Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 097c

índice

Lección 096c ← Lección 097c → Lección 098c

Mathematik von A bis Z (Teil 34)

34

Vierunddreißigstes Kapitel

---

Mittelwert und bestimmtes Integral

---

Wir wollen dieses Beispiel aber nicht verlassen, ohne noch auf etwas anderes hinzuweisen. Da die Grundlinie unserer Figur 1 und die Fläche $\textstyle {\frac {1}{6}}$ Quadrateinheiten beträgt, ist die Figur einem Rechteck inhaltsgleich, das die Länge 1 und die Höhe $\textstyle {\frac {1}{6}}$ hat. Man könnte nun behaupten, da ja unzählige Ordinaten

(Natürlich innerhalb des Bereiches.)

kleiner, unzählige wieder größer sind als $\textstyle {\frac {1}{6}}$, daß dieses $\textstyle {\frac {1}{6}}$ die „mittlere Ordinate“ oder einen „Mittelwert aller Ordinaten“ oder eine „Durchschnittsordinate“ darstelle. Dazu müssen wir uns den Begriff des „Mittelwertes“ näher ansehen, der im Sprachgebrauch auch „Durchschnitt“ genannt wird. Die einfachste Art eines Mittelwertes ist das sogenannte arithmetische Mittel. Es ist auch die Form der Durchschnittsbildung, die schon jedes Kind instinktiv vornimmt. Haben drei Äpfel die Durchmesser 5 cm, 10 cm und 15 cm, dann ist der durchschnittliche Apfel 10 cm im Durchmesser. Oder kaufe ich ein Kilogramm Zucker einmal um 80 Groschen, das zweitemal um 90 Groschen, das drittemal um 95 Groschen und das viertemal um 99 Groschen, dann ist der Durchschnittspreis eines Kilogramms Zucker wohl $\textstyle {\frac {80+90+95+99}{4}}=91$ Groschen. Allgemein wird das arithmetische Mittel nach der Formel

$\textstyle M_{A}={\frac {a_{1}+a_{2}+a_{3}+\dots +a_{n}}{n}}$ gebildet.

(Das geometrische Mittel ist die n-te Wurzel aus den miteinander multiplizierten Einzelwerten. Also $M_{G}={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdot a_{3}\cdot \dots \cdot a_{n}}}$)

Nun ist der Mittelwert („mittlere Ordinate“) in unserem Fall nicht aus endlich vielen Einzelwerten von Ordinaten, sondern aus unendlich vielen solcher Einzclwerte gebildet. Müßte also lauten, wenn $y_{1}$, $y_{2}$, $y_{3}$, $y_{4}$, ... die Ordinaten sind:

$\textstyle M_{A}{\frac {y_{1}+y_{2}+y_{3}+\dots +y_{\infty }}{\infty }}$, was offensichtlich nicht berechenbar ist. Wenn wir aber diese Mittelwertbestimmung als Infinitesimalaufgabe ansehen, dann können wir zu einem Resultat kommen. Denn die unendliche Summe der Ordinalen ist ja nichts anderes als die zu quadrierende Fläche und ihr Wert ist deshalb das bestimmte Integral über den verlangten Bereich. Was aber ist der Nenner unseres Mittelwertbruches? Wohl nichts anderes als der Ausdruck für die unendliche Anzahl der Ordinaten. Also gleichsam die Zahlenlinie aller ihrer Fußpunkte. Das aber ist wieder nichts anderes als das Stück der x-Achse, das den Bereich bildet. Unsere infinitesimale Mittelwertformel hätte demnach zu lauten:

${\frac {\int \limits _{a}^{b}f'(x)\;dx}{b-a}}$

Nun wollen wir die Formel an unserem Fall prüfen, bevor wir die ungeheuere praktische Bedeutung dieses Integralmittelwertsatzes an einem konkreten Beispiel 1 zeigen. Wir fanden als Integral der Fläche $\int \limits _{0}^{1}(x-x^{2})\;dx$ den Wert $\textstyle {\frac {1}{6}}$. Dieses $\textstyle {\frac {1}{6}}$ bildet also den Zähler. Den Nenner bildet die Differenz der Grenzen $110=1$. Folglich beträgt der Mittelwert oder die mittlere Ordinate in unserem Fall $\textstyle M_{A}={\frac {\frac {1}{6}}{1}}={\frac {1}{6}}$

Fast jeder hat einmal einen sogenannten selbstregistrierendcn Apparat gesehen. Es gibt selbstregistrierende Thermometer, Barometer, Hygrometer usw., wie sie jedes Wetterhäuschen in den Großstadtparks besitzt. Um eine Trommel ist ein Millimeterpapier gespannt, dessen Einteilung Bezeichnungen für Tage und Stunden trägt. Und zwar in der Richtung des Anfanges. Der Höhe nach bedeutet die Einteilung Temperaturgrade, Luftdruck, Feuchtigkeitsgehalt der Luft, oder anderes. Die Trommel ist mit einem Uhrwerk derart verbunden, daß sie sich genau der Einteilung gemäß dreht, während ein Farbstift wieder genau den Thermometergraden, Barometerständen usw. in seiner Aufwärts- oder Abwärtsbewegung folgt. Da an jedem Zeitpunkt, sei er auch noch so klein, eine Temperatur oder ein Luftdruck oder ein Feuchtigkeitsgehalt der Luft existiert, ist diese Art der Aufzeichnung eine absolut stetige, infinitesimale. Die betreffende Kurve ist demnach stetig und differentiierbar. Nur ist sie derart kompliziert und sprunghaft, daß eine Formel wohl unmöglich für sie in der Praxis aufzustellen ist. Nehmen wir etwa nach einem Monat das Papier von der Trommel, dann sieht die Kurve vielleicht so aus (s. Fig. 62).

Fig. 62

Nun würde uns die „Durchschnittstemperatur des Monates März“ interessieren. Und wir werden jetzt das Kunststück vorzeigen, diese gewünschte Durchschnittstemperatur ohne jede besondere Rechnung, gleichwohl aber als Integralmittelwert zu bestimmen. Wir kalkulieren folgendermaßen, indem wir alles auf den Kopf stellen: Die Formel der Kurve, aus der wir das bestimmte Integral irgendwie berechnen könnten, ist uns unbekannt und wird uns unbekannt bleiben. Der Wert des Integrals aber ist ja gleich der Flüche zwischen der Kurve, der Anfangs- und Endordinate des Bereiches und der Abszissenachse. Schneiden wir also munter mit einer präzisen Schere diese Fläche aus, wiegen wir sie auf einer physikalischen Präzisionswaage ab, schneiden wir weiters die Einheitsflächc, die Quadrateinheit aus. Und nun bestimmen wir nach dem Gewicht den Flächeninhalt, also den Wert des Integrals. Wir hätten als Seite der Quadrateinheit etwa den Thermometergrad genommen. Gleich lang mit diesem Grad erscheint auf der x-Achse etwa die für einen Tag beanspruchte Längeneinheit der Abszisse. Nun haben wir nichts mehr zu tun, als die Flächenzahl, die wir durch Wägung ermittelten, durch den „Bereich“ also durch $(b-a)$, das ist hier $31-0=31$, zu dividieren. Dadurch erhalten wir haargenau die Durchschnittstemperatur des Monats. Und zwar infinitesimal genau als Durchschnitt der unendlich vielen, im betreffenden Monat vorgekommenen Temperaturen. Bezüglich der „Funktion“ wäre noch nachzutragen, daß hier die Temperatur y zwangsläufig von der Zeit x abhängt. Wir hätten, was weiter zu bemerken ist, auch nicht unbedingt die Tage als x-Einheiten wählen müssen. Wir hätten auch so vorgehen können, daß wir den „x-Bereich“ vor der Mittelwertbildung einfach in y-Einheiten abgemessen hätten. Zum Schluß schreiben wir unser Kunststück noch mathematisch an:

$\textstyle {\frac {{\text{Waegeresultat}}\;=\;n\;Quadrateinheiten\;=\int \limits _{a}^{b}f'(x)\;dx}{b-0}}$

wobei b in Einheiten zu messen ist, die mit der Seitenlange der Quadrateinheit gleich groß sind. Dieses Beispiel zeigt uns den ungeheuren Wert rein gedanklicher Operationen. Denn in Wirklichkeit wurde nur gewogen, dividiert und kalkuliert. Von einem wirklichen Integral war keine Spur. Gleichwohl konnten wir die Berechtigung unseres Kunststückes nur aus der Integralrechnung herleiten, da ein Mittelwert aus unendlich vielen Ordinaten ohne Infinitesimalüberlegungcn niemals gewonnen hätte werden können.

Bevor wir weitere Quadraturen beginnen, soll auf eine Eigenschaft des bestimmten Integrals eingegangen werden, die besonders Anfängern viel Kopfzerbrechen verursacht. Es handelt sich dabei um das Verschwinden der Integrationskonstanten. Arithmetisch haben wir schon gezeigt, daß die Subtraktion des Integrals der unteren Grenze vom Integral der oberen Grenze die Konstante stets verschwinden lassen muß. Gleichgültig, ob die Konstante des „unbestimmten“ Integrals additiv oder substraktiv beigefügt war. Wäre das unbestimmte Integral $\textstyle \int f'(x)\;dx$ gewesen, zu dem +nbsp;odernbsp;-nbsp;C hinzugefügt worden wäre, dann hätte die Ausrechnung des bestimmten Integrals derselben Funktion $\textstyle \int \limits _{a}^{b}f'(x)\;dx$ stets die Form

$\textstyle (\int f'(x)\;dx+C)-(\int f'(a)\;dx+C)=$

$f(b)+C-f(a)-C=f(b)-f(a)$

oder

$\textstyle (\int f'(b)\;dx-C)-(\int f'(a)\;dx-C)=$

$f(b)-C-f(a)+C=f(b)-f(a)$.

Geometrisch bedeutet diese Subtraktion nichts anderes als das Abziehen einer Fläche von einer anderen. Allerdings nur im Endresultat. Solange noch die Konstante mitspielt, handelt es sich geometrisch um Abziehen einer Ordinate von einer anderen. Um das aber richtig zu verstehen, müssen wir den Begriff der Differential- und Integralkurve erörtern. Wir wissen, daß jeder Funktion analytisch eine „Bildkurve“ entspricht. Wenn wir also etwa in unserem früheren Beispiel eine Funktion $y=x-x^{2}$ gegeben hatten, dann können wir, wie wir es ja auch Laten (Fig. 61), eine Kurve dieser Funktion oder eines bestimmten Bereiches dieser Funktion zeichnen. Wenn wir nun integrieren, erhalten wir

$\textstyle F(x)=\int (x-x^{2})\;dx\pm C={\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}\pm C$,

also wieder eine Funktion von x, die wir auch zeichnen können. Diese „Stammfunktion“ nun ergibt, relativ zur „Ausgangsfunktion“ $y=x-x^{2}$, die sogenannte Integralkurve. Nun wissen wir aber nicht, wie groß das C ist. Wir wissen nicht einmal, ob es positiv oder negativ ist. Es könnte auch 0 sein. Was bedeutet nun analytisch eine additive (subtraktive) Konstante? Wir verraten es gleich: Die Kurve als solche bleibt die gleiche, ändert ihre Form nicht, ob die Konstante dabeisteht oder nicht. Die Konstante bewirkt nur eine Verschiebung der Kurve im Koordinatensystem. Eine beliebige Parabel der Formel $\textstyle y={\frac {x^{2}}{4}}\pm C$ etwa, sieht, je nachdem wie groß C ist, folgendermaßen aus (s. Fig. 63).

Da nun C jeden Wert zwischen $+\infty$ und $-\infty$ annehmen darf, stellt jedes allgemeine oder unbestimmte Integral eine Kurvenschar vor, die gleichsam so dicht aneinanderliegt, daß sie die ganze Fläche bedeckt. Diese Eigenschaft des Integrals hat eine ungeheuere Bedeutung in der Physik. Wenn es uns gelingt, für einen Bereich (einer Fläche oder eines Raumes) eine „Differentialgleichung“ aufzustellen, dann ist damit der Bereich oder das „Feld“ in jedem Punkt bestimmt.

Fig. 63

Die Differentialgleichung wird nämlich dadurch „gelöst“, daß sie integriert wird. Und dieses Integral gibt mir nach Feststellung der Konstanten für jeden Punkt des „Feldes“ den Zustand an. Doch dies nur nebenbei. Wir wissen nun, daß es unendlich viele „Integralkurven“ gibt, die ansonst kongruent sind und sich nur lagemäßig durch die Konstante unterscheiden. Wenn wir annähmen, es wäre die Funktion $\textstyle y'={\frac {x}{2}}$ zu integrieren, erhielten wir als Integralkurven alle $\textstyle F(x)=\int {\frac {x}{2}}\;dx\pm C={\frac {x^{2}}{4}}\pm C{\frac {a}{b}}$. Nun wäre jedes bestimmte Integral $\textstyle \int \limits _{a}^{b}{\frac {x}{2}}\;dx$ gleich $\textstyle ({\frac {b^{2}}{4}}\pm C)-({\frac {a^{2}}{4}}\pm C)={\frac {b^{2}}{4}}-{\frac {a^{2}}{4}}$.

Da aber weiters jedes ${\frac {x^{2}}{4}}\pm C=F(x)=y$, also die Ordinate der Integralkurve darstellt, ist das allgemeine Integral die allgemeine Ordinate der Integralkurvc und das bestimmte Integral die Differenz zweier bestimmter Ordinalen der Integralkurve. Und zwar der Anfangs- und der Endordinate des Integrationsbereiches. Wir wollen dies in einer Zeichnung verdeutlichen, in der zugleich die zu integrierende Funktion $y'={\frac {x}{2}}$ und eine beliebige Anzahl von Integralkurven $y'={\frac {x}{2}}\pm C$ sichtbar sind. Integralionsbereich ist der Dereicli zwischen a und b (s. Fig. 64).

Wie man leicht merkt, ist die schraffierte, zu berechnende Fläche gleich dem Dreieck $OP_{1}b-OPa$. Diese Flächendifferenz aber soll gleich sein der zugehörigen Ordinatendifferenz irgendeiner der Integralkurven. Und zwar dem absoluten Betrag dieser Differenz. Wie man aus der Figur klar erkennt, sind diese Ordinatendifferenzen bei sämtlichen Integralkurven gleich, so daß der Wert des bestimmten Integrals talsächlich unabhängig ist von der Größe der additiven (subtraktiven) Konstante des allgemeinen (unbestimmten) Integrals.

Nun sprachen wir aber auch von einer Differentialkurve. Nehmen wir wieder das erste Beispiel $y=x-x^{2}$, dessen Integral $\textstyle F={\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}\pm C$. Bei der Maximumaufgabe an derselben Kurve fanden wir noch eine dritte Funktion $\textstyle {\frac {dy}{dx}}=f'(x)=y'=1-sx$, die wir natürlich auch durch eine „Bildkurve“ veranschaulichen können. Wir haben also jetzt drei Kurven. Eine Funktionskurve der gegebenen Funktion $y=x-x^{2}$, eine Integralkurve $\textstyle F={\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}\pm C$ (in unserem Falle wählen wir $C=+l$) und eine Differentialkurve $y'=l-2x$. Wir werden uns für $x=0,4$ die Ordinaten dieser drei Kurven zeichnen.

Fig. 64

Natürlich könnte man die ganzen Kurven zeichnen, was der Leser sich auf Millimeterpapier leicht selbst besorgen kann (s. S. 366).

Am Punkte $x=0,4$ sind die Ordinalen der drei Kurven $y=0,24$ (gegebene Kurve), $F=1,0587$ (Integralkurve) und $y'=0,2$ (Differentialkurve). Nun versuchen wir einmal, die Differentialkurve zur Integralkurve zu finden. Da $\textstyle F={\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}+1$, so ist $\textstyle {\frac {dF}{dx}}=s\cdot {\frac {1}{2}}x-3\cdot {\frac {1}{3}}x^{2}=x-x^{2}$, was zu unserer Überraschung die Ausgangsfunktion liefert.

Fig. 65

Nun integrieren wir einmal die Differentialkurve $y'=1-2x$. Das Integral

$\textstyle \int (1-2x)\;dx=\int 1\cdot \;dx-\int 2x\;dx=$$\textstyle {\frac {1}{0+1}}x^{0+1}-2{\frac {1}{1+1}}x^{1+1}=$$\textstyle x-x^{2}$

Wieder erhalten wir die Ausgangsfunktion. Oder ganz genau gesagt, die Ausgangsfunktion mit der Konstanten $C=0$. Nun liegt das Getriebe offen vor uns: Die integrierte Differentialkurve ergibt die Ausgangskurve. Die integrierte Ausgangskurve ergibt die Integralkurve. Weiters ergibt die differentiierte Integralkurve die Ausgangskurve und die differentiierte Ausgangskurve die Differentialkurve. Würden wir noch die sogenannten höheren Differentialquotienten und die mehrfachen Integrale kennen, dann könnten wir unsere Stufenleiter nach oben und unten bis ins Unendliche fortsetzen bzw. bis dorthin, wo der Differentialquotient verschwindet, was aber nur bei nichtperiodischen Funktionen vorkommt.

índice

Lección 096c ← Lección 097c → Lección 098c