Álgebra Abstracta/Tipos de Dominios


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Álgebra Abstracta



IntroducciónEditar

El anillo de los Enteros es un dominio (de integridad) con algunas propiedades muy interesantes tales como la división euclídea, la factorización de manera única en primos y que sus ideales son todos principales.

Analizaremos dichas propiedades y sus relaciones. Para hacer lo anterior, estudiaremos tres categorías de dominios: dominios euclídeos (que tienen algo parecido al resultado de algoritmo de la división de Euclides), dominios de ideales principales (DIPs) y dominios de factorización única (DFUs).

Tal estudio estará fundamentado principalmente en las relaciones de divisibilidad y las propiedades de primos e irreducibles.

Veremos que, en general, se cumple que dominios euclídeos son DIPS y que los DIPs son DFUs, lo que se ilustra en la figura siguiente. En la última sección, mostraremos que las relaciones de inclusión entre esas clases son estrictas, es decir hay DIPs que no son euclídeos y DFU que no son DIPs.

 

Nuestros principales ejemplos serán los Enteros, los anillos de polinomios sobre un cuerpo y los subanillos de los Complejos de la forma

 

Resultará muy interesante ver que la aritmética en esos últimos dominios es dependiente del entero   En algunos casos, por ejemplo tendremos que irreducibles siempre será primos, pero en otros no.

Hay una sección completa dedicada a los Enteros Gaussianos,  . Además de proveernos con una serie de interesantes y bellos resultados, es una muestra del genio de Gauss.

En este capítulo, para indicar que   y   son asociados, escribiremos  

Los Dominios de Factorización Única, DFUsEditar

Recordemos que llamamos dominio de factorización única a un dominio donde cada elemento no nulo que no es una unidad puede escribirse como un producto de irreducibles, donde los irreducibles y las veces que aparecen son únicas, excepto por asociados. Decimos que ese producto es una descomposición del elemento en producto de irreducibles. Esto quiere decir que,   es un DFU, ssi,

  1. cada elemento de   que no es ni nulo ni unidad, es un producto de elementos irreducibles, y
  2. si   donde los  's y los  's son irreducibles, se cumple que   y que, eventualmente después de una reenumeración de los  's, se cumplirá que  

Nuestro ejemplo primero son los Enteros,   donde el Teorema Fundamental de la Aritmética establece precisamente que se trata de un DFU.

Observación. Supongamos que el conjunto de elementos irreducibles de   se haya particionado de acuerdo a las clases de equivalencia de la relación "es asociado con". En algunos casos, hay una manera natural de seleccionar un representante de cada clase. En tales casos, se puede utilizar dichos representantes para eliminar la referencia a asociados en el enunciado de la descomposición en producto de irreducibles.

  1. El anillo   es un DFU. Sigue, de la definición general de irreducible, que si   es irreducible también lo es   y no hay otro asociado con él. Podemos seleccionar como representante de la clase al número positivo de la clase.
  2. El anillo   de los polinomios con coeficientes en un cuerpo es un DFU (ver el Teorema A del capítulo La Factorización de Polinomios). En cada clase de equivalencia, siempre hay un polinomio mónico, al que podemos usar como representante predilecto de la clase.

Irreducibles en un DFU son primos

Sabemos que en un dominio cualquiera los elementos primos son irreducibles. Hemos visto ejemplos de dominios donde hay elementos irreducibles que no son primos, ver también en el ejemplo A de la sección de Contraejemplos. Sin embargo, cuando el dominio es DFU, se cumple que todos los irreducibles son primos como vimos en la proposición 2 del capítulo La Factorización de Polinomios.

El siguiente lema será usado más adelante.

Lema A. Sea   un irreducible tal que     divide a un elemento   de un DFU   Entonces,   (o un asociado) aparece en cualquier descomposición en irreducibles de  

    Demostración La hipótesis implica que hay un elemento   de   tal que   Descomponiendo   por la unicidad de la descomposición, tenemos que   (o un asociado) aparece en la descomposición de  


Proposición 1. (Existencia de mcd y mcm) Sea   un DFU. Dos elementos no nulos siempre tienen mcd y mcm.

    Demostración (La demostración es el proceso usual para calcular el mcd y el mcm de dos números enteros cuando se conoce sus factorizaciones en números primos.) Sean   y   dos elementos no nulos de   Sean   la reunión de los irreducibles que aparecen en la descomposición de   con los irreducibles que aparecen en la descomposición de   Entonces, podemos poner que
     

    donde los  's y  's pueden ser positivos o cero (cero cuando el irreducible no aparecía en la descomposición en irreducibles del elemento). Sea     Entonces,   es un mcd de   y  

    Análogamente, pero usando el mayor exponente en cada descomposición, obtenemos el mcm; dejaremos al cuidado de lector la verificación de lo anterior.


En el ejemplo B de la sección de Contraejemplos, se muestra que   es un dominio donde hay mcd de dos elementos, pero no mcm, por lo que ese dominio no puede ser un DFU,

Caracterización de los DFUEditar

El objetivo de esta sección es obtener una caracterización de los DFU usando que irreducibles son primos y que se cumple la llamada condición de cadenas finitas de divisores propios que veremos a continuación

Cadenas Finitas de Divisores Propios

¿Cuántos divisores o factores propios tiene un elemento cualquiera? (Un divisor propio de un elemento es un divisor del elemento que no es una unidad o un asociado del elemento.)

Veamos la situación en un DFU. Sea   un elemento que no es una unidad y sea   un divisor propio de   Entonces, hay un   tal que   Sean     y   las descomposiciones de     y   respectivamente. Entonces,

 

.

Sigue de la unicidad que cada uno de los   debe aparecer en el lado izquierdo, es decir que hay un   por lo que   Es decir que cada factor propio está formado por un producto finito de los factores irreducibles de   Por lo tanto, la cantidad total de factores de un elemento cualquiera es finita. Por lo que se cumple la siguiente proposición.

Proposición 2. En un DFU no hay una sucesión infinita de elementos   tales que cada   sea un factor propio de  

Llamamos condición de cadenas finitas de divisores propios a la propiedad de la proposición.


El siguiente enunciado es una forma equivalente para la condición.

(CFD) En cualquier sucesión   de elementos de   tal que   hay un   tal que   implica que  


Usando esa noción, tenemos la siguiente proposición caracterizando a los DFUs. La demostración será una simple abstracción de una de las pruebas clásicas del Teorema Fundamental de la Aritmética.

Proposición 3. Sea   un dominio cualquiera. Entonces,   es un DFU, ssi,

  1. cada irreducible es primo y
  2. se cumple la condición de cadenas finitas de divisores propios.

    Demostración La necesidad de las condiciones ha sido probada con anterioridad, por lo tanto, solamente tenemos que probar que son suficientes. Primeramente, probaremos que para cada elemento   no nulo y que no sea una unidad, tiene un factor irreducible, usando la condición de cadenas finitas. Si   es irreducible, no tenemos nada que probar. Si   no es irreducible,   donde ni   ni   son unidades. Si alguno de ellos es irreducible, hemos hallado el factor irreducible. En caso contrario,   donde ninguno de los factores es una unidad. Si uno de ellos es irreducible, hemos hallado el factor irreducible. Continuando de esta manera generamos una sucesión   tal que cada elemento es un divisor propio del anterior, excepto por   Por la condición de cadenas, el proceso se acaba, lo que muestra que el término donde la sucesión se estabiliza debe ser irreducible (ya que no tiene divisores propios).
    Veamos la existencia de la descomposición en irreducibles. Sea   un elemento no nulo que no es una unidad. Por lo probado anteriormente,   tiene un factor irreducible digamos   por lo que   para un cierto elemento   Si   fuera una unidad, habríamos hallado nuestra descomposición. En caso contrario,   no es una unidad, por lo que tiene un factor   irreducible tal que   Si   fuera unidad, habríamos hallado la descomposición. En caso contrario, buscaríamos un factor irreducible   de   Este proceso acaba en un número finito de pasos, ya que la sucesión   genera una cadena de divisores propios
     

    la que no puede ser infinita por la hipótesis (ii).

    (Unicidad) Aquí usaremos que irreducibles son primos. Supongamos que tenemos dos descomposiciones que producen el mismo elemento. Digamos que

      (*


    donde los  's y los  's son irreducibles, y   y   son unidades. Como irreducibles son primos,   es un primo que divide al producto de la derecha y, por lo tanto, divide a uno de ellos, digamos a   Como ambos,   y   son irreducibles, deben ser asociados. Por reenumeración de los   podemos suponer que   Por ser     donde   es una unidad. Cancelando el factor común   en ambos lados de (*), obtenemos que

      (**


    Repitiendo el proceso anterior cancelamos,   con   posiblemente después de otra reenumeración. Así, cancelaremos todos los irreducibles de la izquierda, ya que un irreducible no puede dividir a una unidad. Esto prueba que   Pero, por la misma razón, no puede haber irreducibles a la derecha. Luego,   y cada irreducible de un lado es asociado de uno en el otro lado.


Otra caracterización de los UFD

Veremos, a continuación, otra caracterización de los UFD usando la existencia de mcds en lugar de que los irreducibles sean primos.

Necesitaremos algunas propiedades de los MCD que revisaremos a continuación.

Sea   un dominio tal que dos elementos no nulos siempre tienen MCD.

Lema B. Cualquier cantidad finita de elementos no nulos, tiene un MCD.

    Demostración Sea   un conjunto finito de elementos de   Si   por la hipótesis hay un mcd de los elementos de   Supongamos el resultado válido para conjuntos con   elementos. Consideremos ahora el caso en que   Por hipótesis hay un   y un   Claramente,   es un divisor común de todos los  's. Sea   un divisor común de todos los  . tenemos, entonces que   divide a   y, en consecuencia, a  . Luego,   es un mcd buscado.


Lema C. (Asociatividad del MCD)  

    Demostración Basta notar que ambos elementos son mcd de los elementos del conjunto  


Lema D.  

    Demostración Sea   y   Entonces,   por lo que   Luego   para algún   de   Hay un   tal que   Luego,   por lo que  ; análogamente,   Luego   lo que implica que   es una unidad. Es decir que  


Lema E. Si   y   entonces,  

    Demostración Si   el lema anterior, implica que   Además,   Luego,
     


La siguiente proposición muestra que la condición de que los irreducibles sean primos es equivalente a que haya mcd de elementos.

Proposición 4. Sea   un dominio cualquiera donde dos elementos no nulos cualesquiera tienen un mcd. Entonces, cada irreducible es primo.

    Demostración Sea   un elemento irreducible de   tal que   Supongamos que   y que   Como   es irreducible, lo anterior implica que   y   Por el lema E,   lo que implica que   Lo que contradice la hipótesis sobre  . Luego,   debe dividir a   o a  , o sea que es un elemento primo.


Tenemos, en forma inmediata, el siguiente resultado.

Corolario 4.1. (Segunda caracterización de los UFD) Un dominio es DFU, ssi,

(i). cada par de elementos tiene MCD y
(ii) se cumple la condición de cadenas finitas de divisores propios.

  es UFD, cuando   lo es.

Este resultado fue probado en el teorema A del capítulo 20. Tiene importantes consecuencias como que   y     cuerpo, son DFUs. Por inducción, sigue entonces que   y   (polinomios en varias indeterminadas) son DFUs.

EjerciciosEditar

  1. Probar que la relación "ser asociado con" es una relación de equivalencia.
  2. Sea   un DFU. Probar que si   entonces   donde   es el elemento   tal que   cuando  
  3. Sea   un DFU. Sean   elementos de   Probar que si   y que   entonces  
  4. Escribir la prueba de que cuando   es un DFU, entonces también lo es el anillo de polinomios sobre   en   indeterminadas,  

Los Dominios de Ideales PrincipalesEditar

Recordemos que llamamos dominio de ideales principales, DIP a un dominio tal que cada ideal propio está generado por un elemento. Notemos que los cuerpos son trivialmente DIPS. También sabemos que   y   son DIPS (ver la proposición 19.2).

Proposición 5. Sea   un DIP. Sea   un elemento no nulo de   Las siguientes propiedades son equivalentes:

  1.   es primo;
  2.   es irreducible;
  3. El ideal   es maximal, por lo que   es un cuerpo.

    Demostración La implicación (i)   (ii) es general, ver la proposición 17.4. ((ii)   (iii)) Supongamos que   es un elemento irreducible de   y sea   tal que   Si   entonces   o   es un unidad. Si   es un unidad,   y   son asociados, por lo que   En caso contrario,   es una unidad, por lo que   Lo que prueba que el ideal   es maximal. ((iii)   (i)) Suponer que   es un ideal maximal del dominio   Entonces,   es un cuerpo, por la proposición 17.6 Como cuerpos son dominios, el ideal   es primo (proposición 17.7). Sigue, entonces, de la proposición 17.8 que   es primo.


Sea   un divisor propio de   entonces   lo que implica que   está en   Si   estuviera en     dividiría a   por lo que   y   serían asociados. Luego, cuando   es un divisor propio de     es un subconjunto propio de  

Sigue de la discusión anterior, que la condición de cadenas finitas de divisores propios es equivalente, en un DIP, a la siguiente condición:

Condición Noetheriana

Un dominio satisface la condición noetheriana [1], ssi, no hay una cadena infinita de ideales.

 

Equivalente, toda cadena de ideales ascendentes es finita.


Proposición 6. DIPS satisfacen la condición noetheriana.

    Demostración Sea   una cadena ascendente de ideales tales que   Sea   la reunión de todos los     es decir que
     

    Veamos que   es un ideal. Sean     en   Por definición de reunion, hay     tales que   está en un   y   está en   Sea   entonces como   e   son subconjuntos de   tenemos que   están ambos en   Como   es ideal, tenemos que   está en   y que   está en   para todo   en   Por lo tanto, esos elementos están en   por lo que   es un ideal. Como   es DIP, hay un   tal que   Supongamos que   esté en   Entonces,   pero como   es la reunión de los     Luego,   Por lo tanto, para todo   se tiene que   por lo que  


Como lo anterior implica que se cumple la condición de cadena finita de divisores y que los irreducibles son primos, concluimos que

Proposición 7. Los DIPs son DFUs.

La siguiente proposición es la generalización del teorema de Bezout para los Enteros--- dados dos enteros no nulos, podemos expresar el mcd de ellos como una combinación lineal de dicho enteros.

Proposición 10. (Teorema de Bezout) Sea   un DIP y sean   y   elementos no nulos de   Entonces, hay un elemento   que es un mcd de   y   Además, hay elementos     tales que

 

    Demostración: Sean   y   elementos no nulos de un DIP   Sea   el ideal generado por dichos elementos, o sea   Como todos los ideales de   son principales hay un generador   del ideal, o sea   Por estar   y   en   tenemos que   es un divisor común de ambos. Por estar   en   hay elementos     del anillo tales que
      (*


    Si   es cualquier divisor común de   y   la relación (*) implica que   divide a   Luego,   es un máximo común divisor de   y  


EjerciciosEditar

  1. Sean   y   elementos de un DIP. Probar que el generador   del ideal   es un mcm de   y  
  2. Sea   un entero primo. Sea   Probar que   es un DIP.
  3. Sea   Sea   Describir la estructura de   (Escribir su tabla de multiplicación). Hallar un ideal maximal de  
  4. Sea   Probar que cada ideal de   es principal. Hallar los ideales primos y maximales y verificar que no todos los ideales primos son maximales.
  5. Sea   un DIP. Probar que un ideal primo es o   o   o un ideal maximal.

Los Dominios EuclídeosEditar

Dijimos en la introducción que los dominios euclídeos representan la abstracción de la división euclídea en los Enteros. A continuación, tendremos la definición formal.

Definición. ({Dominio Euclídeo) Sea   un dominio. Decimos que   es un dominio euclídeo, ssi, hay una función   (llamada el tamaño o la norma euclídea) tal que

  1. Si     entonces   y
  2. Para todo a,b en     hay elementos   y   tales que
     

    con   tal que   o  

Supongamos que   es un dominio euclídeo con "tamaño"   Como las unidades son divisores de cualquier elemento del dominio, tenemos que para todo unidad   y   no nulo, se cumple, por (i), que   En particular, lo anterior es válido para  ; pero como 1 es una unidad, para cualquier unidad     Luego,   para toda unidad   Además,   es el menor valor asumido por   Es decir que el conjunto de los     no nulo es un conjunto de números enteros acotado inferiormente por  

Ejemplos de Dominios EuclídeosEditar

Ejemplo.

El ejemplo prototipo es el dominio de los números enteros con   En efecto, si     hay un entero   tal que  ; de donde   por lo que   ya que   Recordemos el teorema de la división euclídea que establece que para todo   y   enteros,   podemos hallar únicos enteros   y   tales que   con   Claramente, de allí, sigue la segunda condición de la definición de dominio Euclídeo.


Ejemplo.

Sea   el anillo de polinomios con coeficientes en un cuerpo   Veremos que se trata de un dominio euclídeo con tamaño o estructura euclídea dada por el \text{gr}ado de los polinomios.

Cuando   y   son polinomios tales que ninguno de ellos es nulo y   entonces  

Para los polinomios, se tiene, también, un teorema de la división análogo al de la división euclídea de los Enteros. Es decir, dados polinomios   y     no nulo, hay polinomios   y   tales que   donde   o   Es decir que el anillo de polinomios es un dominio euclídeo, con tamaño definido por el \text{gr}ado de un polinomio.


Probaremos, a continuación, que todos los dominios euclídeos comparten con los Enteros, la propiedad de que cada ideal es principal.

Proposición 11. Sea   un dominio euclídeo con norma euclídea   Entonces,   es un DIP (cada ideal es principal). Cuando el ideal no es nulo, su generador, tiene el menor tamaño entre los elementos del ideal.

    Demostración Sea   un ideal no nulo. Sea   entonces   es un subconjunto de los enteros acotado inferiormente, por lo que tiene elemento minimal. Sea   cualquier elemento de   tal que   es igual al elemento minimal de   Entonces, para cualquier   en   se tiene que   con   o   Como,   implica que   concluimos que   es un elemento de   Luego,   ya que   Concluimos que   es un múltiplo de   es decir que  


Corolario 11.1. Los dominios euclídeos son DFUs.

EjerciciosEditar

  1. Sea   una estructura euclídea en un dominio   Definamos   por   donde   es un entero fijo. Probar que   también es una estructura euclídea en   Es decir que, sin perdida de generalidad, siempre se puede suponer que la estructura es tal que para todo elemento no nulo    
  2. Sean   y   elementos de   Hallar   un máximo común divisor de   y   junto con enteros gaussianos     tales que  
  3. (Primos en  ) Sea   un elemento primo de   tal que   Probar que   o   es un entero primo de la forma   En caso contrario, probar que   donde   es un entero primo de la forma   ¿Cuáles enteros primos   son primos Gaussianos?
  4. Sea   un raíz cúbica de la unidad.   es un dominio de integridad. Sea  
    1. Sea   Probar que   y que  
    2. Probar que   en   es una unidad, ssi,  
    3. Probar que si   es un entero primo, entonces   es irreducible en  
    4. Probar que   es irreducible.
    5. Probar que   es un dominio euclídeo.
  5. Sea   un dominio euclídeo. Probar que podemos computar el mcd de dos elementos usando un algoritmo análogo al existente por los enteros.

Los Enteros de GaussEditar

Recordemos que llamamos enteros de Gauss o enteros gaussianos a los elementos del dominio

 

En esta sección estudiaremos detalladamente el dominio de los enteros gaussianos. Además de su importancia como uno de los primeros dominios de números no tradicional, nos servirá para ilustrar diversas técnicas al trabajar con dominios euclídeos (ya que probaremos que   lo es). Llamamos la atención, también, a observar las relaciones que hay entre la aritmética de este dominio y la teoría de los números enteros ordinarios.

Recordemos que llamamos norma del entero gaussiano   al número entero denotado   y definido como   Se verifica que   es multiplicativa, o sea que   Cuando   se cumple que   (lo que gráficamente es el cuadrado de la distancia del punto   al origen en el plano cartesiano). Notemos que si   entonces  

Empezaremos nuestro estudio con la siguiente proposición.

Proposición 12. Los enteros de Gauss son un dominio euclídeo con estructura euclídea dada por la norma. La demostración seguirá después de algunos lemas.

Lema F. Para todo complejo   hay al menos un entero de Gauss   tal que  

    Demostración (Gráficamente) Cualquier complejo se halla en un cuadrado cuyos vértices son enteros de Gauss. El punto más alejado de los vértices es el centro del cuadrado, cuya distancia a los vértices es   Como la norma es el cuadrado de la distancia, se tiene el resultado. (Algebraicamente.) Sea   Sean   el entero más cercano a   y   el entero más cercano a   Luego,   y   Sea   Entonces,
     


Lema G. Sean   y   enteros de Gauss,   Entonces, hay enteros de Gauss   y   tales que

 

    Demostración Usar el lema anterior para hallar un   tal que   Escribamos   como   Sea   Entonces,   Por lo que,  


    Demostración de la proposición. Solamente falta probar la condición (i) de la definición de dominio euclídeo. Sean   y   enteros de Gauss no nulos. Se tiene que   Luego,
     

    Lo que junto con el lema anterior, prueba lo afirmado.


Sigue de los trabajos generales anteriores que   es un DIP y, en consecuencia, un DFU.

A continuación, nos preocuparemos de la divisibilidad en   Como se trata de un DFU, elementos irreducibles son primos y viceversa. Mucho del trabajo relacionara primos en   con primos en  ; para distinguirlos hablaremos de primos gaussianos (en  ) y de primos enteros (en  ),

Unidades de Z[i]Editar

Sea   un entero gaussiano cuya norma es igual a 1. Entonces, se tiene que   lo que implica que   o   Es decir   está en   Notemos que cada uno de esos enteros gaussianos es un unidad en   (</math>i(-i)=1</math>).

Supongamos, ahora, que   fuera una unidad de   Entonces hay un   tal que   Luego, tomando norma y usando que es multiplicativa, tenemos que

 

Luego,   Por lo que,

 


2 no es primo en  .

Observando que   tenemos que el primo entero 2 no es irreducible en   (ramifica) ya que ni   ni   son unidades. De hecho se trata de irreducibles.

Si   tomando normas tenemos que   de donde o   o   por lo que   o   es una unidad. Luego,   es irreducible en   Análogamente, se verifica que   es irreducible, u observando que   es un asociado de   ya que  

Primos Enteros iguales a una suma de cuadrados.

Sea   un entero primo tal que   con   enteros. Como   si   se tiene que   no es un primo gaussiano. Por ejemplo,       etc.

3 es un primo gaussiano.

Supongamos que   Tomando normas tenemos que   por lo que   o   Si   se ve claramente que   es imposible. Si   entonces   es una unidad. Si   entonces   y   es una unidad. Luego,   es un irreducible, por lo tanto, un primo gaussiano.

Primos de Z[i]Editar

Para el estudio de los primos gaussianos, necesitaremos algunos resultados sobre los primos enteros que veremos a continuación.

En primer lugar, notemos que si   es un primo entero impar entonces   es de la forma   o   Veremos que la pertenencia a una de esas clases implica conductas diferentes en  

El siguiente resultado será básico para nuestras consideraciones.

Lema H. (Estructura de  )
Sea   un primo entero impar.

  1.   tiene un único elemento de orden 2.
  2. Si   entonces   no contiene elemento de orden 4
  3. Si   entonces   tiene dos elementos de orden 4, que son soluciones de la congruencia  

    Demostración Usaremos que sabemos que   es un grupo cíclico de orden   y propiedades de los grupos cíclicos. Ver las proposiciones 20.11 y 11.2.
  1. Como   hay un único subgrupo de orden 2, que será   Es decir que   es el elemento buscado.
  2. Como   no puede haber elemento de orden 4.
  3. Como   hay un subgrupo de orden 4, que tiene dos generadores, que son elementos de orden 4..


Corolario H.1. Si   entonces   es un cuadrado en  

    Demostración Si   es un elemento de orden 4 en   entonces   tiene orden 2, por lo que se debe tener que  


Lema I. (Fermat) Un entero primo positivo   puede representarse como la suma de los cuadrados de dos enteros, ssi,   o  

    Demostración   Supongamos que   es impar. Supongamos que   y que
     


    Entonces,   por lo que   es decir que   tiene orden multiplicativo 4, lo que es imposible.

    Supongamos ahora que   Por el lema anterior, hay un   tal que   Es decir que  

    Considerando a   como elemento de   se tendría que

     

    Si   fuera un primo gaussiano   o   Como   es entero, lo anterior significaría que   dividiría la parte imaginaria de esos factores o sea a 1. Luego,   no es un primo gaussiano. Luego,   donde ni   ni   son unidades. Computando normas, tendríamos que

     

    Luego,   o uno de ellos tiene norma 1 y es, por lo tanto, una unidad, lo que no puede ser. Si    


Los Primos GaussianosEditar

Lema J. Si   es un entero gaussiano tal que   es un entero primo, entonces   es un primo gaussiano.

    Demostración Sea   Tomando normas tenemos que   Como   es un primo entero, o   o  ; es decir que   o   es una unidad,. En consecuencia,   es irreducible, por o que se trata de un primo gaussiano.


<Lema K. Si   es un primo gaussiano entonces   o   donde   es un primo entero.

Si   entonces   o  

Si   entonces   es de la forma   y es un asociado de  

    Demostración Supongamos que   fuera un primo gaussiano. Consideremos la factorización en primos de   Como   en     debe dividir a uno de los primos de dicha factorización. Luego, hay un   en   tal que
     

    Computando las normas se tiene que

     

    Por lo que (1)   o (2)   En el caso (1),   es la suma de dos cuadrados, por lo que es 2 o un primo de la forma  

    En el caso (2), se tiene que   por lo que   es una unidad y   y   son asociados.

    Se tiene que   ya que 2 no es primo en   Igualmente, si   es de la forma   por el teorema de Fermat,   o sea que no es primo. Luego,   debe ser de la forma  


Proposición 13. (Los Primos de  )
Los primos gaussianos o primos en   son:

  1. Los primos enteros de la forma   y sus asociados en  
  2. Enteros gaussianos cuya norma es un primo entero, ya sea 2 o de la forma  

    Demostración La parte b) sigue del lema anterior. a) Si   es primo de la forma   que es compuesto en   los trabajos anteriores muestran que debiera ser igual a la suma de dos cuadrados, por lo que no puede ser de la forma indicada.


EjerciciosEditar

  1. Probar que   en  
  2. Hallar todos los primos gaussianos cuya norma es igual a 2.
  3. Probar que   en   implica que   Dar un ejemplo de que el converso no es válido.
  4. Probar usando solamente análisis de normas que   no es un primo gaussiano.
  5. Si   es un primo entero que no es un primo gaussiano, entonces   para algún   en  
  6. Si   es un entero primo tal que   entonces   no es un primo gaussiano.
  7. Sea   un primo entero, probar que si   entonces   es de la forma  
  8. Probar que le grupo de las unidades de   es isomorfo a  
  9. Hallar un mcd de   y  
  10. Probar que para todo   se cumple que el polinomio   es irreducible sobre  
  11. (Prueba Alternativa del lema H), Sea   un entero primo impar.
    1. (Existencia de elemento de orden 2) Verificar que   para concluir que   tiene orden 2 en   Considerar cualquier   con orden 2, y verificar que   por lo que   o   Usar lo anterior para concluir que  
    2. (Ausencia de elementos de orden 4, si  ) Usar teorema de Lagrange.
    3. (Existencia de elementos de orden 4, cuando  ). Sea   cuyo orden en   Por teorema de Cauchy. hay un elemento   de orden 2 en   Luego,   por lo que   tiene orden 4 en  

ContraejemplosEditar

En esta sección, daremos algunos ejemplos que prueban la inclusión estricta de los dominios euclídeos en los dominios de ideales principales, y la de estos en los dominios de factorización única. Así, como otras excepciones.

Nuestro primer ejemplo, mostrara que hay dominios que no son DFU.

Ejemplo A.

Un dominio que no es DFU.

Sea   Vimos en un ejemplo del capítulo La Divisibilidad   es un irreducible de   que no es primo, por lo que   no puede ser un DFU. En consecuencia, tampoco puede ser   o euclídeo.




Ejemplo B.

Un dominio donde dos elementos tienen mcd, pero no mcm.

Sea   (ver el ejemplo anterior) y sea   Entonces, 3 es un elemento irreducible que no divide a   por lo que  

Supongamos ahora que   Entonces, excepto por un factor que fuera una unidad, tendríamos que   Sin embargo, este valor para   produce una contradicción, ya que (por el ejemplo anterior) 21 es un múltiplo común de 3 y   pero no es un múltiplo de   Sin embargo,   es la única posibilidad lógica. En efecto, sea   igual a   Entonces,   digamos que,   Ya que   es un múltiplo común, se debe tener que   digamos que   Tomando conjugados y multiplicando, tendremos que

 

Pero,   por lo que   Luego,   y   son enteros divisores de 21. Por lo que son iguales a 1, 3, 7, o 21.

  • Si cualesquiera de esos números fuera 1, tendríamos que   o   serían unidades.
  • Si   fuera un unidad, entonces   una contradicción.
  • Si   fuera una unidad, entonces   debe ser   que es lo que queríamos probar.
  • Las alternativas 3 o 7 son imposibles porque no hay elementos con ese tamaño en  
  • Finalmente, si uno de ellos fuera 21, el otro sería 1, y estaríamos al comienzo de nuestro análisis.

Ejemplo C.

Un DFU que no es DIP:  

Sea   el anillo de los polinomios con coeficientes enteros. Vimos que   es un DFU, ver corolario A.1 del capítulo La Factorización de Polinomios. Pero, mostraremos a continuación que no es un DIP.

Consideremos al ideal   en   y supongamos que   fuera un DIP. Entonces, tendríamos un polinomio, digamos   que generaría el ideal. Como 2 está en   se debe cumplir que   lo que implica que el grado de   es cero y, por lo tanto, que es un elemento de   Luego,   debe ser una unidad, o sea 1 o   o un asociado de   o sea 2 o  

Como   (Si     debe tener todos sus coeficientes pares, mientras que   es mónico). Luego, como     no puede ser un asociado de 2, por lo que debe ser igual a  . Sin embargo, como   está en   debe haber polinomios     tales que

 

Lo que es imposible, ya que   no tiene términos constantes y todos los coeficientes de   son pares.


Ejemplo D.

Se puede verificar, pero no es trivial, que   es un DIP que no tiene estructura euclídea posible.


Ejercicios del CapítuloEditar

  1. Sean     elementos de un dominio. Probar que   ssi,   y   son asociados.
  2. Probar que la relación de "ser asociado con" es una relación de equivalencia.
  3. Sea   Definir   (conjugado como complejo)
    1. Verificar que   y que  
    2. Probar que   es un dominio.
    3. Probar que  
    4. Probar que  
    5. Probar que   es una unidad, ssi,   Hallar las unidades de  
    6. Probar que para todo número complejo   hay un elemento   de   tal que  
    7. Probar que   es un dominio euclídeo.
    8. Probar que   es primo en  
  4. Sea  
    1. Probar que   es un dominio contenido en