Álgebra Abstracta/Divisibilidad y Polinomios

La Divisibilidad en el Anillo de los Polinomios

El anillo de los polinomios sobre un anillo conmutativo con identidad es, a su vez, un anillo conmutativo con identidad, por lo que todas las nociones de divisibilidad sobre anillos le aplican. En particular, las nociones de unidad, elemento primo, elemento irreducible. Veremos,a continuación, que la teoría de la divisibilidad en el anillo de polinomios es semejante a la teoría de divisibilidad de los Enteros, especialmente cuando los coeficientes se toman de un cuerpo.

La Divisibilidad en el Anillo de los Polinomios

El anillo de los polinomios sobre un anillo conmutativo con identidad es, a su vez, un anillo conmutativo con identidad, por lo que todas las nociones de divisibilidad sobre anillos le aplica. En particular, las nociones de unidad, elemento primo, elemento irreducible. Veremos,a continuación, que la teoría de la divisibilidad en el anillo de polinomios es semejante a la teoría de divisibilidad de los Enteros, especialmente cuando los coeficientes se toman de un cuerpo.

Las Unidades y Asociados en un Anillo de Polinomios

Sea $A$ un anillo conmutativo con identidad. ¿Cuáles son las unidades, o sea los elementos con recíprocos, en el anillo de polinomios $A[X]$? En general, la respuesta puede resultar complicada, como podemos apreciar del siguiente ejemplo.

Ejemplo.

Sea $A=\mathbb {Z} _{4}$ y consideremos los polinomios $f=1+2x$ y $g=f.$ Entonces, $fg=(1+2X)^{2}=1+4X+4X^{2}=1.$ Es decir que $f$ es una unidad.

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Como, usualmente, no esperamos que polinomios de grado positivo tengan recíprocos, lo anterior es una anomalía; la que eliminaremos si trabajamos con coeficientes en un dominio de integridad o como también diremos sobre un dominio de integridad, en particular, al trabajar sobre un cuerpo.

Proposición 1. Sea $A$ un dominio de integridad. Entonces, las unidades de $A[X]$ coinciden con las unidades de $A.$

Demostración: Sean $f$ y $g$ polinomios tales que $fg=1.$ Entonces, $f$ y $g$ deben ser polinomios de grado cero, ya que su producto tiene ese grado. Es decir que $f(X)=a$ y $g(X)=b,$ con $ab=1.$ Por lo que concluimos que las unidades en $A[X]$ son los polinomios de grado cero cuyos coeficientes son unidades del dominio de los coeficientes.

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Cuando $A$ sea el anillo de los Enteros, las únicas unidades en $A[X]$ son $\pm 1.$ En cambio, si $A$ es un cuerpo, cualquier polinomio de grado cero no nulo es una unidad---que están identificados con los elementos no nulos del cuerpo.

Recordemos que decimos que dos elementos de un anillo está asociados cuando uno de ellos es un múltiplo por una unidad del otro.

Lema A. Sobre un cuerpo, cada polinomio tiene asociado un polinomio mónico.

Demostración: El polinomio que resulta al multiplicar el polinomio dado por el recíproco de su coeficiente líder es mónico.

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Ejemplo.

Suponer $A=\mathbb {Q} .$ Como $2X^{3}+5x-7=2(X^{3}+(5/2)X-(7/2))$ y $2$ es un unidad, se tiene que $X^{3}+(5/2)X-(7/2)$ es un asociado del polinomio original.

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El Algoritmo de la División

En esta sección, veremos que tenemos un Algoritmo de la División para polinomios semejante al de los números enteros, siempre que el coeficiente líder del divisor sea una unidad del anillo.

Teorema. (El Algoritmo de la División).

Sea $A$ un anillo conmutativo con identidad. Sean $f$ y $g$ polinomios con coeficientes en $A$ tales que el coeficiente líder de $g$ sea una unidad de $A$ (o sea, invertible en $A$). Entonces, podemos hallar polinomios únicos $q$ y $r$ en $A[X],$ tales que

$f=qg+r,\quad {\text{donde }}r{\text{ es nulo o }}{\text{gr}}(r)<{\text{gr}}(g).$

Demostración: Primeramente, probaremos la existencia de los polinomios $q$ y $r.$ Si el grado de $g$ es cero, se tiene que $g(X)=b,$ donde $b$ es un elemento invertible de $A.$ Entonces, $f=b^{-1}f\cdot g+0.$

Lo que prueba la existencia, con $q=b^{-1}f$ y $r=0.$

(Existencia.) Supongamos, ahora, que el grado de $g$ es positivo. Si el grado de $f$ es menor que el grado de $g$ tendremos que:

$f=0*g+f,$

lo que prueba la existencia con $q=0$ y $r=f.$

Supongamos, ahora, que el grado de $f$ fuera mayor o igual que el grado de $g.$ Digamos que:

$f(X)=a_{0}+a_{1}X+\cdots +a_{m}X^{m},{\text{ y }}g(X)=b_{0}+b_{1}X+\cdots +b_{n}X^{n}$

con $m\geq n$ y $a_{m}\neq 0$ y $b_{n}$ invertible. Sea

$h(X):=f(X)-b_{n}^{-1}a_{m}X^{m-n}g(X).$

(1)




Notemos que $h$ es igual a $f$ menos su término de mayor grado, por lo que tiene un grado inferior al de $f.$ Suponiendo, por inducción, el resultado válido para todo polinomio de grado inferior a $m,$ se tiene que podemos hallar polinomios $q_{h}$ y $r,$ con ${\text{gr}}(r)<{\text{gr}}(g)$ y tal que

$h(X)=q_{h}(X)g(X)+r(X).$

(2)




Sigue de (1) y (2) que ${\begin{array}{lrcl}&f(x)&=&b_{n}^{-1}{a_{m}}X^{m-n}g(X)+h(X)\\\implies &&=&(b_{n}^{-1}{a_{m}}X^{m-n}+q_{h}(X))g(X)+r(X).\end{array}}$ Lo que finaliza la prueba la existencia.

(Unicidad.) Supongamos que $f=q_{1}g+r_{1}=q_{2}g+r_{2}$ con ${\text{gr}}(r_{1}),{\text{gr}}(r_{2})<{\text{gr}}(g).$ Entonces, $(q_{1}-q_{2})g=r_{2}-r_{1}.$ Supongamos que $q_{1}-q_{2}\neq 0.$ Como el coeficiente líder de $g$ no es un divisor de cero, tenemos que

${\text{gr}}((q_{1}-q_{2})g)={\text{gr}}(q_{1}-q_{2})+{\text{gr}}(g)\geq {\text{gr}}(g).$

Mientras que ${\text{gr}}(r_{2}-r_{1})<{\text{gr}}(g),$ por lo que obtenemos una contradicción. Luego, $q_{1}=q_{2}$ y, en consecuencia, $r_{1}=r_{2}.$

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Nomenclatura. Llamamos dividendo y divisor a los polinomios $f$ y $g$ de la proposición anterior. Por su parte, los polinomios $q$ y $r,$ se llaman el cociente y el residuo, respectivamente, de la división de $f$ por $g.$

Observación. Notemos que lo indicado en la demostración del caso cuando el grado del dividendo era mayor o igual al grado del divisor es el comienzo del proceso usual de división manual de polinomios, proceso que suponemos conocido del lector.

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La Estructura del Anillo de Polinomios sobre un Cuerpo

En esta sección, veremos que la teoría de la divisibilidad en $k[X],$ $k$ cuerpo, es totalmente análoga a la teoría de la divisibilidad en los Enteros.

Proposición 2. $\mathbf {k} [X]$ es DIP
Sea $k$ un cuerpo. Cada ideal de $k[X]$ es principal. Los ideales no nulos tienen como generador a un polinomio con el menor grado entre los elementos del ideal. (DIP significa dominio de ideales principales, todos los ideales son principales).

Demostración: Sea $I$ un ideal de $k[X].$ Si $I=\{0\},$ $I=<0>.$ Sea $I$ un ideal no nulo, por lo que habrá un polinomio no nulo en $I.$ Seleccionemos $g\neq 0$ en $I$ tal que su grado sea menor o igual a los grados de los otros polinomios no nulos en $I.$ Cuando el grado de $g$ es cero, se tiene que $g=a$ donde $a$ es un elemento de $k[X],$ por lo que tiene recíproco. Luego $a^{-1}a=1$ es un elemento de $I$ y $I=<1>.$ Supongamos que el grado de $g$ es positivo. Sea $f$ cualquier polinomio en $I.$ Por el algoritmo de la división, hay polinomios $q$ y $r$ con $f=qg+r,$ con $r$ nulo o con ${\text{gr}}(r)<{\text{gr}}(g).$ Se tiene entonces que $r=f-qg,$ por lo que $r$ está en $I.$ Como el grado de $g$ es minimal entre los polinomios no nulos de $I,$ concluimos que $r=0.$ Luego, cada elemento de $I$ es un múltiplo de $I,$ o sea que $I$ está generado por $g.$

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Como cada polinomio con coeficientes en un cuerpo tiene asociado un polinomio mónico, podemos siempre escoger como generador de un ideal en $k[X]$ a un polinomio mónico.

Ejemplo.

La restricción de que los coeficientes pertenezcan a un cuerpo es necesaria. Veremos que $\mathbb {Z} [X]$ no es un DIP.

Consideremos el ideal $J$ generado por el 2 y la indeterminada $X.$ Los elementos de $J$ son todos de la forma $2a+bX.$ No hay un polinomio $f$ que divida simultáneamente a 2 y a $X,$ además 1 no está en $J.$ Lo que muestra que $J$ es un ideal propio que no es principal.

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MCD de Polinomios

Sean $f$ y $g$ dos polinomios. Si uno de ellos es nulo y el otro no, el polinomio no nulo es el mcd de ellos. Sean $f$ y $g$ polinomios no nulos. Consideremos el ideal $J$ generado por esos polinomios, $J=\{xf+yg:x,y\in k[X]\}.$ Como $k[X]$ es DIP, hay un polinomio $d$ de grado minimal que genera a $J.$ Luego, $d=x_{0}f+y_{0}g$ para un par de polinomios $x_{0},y_{0}.$ Sigue de la relación anterior que cualquier divisor común de $f$ y $g$ es un divisor de $d.$ Además, claramente, $f$ y $g$ están en $J,$ por lo que son múltiplos de $d.$ Luego, $d$ es el MCD buscado. Hemos probado la siguiente proposición.

Proposición 3. (MCD y Bezout para polinomios) Sean $f,$ $g$ polinomios, no ambos nulos, en $k[X]$ con $k$ cuerpo. Entonces, el ideal generado por $f$ y $g$ tiene como generador a un máximo común divisor de $f$ y $g,$ que puede ser seleccionado mónico. Si $d$ es un ${\text{mcd}}\{f,g\},$ se cumple la identidad de Bezout, o sea, hay polinomios $a$ y $b$ tales que

$af+bg=d.$

Como asociados de un mcd son mcd, siempre podemos escoger como EL mcd, al polinomio mónico asociado a un mcd.

Algoritmo para Computar el MCD

Hay un algoritmo, conocido como algoritmo de Euclides para obtener el MCD de dos polinomios.

El procedimiento (algoritmo) está basado en el siguiente resultado.

Proposición 4.

Sean $f$ y $g$ polinomios no nulos. Suponer que $f=qg+r,$ donde $q$ es el cociente de la división de $f$ por $g$ y $r$ es el residuo de esa división. Entonces, (excepto por una unidad),

${\text{mcd}}\{f,g\}={\text{mcd}}\{g,r\}.$

Demostración: Sean $\alpha ={\text{mcd}}\{f,g\}$ y $\beta ={\text{mcd}}\{g,r\}.$ Consideremos la relación $f=qg+r.$ Sigue de la relación que cualquier divisor común de $g$ y $r$ es un divisor de $f,$ por lo que será un divisor común de $f$ y $g$; aplicando lo anterior a $\beta ,$ tenemos que $\beta$ divide a $\alpha .$ Igualmente, la relación indicada implica que cualquier divisor común de $f$ y $g,$ es un divisor común de $g$ y $r$; lo que implicará que $\alpha$ divide a $\beta .$ Por lo que $\alpha$ y $\beta$ son asociados, luego, si son mónicos, son iguales.

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Lo anterior sugiere un procedimiento para hallar el mcd de dos polinomios no nulos.

1. Dividir $f$ por $g$ para obtener cociente $q$ y residuo $r,$ Si $r=0,$ tenemos que $g$ es el MCD buscado, y se concluye la búsqueda. En caso contrario, ir al siguiente paso.
2. Continuar dividiendo divisor y residuo obtenidos en el paso anterior, repitiendo el proceso cuantas veces sea necesario hasta obtener un residuo nulo. El último divisor no nulo es el mcd buscado

Notemos que como el residuo tiene un grado menor que el divisor, el proceso acaba en un número finito de pasos. El procedimiento se puede adoptar para generar los polinomios de la identidad de Bezout.

MCM de dos polinomios

Sean $f$ y $g$ dos polinomios no nulos. Cuando uno de ellos tiene grado cero, el otro es el MCM de los dos. Supongamos que los dos polinomios tienen grado positivo. Sean $I_{1}=\langle f\rangle ,$ $I_{2}=\langle g\rangle ,$ $J=I_{1}\cap I_{2}.$ Como $k[X]$ es un dominio de ideales principales, hay un polinomio mónico tal que $J=\langle m\rangle .$ Como $J$ está contenido en $I_{1}$ y en $I_{2}$ resulta que $m$ es un múltiplo común de $I_{1}$ e $I_{2}.$ Además, cualquier múltiplo común de $f$ y $g$ estará tanto en $I_{1}$ como en $I_{2},$ por lo que estará en $J,$ lo que implica que será un múltiplo de $m.$ Luego, $m={\text{mcm}}\{f,g\}.$

Polinomios Irreducibles y Polinomios Primos

Recordemos las nociones de elementos irreducibles y primos en un dominio, pero aplicadas a polinomios.

• Un polinomio $f$ de $A[X]$ es irreducible (en $A[X]$), ssi, $f$ no es nulo ni una unidad y $f=gh$ implica que $g$ o $h$ es una unidad.
• Un polinomio $f$ de $A[X]$ es primo (en $A[X]$), ssi, no es nulo ni es una unidad y cuando $f|gh$ entonces $f|g$ o $f|h.$

Notemos que en $k[X],$ $k$ cuerpo, cualquier polinomio $f$ de grado 1 es irreducible. Sin embargo, lo anterior no es cierto, inclusive sobre un dominio de integridad como los Enteros, como lo ilustra el siguiente ejemplo.

Ejemplo.

Sea $f=2X-6=2(X-3).$ El polinomio $(X-3)$ es irreducible en $\mathbb {Q} [X],$ por lo que $f$ es irreducible en $\mathbb {Q} [X],$ ya que $2$ es un unidad en $\mathbb {Q} [X]$ o sea que $f$ está asociado con un irreducible. Sin embargo, $f$ no es irreducible en $\mathbb {Z} [X],$ ya que 2 es un irreducible, por lo que $f$ es el producto de dos irreducibles de $\mathbb {Z} [X].$

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Sabemos de un capítulo anterior que los elementos primos de un dominio son irreducibles. Veremos que para los polinomios sobre un cuerpo, los irreducibles son primos, por lo que no habrá diferencias entre esas dos clases de polinomios.

Proposición 5. Sea $k$ un cuerpo. Los polinomios irreducibles de $k[X]$ son primos en $k[X].$

Demostración: Sea $f$ un polinomio irreducible y supongamos que $f|ab.$ Debemos probar que $f|a$ o $f|b.$ Supongamos que $f\nmid b.$ Entonces, ${\text{mcd}}\{f,b\}=1.$ Sigue de la identidad de Bezout que hay polinomios $x,$ $y$ tales que $xf+yb=1.$ Multiplicando por $a,$ tenemos que $axf+yab=a.$ Claramente, $f$ es un divisor del lado izquierdo en la última relación, ya que $f|ab.$ Luego, $f$ es un divisor de $a,$ lo que prueba que $f$ es primo.

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Cociente de k[X] por un irreducible

Sea $f$ un polinomio irreducible de $k[X]$ $k$ con grado positivo y sea $A=k[X]/<f>.$ Sea $g$ tal que $[g]\neq [0]$ en $A.$ Esto significa que $g$ no está en $<f>,$ o sea que ${\text{mcd}}(g,f)=1.$ Por la identidad de Bezout, hay polinomios $a,$ $b$ tales que

$ag+bf=1.$

Pasando al cociente, tenemos que $[a][g]+[b][f]=[1]$ y como $[f]=[0],$ concluimos que $[a][g]=[1].$ Es decir que $[g]$ es invertible. Hemos probado, así, parte de la siguiente proposición.

Proposición 6. Sea $f$ un polinomio irreducible de $k[X]$ con grado positivo mayor que 1. Entonces, $k[X]/<f>$ es un cuerpo que contiene al cuerpo $k$ y a un cero de $f.$

Demostración: Los razonamientos anteriores al enunciado de la proposición, muestran que $k[X]/<f>$ es un cuerpo. Suponemos que $k\subset k[X]$ mediante la identificación de elementos de $k$ con polinomios constantes (polinomios de grado cero o el polinomio nulo) Sea $\varphi$ la función que envía $\alpha$ de $k$ en su clase $[\alpha ].$ $\varphi$ es la restricción a $k$ del supramorfismo canónico de $k[X]$ en $k[X]/<f>,$ por lo que es un homomorfismo de anillos con identidad. Si $[\alpha ]=[\beta ],$ se tiene que $[\alpha -\beta ]=[0],$ por lo que $f|(\alpha -\beta ).$ Por razones de grado, tenemos que $\alpha -\beta =0,$ lo que implica que $\varphi$ es inyectiva, o sea que se trata de un monomorfismo que es, por lo tanto, un isomorfismo sobre su imagen. Usando el isomorfismo para identificar $k$ con su imagen, tenemos que $k\subset k[X]/<f>,$ por lo que $k[X]/<f>$ es un cuerpo que contiene a $k.$ Sea $\theta =[X]$ en $k[X]/<f>.$ Entonces, si $f=\sum _{i}a_{i}X^{i},$ pasando al cociente, se tiene que $[0]=[f]=\sum _{i}[a_{i}][X]^{i}=\sum _{i}a_{i}\theta ^{i};$

lo que prueba que $\theta$ es un cero de $f.$

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La Factorización Única en k[X]

El objetivo de esta sección es probar un teorema análogo al teorema fundamental de la Aritmética: "Cada entero positivo mayor que 1 es un producto de potencias de primos, tal que los primos y sus exponentes son únicos, excepto por el orden de aparición".

El siguiente resultado será necesario para el teorema deseado.
Lema B. Sea $k$ un cuerpo. Todo polinomio $f\in k[X]$ de grado positivo tiene un factor irreducible.

Demostración: Los polinomios de grado 1 son claramente irreducibles, por lo que el teorema se cumple para ellos, ya que cada polinomio es un divisor de si mismo. Supongamos el resultado cierto para polinomios de grado a lo más $s,$ $s\geq 1.$ Sea $f$ un polinomio de grado $(s+1).$ Si $f$ es irreducible, no hay nada más que probar. Si $f$ no es irreducible, entonces $f=gh,$ donde los grados de $g$ y de $h$ son inferiores al grado de $f,$ pero mayores que 0. Por inducción, $g$ tiene un factor irreducible, que es también un factor de $f.$

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Como cualquier asociado del factor de un polinomio es también un factor del polinomio, por lo que podemos escoger factores irreducibles que sean mónicos.

Teorema.(Factorización única).

Sea $k$ un cuerpo. Todo polinomio $f\in k[X]$ de grado positivo es el producto de una unidad por el producto único de potencias de irreducibles mónicos, diferentes entre ellos. La unicidad dice que los irreducibles que allí aparecen son únicos, así como las potencias a las que aparecen están unívocamente determinadas por $f,$ excepto por el orden de aparición.

Demostración: (Existencia) Si $f$ es irreducible, no hay nada más que probar. En particular, polinomios de grado 1, $aX+b=a(X+b/a).$ Supongamos que la existencia fuera válida para polinomios de grado a lo más $k,$ $k\geq 1.$ Sea $f$ un polinomio de grado $(k+1).$ Si $f$ es irreducible, $f$ es el producto de su coeficiente líder (unidad) por su asociado mónico. Si $f$ es irreducible, entonces $f=gh$ donde $0<{\text{gr}}(g),{\text{gr}}(h)<{\text{gr}}(f).$ Por inducción, $g$ y $h$ son productos de una unidad por potencias de irreducibles mónicos, luego su producto, $f$ también lo será, después de multiplicar las unidades y reagrupar potencias de irreducibles iguales. (Unicidad) Supongamos que se tuviera que dos descomposiciones de un mismo polinomio. Digamos que

$\alpha p_{1}^{m_{1}}\dots p_{r}^{m_{r}}=\beta q_{1}^{n_{1}}\dots q_{s}^{n_{s}}.$

(*)




Consideremos al irreducible $p_{1}.$ Como irreducibles son primos, $p_{1}$ es primo; por lo que es un divisor de $\beta q_{1}^{n_{1}}\dots q_{s}^{n_{s}}.$ Como eso implica que $p_{1}$ es un divisor de al menos uno de los factores de ese producto, se tiene que $p_{1}$ divide a uno de los $q_{j}.$ Sin perdida de generalidad, podemos suponer que $p_{1}$ divide a $q_{1}$ (si no, cambiamos la notación). Luego, $p_{1}r=q_{1},$ para algún polinomio $r,$ pero como $q_{1}$ es irreducible, se tiene que $r$ debe ser una unidad. Luego, ambos polinomios tienen igual grado y como son mónicos, la unidad debe ser la identidad 1. Lo que implica que $q_{1}=p_{1}.$ Cancelando factores iguales a $p_{1}$ en (*), se cancelarán todas las potencias de $p_{1}$ y $q_{1}.$ Ya que si sobrará alguno de ellos en un lado, sería divisible por alguno de los irreducible del otro lado, pero esto implicaría que son iguales, lo que no puede ser. Si $r=s=1,$ el resultado estaría probado. En caso contrario, procedemos como arriba, para ir eliminando factores iguales en ambos lados, hasta quedar $\alpha =\beta .$

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Ejercicios

1. Hallar el cociente y el residuo de la división del primer polinomio por el segundo en $\mathbb {Q} [X].$
   1. $X^{3}-7X-1,$ $X-2.$
   2. $X^{4}-2X^{2}-1,$ $X^{2}+3X-1.$
   3. $X^{2}+X+1,$ 2.
   4. $X^{6}-1,$ $X^{3}-1.$
   5. $X^{4}+6X^{3}+10X^{2}+3X-6,$ $X^{2}-3X.$
2. Hallar $m$ y $p$ de modo que $X^{3}+pX+q$ sea divisible por $X^{2}+mx-1.$
3. Efectuar la división de $X^{m}-a^{m}$ por $X^{n}-a^{n}$ y determinar condiciones para que el residuo sea nulo.
4. Para cada uno de los siguientes pares de polinomios, indicar si el primer polinomio tiene como factor al segundo. En caso contrario, hallar un mcd de ambos polinomios.
   1. $X^{2}-5X+6,$ $X-2.$
   2. $X^{3}-10X^{2}+31X-30,$ $X^{2}-5X+6.$
   3. $X^{3}+2X^{2}-3x-10,$ $X^{3}-X^{2}-X-2.$
5. Hallar el MCD y MCM de los conjuntos siguientes de polinomios en $\mathbb {Q} [X].$
   1. $X^{2}-4,$ $X^{2}+X-6.$
   2. $X^{3}-2x^{2}-5X+6,$ $2X^{3}-5X^{2}-6X+9.$
   3. $2X^{5}+2X^{4}-2X^{2}-2X,$ $2X^{2}-5X-3.$
   4. $X^{99}-1,$ $X^{45}-1.$
6. Hallar números complejos $a,$ $b,$ $c$ de manera que $X^{5}+aX^{2}+b$ sea divisible por $X^{3}+X^{2}+cX+1.$
7. Hallar el residuo de la división del polinomio $f$ por $(X-a),$ por $(X-b)$ y por $(X-a)(X-b).$
8. Los residuos de la división de un polinomio $f$ por $X-1,$ $X-2$ y $X-3$ son respectivamente 3, 7 y 13, Hallar el residuo de la división de $f$ por $(X-1)(X-2)(X-3).$
9. Sea $n$ un entero positivo,
   1. Probar que cada polinomio $P$ puede expresarse de manera única como $P(X)=P_{0}(X^{n})+XP_{1}(X^{n})+\cdots +X^{n-1}P_{n-1}(X^{n}).$
   2. Probar que el residuo de la división de cualquier polinomio $P$ por $X^{n}-a$ es igual a: $R(X)=P_{0}(a)+P_{1}(a)X+\cdots +P_{n-1}(a)X^{n-1}.$

   
   

10. Probar la validez del algoritmo de Euclides (por divisiones sucesivas) para computar un mcd de dos polinomios. Para hallar el MCD de $f$ y $g$ (suponiendo grado de $f$ mayor o igual que el grado de $g$), Se procede de la siguiente manera: Coloquemos $u=f$ y $v=g.$
    [(i)]
    1. Se divide $u$ por $v$ y se halla el cociente y el residuo $r.$
    2. Si el residuo es 0, $v$ es el máximo común divisor. En caso contrario, se repite el procedimiento con $u=v$ y $v=r.$

       Cuando se computa a mano, puede resultar conveniente reemplazar en algunos de los pasos, un polinomio por un asociado.
    

11. Hallar el máximo común divisor de los siguientes conjuntos de polinomios de $\mathbb {Q} [X].$
    1. $16X^{3}+36x^{2}-12X-18$ y $8X^{2}-2X-3.$
    2. $3X^{3}-13X^{2}+5X-4$ y $2X^{2}-7X-4.$ (Para evitar fracciones en la primera división, multiplicar el primer polinomio por 2, obteniendo un asociado conveniente.)
    3. $aX^{4}+3aX^{3}-2aX^{2}+6aX-8a$ y $X^{4}+4X^{3}-X^{2}-6X.$
    4. $X^{3}-2X^{2}-5X+6,$ $2X^{3}-5X^{2}-6X+9$ y $2XS^{2}-5X-3.$
    5. $2X^{5}+2X^{4}-2X^{3}-2X,$ $3X^{6}-4X^{4}+3X^{3}+4X$ y $4X^{4}-4X^{3}+3X^{2}-3X.$
    6. $X^{24}-1$ y $X^{15}-1.$
    7. $X^{48}-1$ y $X^{12}-1.$
    8. $X^{m}-1$ y $X^{n}-1.$
12. Mostrar que cuando el polinomio $f$ es primo con los polinomios $g$ y $h$ (un máximo común divisor es 1), también lo será con $gh.$
13. Mostrar que si los polinomios $f$ y $g$ son primos entre sí, también lo serán $f+g$ y $fg.$
14. Sobre el cuerpo $\mathbb {Z} _{7},$ hallar un polinomio $f$ de grado 2 tal que $f_{1}=4,$ $f(2)=0$ y $f(6)=1.$
15. Probar que los polinomios de grado 1 sobre un cuerpo son irreducibles.
16. Probar que en $\mathbb {Z} _{2}[X]$ dos polinomios son asociados, ssi, son iguales.

El Teorema del Residuo y los Ceros de Polinomios

Las siguientes proposiciones nos ayudarán a determinar los ceros de $f$ en $A[X].$ Tal determinación, como veremos es equivalente a determinar los factores lineales de $f,$

Proposición 7. (Teorema del Residuo) Sea $A$ un anillo conmutativo con identidad, $f$ un polinomio en $A[X].$ Sea $a$ un elemento de $A.$ El residuo de la división de $f$ por $X-a$ es exactamente $f(a).$

Demostración: Por el algoritmo de la división aplicado a $g=X-a$ (que tiene coeficiente líder invertible), obtenemos que $f=q(X-a)+r$

donde $r$ tiene grado menor que $X-a.$ Por lo tanto, $r$ será un polinomio de grado cero o el polinomio nulo. Evaluando en $a,$ obtendremos el resultado.

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Corolario 7.1. (Teorema del Factor) Sea $A$ un anillo conmutativo con identidad, $f$ un polinomio de $A[X].$ Un elemento $a$ de $A$ es un cero de $f,$ ssi, $X-a$ es un factor de $f.$

Demostración: Por el algoritmo de la división, habrá polinomios $q$ y $r$ tales que: $f(X)=q(X)(X-a)+r(X).$

Si $a$ es un cero de $f,$ se tendrá que $0=0+r(X),$ de donde $r(X)=0,$ y en consecuencia, $X-a$ será un factor de $f.$ En forma recíproca, si $(X-a)$ es un factor de $f,$ el residuo será nulo.

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Ejemplo.

Sea $f=5X^{3}-13X+4X+4$ en $\mathbb {Q} [X].$ Como $f(1)=0$ se tiene que $X-1$ es un factor de $f.$ Dividiendo $f$ por $X-1,$ obtenemos como cociente a $g=5X^{2}-8X-4.$ Usando la fórmula cuadrática, obtenemos que $g(x)=0,$ ssi,

$x={\frac {8\pm {\sqrt {64+80}}}{10}}={\frac {8\pm 12}{4}}.$

Lo que nos da los ceros adicionales $2$ y $-2/5.$ Por lo que tendremos que

$f=(X-1)(X-2)(5X+2).$

Por lo que $V_{\mathbb {Q} }(f)=\{1,2,-2/5\}.$

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Ejemplo.

Sea $f=X^{3}-1$ en $\mathbb {Z} [X].$ Claramente 1 es un cero de $f,$ por lo que tiene el factor $X-1.$ Dividiendo $f$ por $X-1,$ obtendremos como cociente $g=X^{2}+X+1.$ Como

$g=X^{2}+X+1=(X^{2}+X+{\frac {1}{4}})+{\frac {3}{4}}=(X+{\frac {1}{2}})^{2}+{\frac {3}{4}},$

vemos que $g$ no tiene otro cero entero, de hecho ni siquiera reales. Luego, $V_{\mathbb {Z} }(f)=V_{t}{\mathbb {Q} }(f)=V_{\mathbb {R} }(f)=\{1\}.$ Sobre los Complejos, $V_{\mathbb {C} }(f)=\{1,(-1\pm i{\sqrt {3}})/2\}.$

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Ejemplo.

Hallar los ceros de $f=X^{3}+2$ de $\mathbb {Z} _{3}[X],$

Resolución. Los cuerpos finitos, precisamente por su finitud y especialmente cuando la cantidad de elementos es pequeña, se prestan para evaluaciones exhaustivas de sus elementos. En este caso $f_{0}=2,$ $f(1)=0,$ $f(2)=1.$ Luego, $V_{\mathbb {Z} _{3}}(f)=\{1\}.$

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Ceros Múltiples, Cantidad de Ceros

Observemos que cuando $f$ es un polinomio no nulo divisible por un polinomio mónico $g,$ digamos que $f=qg,$ se tiene que $g$ no es un divisor de cero en A[X]. Por lo que tenemos que ${\text{gr}}(f)={\text{gr}}(q)+{\text{gr}}(g).$ Luego, ${\text{gr}}(g)\leq {\text{gr}}(f).$

Multiplicidad. Sea $a$ un cero de $f.$ Sea $n$ el mayor entero positivo tal que $(X-a)^{n}|f.$ En tal situación, decimos que $a$ es un cero múltiple con multiplicidad $n.$ Sigue de la observación anterior que la multiplicidad es inferior al grado de $f.$ Cuando la multiplicidad es 1, decimos que el cero es simple. Denotaremos por $\nu _{a}(f)$ la multiplicidad de $a$ en el polinomio $f.$

En los polinomios sobre los Reales o los Complejos, un polinomio de grado $n,$ $n\geq 1$ tiene a lo más $n$ ceros. En general, lo anterior no es cierto, como lo muestra el siguiente ejemplo.

Ejemplo.

Sea $A=\mathbb {Z} _{6}$ y sea $f=X^{2}+3X+2.$ La tabla siguiente muestra la evaluación de $f$ en los elementos de $A.$

${\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|}a&0&1&2&3&4&5\\\hline f(a)&2&0&0&2&0&0\end{array}}$

Luego, $V(f)=\{1,2,4,5\}.$ Sin embargo, $f$ no es igual o divisible por $(X-1)(X-2)(X-4)(X-5).$

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Sin embargo, sobre un dominio de integridad, tenemos una situación análoga a aquella sobre los Reales y Complejos. Antes de probar lo anterior, probaremos el siguiente resultado.

Lema C. Sea $A$ un dominio de integridad y sean $f,$ $g$ polinomios en $A[X].$ Entonces,

$V(fg)=V(f)\cup V(g).$

Demostración: Claramente, $V(f)\cup V(g)\subset V(fg).$ Sea $a$ en $V(fg),$ entonces $0=(fg)(a)=f(a)g(a)$; como estamos en un dominio, se tiene que $f(a)=0$ o $g(a)=0.$ Es decir $a$ está en $V(f)$ o en $V(g).$ Luego $V(fg)\subset V(f)\cup V(g),$

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Proposición 8. Sea $D$ un dominio y $f$ un polinomio no nulo en $D[X].$ Si $V_{D}(f)=\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r}\}$ entonces

$f=q*(X-a_{1})^{v_{1}}(X-a_{2})^{v_{2}}\cdots (X-a_{r})^{v_{r}}$

donde $v_{i}$ es la multiplicidad de $a_{i}$ en $f$ y $V_{D}(h)=\emptyset .$ La cantidad de ceros de $f$ contando las multiplicidades es inferior o igual al grado de $f,$ $\sum _{i}v_{i}\leq {\text{gr}}(f).$

Demostración: (Por inducción sobre el grado de $f$) Si el polinomio tiene grado 1, entonces $r$ debe ser 1 y $v_{1}=1$ por el teorema del factor.Supongamos que $f$ tiene grado mayor que 1 y que el resultado es válido para polinomios de grado inferior al de $f.$ Sea $\alpha$ uno cualquiera de los ceros, entonces $f=(X-\alpha )^{\nu _{\alpha }(f)}g\quad {\text{ con }}g(\alpha )\neq 0$ y ${\text{gr}}(g)<{\text{gr}}(f).$

Por la hipótesis de inducción,

$g=h*(X-\beta _{1})^{w_{1}}\cdots (X-\beta _{s})^{w_{s}}$

donde $V(g)=\{\beta _{1},\cdots ,\beta _{s}\},$ $w_{j}$ es la multiplicidad de $\beta _{j}$ en $g$ y $V(q)=\emptyset .$ Observemos que $\nu _{\beta }(f)=\nu _{\beta }(g),$ para cualquier cero $\beta$ de $g.$ Por el lema, se tiene que $V(f)=\{\alpha \}\cup V(g)$ y usando las relaciones para $f$ y $g$ anteriores se tiene que

$f=q*(X-\alpha )^{\nu _{\alpha }(f)}(X-\beta _{1})^{w_{1}}\cdots (X-\beta _{s})^{w_{s}}.$

De donde, se tiene que la suma de las multiplicidades debe ser inferior al grado de $f.$ ya que estamos trabajando sobre un dominio.

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Corolario. 8.1 (Cantidad de Ceros) En un dominio de integridad $D,$ un polinomio de grado $n,$ $n\geq 1$ con coeficientes en el dominio tiene a lo más $n$ ceros en $D.$

Corolario 8.2. Sea $k$ un cuerpo con infinitos elementos y sean $f$ y $g$ polinomios con coeficientes en $k.$ Entonces, $f=g$ como polinomios, ssi, son iguales como funciones.

Demostración: Si $f=g$ entonces para cada $a$ de $k,$ se cumple que $f(a)=g(a).$ Por lo que $f$ y $g$ son iguales como funciones. Supongamos, ahora, que $f$ y $g$ son polinomios tales que para cada $a$ en $k,$ $f(a)=g(a).$ Sea $h=f-g.$ Sigue de las hipótesis que $h(a)=0$ para cada $a$ de $k.$ Si $k$ es infinito se tiene que $h$ es un polinomio con infinitos ceros, que es mucho más de lo que puede tener un polinomio de grado $n>0.$ Luego, el grado de $h$ es menor o igual a 0. Los polinomios de grado 0 no tienen ceros, por lo que la única posibilidad es el polinomio nulo, cuyo grado es menor que 0.

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Derivadas y Ceros Múltiples

Para cada polinomio $f,$ definiremos la noción de derivada de un polinomio. La derivada que definiremos proporciona el mismo resultado que la derivada de una función polinómica en los cursos de Cálculo. Esta noción de derivada, sin embargo, es formal y no requerirá de límites. La usaremos para determinar la existencia de ceros múltiples de un polinomio.

Definición. (Polinomio Derivado) Sea $f=a_{0}+a_{1}X+\dots +a_{n}X^{n}$ un polinomio de grado $n$ en $A[X],$ $n\geq 0.$ Llamaremos polinomio derivado de $f$ al polinomio denotado por $f'$ y definido por

$f':=a_{1}+2a_{2}X+\dots +na_{n}X^{n}.$

La siguiente proposición muestra que los polinomios derivados tienen propiedades análogas a las derivadas de funciones.

Proposición 9. Sean $f$ y $g$ polinomios en $A[X],$ $a$ un polinomio constante. Entonces, se tiene las siguientes propiedades:

1. $a'=0.$
2. $(X^{n})'=nX^{n-1}$.
3. $(aX^{n})'=a(X^{n})'$.
4. $(af)'=af'.$
5. $(f+g)'=f'+g'.$ &
6. $(X^{m}X^{n})'=(X^{m})'X^{n}+X^{m}(X^{n})'.$
7. $(fg)'=f'g+fg'.$

Demostración: Las relaciones a) y b) siguen directamente de la definición.

3. De acuerdo con la definición,
   $(aX^{n})'=naX^{n-1}=a(nX^{n-1})=a(X^{n})'.$
4. Ejercicio.
5. Ejercicio.
6. ${\begin{array}{rcl}(X^{m}X^{n})'&=&(X^{m+n})'=(m+n)X^{m+n-1}\\&=&mX^{m+n-1}+nX^{m+n-1}\\&=&mX^{m-1}X^{n}+X^{m}(nX^{n-1})\\&=&(X^{m})'X^{n}+X^{m}(X^{n})'.\end{array}}$
7. Sean $f=\sum _{i=0}^{m}a_{i}X^{i}$ y $g=\sum _{j=0}^{n}b_{j}X^{j}.$ Entonces, $fg=\sum _{k=0}^{m+n}\sum _{i+j=k}a_{i}b_{j}X^{i+j}.$ Luego, ${\begin{array}{rcl}(fg)'&=&(\sum _{k=0}^{m+n}\sum _{i+j=k}a_{i}b_{j}X^{i+j})'\\&=&\sum _{k=0}^{m+n}(\sum _{i+j=k}a_{i}b_{j}X^{i+j})'\quad {\text{ por e)}}\\&=&\sum _{k=0}^{m+n}\sum _{i+j=k}(a_{i}b_{j}X^{i+j})'\quad {\text{ por e)}}\\&=&\sum _{k=0}^{m+n}\sum _{i+j=k}a_{i}b_{j}(X^{i+j})'\quad {\text{ por d)}}\\&=&\sum _{k=0}^{m+n}\sum _{i+j=k}a_{i}b_{j}[(X^{i})'X^{j}+X^{i}(X^{j})']\quad {\text{ por f)}}\\&=&\sum _{k=0}^{m+n}\sum _{i+j=k}a_{i}b_{j}(X^{i})'X^{j}\\&&\quad +\sum _{k=0}^{m+n}\sum _{i+j=k}a_{i}b_{j}X^{i}(X^{j})'\\&=&f'g+fg'.\end{array}}$

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Proposición 10. (Derivada y Multiplicidad). Sea $k$ un cuerpo y sea $f$ un polinomio de $k[X].$

1. Si $f$ tiene un factor múltiple entonces $f$ y $f'$ no son relativamente primos.
2. Si la característica del cuerpo es 0 y $f$ y $f'$ no son relativamente primos, entonces $f$ tiene un factor múltiple.

Demostración:

1. Supongamos que $f=g^{s}h$ en $k[X]$ con $s>1$ y ${\text{gr}}(g)>0.$ Entonces, por la regla del producto, se tiene que

   $f'=sg^{s-1}g'h+g^{s}h'.$

   (*)

   
   Lo que prueba que $g^{s-1}$ es un divisor común de $f$ y $f'.$

2. Sea $d={\text{mcd}}(f,f')$ tal que ${\text{gr}}(d)>0$ y sea $p$ un factor irreducible de $d.$ Entonces, $f=ph$ para algún polinomio $h.$ Luego, $f'=p'h+ph'.$ Como $p|f',$ sigue de la relación anterior de que $p|p'h.$ Luego, como $p$ es irreducible (y, por lo tanto, primo) $p|p'$ o $p|h.$ Supongamos que $p|h,$ entonces $p^{2}|f$ y tenemos que $p$ es un factor múltiple de $f.$ Si la característica del cuerpo es 0, entonces ${\text{gr}}(p')={\text{gr}}(p)-1$ implica que $p\nmid p'.$

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Ejemplo.

Sea $u=X^{p}-a\in \mathbb {Z} _{p}[X],$ $p$ primo. Entonces, $u'=pX^{p-1}=0,$ ya que el cuerpo tiene característica $p.$ Es decir, que en esta situación, $p|u'.$ Lo que muestra la necesidad de la hipótesis de característica 0 en la proposición anterior.

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Corolario 10.1. Sea $f$ un polinomio de $k[X].$ Si hay un cero común a $f$ y $f',$ entonces ese cero es al menos doble.

Corolario 10.2. En un cuerpo de característica cero, los polinomios irreducibles solamente tienen ceros simples.

Demostración: Sea $f$ un polinomio irreducible de grado $n\geq 1.$ Entonces, el coeficiente líder del polinomio derivado es $n$ y tiene un grado inferior a $f,$ por lo que no hay polinomio de grado positivo que divida a $f$ y $f'.$

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Ejemplo.

Sea $f=X^{4}-5X^{3}+5X^{2}-3X+18.$

Se tiene que $f'=4X^{3}-15X^{2}+10X-3.$ Usaremos el algoritmo de Euclides para computar el mcd de $f$ y $f'.$

${\begin{array}{rcl}x^{4}-5x^{2}-3x+18&=&\quad 94x^{3}-15x^{2}+10x-3)({\frac {1}{4}}x-{\frac {5}{16}})+(-{\frac {35}{16}}x^{2}+{\frac {7}{8}}x+{\frac {273}{16}})\\[2mm]4x^{3}-15x^{2}+10x-3&=&\quad (-{\frac {35}{16}}x^{2}+{\frac {7}{8}}x+{\frac {273}{16}})(-{\frac {64}{35}}x+{\frac {1072}{175}}+({\frac {896}{25}}x-{\frac {2688}{25}})\\[2mm]-{\frac {35}{16}}x^{2}+{\frac {7}{8}}x+{\frac {273}{16}}&=&\quad ({\frac {896}{25}}x-{\frac {2688}{25}})(-{\frac {125}{2048}}x-{\frac {325}{2048}})+0\end{array}}$

Vemos que ${\text{mcd}}(f,f')={\frac {896}{25}}X-{\frac {2688}{25}}={\frac {896}{25}}(X-3).$ Es decir que $X-3$ es el mcd. Esto implica que hay un cero doble y que tal cero es precisamente $X=3.$

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Expansión p(X)--aria de un Polinomio

Es conocido que dado un entero positivo $d,$ cada número entero positivo $N$ se puede escribir de la forma

$N=a_{0}+a_{1}d+\cdots +a_{s}d^{s},$

(*)

donde los $a_{i}$'s son tales que $0\leq a_{i}<d.$ La expresión en la derecha de (*) se llama la expansión $d$--aria de $N.$

El resultado anterior es una consecuencia del algoritmo de la división. Como tal algoritmo es válido para polinomios en un cuerpo, tenemos, como consecuencia, un resultado análogo para los polinomios con coeficientes en un cuerpo.

Proposición 11. (Expansión $p(X)$--aria de un polinomio) Sea $k$ un cuerpo, $p$ un polinomio de grado positivo de $k[X].$ Entonces, todo polinomio $f$ se puede escribir de la forma

$f(X)=a_{0}+a_{1}p(X)+a_{2}p^{2}(X)+\cdots +a_{s}p^{s}(X),$

(**)

donde los $a_{i}$ son polinomios en $k[X]$ que son nulos o con grado inferior al grado de $p.$ La expresión a la derecha de (**) se llama la expansión $p$--aria de $f$.

Demostración: Si $f$ es nulo o con grado 0, se tiene el resultado con $k=0$ y $a_{0}=f.$ Supongamos que $f$ es un polinomio de grado $n>0.$ Por algoritmo de Euclides, tenemos que

$f=qp+r,$

(1)


donde $q$ y $r$ son polinomios en $k[X]$ y $r$ tiene un grado inferior al grado de $p.$ Se tiene entonces que grado de $q$ es inferior al grado de $f,$ por lo que, por inducción, tenemos que

$q=b_{0}+b_{1}p+\cdots +b_{t}p^{t}.$

(2)


Sustituyendo este resultado en (1), obtenemos que

$f=(b_{0}+b_{1}p+\cdots +b_{t}p^{t})p+r=r+b_{0}p+b_{1}p^{2}+\cdots b_{t}p^{t+1}.$

Poniendo, $s=r+1,$ $a_{0}=r,$ $a_{i}=b_{i-1},$ $1\leq i\leq t,$ tenemos el resultado.

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Corolario 11.1. Si $p(X)=(X-a),$ cada uno de los $a_{i}$ es un elemento del cuerpo $k.$

Ejemplo.

Sea $p(X)=X-2,$ entonces

$X^{3}+X^{2}-19X+31=5-3(X-2)+7(X-2)^{2}+(X-2)^{3}.$

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Cuando el cuerpo es de característica 0 se tiene el siguiente interesante resultado.

Proposición 12. (Teorema de Taylor) Sea $k$ un cuerpo de característica cero. Sea $a$ un elemento del cuerpo. Entonces, cada $f$ de grado $n>0$ en $k[X]$ puede expandirse como

$f=\sum _{k=0}^{n}a_{k}(X-a)^{k},\quad {\text{ con }}\quad a_{k}={\frac {f^{(k)}(a)}{k!}},$

donde $f^{(k)}(a)$ denota la $k$--ésima derivada del polinomio $f$ evaluada en $a.$

Demostración: Ejercicio.

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Ejemplo.

Sea $f(X)=X^{3}+X^{2}-19X+31$ el polinomio del ejemplo anterior y sea $a=2,$ como en el ejemplo indicado. Entonces,

${\begin{array}{|c|c|c|}\hline k&f^{(k)}(X)&f^{(k)}(a)/k!\\\hline 0&X^{3}+X^{2}-19X+21&5\\1&3X^{2}+2X-19&-3\\2&6X+2&14/2=7\\3&6&6/6=1\\\hline \end{array}}$

Lo que muestra como se produjeron los coeficientes de la expansión en el ejemplo anterior.

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Este resultado se aplica en la descomposición en fracciones parciales de fracciones de polinomios con coeficientes en un cuerpo. Ver los ejercicios respectivos.

Ejercicios del Capítulo

1. Hallar el residuo en $\mathbb {Q} [X]$ cuando
   1. $X^{3}+4X^{2}-20X-3$ se divide por $X-3.$
   2. $X^{8}-1$ se divide por $X+2.$
   3. $X^{3}-2X^{2}-X+2$ se divide por $(X-1)(X+1).$
   4. $X^{40}-8X^{2}+9$ se divide por $X^{4}-1.$
2. Sea $k$ un cuerpo y $f$ en $k[X].$ Probar que
   1. Si ${\text{gr}}(f)=1$ entonces $f$ es irreducible.
   2. Si ${\text{gr}}(f)=2$ o ${\text{gr}}(f)=3,$ $f$ es irreducible, ssi, $f$ no tiene ceros en $k.$
3. Dar ejemplo de un polinomio $f$ que es reducible sobre $\mathbb {Q} ,$ pero que no tiene ceros racionales.
4. El residuo de un polinomio $f$ de $\mathbb {Q} [X]$ cuando se divide por $(X^{5}+1)(X+3)$ es $X^{2}+4X+7.$ ¿Cuál es el residuo de $f$ cuando se divide por $X^{5}+1$?
5. Sea $f$ en $k[X]$ un polinomio tal que su residuo al dividir por $X-a$ es $u$ y cuando se divide por $X-b$ su residuo es $v.$ Hallar el residuo de la división de $f$ por $(X-a)(X-b).$
6. Hallar todos los ceros de $f=X^{2}-2X$ en $A[X],$ cuando
   a) $A=\mathbb {Z} _{15}$ y b) $A=\mathbb {Z} _{30}.$
7. (Requiere Cálculo Infinitesimal.) Todos los polinomios con coeficientes reales. Como la característica es cero, cada polinomio define de manera única una función polinomial. Probar las siguientes afirmaciones.
   1. Cada polinomio de grado impar mayor que 1 no es irreducible.
   2. Suponer que $a$ en $\mathbb {R}$ es un cero de $f.$ $a$ es un cero múltiple, ssi, la tangente a la gráfica de $f$ en $x=a$ es el eje $X.$
   3. Si $f$ no tiene ceros múltiples y tiene grado impar, la cantidad de ceros reales es impar.
8. Probar que el producto de dos polinomios mónicos es mónico.
9. Probar que en $\mathbb {Z} _{p}[X],$ $p$ primo se cumple que $X^{p}-X=X(X-1)(X-2)\cdots (X-(p-1)).$

   (Sugerencia: mirar el teorema de Fermat.)

10. Hallar una función de $\mathbb {Z} _{6}$ en $\mathbb {Z} _{6}$ que no es una función polinomial.
11. Probar que todas las funciones de $\mathbb {Z} _{2}$ en $\mathbb {Z} _{2}$ son polinomiales.
12. Probar que en $\mathbb {Z} [X]$ el ideal $<2>$ es primo pero no es maximal.
13. Sea $k$ un cuerpo finito que tiene $q$ elementos. Sea $f$ un polinomio irreducible de $k[X]$ de grado $n>0.$ ¿Cuántos elementos tiene el cuerpo $k[X]/<f>$?
14. Sea $A$ un anillo conmutativo con identidad y sea $F$ el conjunto formado por todas las funciones de $A$ en $A.$ Para $f$ y $g$ en $F$ definir suma y producto tales que $(f+g)(x)=f(x)+f(x){\text{ y }}(f\odot g)(x)=f(g(x)).$

    ¿Es $<F,+,\odot >$ un anillo?

15. (Sustituciones) Sea $A$ un anillo conmutativo con identidad. Probar que la función $\eta :A[X]\longrightarrow A[X]$ tal que $\eta (f(X))=f(X+b),$ $b$ en $A,$ es un automorfismo de anillos. Hallar condiciones suficientes sobre $a$ para que la función $f(X)\mapsto f(aX+b)$ sea un automorfismo de anillos.
16. Sea $k$ un cuerpo cualquiera. Probar que en $k[X]$ cuando dos polinomios son mónicos, de igual grado y uno de ellos divide al otro, los polinomios son iguales.
17. En $\mathbb {Z} _{2}$ hallar para cada uno de los pares de polinomios indicados un mcd. de ellos y expresar ese mcd como una combinación lineal de los polinomios dados (Teorema de Bezout)
    1. $X^{2}+X+1$ y $X^{3}.$
    2. $X^{6}+X^{4}+X^{3}$ y $X^{8}+X^{7}+X^{6}+X^{5}+X^{3}+X^{2}+X+1.$
    3. $X^{1}5-1$ y $X^{7}+X^{5}+X^{4}.$
18. Sean $f$ y $g$ polinomios en $k[X],$ $k$ un cuerpo cualquiera. con ${\text{gr}}(g)>0.$ Sean $q$ y $r$ el cociente y el residuo de la división de $f$ por $g.$ Probar que ${\text{mcd}}(f,g)={\text{mcd}}(g,r).$
19. Sean $f$ y $g$ polinomios no ambos nulos de $k[X]$ y sea $d={\text{mcd}}(f,g).$ Probar que hay polinomios $r$ y $s$ en $k[X]$ tales que $d=rf+sg,$ pero con ${\text{gr}}(r)<{\text{gr}}(g)$ y ${\text{gr}}(s)<{\text{gr}}(f).$
20. Hallar las expansiones $p$--arias de cada uno de los siguientes polinomios en $\mathbb {Q} [X]$ cuando $p=X-a.$
    1. $1+X+X^{2}+X^{3}+X^{4},$ $a=1.$
    2. $2X^{3}+27X^{2}+105X+131,$ $a=-3.$
21. (Fracciones Parciales) Sean $f$ y $g$ polinomios con coeficientes en un cuerpo $k$ que son primos entre sí. Probar que siempre podemos hallar polinomios $a$ y $b$ tales que: ${\frac {1}{fg}}={\frac {a}{p}}+{\frac {b}{g}}.$

    Mostrar, además, que podemos seleccionar $a$ y $b$ de modo que ${\text{gr}}(a)<{\text{gr}}(f)$ y ${\text{gr}}(b)<{\text{gr}}(g).$

22. (Fracciones parciales) Sea $p$ un irreducible de $k[X],$ $k$ cuerpo. Probar que para todo polinomio $g$ tal que ${\text{gr}}(g)<{\text{gr}}(p^{k})$ es posible hallar elementos $a_{i}$ en $k,$ $1\leq i\leq k$ tales que ${\frac {g}{p^{k}}}={\frac {a_{1}}{p}}+{\frac {a_{2}}{p^{2}}}+\dots +{\frac {a_{k}}{p^{k}}}.$
23. (Fracciones parciales) Sea $f$ un polinomio mónico con coeficientes en un cuerpo $k.$ Suponer que la factorización de $f$ en irreducibles está dada por $f=p_{1}^{r_{1}}p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}},$ donde cada $p_{i}$ es irreducible y $r_{i}>0.$ Sea $g$ un polinomio cualquiera tal que el grado de $g$ es inferior al grado de $f.$ Probar que hay polinomios $q_{i}$ tales que ${\text{gr}}(q_{i})<{\text{gr}}(p_{i}^{r_{i}})$ y que cumplen con ${\frac {g}{f}}={\frac {q_{1}}{p_{1}^{r_{1}}}}+{\frac {q_{2}}{p_{2}^{r_{2}}}}+\cdots +{\frac {q_{k}}{p_{k}^{r_{k}}}}.$
24. Hallar la expansión en fracciones parciales de las fracciones siguientes. ${\frac {X+3}{(X-1)(X+5)}},\quad {\frac {X^{2}+1}{(X+1)(X^{2}+2)}},\quad {\frac {2X(4X^{2}+5X+3)}{(X+1)^{2}(X^{2}+1)}}.$