Álgebra Abstracta/Divisibilidad y Polinomios

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Álgebra Abstracta



La Divisibilidad en el Anillo de los PolinomiosEditar

El anillo de los polinomios sobre un anillo conmutativo con identidad es, a su vez, un anillo conmutativo con identidad, por lo que todas las nociones de divisibilidad sobre anillos le aplican. En particular, las nociones de unidad, elemento primo, elemento irreducible. Veremos,a continuación, que la teoría de la divisibilidad en el anillo de polinomios es semejante a la teoría de divisibilidad de los Enteros, especialmente cuando los coeficientes se toman de un cuerpo.


La Divisibilidad en el Anillo de los PolinomiosEditar

El anillo de los polinomios sobre un anillo conmutativo con identidad es, a su vez, un anillo conmutativo con identidad, por lo que todas las nociones de divisibilidad sobre anillos le aplica. En particular, las nociones de unidad, elemento primo, elemento irreducible. Veremos,a continuación, que la teoría de la divisibilidad en el anillo de polinomios es semejante a la teoría de divisibilidad de los Enteros, especialmente cuando los coeficientes se toman de un cuerpo.

Las Unidades y Asociados en un Anillo de PolinomiosEditar

Sea   un anillo conmutativo con identidad. ¿Cuáles son las unidades, o sea los elementos con recíprocos, en el anillo de polinomios  ? En general, la respuesta puede resultar complicada, como podemos apreciar del siguiente ejemplo.

Ejemplo.

Sea   y consideremos los polinomios   y   Entonces,   Es decir que   es una unidad.


Como, usualmente, no esperamos que polinomios de grado positivo tengan recíprocos, lo anterior es una anomalía; la que eliminaremos si trabajamos con coeficientes en un dominio de integridad o como también diremos sobre un dominio de integridad, en particular, al trabajar sobre un cuerpo.

Proposición 1. Sea   un dominio de integridad. Entonces, las unidades de   coinciden con las unidades de  

    Demostración: Sean   y   polinomios tales que   Entonces,   y   deben ser polinomios de grado cero, ya que su producto tiene ese grado. Es decir que   y   con   Por lo que concluimos que las unidades en   son los polinomios de grado cero cuyos coeficientes son unidades del dominio de los coeficientes.


Cuando   sea el anillo de los Enteros, las únicas unidades en   son   En cambio, si   es un cuerpo, cualquier polinomio de grado cero no nulo es una unidad---que están identificados con los elementos no nulos del cuerpo.


Recordemos que decimos que dos elementos de un anillo está asociados cuando uno de ellos es un múltiplo por una unidad del otro.

Lema A. Sobre un cuerpo, cada polinomio tiene asociado un polinomio mónico.

    Demostración: El polinomio que resulta al multiplicar el polinomio dado por el recíproco de su coeficiente líder es mónico.


Ejemplo.

Suponer   Como   y   es un unidad, se tiene que   es un asociado del polinomio original.


El Algoritmo de la DivisiónEditar

En esta sección, veremos que tenemos un Algoritmo de la División para polinomios semejante al de los números enteros, siempre que el coeficiente líder del divisor sea una unidad del anillo.

Teorema. (El Algoritmo de la División).

Sea   un anillo conmutativo con identidad. Sean   y   polinomios con coeficientes en   tales que el coeficiente líder de   sea una unidad de   (o sea, invertible en  ). Entonces, podemos hallar polinomios únicos   y   en   tales que

 

    Demostración: Primeramente, probaremos la existencia de los polinomios   y   Si el grado de   es cero, se tiene que   donde   es un elemento invertible de   Entonces,
     

    Lo que prueba la existencia, con   y  

    (Existencia.) Supongamos, ahora, que el grado de   es positivo. Si el grado de   es menor que el grado de   tendremos que:

     

    lo que prueba la existencia con   y  

    Supongamos, ahora, que el grado de   fuera mayor o igual que el grado de   Digamos que:

     

    con   y   y   invertible. Sea

      (1


    Notemos que   es igual a   menos su término de mayor grado, por lo que tiene un grado inferior al de   Suponiendo, por inducción, el resultado válido para todo polinomio de grado inferior a   se tiene que podemos hallar polinomios   y   con   y tal que

      (2


    Sigue de (1) y (2) que   Lo que finaliza la prueba la existencia.

    (Unicidad.) Supongamos que   con   Entonces,   Supongamos que   Como el coeficiente líder de   no es un divisor de cero, tenemos que

     

    Mientras que   por lo que obtenemos una contradicción. Luego,   y, en consecuencia,  


Nomenclatura. Llamamos dividendo y divisor a los polinomios   y   de la proposición anterior. Por su parte, los polinomios   y   se llaman el cociente y el residuo, respectivamente, de la división de   por  

Observación. Notemos que lo indicado en la demostración del caso cuando el grado del dividendo era mayor o igual al grado del divisor es el comienzo del proceso usual de división manual de polinomios, proceso que suponemos conocido del lector.


La Estructura del Anillo de Polinomios sobre un CuerpoEditar

En esta sección, veremos que la teoría de la divisibilidad en     cuerpo, es totalmente análoga a la teoría de la divisibilidad en los Enteros.

Proposición 2.   es DIP
Sea   un cuerpo. Cada ideal de   es principal. Los ideales no nulos tienen como generador a un polinomio con el menor grado entre los elementos del ideal. (DIP significa dominio de ideales principales, todos los ideales son principales).

    Demostración: Sea   un ideal de   Si     Sea   un ideal no nulo, por lo que habrá un polinomio no nulo en   Seleccionemos   en   tal que su grado sea menor o igual a los grados de los otros polinomios no nulos en   Cuando el grado de   es cero, se tiene que   donde   es un elemento de   por lo que tiene recíproco. Luego   es un elemento de   y   Supongamos que el grado de   es positivo. Sea   cualquier polinomio en   Por el algoritmo de la división, hay polinomios   y   con   con   nulo o con   Se tiene entonces que   por lo que   está en   Como el grado de   es minimal entre los polinomios no nulos de   concluimos que   Luego, cada elemento de   es un múltiplo de   o sea que   está generado por  


Como cada polinomio con coeficientes en un cuerpo tiene asociado un polinomio mónico, podemos siempre escoger como generador de un ideal en   a un polinomio mónico.

Ejemplo.

La restricción de que los coeficientes pertenezcan a un cuerpo es necesaria. Veremos que   no es un DIP.

Consideremos el ideal   generado por el 2 y la indeterminada   Los elementos de   son todos de la forma   No hay un polinomio   que divida simultáneamente a 2 y a   además 1 no está en   Lo que muestra que   es un ideal propio que no es principal.


MCD de PolinomiosEditar

Sean   y   dos polinomios. Si uno de ellos es nulo y el otro no, el polinomio no nulo es el mcd de ellos. Sean   y   polinomios no nulos. Consideremos el ideal   generado por esos polinomios,   Como   es DIP, hay un polinomio   de grado minimal que genera a   Luego,   para un par de polinomios   Sigue de la relación anterior que cualquier divisor común de   y   es un divisor de   Además, claramente,   y   están en   por lo que son múltiplos de   Luego,   es el MCD buscado. Hemos probado la siguiente proposición.

Proposición 3. (MCD y Bezout para polinomios) Sean     polinomios, no ambos nulos, en   con   cuerpo. Entonces, el ideal generado por   y   tiene como generador a un máximo común divisor de   y   que puede ser seleccionado mónico. Si   es un   se cumple la identidad de Bezout, o sea, hay polinomios   y   tales que

 

Como asociados de un mcd son mcd, siempre podemos escoger como EL mcd, al polinomio mónico asociado a un mcd.

Algoritmo para Computar el MCDEditar

Hay un algoritmo, conocido como algoritmo de Euclides para obtener el MCD de dos polinomios.

El procedimiento (algoritmo) está basado en el siguiente resultado.

Proposición 4.

Sean   y   polinomios no nulos. Suponer que   donde   es el cociente de la división de   por   y   es el residuo de esa división. Entonces, (excepto por una unidad),

 

    Demostración: Sean   y   Consideremos la relación   Sigue de la relación que cualquier divisor común de   y   es un divisor de   por lo que será un divisor común de   y  ; aplicando lo anterior a   tenemos que   divide a   Igualmente, la relación indicada implica que cualquier divisor común de   y   es un divisor común de   y  ; lo que implicará que   divide a   Por lo que   y   son asociados, luego, si son mónicos, son iguales.


Lo anterior sugiere un procedimiento para hallar el mcd de dos polinomios no nulos.

  1. Dividir   por   para obtener cociente   y residuo   Si   tenemos que   es el MCD buscado, y se concluye la búsqueda. En caso contrario, ir al siguiente paso.
  2. Continuar dividiendo divisor y residuo obtenidos en el paso anterior, repitiendo el proceso cuantas veces sea necesario hasta obtener un residuo nulo. El último divisor no nulo es el mcd buscado

Notemos que como el residuo tiene un grado menor que el divisor, el proceso acaba en un número finito de pasos. El procedimiento se puede adoptar para generar los polinomios de la identidad de Bezout.

MCM de dos polinomiosEditar

Sean   y   dos polinomios no nulos. Cuando uno de ellos tiene grado cero, el otro es el MCM de los dos. Supongamos que los dos polinomios tienen grado positivo. Sean       Como   es un dominio de ideales principales, hay un polinomio mónico tal que   Como   está contenido en   y en   resulta que   es un múltiplo común de   e   Además, cualquier múltiplo común de   y   estará tanto en   como en   por lo que estará en   lo que implica que será un múltiplo de   Luego,  

Polinomios Irreducibles y Polinomios PrimosEditar

Recordemos las nociones de elementos irreducibles y primos en un dominio, pero aplicadas a polinomios.

  • Un polinomio   de   es irreducible (en  ), ssi,   no es nulo ni una unidad y   implica que   o   es una unidad.
  • Un polinomio   de   es primo (en  ), ssi, no es nulo ni es una unidad y cuando   entonces   o  

Notemos que en     cuerpo, cualquier polinomio   de grado 1 es irreducible. Sin embargo, lo anterior no es cierto, inclusive sobre un dominio de integridad como los Enteros, como lo ilustra el siguiente ejemplo.

Ejemplo.

Sea   El polinomio   es irreducible en   por lo que   es irreducible en   ya que   es un unidad en   o sea que   está asociado con un irreducible. Sin embargo,   no es irreducible en   ya que 2 es un irreducible, por lo que   es el producto de dos irreducibles de  


Sabemos de un capítulo anterior que los elementos primos de un dominio son irreducibles. Veremos que para los polinomios sobre un cuerpo, los irreducibles son primos, por lo que no habrá diferencias entre esas dos clases de polinomios.

Proposición 5. Sea   un cuerpo. Los polinomios irreducibles de   son primos en  

    Demostración: Sea   un polinomio irreducible y supongamos que   Debemos probar que   o   Supongamos que   Entonces,   Sigue de la identidad de Bezout que hay polinomios     tales que   Multiplicando por   tenemos que   Claramente,   es un divisor del lado izquierdo en la última relación, ya que   Luego,   es un divisor de   lo que prueba que   es primo.


Cociente de k[X] por un irreducibleEditar

Sea   un polinomio irreducible de     con grado positivo y sea   Sea   tal que   en   Esto significa que   no está en   o sea que   Por la identidad de Bezout, hay polinomios     tales que

 

Pasando al cociente, tenemos que   y como   concluimos que   Es decir que   es invertible. Hemos probado, así, parte de la siguiente proposición.

Proposición 6. Sea   un polinomio irreducible de   con grado positivo mayor que 1. Entonces,   es un cuerpo que contiene al cuerpo   y a un cero de  

    Demostración: Los razonamientos anteriores al enunciado de la proposición, muestran que   es un cuerpo. Suponemos que   mediante la identificación de elementos de   con polinomios constantes (polinomios de grado cero o el polinomio nulo) Sea   la función que envía   de   en su clase     es la restricción a   del supramorfismo canónico de   en   por lo que es un homomorfismo de anillos con identidad. Si   se tiene que   por lo que   Por razones de grado, tenemos que   lo que implica que   es inyectiva, o sea que se trata de un monomorfismo que es, por lo tanto, un isomorfismo sobre su imagen. Usando el isomorfismo para identificar   con su imagen, tenemos que   por lo que   es un cuerpo que contiene a   Sea   en   Entonces, si   pasando al cociente, se tiene que
     

    lo que prueba que   es un cero de  


La Factorización Única en k[X]Editar

El objetivo de esta sección es probar un teorema análogo al teorema fundamental de la Aritmética: "Cada entero positivo mayor que 1 es un producto de potencias de primos, tal que los primos y sus exponentes son únicos, excepto por el orden de aparición".

El siguiente resultado será necesario para el teorema deseado.
Lema B. Sea   un cuerpo. Todo polinomio   de grado positivo tiene un factor irreducible.

    Demostración: Los polinomios de grado 1 son claramente irreducibles, por lo que el teorema se cumple para ellos, ya que cada polinomio es un divisor de si mismo. Supongamos el resultado cierto para polinomios de grado a lo más     Sea   un polinomio de grado   Si   es irreducible, no hay nada más que probar. Si   no es irreducible, entonces   donde los grados de   y de   son inferiores al grado de   pero mayores que 0. Por inducción,   tiene un factor irreducible, que es también un factor de  


Como cualquier asociado del factor de un polinomio es también un factor del polinomio, por lo que podemos escoger factores irreducibles que sean mónicos.

Teorema.(Factorización única).

Sea   un cuerpo. Todo polinomio   de grado positivo es el producto de una unidad por el producto único de potencias de irreducibles mónicos, diferentes entre ellos. La unicidad dice que los irreducibles que allí aparecen son únicos, así como las potencias a las que aparecen están unívocamente determinadas por   excepto por el orden de aparición.

    Demostración: (Existencia) Si   es irreducible, no hay nada más que probar. En particular, polinomios de grado 1,   Supongamos que la existencia fuera válida para polinomios de grado a lo más     Sea   un polinomio de grado   Si   es irreducible,   es el producto de su coeficiente líder (unidad) por su asociado mónico. Si   es irreducible, entonces   donde   Por inducción,   y   son productos de una unidad por potencias de irreducibles mónicos, luego su producto,   también lo será, después de multiplicar las unidades y reagrupar potencias de irreducibles iguales. (Unicidad) Supongamos que se tuviera que dos descomposiciones de un mismo polinomio. Digamos que
      (*


    Consideremos al irreducible   Como irreducibles son primos,   es primo; por lo que es un divisor de   Como eso implica que   es un divisor de al menos uno de los factores de ese producto, se tiene que   divide a uno de los   Sin perdida de generalidad, podemos suponer que   divide a   (si no, cambiamos la notación). Luego,   para algún polinomio   pero como   es irreducible, se tiene que   debe ser una unidad. Luego, ambos polinomios tienen igual grado y como son mónicos, la unidad debe ser la identidad 1. Lo que implica que   Cancelando factores iguales a   en (*), se cancelarán todas las potencias de   y   Ya que si sobrará alguno de ellos en un lado, sería divisible por alguno de los irreducible del otro lado, pero esto implicaría que son iguales, lo que no puede ser. Si   el resultado estaría probado. En caso contrario, procedemos como arriba, para ir eliminando factores iguales en ambos lados, hasta quedar  


EjerciciosEditar

  1. Hallar el cociente y el residuo de la división del primer polinomio por el segundo en  
    1.    
    2.    
    3.   2.
    4.    
    5.    
  2. Hallar   y   de modo que   sea divisible por  
  3. Efectuar la división de   por   y determinar condiciones para que el residuo sea nulo.
  4. Para cada uno de los siguientes pares de polinomios, indicar si el primer polinomio tiene como factor al segundo. En caso contrario, hallar un mcd de ambos polinomios.
    1.    
    2.    
    3.    
  5. Hallar el MCD y MCM de los conjuntos siguientes de polinomios en  
    1.    
    2.    
    3.    
    4.    
  6. Hallar números complejos       de manera que   sea divisible por  
  7. Hallar el residuo de la división del polinomio   por   por   y por  
  8. Los residuos de la división de un polinomio   por     y   son respectivamente 3, 7 y 13, Hallar el residuo de la división de   por  
  9. Sea   un entero positivo,
    1. Probar que cada polinomio   puede expresarse de manera única como
       
    2. Probar que el residuo de la división de cualquier polinomio   por   es igual a:
       


  10. Probar la validez del algoritmo de Euclides (por divisiones sucesivas) para computar un mcd de dos polinomios. Para hallar el MCD de   y   (suponiendo grado de   mayor o igual que el grado de  ), Se procede de la siguiente manera: Coloquemos   y  
      [(i)]
    1. Se divide   por   y se halla el cociente y el residuo  
    2. Si el residuo es 0,   es el máximo común divisor. En caso contrario, se repite el procedimiento con   y  
       Cuando se computa a mano, puede resultar conveniente reemplazar en algunos de los pasos, un polinomio por un asociado.
    
  11. Hallar el máximo común divisor de los siguientes conjuntos de polinomios de  
    1.   y  
    2.   y   (Para evitar fracciones en la primera división, multiplicar el primer polinomio por 2, obteniendo un asociado conveniente.)
    3.   y  
    4.     y  
    5.     y  
    6.   y  
    7.   y  
    8.   y  
  12. Mostrar que cuando el polinomio   es primo con los polinomios   y   (un máximo común divisor es 1), también lo será con  
  13. Mostrar que si los polinomios   y   son primos entre sí, también lo serán   y  
  14. Sobre el cuerpo   hallar un polinomio   de grado 2 tal que     y  
  15. Probar que los polinomios de grado 1 sobre un cuerpo son irreducibles.
  16. Probar que en   dos polinomios son asociados, ssi, son iguales.

El Teorema del Residuo y los Ceros de PolinomiosEditar

Las siguientes proposiciones nos ayudarán a determinar los ceros de   en   Tal determinación, como veremos es equivalente a determinar los factores lineales de  

Proposición 7. (Teorema del Residuo) Sea   un anillo conmutativo con identidad,   un polinomio en   Sea   un elemento de   El residuo de la división de   por   es exactamente  

    Demostración: Por el algoritmo de la división aplicado a   (que tiene coeficiente líder invertible), obtenemos que
     

    donde   tiene grado menor que   Por lo tanto,   será un polinomio de grado cero o el polinomio nulo. Evaluando en   obtendremos el resultado.


Corolario 7.1. (Teorema del Factor) Sea   un anillo conmutativo con identidad,   un polinomio de   Un elemento   de   es un cero de   ssi,   es un factor de  

    Demostración: Por el algoritmo de la división, habrá polinomios   y   tales que:
     

    Si   es un cero de   se tendrá que   de donde   y en consecuencia,   será un factor de   En forma recíproca, si   es un factor de   el residuo será nulo.


Ejemplo.

Sea   en   Como   se tiene que   es un factor de   Dividiendo   por   obtenemos como cociente a   Usando la fórmula cuadrática, obtenemos que   ssi,

 

Lo que nos da los ceros adicionales   y   Por lo que tendremos que

 

Por lo que  


Ejemplo.

Sea   en   Claramente 1 es un cero de   por lo que tiene el factor   Dividiendo   por   obtendremos como cociente   Como

 

vemos que   no tiene otro cero entero, de hecho ni siquiera reales. Luego,   Sobre los Complejos,  


Ejemplo.

Hallar los ceros de   de  

Resolución. Los cuerpos finitos, precisamente por su finitud y especialmente cuando la cantidad de elementos es pequeña, se prestan para evaluaciones exhaustivas de sus elementos. En este caso       Luego,  


Ceros Múltiples, Cantidad de CerosEditar

Observemos que cuando   es un polinomio no nulo divisible por un polinomio mónico   digamos que   se tiene que   no es un divisor de cero en A[X]. Por lo que tenemos que   Luego,  

Multiplicidad. Sea   un cero de   Sea   el mayor entero positivo tal que   En tal situación, decimos que   es un cero múltiple con multiplicidad   Sigue de la observación anterior que la multiplicidad es inferior al grado de   Cuando la multiplicidad es 1, decimos que el cero es simple. Denotaremos por   la multiplicidad de   en el polinomio  

En los polinomios sobre los Reales o los Complejos, un polinomio de grado     tiene a lo más   ceros. En general, lo anterior no es cierto, como lo muestra el siguiente ejemplo.

Ejemplo.

Sea   y sea   La tabla siguiente muestra la evaluación de   en los elementos de  

 

Luego,   Sin embargo,   no es igual o divisible por  


Sin embargo, sobre un dominio de integridad, tenemos una situación análoga a aquella sobre los Reales y Complejos. Antes de probar lo anterior, probaremos el siguiente resultado.

Lema C. Sea   un dominio de integridad y sean     polinomios en   Entonces,

 

    Demostración: Claramente,   Sea   en   entonces  ; como estamos en un dominio, se tiene que   o   Es decir   está en   o en   Luego  


Proposición 8. Sea   un dominio y   un polinomio no nulo en   Si   entonces

 

donde   es la multiplicidad de   en   y   La cantidad de ceros de   contando las multiplicidades es inferior o igual al grado de    

    Demostración: (Por inducción sobre el grado de  ) Si el polinomio tiene grado 1, entonces   debe ser 1 y   por el teorema del factor.Supongamos que   tiene grado mayor que 1 y que el resultado es válido para polinomios de grado inferior al de   Sea   uno cualquiera de los ceros, entonces
      y  

    Por la hipótesis de inducción,

     

    donde     es la multiplicidad de   en   y   Observemos que   para cualquier cero   de   Por el lema, se tiene que   y usando las relaciones para   y   anteriores se tiene que

     

    De donde, se tiene que la suma de las multiplicidades debe ser inferior al grado de   ya que estamos trabajando sobre un dominio.


Corolario. 8.1 (Cantidad de Ceros) En un dominio de integridad   un polinomio de grado     con coeficientes en el dominio tiene a lo más   ceros en  

Corolario 8.2. Sea   un cuerpo con infinitos elementos y sean   y   polinomios con coeficientes en   Entonces,   como polinomios, ssi, son iguales como funciones.

    Demostración: Si   entonces para cada   de   se cumple que   Por lo que   y   son iguales como funciones. Supongamos, ahora, que   y   son polinomios tales que para cada   en     Sea   Sigue de las hipótesis que   para cada   de   Si   es infinito se tiene que   es un polinomio con infinitos ceros, que es mucho más de lo que puede tener un polinomio de grado   Luego, el grado de   es menor o igual a 0. Los polinomios de grado 0 no tienen ceros, por lo que la única posibilidad es el polinomio nulo, cuyo grado es menor que 0.



Derivadas y Ceros MúltiplesEditar

Para cada polinomio   definiremos la noción de derivada de un polinomio. La derivada que definiremos proporciona el mismo resultado que la derivada de una función polinómica en los cursos de Cálculo. Esta noción de derivada, sin embargo, es formal y no requerirá de límites. La usaremos para determinar la existencia de ceros múltiples de un polinomio.

Definición. (Polinomio Derivado) Sea   un polinomio de grado   en     Llamaremos polinomio derivado de   al polinomio denotado por   y definido por

 


La siguiente proposición muestra que los polinomios derivados tienen propiedades análogas a las derivadas de funciones.

Proposición 9. Sean   y   polinomios en     un polinomio constante. Entonces, se tiene las siguientes propiedades:

  1.  
  2.  .
  3.  .
  4.  
  5.   &
  6.  
  7.  

    Demostración: Las relaciones a) y b) siguen directamente de la definición.
  1. De acuerdo con la definición,
     
  2. Ejercicio.
  3. Ejercicio.
  4.  
  5. Sean   y   Entonces,   Luego,
     


Proposición 10. (Derivada y Multiplicidad). Sea   un cuerpo y sea   un polinomio de  

  1. Si   tiene un factor múltiple entonces   y   no son relativamente primos.
  2. Si la característica del cuerpo es 0 y   y   no son relativamente primos, entonces   tiene un factor múltiple.

    Demostración:
  1. Supongamos que   en   con   y   Entonces, por la regla del producto, se tiene que
      (*


    Lo que prueba que   es un divisor común de   y  

  2. Sea   tal que   y sea   un factor irreducible de   Entonces,   para algún polinomio   Luego,   Como   sigue de la relación anterior de que   Luego, como   es irreducible (y, por lo tanto, primo)   o   Supongamos que   entonces   y tenemos que   es un factor múltiple de   Si la característica del cuerpo es 0, entonces   implica que  


Ejemplo.

Sea     primo. Entonces,   ya que el cuerpo tiene característica   Es decir, que en esta situación,   Lo que muestra la necesidad de la hipótesis de característica 0 en la proposición anterior.


Corolario 10.1. Sea   un polinomio de   Si hay un cero común a   y   entonces ese cero es al menos doble.

Corolario 10.2. En un cuerpo de característica cero, los polinomios irreducibles solamente tienen ceros simples.

    Demostración: Sea   un polinomio irreducible de grado   Entonces, el coeficiente líder del polinomio derivado es   y tiene un grado inferior a   por lo que no hay polinomio de grado positivo que divida a   y  


Ejemplo.

Sea  

Se tiene que   Usaremos el algoritmo de Euclides para computar el mcd de   y  


 

Vemos que   Es decir que   es el mcd. Esto implica que hay un cero doble y que tal cero es precisamente  


Expansión p(X)--aria de un PolinomioEditar

Es conocido que dado un entero positivo   cada número entero positivo   se puede escribir de la forma

  (*


donde los  's son tales que   La expresión en la derecha de (*) se llama la expansión  --aria de  

El resultado anterior es una consecuencia del algoritmo de la división. Como tal algoritmo es válido para polinomios en un cuerpo, tenemos, como consecuencia, un resultado análogo para los polinomios con coeficientes en un cuerpo.

Proposición 11. (Expansión  --aria de un polinomio) Sea   un cuerpo,   un polinomio de grado positivo de   Entonces, todo polinomio   se puede escribir de la forma

  (**


donde los   son polinomios en   que son nulos o con grado inferior al grado de   La expresión a la derecha de (**) se llama la expansión  --aria de  .

    Demostración: Si   es nulo o con grado 0, se tiene el resultado con   y   Supongamos que   es un polinomio de grado   Por algoritmo de Euclides, tenemos que
      (1


    donde   y   son polinomios en   y   tiene un grado inferior al grado de   Se tiene entonces que grado de   es inferior al grado de   por lo que, por inducción, tenemos que

      (2


    Sustituyendo este resultado en (1), obtenemos que

     

    Poniendo,         tenemos el resultado.


Corolario 11.1. Si   cada uno de los   es un elemento del cuerpo  

Ejemplo.

Sea   entonces

 

Cuando el cuerpo es de característica 0 se tiene el siguiente interesante resultado.

Proposición 12. (Teorema de Taylor) Sea   un cuerpo de característica cero. Sea   un elemento del cuerpo. Entonces, cada   de grado   en   puede expandirse como

 

donde   denota la  --ésima derivada del polinomio   evaluada en  

    Demostración: Ejercicio.


Ejemplo.

Sea   el polinomio del ejemplo anterior y sea   como en el ejemplo indicado. Entonces,

 

Lo que muestra como se produjeron los coeficientes de la expansión en el ejemplo anterior.


Este resultado se aplica en la descomposición en fracciones parciales de fracciones de polinomios con coeficientes en un cuerpo. Ver los ejercicios respectivos.

Ejercicios del CapítuloEditar

  1. Hallar el residuo en   cuando
    1.   se divide por  
    2.   se divide por  
    3.   se divide por  
    4.   se divide por  
  2. Sea   un cuerpo y   en   Probar que
    1. Si   entonces   es irreducible.
    2. Si   o     es irreducible, ssi,   no tiene ceros en  
  3. Dar ejemplo de un polinomio   que es reducible sobre   pero que no tiene ceros racionales.
  4. El residuo de un polinomio