Álgebra Abstracta/Acciones de Grupos

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Álgebra Abstracta


IntroducciónEditar

Las acciones de un grupo cualquiera sobre un cierto conjunto son generalizaciones de dos importantes acciones:

  • la acción del grupo simétrico   sobre los elementos de   mediante permutación de sus elementos, y
  • la acción del grupo lineal   sobre los puntos del espacio  -dimensional   mediante la multiplicación de una matriz por un vector.

G-conjuntosEditar

Definición. (G-Conjunto) Sean   un grupo y   un conjunto no vacío. Decimos que   actúa en   cuando hay una función

 

tal que, simbolizando   a la imagen por   de la pareja   se cumpla que:

  1.  
  2.  

En tal situación, decimos que:   es una acción de   sobre   o, también, que   es un G-conjunto.

Ejemplos.

  1. Sea   un conjunto no vacío. El grupo simétrico   actúa de manera natural sobre   mediante la acción definida por
     
  2. La acción de   asocia a cada matriz   del grupo y punto   el punto   (multiplicación de matriz por vector).
  3. Cada grupo   actúa sobre si mismo mediante la acción definida por la operación del grupo.
    1. (Acción por la izquierda)  
    2. (Acción por la derecha)  
  4. Sea   un grupo. Otra acción de   en si mismo mediante es provista por la conjugación. Para cada   en   recordemos que llamamos conjugación por   a la función de   en si mismo,   tal que
     

    Es fácil verificar que la función

     

    define una acción de   sobre si mismo. \fin

  5. Sea   un grupo y   un subgrupo de   Entonces   actúa en   mediante la acción definida por:
     

Observación. Asociado a  -conjuntos, tenemos la noción de  -subconjunto. Un subconjunto   de un  -conjunto   es un  -subconjunto, ssi, para todo   en     en     está en  . También, decimos que   es G-invariante.


Definición. (G-morfismo) Sean     dos  -conjuntos. Decimos que una función   es un  -morfismo, ssi,   permuta con la acción. Es decir, ssi,

 


  • Claramente, la identidad es un  -morfismo y la composición de dos  -morfismos es un  - morfismo.
  • Cuando no haya riesgo de confusión, de ahora en adelante, podremos escribir simplemente   en lugar de  
  • La terminología de mono, supra, endo, auto se extiende a  -morfismos con el significado obvio.

Como se cumple que   se tiene que cada función   es invertible. Es decir que podemos definir de manera natural una función

 

que asigna a cada   en   la función   en   Las suposiciones sobre la acción implican que esa función es un homomorfismo de grupos. De forma recíproca, cuando   sea un homomorfismo cualquiera de grupos, podemos definir una acción de   en   por:

 

Es decir que hay una correspondencia, que se puede probar que es biyectiva, entre acciones de   sobre   y las representaciones (homomorfismos) de   en   (Representación permutacional del grupo.)

La última correspondencia nos dice también que si   es un  -conjunto y hay un homomorfismo de grupos     es también un  - conjunto, vía la composición de homomorfismos.

En particular, cuando   sea una subgrupo de   cada  - conjunto tendrá una estructura de  -conjunto, vía la inclusión, a la que llamaremos la restricción de la acción de G a H.

Definición. (Órbita, Grupo de isotropía) Sean   un  -conjunto y   un elemento de  

  1. Llamamos órbita de   por   al subconjunto de   formado por todos los elementos de   de la forma   Notación:  
  2. Cuando sólo haya una órbita para la acción del grupo, decimos que el grupo actúa transitivamente, o también que el  -conjunto es transitivo.
  3. Decimos que un elemento   de   fija a   cuando  
  4. Llamamos grupo de isotropía o estabilizador de   al subconjunto de   formado por todos los elementos de   que fijan a  
     

Es fácil verificar que   es un subgrupo de   (de ahí el nombre de grupo). En efecto,   no es vacío, ya que contiene al neutro. Si   y   están en   se tiene que:

 


Ejemplos.

  1. El grupo   actúa en   de manera transitiva, ya que dados elementos     la transposición   toma uno en el otro. Por lo tanto, todos los elementos de   pertenecen a la misma orbita.
  2. El grupo simétrico en   elementos puede considerarse actuando en   , por la acción natural sobre   Coincide así con el subgrupo de   formado por las permutaciones que dejan a   fijo. Es decir, que podemos identificar el grupo simétrico   con el (sub)grupo de isotropía de   en   %
  3. Sea   el subgrupo de   generado por     actúa en   fijando   y   y permutando   y   Por lo tanto, tendremos tres órbitas:     y  
  4. La acción (izquierda o derecha) de una grupo en si mismo definida por la operación es una acción transitiva. Es decir que hay una única órbita para la acción que es igual a todo el grupo.
  5. En la acción por conjugación, la órbita de   es la clase de conjugación de   y el grupo de isotropía de   es el centralizador de  
     
  6. El grupo de isotropía de   por la acción natural de   en   consiste de todos los   en   tales que   Es decir de todos los   en   Es decir, el grupo de isotropía de   coincide con   Claramente, la acción de   es transitiva sobre  

La siguiente proposición es de fácil verificación:

Proposición 1. Sea   un  -morfismo. Entonces, el grupo de isotropía de   está contenido en el grupo de isotropía de   Además, dichos grupos coincidirán, cuando   sea inyectiva.


Sean   un  -conjunto,     elementos de   y   un elemento en las órbitas de   y   Entonces, podremos hallar     en   tales que   Por lo que,   lo que implica que   está en la órbita de   y viceversa. Por lo tanto, las órbitas o son iguales o no se intersecan. Es decir, las órbitas de la acción de   definen una partición de   En otras palabras:

Proposición 2. Sea   un  -conjunto. Si definimos la relación   por   ssi,   para algún   en   se tiene que:   es una relación de equivalencia cuyas clases de equivalencia coinciden con las órbitas de   en  

Sea   un  -grupo y sea   un elemento de  

Sea   definida por   Como   tendremos que   es una  -morfismo, cuya imagen es precisamente la órbita de   Notemos que   es equivalente a afirmar que   Es decir, que   Esto, a su vez, implica que las clases de equivalencia de   coinciden con las clases laterales izquierdas de   respecto a   En particular, esto nos dice que hay una biyección entre   y   Tal biyección es un G-morfismo, o sea que como G-conjuntos son isomórficos.

Sea   un subgrupo cualquiera de   entonces   es de forma natural un  -conjunto. Supongamos que hubiera una  -morfismo   de   en   tal que   Entonces, como el grupo de isotropía de   estaría contenido en el grupo de isotropía de   tendríamos que   sería un subgrupo de   En forma recíproca, si   es un subgrupo de   podemos definir   por

 

La función estará bien definida, ya que si   se tendría que   Además   y   Es decir,   es un  -morfismo. Es decir, que hemos probado la siguiente proposición.

Proposición 3. Sea   un  -conjunto,   un subgrupo de   y un  -mor\-fismo   de   en   tal que   ssi,   Dicha aplicación es un  -isomorfismo cuando   Es decir, como  -conjuntos son isomorfos   y   (la órbita de  ).

Corolario 3.1. Sea   un grupo finito que actúa en el conjunto finito   Entonces,

 


Las órbitas de   en el  -conjunto   determinan una partición de   Llamaremos conjunto de representantes de las órbitas, a un subconjunto   de   que contiene exactamente un elemento de cada una de las órbitas.

Corolario 3.2. (Conteo para  -conjuntos) Sea   un  -conjunto finito. Entonces,

 

Donde   es un conjunto de representantes de las órbitas.


EjerciciosEditar

  1. Sea   un grupo tal que   con   primo.
    1. Cada clase de conjugación de   tiene como cardinal una potencia de  
    2. Considere el conjunto formado por todos los elementos cuya clase de conjugación consiste de un sólo elemento. Probar que dicho conjunto no es vacío.
    3. Usando el hecho que:
       

      donde los   denotan a las distintas clases de conjugación de   concluir que hay elementos diferentes del neutro que tienen clases de conjugación consistentes de un único elemento. ¿Cuál es el número mínimo de esos elementos?

  2. El centro de un grupo consiste de todos aquellos elementos que permutan con todos los elementos del grupo.
     
    1. Probar que el centro de un grupo es un subgrupo del grupo.
    2. Probar que la clase de conjugación de cada elemento del centro consiste únicamente del elemento. Usar esto para probar que el centro es un subgrupo normal de G.
    3. Probar que el centro de un  -grupo (un grupo cuyo orden es una potencia de     primo) es no trivial.
    1. La intersección de una familia de  -conjuntos es un  -conjunto, cuando dicha intersección no es vacía.
    2. Sea   un  -conjunto,   un subconjunto no vacío de   Probar que hay un  -subconjunto de   minimal conteniendo a   al que simbolizaremos por   y llamaremos el  -subconjunto generado por  
    3. El  -subconjunto generado por un conjunto no vacío   consiste de todas las órbitas de elementos de  
  3. Sea   el subgrupo de   generado por   y   Considérese la acción natural izquierda de   en   ¿Cuáles son las órbitas de cada elemento? ¿Cuáles son sus grupos de isotropía?
  4. Sean     dos  -conjuntos. Definir una estructura de  -conjunto en   de modo que las proyecciones sean  -morfismos.
  5. Sea   un conjunto,   el producto cartesiano de   copias de   Para   en   definir
     
    Probar que la definición anterior define una acción de   en  

Los Grupos GeométricosEditar

El apéndice Los Grupos Geométricos contiene definiciones, nociones y teoremas relacionados con la Geometría. En particular, de los grupos asociados a las nociones geométricas.


En esta sección veremos algunas de las acciones de los grupos geométricos del plano.

Acción de las TraslacionesEditar

Sea P un punto (vector plano) cualquiera del plano y C un vector fijo. La traslación por   es la transformación biyectiva  . Luego,   es fijo por  , ssi,  , ssi,  . Notemos que una traslación deja fijo un punto, ssi, es la traslación por el vector nulo, ssi,  . Luego, si una traslación fija un punto, fija a todos los puntos.

Las traslaciones determinan el subgrupo   de transformaciones (ver el apéndice citado).

Notemos que dados puntos   y   del plano, poniendo  , tenemos que  . Es decir que para la acción deel grupo de las traslaciones, el plano tiene una única órbita, lo que equivale a afirmar que el grupo de las traslaciones actúa transitivamente en el plano.

Acción de las Transformaciones LinealesEditar

El grupo   es el grupo de las matrices invertibles 2x2 (equivalentes a las transformaciones lineales invertibles). Cuando  , su acción sobre un punto   (representado por una matrix columna) es la multiplicación de matrices. Es decir,

 

Se verifica (ver apéndice Los Grupos Geométricos) que cuando   es un elemento de  ,   envía líneas sobre líneas y preserva el paralelismo (si dos líneas son paralelas, sus imágenes también lo son).

Las rotaciones alrededor del origen forma un grupo que simbolizaremos aquí por  , se verifica que tales rotaciones son lineales con matriz dada por

 

donde   es el ángulo de la rotación.

Un cómputo algebraico prueba que si   es un rotación alrededor del origen, el único punto fijo por   es el origen. Cuando  , se tiene que la orbita de   es la circunferencia con centro en el origen y radio la distancia de   al origen.

Clasificación de las CongruenciasEditar

Ilustraremos la importancia de la noción de punto fijo, clasificando a las congruencias, es decir haciendo un listado de todas las posibles congruencias del plano.

Usaremos el siguiente resultado de la Geometría (ver apéndice citado arriba).

Proposición 4. Los puntos equidistantes a dos puntos dados forman una línea que es perpendicular a la linea que pasa por los puntos y corta a esa línea en el punto medio entre los puntos.
Llamamos simetral ortogonal de los puntos a la línea de la proposición.
Notemos que dada una línea   la reflexión   entorno a esa línea, fija cada punto de la línea, y envía cada punto   que no está en la línea en un punto   tal que la línea es la simetral ortogonal de   y  .

Sea   una congruencia del plano.

  • Si   tiene tres puntos no colineales fijos entonces  ; es decir   deja a todos los puntos fijos. Supongamos que  ,   y   son los tres puntos fijos. Supongamos que  , es decir supongamos que hay un punto   tal que  . Sea   fijo por  , o sea  . Entonces,
     
    .

    Lo que dice que   equidista de   y  , por lo que está en la simetral ortogonal de esos puntos. Como esto implica que  ,   y   son colineales (están en la misma línea), hemos llegado a una contradicción. Por lo que   debe ser la identidad.

  • Si   tiene dos puntos fijos,   es la identidad o una reflexión entorno a la línea que pasa por esos dos puntos. Sean   y   los puntos fijos. Supongamos que   no es la identidad. Entonces, debe haber un punto   que no es colineal con   y  , tal que  . Sea   la reflexión en la simetral ortogonal   de   y  . Entonces, razonando, como en el caso anterior, tenemos que   y   están en  , por lo que son fijas por  . Tenemos entonces, que
     
    por lo que   es una congruencia que fija tres puntos no colineales. del caso anterior, tenemos que  , de donde,  , de donde  .
  • Si   tiene un único punto fijo, entonces   es un producto de dos reflexiones cuyos ejes se cortan en el punto fijo. Sea   el punto fijo. Entonces, para todo  ,  . Razonando como arriba,   pertenece a la simetral ortogonal a   y  . Sea   la reflexión entorno a esa simetral. Entonces,
     

    Por lo tanto,   es una congruencia que deja dos puntos fijos, Por lo que es una reflexión, digamos que  . Luego, (multiplicando por   en ambos lados, tenemos que %f = \sigma sigma_1 </math>.

  • Si   no tiene puntos fijos,   es el producto de tres reflexiones. Sea   un punto cualquiera y sea   la reflexión entorno a la simetral ortogonal de   y  . Entonces,  , lo que prueba que   tiene un punto fijo, por lo que es un producto de dos reflexiones, digamos  . Procediendo, como arriba, se tiene que  .

Los razonamientos anteriores prueban el siguiente teorema.

Teorema de Cartan--Dieudonné Cada congruencia del plano es el producto de a lo más tres reflexiones.


Notemos que los cómputos anteriores muestran que las rotaciones son producto de dos reflexiones cuyos ejes se cortan. Se puede probar que el producto de dos reflexiones cuyos ejes son paralelos es una traslación.

EjerciciosEditar

  1. Sea   un punto del plano. Verificar que las congruencias que fijan al punto   forman un grupo de transformaciones
  2. Sea   un punto del plano. Probar que las rotaciones alrededor de   forman un grupo  . Sea   y sea   una rotación alrededor del origen, o sea un elemento de  .
    1. Probar que   es una rotación alrededor de  .
    2. Probar que   y   son subgrupos conjugados del grupo de transformaciones del plano.
  3. Una simetría central con centro en un punto   es una transformación   que envía cada punto   en un punto  .
    1. Probar que   (punto medio entre   y su imagen.
    2. Probar que las líneas que pasan por   quedan fijas globalmente por  .
    3. Probar que   y que  ,   es una traslación.
    4. Probar que el producto de una traslación por una simetría central es una simetría central.
    5. Si   es el origen,   es lineal. Hallar la correspondiente matriz.

Representación Lineal de GruposEditar

Esta sección requiere un conocimiento de nociones básicas de Álgebra Lineal.

El objetivo de la sección es ver como podemos obtener para cualquier grupo, un grupo de matrices isomorfo. Podemos considerarlo tanto como una generalización o una concretization del teorema de Cayley por grupos de permutaciones, dependiendo de la familiaridad con el Álgebra Lineal. La teoría de las representaciones lineales iniciadas a fines del siglo XIX por Frobenius [1]. ha sido, es y continuará siendo un área activa, ya que permite un muy buen entendimiento de los grupos.

Sea   un espacio vectorial de dimensión  . Lo que significa que hay una base de   vectores en  , es decir un conjunto   tal que cada vector   de   puede escribirse de una única manera como

 

Cada transformación lineal de   en si mismo, tiene asociada una matriz, cuyas columnas son las coordenadas de las imágenes de los vectores de la base. Las transformaciones lineales biyectivas (isomorfismos lineales) tiene asociadas matrices   invertibles, que determinan un grupo, el grupo lineal de  ,  

Definición. (Representación Lineal) Sea   un espacio vectorial sobre un cuerpo cualquiera  . Sea   un grupo. Una representación de   en   es un homomorfismo de grupos

 

Tal homomorfismo define una acción de   en   por

 

Cada grupo   tiene varias representaciones lineales posibles, qu aunque no siempre e pueden determinar el grupo, usualmente proveen valiosa información sobre el mismo. A nosotros nos interesara una representación en particular: la representación regular, que definiremos a continuación.

Sea  . Asociaremos con el grupo   un espacio vectorial sobre un cuerpo   (que puede ser los Reales, los Complejos u otro cualquiera) denotado por   y formado por todas las expresiones

 


Se define una suma y una multiplicación por escalares de modo que   es una base de  , es decir si   y  , entonces

 

Además, podemos definir una multiplicación en   usando la multiplicación del grupo

 

donde   es la multiplicación del grupo. Esta multiplicación provee a   con una estructura de álgebra (anillo con operaciones compatibles con la multiplicación por escalar.

Para cada   en   la multiplicación   produce una transformación lineal   de  . Además,   es decir que tenemos una representación del grupo   por las matrices de la forma  . Es fácil verifica que la correspondencia   es inyectiva. Esdecir que   es isomorfo a un grupo de matrices, subgrupo de del grupo de isomorfismos lineales de  .

La matriz de cada   tiene una forma peculiar. En efecto, como su efecto en la base   es una multiplicación por la izquierda en   es una permutación de  . Luego, la matriz

 

Como   es un elemento de   digamos que  , la  --ésima columna de  , correspondiente a las coordenadas de  , tiene un 0 en cada posición, excepto en la  --ésima fila donde aparece un 1. (En otras palabras, las matrices   tienen como columnas permutaciones de las columnas de la matrix identidad.

Ejemplo.

Sea  . Entonces,

 
 

Tenemos el siguiente teorema.

Teorema. Cada grupo finito es isomorfo a un grupo de matrices.


EjerciciosEditar

  1. Hallar el grupo de matrices correspondientes a la representación regular del grupo de Klein y aquella de  
  2. Sea  . Probar que la asignación
     

    define una representación de  .

ComentariosEditar

En el apéndice F,Teoremas de Sylow, se demuestran el segundo y tercer teorema de Sylow, usando técnicas de acción de grupos.

NotasEditar

  1. Ferdinand Georg Frobenius (1842-1917)