\textstyle {\frac {1}{x}}$. Daher wird die Formel stets geschrieben $\textstyle \int x^{m}\;dx={\frac {1}{m+1}}x^{m+1}[m\neq -1]$, was heißt, m muß ungleich sein -1 oder m darf nicht den Wert -1 haben. Das durchstrichene Gleichheitszeichen $\neq$ bedeutet „verschieden von“, „ungleich“, oder wie man es ausdrücken will.

Nun dürfen wir verraten, daß wir den Leser absichtlich aufs Glatteis geführt haben, um ihn den Schrecken nachfühlen zu lassen, den diese Lücke der Integralrechnung den ersten Entdeckern einjagte. Leibniz war zwar so genial, aus anderen Überlegungen und Forschungen zu wissen, wie man die Lücke schließen könne. Es herrschte damals aber gleichwohl noch große Unsicherheit und diese Lücke wurde teils als billiger Angriffspunkt gegen die Infinitesimalrechnung benützt, teils als Skandal der Mathematik empfunden. Wir Epigonen sind in der glücklichen Lage, die Lösung des Rätsels von soviel Seiten zu kennen, daß wir sie uns direkt genießerisch und dramatisch, wenn nicht gar jongleurhaft, „stellen“ können, wie wir wollen. Der Zauberspruch der Kabbala heißt „Logarithmus“, den wir aussprechen werden, um Licht zu verbreiten. Und wir wollen auch dieses große Rätsel nicht ungelöst lassen, obgleich wir eigentlich den Zweck des Buches schon erreicht und den Leser vom Einmaleins bis zum Integral geführt haben.

Nur noch ein Wort über die „Rektifikation“. Wir sagten schon, daß auch die Kurvenlänge durch Integration, nämlich durch $\textstyle \int ds=\int {\sqrt {(dx)^{2}+(dy)^{2}}}$ bestimmbar sei. Leider können wir praktische Fälle kaum vorführen, da bei den Rektifikationen stets so komplizierte Integrale auftreten, daß sie für uns unberechenbar sind. Um aber doch ein Beispiel wenigstens anzuführen, teilen wir bloß mit, daß etwa die Länge eines Stückes der Parabel $y=kx^{2}$ vom Punkt $x=0$ bis zu einem beliebigen Punkt $x=x$ den Wert des Integrals $\textstyle \int \limits _{0}^{x}{\sqrt {1+4k^{2}x^{2}}}\;dx$ beträgt. Nach zahlreichen, teils sehr kühnen Zwischenoperationen ergibt sich als Wert des Integrals die monströse Formel:

Parabelstück = s =

$\textstyle {\frac {1}{2}}x{\sqrt {1+4k^{2}x^{2}}}+{\frac {1}{4k}}\log _{e}({\sqrt {1+4k^{2}x^{2}}}+2kx)$,

wobei das k eine willkürliche positive oder negative, ganze oder gebrochene, rationale oder irrationale Konstante bedeuten kann.

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