Álgebra Abstracta/Factorización de Polinomios

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Álgebra Abstracta


IntroducciónEditar

Este capítulo tiene como objetivo final el estudio de la factorización de polinomios con coeficientes en Enteros, los Racionales, los Reales y los Complejos.

Cuando se desarrolló la teoría para dicho estudio se observó que dependía de dos resultados:

  1. Los Racionales son el cuerpo de fracciones del dominio  , y
  2. Cada número entero no nulo puede expresarse como una unidad por un producto único de potencias de primos.

Los resultados pueden generalizarse fácilmente al estudio de las relaciones entre la factorización de polinomios sobre dominios donde se tiene la propiedad de factorización única y la factorización de esos polinomios sobre el cuerpo de fracciones del dominio/

Este será el camino que seguiremos en las primeras secciones del capítulo. Posteriormente aplicaremos los resultados a la factorización sobre los cuerpos  ,   y  .

Veremos, también, los polinomios ciclotómicos que están relacionados con la factorización de  , por su importancia en diferentes áreas de la matemática.

Finalmente, veremos una reseña del llamado Teorema Fundamental del Álgebra.

Los Dominios de Factorización ÚnicaEditar

La siguiente definición singulariza a los dominios que tienen la propiedad de factorización única, tales como los Enteros y los anillos de polinomios sobre cuerpos.

Definición. (Dominio de Factorización Única, DFU) Decimos que un dominio es un dominio de factorización única, ssi, cada elemento no nulo que no sea una unidad se puede factorizar como un producto de elementos irreducibles de manera única.

.

Diremos que la expresión de un elemento en un producto de irreducibles es la descomposición del elemento en un producto de irreducibles. La unicidad de la descomposición significa que si tenemos dos descomposiciones del mismo elemento, digamos que

 

donde  's y  's son irreducibles, entonces se tiene que  , y que cada   es un asociado de  , posiblemente después de una reenumeración de los irreducibles  's.

Los ejemplos básicos de DFUs son los Enteros:  , y el anillo de polinomios  , cuando   es un cuerpo.

Se verifica que los dominios de ideales principales (DIPs) son siempre DFUs. El lector interesado puede examinar lo hecho en el caso de los polinomios sobre un cuerpo para intentar la demostración de esa afirmación.

Una consecuencia de la descomposición única en producto de irreducibles es que dos elementos, no ambos nulos, siempre tienen mcd y mcm.

Proposición 1. En un DFU, dos elementos no nulos tienen MCD y MCM.

    Demostración: (La demostración es el proceso usual para calcular el mcd y el mcm de dos números enteros cuando se conoce sus factorizaciones en números primos.) Sean   y   dos elementos no nulos de  . Sean   la reunión de los irreducibles que aparecen en la descomposición de   con los irreducibles que aparecen en la descomposición de  . Entonces, podemos poner que
     

    donde los  's y  's pueden ser positivos o cero (cero cuando el irreducible no aparecía en la descomposición en irreducibles del elemento). Sea  ,  . Entonces,   es un mcd de   y  . Análogamente, pero usando el mayor exponente en cada descomposición, obtenemos un mcm. Dejaremos al cuidado de lector la verificación de lo anterior.


Otra consecuencia importante de la descomposición única es la siguiente proposición.

Proposición 2. En un DFU, los irreducibles son primos.

    Demostración: Supongamos que   es un irreducible tal que  . Debemos probar que   o  . Si   no hay nada más que probar. Supongamos que   y que   es tal que   (*). Como   es un factor de la izquierda en (*), por la unicidad de la descomposición, debe aparecer en la descomposición en irreducibles del lado derecho de (*). Como   de be aparecer en la descomposición en irreducibles de  . En consecuencia,  .


Un estudios más detallado de los DFUs, se hallará en el capítulo Tipos de Dominio.

Polinomios sobre Dominios de Factorización ÚnicaEditar

El principal objetivo de esta sección será generalizar relaciones entre polinomios en   y polinomios en  , a polinomios sobre  --  un DFU---y polinomios sobre  , donde   es el cuerpo de fracciones de  . Comenzaremos generalizando una propiedad de los polinomios con coeficientes enteros, llamada en ese contexto, el teorema de los ceros racionales}.

Proposición 3. (Teorema de los Ceros Racionales de Descartes) Sea   un DFU y sea   su cuerpo de fracciones. Sea   un polinomio de grado   en  , entonces si   con   y   en   y con su mcd igual a 1, es un cero de  , se cumple que   y que  .

    Demostración: Como   es un cero de   en  , tendremos (en  ) que
     

    De donde, multiplicando por  , tendremos que:

     

    En la igualdad anterior,   divide de manera obvia cada uno de los sumandos, excepto a lo más el último. Como, también, divide trivialmente al segundo miembro, concluimos que debe dividir al mencionado sumando. Es decir,  ; pero como  , concluimos que  .

    Razonando de manera análoga con  , se concluye el otro resultado.


Corolario 2.1. Sea   un DFU y   su cuerpo de fracciones. Sea   mónico. Cualquier cero en   de   es un elemento de  .

    Demostración: Sigue del teorema que si   es una solución,   divide al coeficiente líder del polinomio; como dicho coeficiente es 1, se concluye que   es una unidad, por lo que su recíproco está en  . Es decir que   está en  .


Recordemos que llamamos número algebraico a cualquier número complejo que es un cero de un polinomio con coeficientes enteros. Cuando el polinomio es mónico, decimos que se trata de un entero algebraico. Sigue del corolario anterior que,
Corolario 2.2. Si   es un entero algebraico que es un número racional, se tiene que es un entero ordinario (o sea un elemento de  ).

El resultado anterior tiene, entre sus aplicaciones, la demostración de la irracionalidad de algunos números.

Ejemplo.

Probar que   es irracional.

Resolución> Busquemos un polinomio que tenga a   como un cero.

 

Luego,   es un cero del polinomio mónico   que es un polinomio en  . Si   fuera racional, sería (por el corolario) un número entero  . Por la proposición,  . Luego,  . Pero,   y  , por lo que   no puede ser entero. Hemos llegado a una contradicción que implica que   no es racional.


Convenio. En el resto de esta sección, supondremos que   es un DFU y que   es su cuerpo de fracciones.


Estudiaremos, a continuación, la relación entre los irreducibles de   y aquellos de  . Para ese estudio, introduciremos la noción de polinomio primitivo que resultara fundamental.

Definición. (Polinomio Primitivo) Sea   un DFU. Diremos que un polinomio   en   es primitivo, ssi, un máximo común divisor de sus coeficientes es una unidad.


Lema A. Sea   un DFU. Sea   un polinomio en   y sea   el mcd de sus coeficientes. Entonces   donde   es primitivo. Además, dicha descomposición es única, excepto por asociados. Es decir, si   donde   y   son elementos de   y   y   son polinomios primitivos, entonces se debe cumplir que   y   son asociados en  , y que   y   son asociados en  .

    Demostración: La existencia es inmediata, basta con factorizar el mcd de los coeficientes. Supongamos que   como en las hipótesis. Como  , se ve que   y   son máximos común divisores de los coeficientes de  ,por lo que   y   son asociados. Digamos que   con   unidad. Sustituyendo en la relación anterior,  , se ve que   y   son asociados.


Proposición 4. (Lema de Gauss) El producto de dos polinomios primitivos es primitivo.

    Demostración: Sean   y   dos polinomios primitivos y sea  . Queremos probar que   es primitivo. Sean
     

    Supongamos que hubiera un irreducible   en  , que dividiera a todos los coeficientes de  . En particular,   dividiría a  , por lo que dividiría a   o a  . Supongamos que   dividiera a  . Como   y   son primitivos,   no puede dividir a todos los coeficientes de   ni a todos los coeficientes de  . Sea   el menor coeficiente de   tal que   y sea   el menor coeficiente de   tal que  . Notemos que  , mientras que  . Veamos el coeficiente de   del producto. Se trata de

     

    Observemos que   divide la primera expresión entre paréntesis, ya que divide cada uno de los  's que allí aparece. Igualmente, divide a cada uno de los  's que aparecen en la segunda expresión entre paréntesis. Pero,   no divide a  . Por lo que   no divide a todos los coeficientes del producto. Luego, dicho producto debe ser primitivo.


La siguiente proposición es la proposición central para nuestros efectos.

Proposición 5. Sea   un DFU y sea   su cuerpo de fracciones Sea   un polinomio primitivo en   con grado mayor o igual que 1. Entonces   es reducible en  , ssi,   es reducible en  .

    Demostración: Como   puede considerarse como un subanillo de  , podemos también considerar a   como un subanillo de  . Supongamos que   fuera reducible en  , digamos que {{Eqn} |1}} donde ni   ni   son unidades. Si  , entonces   donde   es un elemento de  . Entonces  , pero como   es primitivo,   sería una unidad, por lo que   sería una unidad. Luego  . Análogamente,  . Como,   es un subanillo de  , la ecuación (1) es válida en  , y ni   ni   pueden ser unidades en  , por lo que   es reducible en  . Recíprocamente, sea   un polinomio primitivo en   que es reducible en  , digamos que   en  , con grados de   y   mayores o iguales que 1 y con coeficientes en  . Escribamos todos los coeficientes de   y   de modo que las fracciones en los coeficientes tengan un denominador común, digamos  . Entonces
      (2


    donde   y   son polinomios en  . Sea   el producto del mcd de los coeficientes de   y  . Entonces,

      (3


    donde  , pero   y  ,   son polinomios primitivos en  .

    Como el lado izquierdo es un polinomio en  , se tiene que el polinomio de la derecha es también un polinomio en  , por lo que   debe ser un factor de todos los coeficientes de   y de todos los de  . Como esos polinomios son primitivos, se debe cumplir que   es una unidad de  , digamos que hay un   en   tal que  . Luego,

      (4


    Como   es primitivo, cualquier común divisor de sus coeficientes es una unidad en  . Como a la derecha el máximo común divisor de los coeficientes es   multiplicado por una unidad, se tiene que   es un mcd de los coeficientes de  , por lo que debe ser una unidad en  . Luego, la ecuación (4) es una igualdad en  , que prueba que   es reducible.


Ejemplo.

Consideremos el polinomio   de  . ¿Es   reducible como polinomio de  ?

Resolución. Si lo fuera, lo sería, por la proposición anterior, también en  , donde se tendría que

 

con   y   enteros cuya suma debería ser igual a 14 y cuyo producto sería igual a 6. Como, claramente, tales números no existen, concluimos que   es irreducible en  .


El siguiente corolario a la proposición anterior es clave para la demostración de que   es DFU cuando   lo es.

Corolario 5.1. Sea   un DFU. Los polinomios irreducibles de   son polinomios primos.

    Demostración: Sea   un polinomio irreducible de  . Probaremos, primeramente, que   es primitivo. Por el Lema A se tiene que   donde   es primitivo. Si   no fuera unidad, tendríamos que lo anterior sería una factorización de   tal que ninguno de los factores es una unidad. Luego,   es una unidad. Esto implica, que   y   son asociados, por lo que concluimos que   es un polinomio primitivo. Si el grado de   fuera 0, tendríamos que   es un elemento de   y, en un DFU los irreducibles son primos, por lo que   sería un elemento primo de  . Probaremos, que también es primo en  . Supongamos que  . Usando el lema citado, podemos escribir
     

    donde   y   son elementos de   y   y   son polinomios primitivos. Por el lema de Gauss,   es también primitivo. Por lo que la única manera que   es que  , Pero como, irreducibles son primos en  , se debe tener que   o  . Por lo que,   o  , o sea que se trata de un primo en  .

    Supongamos ahora que el grado de   es positivo y que  . Debemos probar que   o  . Sea   el cuerpo de fracciones de   y la relación   en  . Por la proposición,   continúa siendo irreducible en  ; como   es un DFU, tenemos que   es primo en  . Luego,   o  . Supongamos que  . Es decir que hay un   en   tal que

      (1


    Se tiene que podemos escribir   como

      (2


    Donde   es un polinomio primitivo en   y  ,   son elementos de   con  . Luego

      (3


    El producto   es un polinomio primitivo, ya que es un producto de polinomios primitivos. Como   es un polinomio con coeficientes en  , cada coeficiente de   debe ser divisible por  . Luego,   es una unidad de   y   está en  . Luego, la ecuación (3) muestra que   divide a   en  .


Teorema A. Si   es un DFU, entonces   es un DFU.

    Demostración: Sea   un polinomio no nulo, debemos probar que   es un producto de irreducibles esencialmente de una única manera---o sea, excepto por factores que sean unidades. La prueba es por inducción sobre el grado de  . Si el grado de   es cero, entonces   es un elemento de  . Si   fuera reducible en   lo sería en  . Es decir que elementos irreducibles de   permanecen irreducibles en  . Como   es un DFU,   tiene una factorización única en términos de irreducibles. Supongamos que el grado de   fuera   y supongamos el resultado válido para todos los polinomios con grado inferior a  . Si   es irreducible, no hay nada más que probar. Supongamos que   fuera reducible, entonces,
     

    Por la hipótesis de inducción, se tiene que   y   tienen una descomposición en irreducibles. Por lo que su producto,   también la tiene.

    Para probar la unicidad, se razona como en la proposición correspondiente en el caso de los polinomios. Es decir, usando que irreducibles son primos, y cancelando los primos asociados en ambas descomposiciones.



Corolario A.1.   es un DFU.


El Criterio de EisensteinEditar

Hay un criterio muy útil para saber si un polinomio es irreducible en   y, por lo tanto, en  , donde   es el cuerpo de fracciones de  .

Proposición 6. (Criterio de Eisenstein) Sea   un DFU. Sea   en  

 

Si hay un primo   en   tal que   cuando  ,   y  , entonces   es irreducible en   (y, pot lo tanto, en  ).

    Demostración: Si   no es un polinomio primitivo, podemos tomar un máximo común divisor de sus elementos, digamos   y poner  , donde   es un polinomio primitivo en  . Notemos que como polinomios en  ,   y   son asociados. Sea   un primo que satisface las hipótesis para  . Como  , tenemos que  . Luego, si   es el coeficiente del término de grado  , tenemos que  , ssi,  , para  . Análogamente, las otras condiciones se cumplen para  . Por lo que, sin perdida de generalidad, podemos suponer que el polinomio   del enunciado del teorema es primitivo en  . Por la proposición 5 basta con probar que   es irreducible en  . Supongamos que, al contrario, en   se cumple que
     

    Por los hipótesis, tenemos que  , por lo que   o  . Sin perdida de generalidad, podemos suponer que  . Entonces,   ya que  . Notemos que   no puede dividir todos los coeficientes de  , ya que   pues  . Luego, hay un   tal que  , pero  . Además,  . Examinemos el coeficiente   de  .

     

    Sabemos por hipótesis que  . Por definición de  ,   divide todos los sumandos   con  . Luego,  . Como  , se debe cumplir que  . Pero esto contradice, la elección de  . Hemos llegado a una contradicción, lo que prueba que   es irreducible en  .


Ejemplos.

  1. El polinomio   es irreducible en   ya que satisface el criterio de Eisenstein con  .
  2. Sea   un entero primo. Sea
     

    Nos interesa probar que   es irreducible en  . (Por lo que todos sus ceros serán irracionales.) Claramente, el criterio de Eisenstein no es aplicable, al menos directamente. Pero el siguiente truco lo hace. Sea

     

    Por el criterio,   es irreducible. Esto implica que   es también irreducible. Ya que si   se tendría  .


EjerciciosEditar

  1. Hallar un polinomio primitivo que sea un asociado de
    1.  .
    2.  .
  2. Hallar todos los ceros racionales de
    1.  .
    2.  .
  3. Probar que un polinomio mónico de   es primitivo.
  4. Probar que   es irreducible en  , probando que es irreducible sobre  . (Sugerencia: probar que no tiene factores lineales ni cuadráticos. Para lo último usar que el único polinomio cuadrático de   es  .)
  5. Probar que si   es un DFU, entonces   es un DFU, donde   son indeterminadas sobre  .
  6. Probar que   es irreducible en  . (Sugerencia.   y   es primo (irreducible) en  .)
  7. Sea   donde   es una indeterminada sobre  . Probar que   es irreducible en  .

Factorización sobre los RacionalesEditar

La factorización sobre   usa todos los resultados anteriores más algunas manipulaciones interesantes. En primer lugar, observemos que si   es un polinomio en   y   es igual al mcm de los denominadores de sus coeficientes, entonces

 , donde   es un polinomio en  . Si resultara que   fuera primitivo, tendríamos que sus factores irreducibles en   serían iguales a sus factores en  , ver la proposición 5. Por lo que, en principio, basta considerar polinomios primitivos en  . Como los polinomios mónicos son ciertamente primitivos, veremos a continuación un truco para convertir un polinomio en un polinomio mónico, cuya factorización se refleja en la factorización del polinomio original. Comenzaremos con un ejemplo de factorización, que recuerda un truco de la escuela secundaria.

Ejemplo.

Factorizar  .

Resolución. Sea  , entonces  . Sea  . Entonces,  , o sea un polinomio mónico. Por inspección es fácil ver que  . Por lo que

 . Como  , tenemos que  .

Notemos, la sustitución   que ayuda en la factorización anterior.


Lo hecho en el ejemplo anterior es totalmente general. En efecto, sea  ,  . Si   entonces   es mónico. Supongamos que  . Sea  . Tenemos que

 

Poniendo,  , se tiene que  . Es decir que   es mónico como polinomio en la indeterminada  .

Proposición 7. Sean   y   como en la discusión anterior. Entonces,   es irreducible, ssi,   es irreducible.

    Demostración: Si   fuera una factorización propia de  . Entonces,  . Análogamente, si   fuera reducible.


La demostración muestra que cualquier factor irreducible de   lo es de   y viceversa. Es decir, que podemos factorizar el polinomio mónico, para obtener la factorización del polinomio general.

Ejemplo.

Factorizar  .

Resolución. Sea  , con  .

Por el teorema de los ceros racionales, los únicos ceros posibles enteros son los divisores de 12:  ,  ,  ,  ,   y  . Evaluando tenemos que

 

Por lo que   es un cero y, por lo tanto,   es un factor de  ; o, equivalentemente   es un factor de  . Notemos que como el grado de   y   es 3, podemos hallar los otros posibles ceros, hallando primeramente el cociente entre   y  .

Usando el resultado del ejemplo siguiente a la proposición 6,el cociente es un polinomio irreducible sobre  . Luego,

 

Criterio de Irreducibilidad: reducción módulo mEditar

Además del criterio de Eisenstein, hay un método relativamente simple de verificar si un polinomio en   es irreducible. Ilustraremos el método con un ejemplo.

Ejemplo.

Probar que   es irreducible sobre  .

Resolución. Considerando el polinomio como un polinomio sobre  , vemos que  , es decir que no tiene ceros sobre  , por lo que no es factorizable sobre  . La conclusión es que no puede serlo sobre  , por lo que discutiremos a continuación.


Sea   en  , tal que  . Sea   un número entero y definamos   como la reducción módulo   de los coeficientes de  , es decir que  . Por ejemplo,

  . Notemos que dicho polinomio es, por evaluación en 0 y 1, irreducible en  . La siguiente proposición muestra que es irreducible en  .

Notemos que si   es mónico, también lo será   y, entonces, los grados de ambos polinomios son iguales.

Proposición 8. Sea   un polinomio mónico en  . Si para algún entero  ,   es irreducible en  , entonces   es irreducible en  ; donde   es la reducción de los coeficientes módulo  .

La demostración sigue del siguiente lema cuya demostración dejaremos de ejercicio.

Lema B. Sea   un polinomio mónico en  . Si   en   entonces  .

    Demostración de la proposición: Directo del lema, ya que si   es reducible sobre  , su reducción módulo   también lo será, para todo  .


Ejemplo.

Sea  . Entonces,  . Ese polinomio es reducible en  , ya que  . Sin embargo,   es tal que  , por lo que es irreducible en  . Luego, el polinomio   es irreducible en  .


EjerciciosEditar

  1. Factorizar los siguientes polinomios sobre  
    1.  .
    2.  .
    3.  .
  2. ¿Cuáles de los siguientes polinomios son irreducibles sobre  ?
    1.  .
    2.  .
    3.  .
    4.  .
    5.  .
    6.  .
  3. Probar que si   y   son números enteros tales que   y   no es un cuadrado en  , entonces   es irreducible en  .

Los Polinomios CiclotómicosEditar

Consideremos al polinomio   de  . Los ceros complejos de   se llaman las raíces enésimas de la unidad. Sabemos de trabajos anteriores que tales raíces forman un subgrupo multiplicativo de   que denotamos por  . El grupo   es cíclico y de orden  .

Decimos que una raíz enésima   es una raíz enésima primitiva de la unidad, ssi, es un generador de  .

Se sabe que   es una raíz primitiva de la unidad, por lo que

 

Se tiene que   es primitiva, ssi,  .

La notación   resulta muy conveniente en este contexto, porque permite usando propiedades de potencias escribir resultados de forma compacta. La siguiente proposición muestra algunas propiedades de esa notación, que está conectada con la llamada representación polar de los complejos.

Proposición 9. (Propiedades de  )

  1. Si   entonces   donde   es el módulo o largo de   que es igual  . El ángulo   es el argumento de   y está definido por  .
  2. El módulo de   es 1.
  3.  .
  4.  .

    Demostración: Ejercicio.


Definición. (Polinomio Ciclotómico Enésimo) Sea   un entero positivo y sea   una de las raíces primitivas de  . Llamamos enésimo polinomio ciclotómico al polinomio en  .

 

Observemos, primeramente que el grado de   es   donde   es la función de Euler.

Los primeros polinomios ciclotómicos son:

 

Notemos que cada uno de los polinomios anteriores tienen coeficientes enteros. Esto es válido en general.

Proposición 10. Sea  . Entonces,

  1.  .
  2. Para todo  ,   tiene coeficientes enteros, es decir que
     

    Demostración:
  1. Los ceros del polinomio de la derecha en a) son las raíces primitivas  --ésimas para  , que también son ceros del polinomio de la derecha. Supongamos que  ,   fuera un cero del polinomio de la izquierda, entonces   es también una raíz primitiva  --ésima para algún  , por lo que es un cero del polinomio de la derecha. Luego, ambos polinomio son mónicos y tienen los mismos ceros, ninguno de ellos múltiple, deben ser el mismo polinomio.
  2. (Por inducción sobre  ) Claramente,   es un polinomio en  . Usando la identidad probada en a), tenemos que
     

    Por inducción,  . Dividiendo   por   en  , obtenemos   y   únicos en   tales que   con   y   y   en  . Aplicando la unicidad para polinomios en   obtenemos que   y  , lo que prueba la afirmación. \qedhere


Corolario 10.1.  ,

    Demostración: Calculando grados en la igualdad de la parte a).


Ejemplo.

Hallar  .

Resolución. Se tiene que  . Despejando, tenemos que

 


EjerciciosEditar

  1. Hallar  , para  .
  2. Hallar  , para   primo.
  3. Sea   donde   y   primos diferentes. Probar que
     
  4. Verificar que los polinomios  , para   son irreducibles sobre los enteros. ¿Cuáles de esos polinomios son irreducibles sobre   y  ?
  5. Un elemento   de   se dice que es una raíz primitiva módulo  , ssi, el grupo multiplicativo   es cíclico y generado por  . Es decir que el orden (multiplicativo) de   es  , donde   es la función de Euler. Hallar raíces primitivas, si existen, en:
    1.  ,  ,  .
    2.  ,  ,  .
  6. (Existencia de raíz primitiva en cuerpos finitos.) Sea   un cuerpo finito con   elementos. Entonces, poniendo   tenemos que   es un grupo con orden  . Sea   el mínimo común múltiplo de los ordenes de los elementos de  . Probar las siguientes afirmaciones.
    1. Cada elemento de   es un cero de  , luego  .
    2. Por el teorema de Lagrange, para cada   en  ,  , luego  .
    3.  , por lo que hay un elemento de orden   en  .
  7. Probar las siguientes relaciones sobre los polinomios ciclotómicos en  .
    1.   cuando   es impar.
    2.  .
    3. Si   entonces   en  .

El Teorema Fundamental del ÁlgebraEditar

Discutiremos en esta sección, la factorización de polinomios con coeficientes en los Complejos, que tiene entonces como casos especiales los casos con coeficientes en   y en  .

Vimos en la sección pasada que la factorización en   puede reducirse a la factorización en  . Hay, además, algoritmos debidos a Lagrange (no muy efectivo) y a Berlekamp (bastante eficiente) para la factorización para polinomios con coeficientes enteros. Al contrario, para polinomios arbitrarios con coeficientes reales o complejos no hay tales algoritmos. Hay, sin embargo, fórmulas para la resolución de ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado, que permiten factorizar polinomios de grado inferior a 5. La búsqueda de ceros de polinomios cualesquiera en   puede hacerse en forma aproximada mediante algoritmos, siendo uno de los más eficientes aquel de Newton--Raphson que aparece en los cursos de Cálculo.


En los aspectos teóricos, la experiencia en la resolución de ecuaciones llevó a conjeturar que

  • Cada polinomio con coeficientes reales o complejos siempre tiene un cero complejo. (Albert Girad, 1629)
  • No hay polinomios irreducibles en   de grado mayor que 2.

La primera conjetura se conoce como el teorema fundamental del Álgebra, y pruebas relativamente completas de ese resultado empezaron a aparecer a partir de 1801 (Gauss). Formalmente, el resultado es

Teorema Fundamental del Álgebra Cada polinomio   en   de grado positivo tiene al menos un cero en  .

La demostración del teorema escapa el alcance de este libro por lo que referiremos a la literatura para la misma. Usualmente aparece en libros de Análisis sobre los Complejos y, también, en textos más avanzados de Álgebra, por ejemplo, mirar en [1].


Sigue del teorema que cualquier polinomio en   de grado   factoriza en exactamente   factores lineales (con posibles repeticiones). En particular, todos los polinomios con coeficientes racionales o reales factoriza en factores lineales sobre  ,

Ejemplo.

En un ejemplo anterior vimos que   factoriza sobre   como  . Usando la fórmula cuadrática, vemos que  , ssi,

 

Si   y   entonces

 

Usaremos el teorema fundamental para probar la segunda conjetura mencionada.

Proposición 11. No hay polinomios irreducibles de grado mayor que   en  ,

    Demostración: Sea   un polinomio de grado mayor que 2 de  . Si   tiene un cero en  , entonces, como sabemos,   es reducible. Supongamos que   no tiene ceros reales. Por el teorema fundamental tiene al menos un cero complejo, digamos  . Sea  . Si  , entonces   y
     

    Como   no tiene ceros reales es irreducible sobre  .

    Dividiendo   por   en  , obtendremos un cociente   y un residuo   tal que  , donde el grado de   es a lo más 1, digamos que  , con   y   en  . Evaluando (1) en   se tiene que

     


    Como   es un cero de   y   concluimos que  . Pero, esto implica que   (ver ejercicio \ref{ex100401}). Luego,  , y, por lo tanto,   divide a  . Es decir que   es reducible.


Observación. El tema de los ceros de polinomios con coeficientes reales es un viejo tema. Algunos de los primeros resultados incluyen un teorema (la Regla de Descartes) sobre la cantidad de soluciones positivas y negativas de una ecuación polinómica. Hay otro teorema (algoritmo de Sturm) que permite computar la cantidad de ceros entre dos números dados. Como dijimos anteriormente, cuando se desea factorizar un polinomio real, lo usual es usar métodos aproximados. El lector debe buscar un libro sobre Análisis Numérico para ver acerca de dichos métodos.


EjerciciosEditar

  1. Sea   un número complejo que no es real. Sean   y   números reales tales que  . Probar que  . (Tomar conjugados en la relación  ).
  2. Sea   un polinomio en  , donde   es un cuerpo cualquiera. Probar que si   es un cuadrado prefecto en  , digamos que  , entonces los ceros de   en   están dados por la "fórmula cuadrática",
     
  3. Probar que  , donde   tiene dos soluciones complejas   y   (Use la relación de Moivre)
  4. Sea   un número real positivo. Probar que los ceros de   son de la forma  ,  , donde es una raíz enésima primitiva de la unidad.

NotasEditar