Álgebra Abstracta/Anillo de Polinomios

Introducción

El Álgebra se creó para la resolución de ecuaciones polinómicas. Primeramente, se estudiaron las ecuaciones lineales y cuadráticas, para extenderse posteriormente a ecuaciones polinómicas de grados superiores. En los curso básicos, los polinomios son usualmente considerados como funciones polinómicas. Examinaremos, a continuación, dicha noción y veremos que es insuficiente para nuestros propósitos. Luego de ese análisis, daremos una definición formal de polinomios con coeficientes en cualquier anillo, así como de operaciones que proveerán al conjunto de polinomios de una estructura de anillo.

Posteriormente, veremos que para polinomios con coeficientes en un cuerpo tendremos una teoría de divisibilidad análoga a aquella de los enteros..

Las Funciones Polinómicas Reales

Las funciones polinómicas reales son funciones de $\mathbb {R}$ en $\mathbb {R}$ tales que

$f(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n},$

donde los $a_{i}$'s son números reales. El lector, seguramente, conoce algunas de las propiedades de esas funciones y su relación con las ecuaciones polinómicas con coeficientes reales. Claramente, podríamos generalizar tales funciones de manera que sus coeficientes pertenecieran a un cuerpo cualquiera e inclusive a un anillo cualquiera. Sin embargo, para los propósitos algebraicos necesitaremos una noción más general que llamaremos polinomio formal. Algebraicamente, los polinomios formales tendrán muchas de la propiedades de las funciones polinómicas, pero permitirán estudiar de manera más cómoda y eficiente las ecuaciones polinómicas. Los siguientes ejemplos ilustrarán la necesidad de polinomios formales.

Ejemplo.

Recordemos que un cero de una función polinómica $f$ es un número $a$ del dominio de la función tal que $f(a)=0.$ Consideremos la función polinómica $f$ de $\mathbb {Q}$ en $\mathbb {Q}$ tal que $f(x)=x^{2}-2.$ Observemos que un "cero" de esa función es el número irracional ${\sqrt {2}},$ que no pertenece al dominio de la función.

El problema no es que la función tenga dominio los racionales y no todos los reales, ya que la función $f:\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$ tal que $f(x)=x^{2}+1$ tampoco tiene ceros reales, aunque sí complejos.

Es decir que un problema con las funciones y sus ceros, es que puede haber "ceros" de la función que vivan fuera del dominio de la función.

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Ejemplo.

Consideremos el cuerpo $\mathbb {Z} _{3}$ y sean $f$ y $g$ funciones de $\mathbb {Z} _{3}$ en si mismo tales que $f(x)=x^{3}+2$ y $g(x)=x+2.$ La tabla siguiente muestra los valores de las funciones.

${\begin{array}{c|c|c}x&f(x)&g(x)\\\hline 0&2&2\\1&0&0\\2&1&1\end{array}}$

Como para todo $x$ de $\mathbb {Z} _{3}$ se cumple que $f(x)=g(x),$ tenemos que las funciones polinómicas $f$ y $g$ son iguales, aunque sus grados son diferentes. Nosotros no queremos que polinomios de diferentes grados sean iguales, por lo que necesitaremos una noción diferente a funciones polinómicas.

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Búsqueda de una definición

Queremos que nuestros polinomios formales tengan propiedades análogas a funciones polinómicas, inclusive que se escriban de manera parecida. Para buscar una definición adecuada, examinaremos las propiedades de la suma y la multiplicación de las funciones polinómicas, especialmente cuando se realizan esas operaciones por coeficientes separados---es decir, cuando solo escribimos los coeficientes.

La suma

Sean $f(x)=3-2x+5x^{2}$ y $g(x)=4+3x.$ Hallar la suma de $f$ y $g.$ Las expresiones polinómicas pueden escribirse con los grados en forma ascendente, o en forma descendente. Hemos usado la forma ascendente, porque será más útil para nuestros propósitos.

A la derecha, hemos mostrado el cómputo mediante coeficientes separados, donde se ve claramente que la suma consiste en sumar los coeficientes de los términos de igual grado de los sumandos. Notemos que la notación ascendente de los polinomios, permite alinear fácilmente los términos iniciales. Si llamamos $a_{n}$ y $b_{n}$ a los coeficientes de los términos de grado $n$ de los sumandos, y si $c_{n}$ es el coeficiente del término de grado $n$ del resultado, tenemos que

$c_{n}=a_{n}+b_{n}.$

(16-1)

Esa afirmación supone que cuando un término de un polinomio no aparece, su coeficiente es cero.

La multiplicación de polinomios

Examinaremos la multiplicación, tratando de ver el patrón de generación de los coeficientes del producto. Sean $f(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{m}x^{m}$ y $g(x)=b_{0}+b_{1}x+\cdots +b_{n}x^{n}$ dos funciones polinómicas. Veamos la generación de los primeros términos del producto.

Reuniendo los términos de igual grado, obtenemos que

${\begin{array}{rcl}fg(x)&=&a_{0}b_{0}+(a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0})x+(a_{0}b_{2}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{0})x^{2}+\\&&\qquad \quad (a_{0}b_{3}+a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{0})x^{3}+\cdots \end{array}}$

Observemos que en cada coeficiente de un término del producto, el valor de la suma de los subíndices de cada uno de los factores de los sumandos que determinan al coeficiente, es igual al grado del término. Por lo que si llamamos $c_{n}$ al coeficiente del término de grado $n$ del producto, se cumplirá que

$c_{n}=a_{0}b_{n}+a_{1}b_{n-1}+\cdots +a_{n}b_{0}=\sum _{i+j=n}a_{i}b_{j}.$

(16-2)

Observemos, nuevamente, que si no hubiésemos escrito las potencias de $x$ (método de los coeficientes separados), habríamos obtenido el resultado, efectuando los mismos cómputos. Es decir que para las operaciones lo único importante son los coeficientes y su posición dentro del polinomio, por lo que podríamos representar el polinomio

$f(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n},$

como una sucesión

$(a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n},0,0,\ldots ).$

Esa es precisamente la vía que adoptaremos. Nuestros polinomios formales serán sucesiones de números o, en general, de elementos de un anillo, que se operan de acuerdo a las relaciones en las ecuaciones (16-1) y (16-2), y cuyos términos son todos nulos a partir de un cierto término en adelante.

Las Definiciones Formales

Sea $A$ un anillo (conmutativo o no) con identidad. Simbolizaremos por $A^{\mathbb {N} }$ al conjunto formado por todas las sucesiones de $\mathbb {N}$ en $A,$ es decir todas las funciones de $\mathbb {N}$ en $A.$ El valor de $f$ en $n$ se denota por $f_{n}$ y se dice que es el término $n$--ésimo de la sucesión.

Dotaremos a $A^{\mathbb {N} }$ de operaciones de suma y multiplicación análogas a las de la suma y multiplicación de las funciones polinómicas. Por ahora, no nos restringiremos a sucesiones que tengan solamente un número finito de términos no nulos; más tarde, consideraremos esa restricción.

La suma

Sean $f$ y $g$ dos sucesiones de $A^{\mathbb {N} }.$ La suma de esas sucesiones es la sucesión denotada por $f+g$ y tal que

$(f+g)_{n}:=f_{n}+g_{n}.$

(16-3)

Es decir que el término $n$--ésimo de la suma es la suma de los términos $n$--ésimos de los sumandos.

Notemos que la suma definida es la suma usual de sucesiones que corresponde a la suma de funciones definida punto a punto. Sabemos de trabajos anteriores que tal suma es asociativa, conmutativa, que tiene como neutro la función constante cero (para todo $n,$ $f_{n}=0$), y que cada función $f$ tiene un opuesto aditivo $-f$ tal que $(-f)_{n}=-f_{n}.$ Por lo que $<A^{\mathbb {N} },+>$ es un grupo abeliano.

La multiplicación

Sean $f$ y $g$ dos sucesiones de $A^{\mathbb {N} }.$ Definiremos el producto $fg$ de esas sucesiones por una relación idéntica a aquella en la ecuación (16-2), es decir que

$(fg)_{n}:=\sum _{i+j=n}f_{i}g_{j}=f_{0}g_{n}+f_{1}g_{n-1}+\cdots +f_{n}g_{0}.$

(16-4)

Nos interesa probar que $<A^{\mathbb {N} },+,\cdot >$ es un anillo con identidad. Para eso, nos falta por probar que la multiplicación es asociativa, distributiva y que hay una función identidad para la multiplicación.

Lema A. La multiplicación definida en (16-4) es asociativa.

Demostración: Sean $f,$ $g$ y $h$ tres sucesiones de $\mathbb {N}$ en $A.$ Para todo $n$ se cumple que ${\begin{array}{rcl}(f(gh))_{n}&=&\displaystyle \sum _{i+\nu =n}f_{i}(gh)_{\nu }=\sum _{i+\nu =n}f_{i}\sum _{j+k}g_{j}h_{k}\\&=&\displaystyle \sum _{i+\nu =n}f_{i}\sum _{j+k=\nu }g_{j}h_{k}=\sum _{i+j+k=n}f_{i}g_{j}h_{k},{\text{ y }}\\((fg)h)_{n}&=&\displaystyle \sum _{\mu +k=n}(fg)_{\mu }h_{k}=\sum _{\mu +k=n}\sum _{i+j=\mu }f_{i}g_{j}h_{k}\\&=&\displaystyle \sum _{\mu +k}\sum _{i+j=\mu }(f_{i}g_{j})h_{k}=\sum _{i+j+k}f_{i}g_{j}h_{k}\end{array}}$

Lo que prueba la asociatividad. (La clave de la demostración es observar que todos los sumandos son de la forma indicada en la última sumatoria.)

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Lema B. La multiplicación definida es distributiva.

Demostración: Sean $f,$ $g$ y $h$ tres funciones de $\mathbb {N}$ en $A.$ Para todo $n$ se cumple que ${\begin{array}{rcl}(f(g+h))_{n}&=&\displaystyle \sum _{i+j=n}f_{i}(g+h)_{j}=\sum _{i+j=n}f_{i}(g_{j}+h_{j})\\&=&\displaystyle \sum _{i+j=n}f_{i}g_{j}+f_{i}h_{j}=\sum _{i+j=n}f_{i}g_{j}+\sum _{i+j=n}f_{i}h_{j}\\&=&\displaystyle (fg)_{n}+(fh)_{n}.\end{array}}$

Análogamente, se verifica la distributividad por la derecha.

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Identificación de $A$ con un subanillo de $A^{\mathbb {N} }$

Con cada $a$ en $A,$ asociaremos la función ${\widetilde {a}}$ tal que ${\widetilde {a}}_{0}=a$ y ${\widetilde {a}}_{n}=0$ para todo $n>0.$ Como sucesión, tenemos que ${\widetilde {a}}=(a,0,0,0,\ldots ).$

Sea $\varphi :A\longrightarrow A^{\mathbb {N} }$ tal que $\varphi (a)={\widetilde {a}}.$ Claramente, $\varphi$ es una función inyectiva, Probaremos que es un homomorfismo de anillos.

Cuando $a$ y $b$ son elemento de $A$ se cumple que ${\widetilde {(a+b)}}_{0}=a+b={\widetilde {a}}_{0}+{\widetilde {b}}_{0},$ mientras que para $n>0,$ tenemos que ${\widetilde {(a+b)}}_{n}=0=0+0={\widetilde {a}}_{n}+{\widetilde {b}}_{n}.$ Luego,

$\varphi (a+b)={\widetilde {a+b}}={\widetilde {a}}+{\widetilde {b}}=\varphi (a)+\varphi (b).$

(16-5)

Veamos la situación con la multiplicación.

${\widetilde {(ab)}}_{0}=\sum _{i+j=0}{\widetilde {a}}_{i}{\widetilde {b}}_{j}={\widetilde {a}}_{0}{\widetilde {b}}_{0}$

Con $n>0$ se tiene que

${\widetilde {(ab)}}_{n}=\sum _{i+j=n}{\widetilde {a}}_{i}{\widetilde {b}}_{j}=\sum _{i+j=n,i=0}{\widetilde {a}}_{i}{\widetilde {b}}_{j}\quad +\sum _{i+j=n,i>0}{\widetilde {a}}_{i}{\widetilde {b}}_{j}.$

La última sumatoria es igual a cero, ya que $i>0$ implica que ${\widetilde {a}}_{i}=0.$ Veamos la primera sumatoria.

$\sum _{i+j=n,i=0}{\widetilde {a}}_{i}{\widetilde {b}}_{j}={\widetilde {a}}_{0}{\widetilde {b}}_{n}+\sum _{i+j=n,\,j>0}{\widetilde {a}}_{i}{\underline {b}}_{j}+{\widetilde {a}}_{n}{\widetilde {b}}_{0}.$

Como cada uno de los sumandos es nulo, se tiene que para $n>0$

${\widetilde {ab}}_{n}=0=0\cdot 0={\widetilde {a}}_{n}{\widetilde {b}}_{n}.$

Luego,

$\varphi (ab)={\widetilde {(ab)}}={\widetilde {a}}\,{\widetilde {b}}=\varphi (a)\varphi (b).$

(16-6)

Las relaciones (16-5) y (16-6) nos dicen que la función $\varphi$ es efectivamente un homomorfismo que además es inyectivo. Por lo tanto, $A$ es isomorfo (como anillo) con su imagen. Usando ese monomorfismo, identificaremos los elementos de $A$ con sus imágenes, por lo cual consideraremos a $A$ como un subanillo de $A^{\mathbb {N} }.$

Veamos, ahora, que sucede cuando se multiplica un elemento de $A$ por una sucesión cualquiera.

Lema C. Sean $a$ en $A$ y $f$ en $A^{\mathbb {N} }.$ Se cumple que $(af)_{n}=af_{n}.$ (Es decir que cada término de la sucesión se multiplica por $a$)

Demostración: $(af)_{n}=\sum _{i+j=n}a_{i}f_{j}=a_{0}f_{n}+\sum _{i+j=n,i>0}a_{i}f_{j}=a_{0}f_{n}=af_{n}.$

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Corolario C.1. $1f=f.$ Es decir que 1 es una identidad en $A^{\mathbb {N} }.$

Todo el trabajo anterior muestra la siguiente proposición.

Proposición 1. El conjunto $A^{\mathbb {N} }$ con las operaciones definidas arriba tiene la estructura de un anillo con identidad que contiene a $A$ como subanillo. Cuando $A$ es conmutativo, $A^{\mathbb {N} }$ también lo es.

Demostración: Queda de ejercicio probar la parte de la conmutatividad de la multiplicación, cuando el anillo $A$ es conmutativo.

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El Anillo de los Polinomios

Un polinomio puede considerarse, intuitivamente, como una sucesión donde todos sus términos son nulos, excepto, a lo más, una cantidad finita de ellos. Formalizaremos lo anterior, empezando con la siguiente definición.

Sea $f$ en $A^{\mathbb {N} }.$ Llamamos soporte de la sucesión $f$ al subconjunto de $\mathbb {N}$ formado por todos los $n$ tales que $f_{n}\neq 0.$

Con los preparativos anteriores, estamos listos para definir la noción formal de polinomio.

Definición. (Polinomio Formal) Sea $A$ un anillo con identidad. Un polinomio (formal) con coeficientes en $A$ es una sucesión en $A^{\mathbb {N} }$ con soporte finito.

En términos de sucesiones, un polinomio es una sucesión con un número finito de términos no nulos. Sea $f=(f_{0},f_{1},\ldots ,f_{n},0,0,0,\ldots ).$ Intuitivamente, $f$ corresponde al polinomio $f_{0}+f_{1}X+\cdots +f_{n}X^{n}.$ Para obtener formalmente lo anterior, definiremos al polinomio $X.$ También, deberemos probar que la suma y el producto de polinomios es un polinomio, es decir que forman un subanillo de $A^{\mathbb {N} }.$ Previamente, introduciremos el símbolo de Kronecker que nos ayudará a expresar más concisamente nuestras definiciones y demostraciones.

Definición. (Símbolo de Kronecker) Llamamos símbolo de Kronecker a la expresión $\delta _{i,j},$ definida como:

$\delta _{i,j}:={\begin{cases}1,&{\text{cuando }}i=j\\0,&{\text{en caso contrario}}.\end{cases}}$

Por ejemplo, cada elemento $a$ de $A$ define la función ${\widetilde {a}}$ que es tal que ${\widetilde {a}}_{n}=a\delta _{0,n}.$

Definición. (Indeterminada) Llamamos indeterminada con respecto al anillo $A$ a la sucesión de $A^{\mathbb {N} }$ simbolizada $X$ y tal que

$X_{n}=\delta _{1,n}.$

Es decir que $X=(0,1,0,0,\ldots )$

Claramente, $X$ es un polinomio.

Proposición 2. Sea $X$ la indeterminada, entonces

1. $X_{n}^{r}=\delta _{r,n},$ es decir que $X^{r}$ es la sucesión que tiene todos sus términos nulos, con la excepción del $r$--ésimo que es igual a 1.
2. $X^{r}X^{s}=X^{r+s}.$
3. $aX^{r}=X^{r}a,$ para todo $a$ en $A.$

Demostración:

1. Por inducción sobre $r.$ $X^{0}=1$ implica que $X_{n}^{0}=\delta _{0,n}.$ También, $X_{n}^{1}=\delta _{1,n}.$ Supongamos que para $k\geq 0$ se cumple que $X_{n}^{k}=\delta _{k,n}.$ Entonces, $X_{n}^{k+1}=(X^{k}X)_{n}=\sum _{i+j=k+1}X_{i}^{k}X_{j}=\sum _{i+j=k+1}\delta _{k,i}\delta _{1,j}.$

   El único sumando con $\delta _{1,j}\neq 0$ es aquel donde $j=1$ y, por lo tanto, el correspondiente $i$ es igual a $k.$ Lo que implica que $X_{n}^{k+1}=\delta _{k+1,n}.$ Por inducción, se tiene el resultado.

2. Ejercicio.
3. Probaremos primeramente que $Xa=aX.$ $\displaystyle Xa_{n}=\sum _{i+j=n}X_{i}a_{j}=\sum _{i+j=n}\delta _{1,i}a\delta _{0,j}=\delta _{1,n}a\delta _{0,0}=a\delta _{1,n}=aX_{n}.$

   Suponer el resultado para todo $1\leq k\leq j.$ Es decir que para todo $a$ en $A$ se cumple que $aX^{k}=X^{k}a.$ Entonces,

   $aX^{j+1}=aX^{j}X=X^{j}aX=X^{j}Xa=X^{j+1}a.$

   El resultado sigue por inducción.

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Proposición 3. El conjunto de los polinomios determina un subanillo con identidad de $A^{\mathbb {N} }$ que será denotado por $\mathbf {A[X]}$ y que diremos que se trata del anillo de polinomios en una indeterminada con coeficientes en el anillo $\mathbf {A}$,

Demostración: Necesitamos tan sólo probar que la suma y el producto de sucesiones con soporte finito son sucesiones con soporte finito. Sean $f$ y $g$ dos polinomios tales que para $k>m$ se tiene que $f_{k}=0$ y para $k>n$ se cumple que $g_{k}=0.$ Entonces, si $r>\max\{m,n\},$ se tiene que al ser $r$ mayor que $m$ y $n,$ que $(f-g)_{r}=f_{r}-g_{r}=0-0=0.$ Es decir que $f-g$ es un polinomio.
Sea ahora $r>m+n.$ Entonces, $(fg)_{r}=\sum _{i+j=r}f_{i}g_{j}=\sum _{i+j=r,i>m}f_{i}g_{j}+\sum _{i+j=r,i\leq m}f_{i}g_{j}.$

Los sumandos de la primera sumatoria tiene un factor $f_{i}$ con $i>m,$ lo que implica que $f_{i}=0,$ por lo que esa sumatoria es 0. Observemos que en la segunda sumatoria, se tiene que $i\leq m.$ Entonces, $j=r-i>m+n-m=n.$ Por lo que los $g_{j}$'s son todos nulos, haciendo la segunda sumatoria nula. Luego, $fg$ es un polinomio.

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A continuación, veremos como recuperar la notación tradicional de polinomios.

Proposición 4. Sea $f$ una sucesión no nula con $f_{k}=0$ para $k>m,$ $m\geq 0,$ o sea un polinomio. Sea $g=f_{0}+f_{1}X+f_{2}X^{2}+\cdots +f_{m}X^{m}.$ Entonces, $g=f.$

Demostración: Claramente, $g_{n}=0$ si $n>m.$ Sea $n$ tal que $0\leq n\leq m.$ ${\begin{array}{rcl}g_{n}&=&(f_{0}+f_{1}X+f_{2}X^{2}+\cdots +f_{n}X^{n}+\cdots +f_{m}X^{m})_{n}\\&=&f_{0}1_{n}+f_{1}X_{n}+f_{2}X_{n}^{2}+\cdots +f_{n}X_{n}^{n}+\cdots +f_{m}X_{n}^{m}\\&=&f_{0}\delta _{0,n}+f_{1}\delta _{1,n}+f_{2}\delta _{2,n}+\cdots +f_{n}\delta _{n,n}+\cdots f_{m}\delta _{m,n}\\&=&0+0+0+\cdots +f_{n}+\cdots +0=f_{n}\end{array}}$

Por lo que las dos sucesiones son iguales.

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La proposición muestra como podemos expresar un polinomio como una suma finita de términos de la forma $aX^{r}.$ Usaremos esa notación, de ahora en adelante.

Nomenclatura

Sea $f$ un polinomio de $A[X],$ al que expresaremos como $f=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{s}X^{s},$ donde $a_{j}=f_{j}$ (f_j en la notación anterior de sucesiones).

• Cada uno de los $a_{i}$'s se llama un coeficiente del polinomio $f.$
• Cualquiera de los coeficientes puede ser nulo. Cuando todos los coeficientes sean nulos, diremos que se trata del polinomio nulo o cero.
• Cada uno de los sumandos que aparecen en la definición de $f$ se llama un término del polinomio. Cada término es de la forma $bX^{s}$ donde $b$ es un elemento del anillo y $s$ es un número entero tal que $s\geq 0,$ llamados, respectivamente, el coeficiente del término y el grado del término. Dicho termino es el s--ésimo término. Cuando el coeficiente de un término es cero, se puede eliminar de la presentación del polinomio. Por ejemplo, podemos escribir $1-3X+0X^{2}+5X^{3}$ como $1-3X+5X^{3}.$
• El primer sumando, $a_{0},$ es el término constante. Como $a_{0}=a_{0}X^{0},$ cuando $a_{0}\neq 0,$ dicho término tiene grado 0. Los términos constantes se identifican con los elementos de $A.$
• Supongamos que $f$ no es el polinomio nulo. Entonces, al menos uno de los coeficientes de $f$ no es nulo. Sea $m$ el mayor de los enteros tales que $a_{m}\neq 0.$ Decimos que el término $a_{m}X^{m}$ es el término líder del polinomio y que $a_{m}$ es el coeficiente líder del polinomio. En tal caso, llamamos grado del polinomio al numero $m.$ Por lo tanto, el grado de un polinomio no nulo es siempre un número entero positivo o cero, al que denotaremos por ${\text{gr}}(f).$ Por definición de grado, para todo $j\geq 0,$ se tiene que si $j>{\text{gr}}(f)$ entonces $a_{j}=0.$
• Cuando el coeficiente líder sea igual a 1, diremos que se trata de un polinomio mónico.
• El polinomio nulo no tiene coeficiente líder, por lo que según la definición dada arriba no tiene grado. Resultará conveniente adoptar el siguiente convenio para el grado del polinomio cero ${\text{gr}}(0):=-\infty .$

  Notemos que esa definición garantiza que el polinomio nulo tiene un grado menor que cualquier polinomio no nulo.

• Cuando dos polinomios $f$ y $g$ son escritos como sumatoria de términos, los polinomios son iguales, ssi, ambos son nulos o, tienen igual grado y los coeficientes correspondientes iguales.

Grados de la Suma y el Producto

Sean $f$ y $g$ dos polinomios con grados $m$ y $n$ respectivamente. Mirando a la demostración de la proposición sobre la suma y multiplicación de polinomios, vemos que tenemos cotas para los grados de la suma y el producto de dos polinomios.

En primer lugar, tenemos que el grado de la suma nunca excede el grado de los sumandos, o sea que

$\quad {\text{gr}}(f+g)\leq \max\{{\text{gr}}(f),{\text{gr}}(g)\}.\quad$

La desigualdad puede ser estricta, por ejemplo considerar $g=-f.$ Pero, puede haber también otras circunstancias que hagan estricta a la desigualdad anterior.

Ejemplo.

Sea $A=\mathbb {Z} _{6}$ (enteros modulo 6) y sean $f=3+2X,$ $g=1+4X.$ Entonces, $f+g=3+2X+1+4X=4.$

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Con respecto a la multiplicación, tenemos que

$\quad {\text{gr}}(fg)\leq {\text{gr}}(f)+{\text{gr}}(g).\quad$

El siguiente ejemplo muestra que la desigualdad puede ser estricta.

Ejemplo.

Sea $A=\mathbb {Z} _{6}$ se tiene que

$(1+2X)(4+3X)=(1*4)+(1*3+2*4)X+(2*3)X^{2}=4+5X.$

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El grado, en el ejemplo anterior, es menor que la suma de los grados, ya que los coeficientes lideres de los factores eran divisores de cero. Cuando uno de ellos no es un divisor de cero, tenemos la igualdad.

Proposición 5. Sean $f$ y $g$ polinomios en $A[X]$ tales que el coeficiente líder de al menos uno de esos polinomios no es un divisor de cero. Entonces,

${\text{gr}}(fg)={\text{gr}}(f)+{\text{gr}}(g).$

Además, el coeficiente líder del producto es el producto de los coeficientes lideres de los factores.

Demostración: Si uno de los polinomios es nulo, el resultado es trivialmente válido. Supongamos que ${\text{gr}}(f)=m$ y ${\text{gr}}(g)=n$ donde $m,n\geq 0.$ Entonces, el término $(m+n)$--ésimo es aquel del mayor grado posible del producto. Se tiene que $(fg)_{m+n}=\sum _{i+j=m+n}f_{i}g_{j}.$

Si $i<m,$ se cumple que $j>n,$ por lo que $g_{j}=0.$ Igualmente, si $i>m,$ entonces $g_{i}=0.$ Es decir que el único posible sumando no nulo en la sumatoria anterior es $f_{m}g_{n}.$ Como $f_{m}$ o $g_{n}$ no son divisores de cero, se tiene que $f_{m}g_{n}\neq 0.$ De donde el resultado.

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Corolario 5.1. Cuando $A$ es un dominio de integridad, entonces $A[X]$ también lo es.

Demostración: Cualquier polinomio no nulo tiene un coeficiente líder que no es un divisor de cero. Si $f$ y $g$ son polinomios no nulos, el coeficiente líder del producto $fg$ es igual al producto de los coeficientes lideres de $f$ y $g,$ por lo que no puede ser nulo.

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Observación. Sean $A$ y $B$ anillos tales que $A$ es un subanillo de $B.$ Entonces, cada polinomio en $A[X]$ puede considerarse un polinomio en $B[X].$ Por lo que siempre consideraremos que $A[X]$ es un subanillo de $B[X].$ Por ejemplo, se cumple que

$\mathbb {Z} [X]<\mathbb {Q} [X]<\mathbb {R} [X]<\mathbb {C} [X].$

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Cuerpo de las Fracciones Racionales

Vimos arriba que cuando $A$ es un dominio de integridad, en particular un cuerpo, $A[X]$ también es un dominio de integridad. Sabemos del capítulo pasado que todo dominio de integridad puede extenderse a un cuerpo de fracciones del anillo.

Definición. (Cuerpo de las Fracciones Racionales) Sea $A$ un dominio de integridad. Llamamos cuerpo de las fracciones racionales al cuerpo de fracciones del dominio de integridad $A[X].$ Notación: $A(X).$

Polinomios en varias variable

Sea $A$ un anillo con identidad, entonces $A[X]$ también es un anillo con identidad, por lo que podríamos considerar polinomios con coeficientes en $A[X].$ Si llamamos $Y$ a la indeterminada correspondiente, tendríamos el anillo con identidad $A[X][Y],$ que simbolizamos de forma abreviada como $A[X,Y].$ Usando de base ese último anillo, podemos obtener $A[X,Y,Z]=A[X,Y][Z],$ etc.

Anillo de las Series Formales de Potencias

Volvamos al anillo $A^{\mathbb {N} }$ de las sucesiones con términos en un anillo $A.$ Poniendo $X$ al igual que para los polinomios, tendremos, por la demostración de la proposición de representación como sumatoria de los polinomios, que podríamos escribir cada sucesión como un polinomio de grado infinito, o sea como una sumatoria sin fin

$f=\sum _{i\geq 0}a_{i}X^{i}=a_{0}+a_{1}X+\cdots +a_{n}X^{n}+\cdots .$

El lector habrá encontrado en sus cursos de Cálculo expresiones análogas llamadas series de potencias. Por tal razón, llamaremos a los elementos de $A^{\mathbb {N} }$ series de potencias formales. Simbolizaremos a $A^{\mathbb {N} }$ como $A[[X]]$ y diremos que se trata del anillo de las series de potencias formales en una indeterminada con coeficientes en el anillo $\mathbf {A} .$

Ejercicios

1. Sea el anillo $A=\mathbb {Z} .$ Sean $x=(2,1,0,0,0,\ldots ),$ $y=(3,1,0,0,0,\ldots ).$ Hallar $x+y,$ $x-y,$ $xy,$ $2x+3y,$ $x^{2},$ usando directamente las definiciones de operaciones con sucesiones.
2. Sean $f=3-2X+5X^{2}$ y $g=2+5X$ polinomios en $\mathbb {Z} [X].$ Hallar $f+g,$ $f-g,$ $fg,$ $3f+4g.$
3. Efectuar las operaciones indicadas en $\mathbb {Z} _{5},$ simplificar las expresiones resultantes y ordenarlas por orden creciente de los exponentes de los monomios. $(20X^{2}+3X+1)(3X^{2}+X+3){\text{ y }}(-X^{2}+2X+3)^{2}.$
4. Efectuar las operaciones indicadas en $\mathbb {Z} _{6},$ simplificar las expresiones resultantes y ordenarlas por orden decreciente de los exponentes de los monomios. $(2X^{2}+3X+1)(3X^{2}+X+3){\text{ y }}(-X^{2}+2X+3)^{2}.$
5. Usar el método de coeficientes separados para realizar las operaciones indicadas en $\mathbb {Z} _{3}[X],$
   1. $(X^{2}+X+1)^{3}$;
   2. $(X-1)(X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1)$;
   3. $X(X+1)(X^{2}+X+1)$ y
   4. $(X^{3}+X^{2}+1)(X^{3}-X^{2}+1).$
6. Completar las demostraciones de las proposiciones, cuando lo requieran.
7. Probar que cuando $A$ es un anillo conmutativo, $A[X]$ también lo es.
8. Hallar dos polinomios $f$ y $g$ en $\mathbb {Z} [X]$ tales que el grado de la suma de $f$ con $g$ sea inferior a los grados de cada uno de los sumandos, pero que $f+g\neq 0.$
9. Hallar polinomios en $\mathbb {Z} _{12}$ tales que el grado del producto sea inferior a la suma de los grados de los factores.
10. ¿Cuántos polinomios distintos de segundo grado, de tercer grado, ... , de enésimo grado podemos formar sobre el cuerpo $\mathbb {Z} _{5}$?
11. Sean $f=\sum _{i\geq 0}X^{i}$ y $g=\sum _{i\geq 0}(-1)^{i}X^{i}$ elementos de $\mathbb {Z} [[X]].$ Hallar $f+g.$
12. Sean $f=\sum _{i\geq 0}X^{i}$ y $g=1-X$ dos series en $\mathbb {Q} [[X]].$ Hallar el producto de $f$ con $g.$
13. Hallar $a,$ $b,$ $c$ tales que: $aX^{2}+bX+c=(X-5)(X-3).$
14. Hallar un polinomio $g$ tal que $g^{2}=X^{6}-12X^{5}+60X^{4}-160X^{3}+240X^{2}-192X+64.$
15. Hallar las relaciones entre $a,$ $b,$ $c$ y $d$ para que el polinomio $f=X^{4}+2aX^{3}+bX^{2}+2cX+d$

    sea un cuadrado perfecto.

16. Cuando $D$ es un dominio de integridad, los únicos polinomios invertibles en $D[X]$ son aquellos de grado cero y cuyo coeficiente líder es una unidad de $D.$
17. Sea $f(X)=X^{2}-6X+13.$ Obtener el polinomio en la indeterminada $Y$ que se obtiene de $f$ al sustituir $X$ por $Y+3.$
18. Sea $f=aX^{2}+bX+c$ un polinomio de segundo grado sobre un cuerpo $k.$ Probar que hay una sustitución del tipo $X=Y+d$ que convierte a $f$ en un polinomio cuyo coeficiente del término lineal es nulo.
19. Sea $f=aX^{3}+bX^{2}+cX+d$ un polinomio de tercer grado sobre un cuerpo $k.$ Probar que hay una sustitución del tipo $X=Y+\alpha$ que convierte a $f$ en un polinomio cuyo coeficiente del término cuadrático es nulo.
20. Sean $a_{1},$ $a_{2}$ , \ldots elementos de un anillo conmutativo $A.$ Expandir cada uno de los polinomios siguientes sobre $A$ y representar la expresión resultante como un nuevo polinomio. Generalizar los resultados.
    1. $P_{1}=X-a_{1}.$
    2. $P_{2}=(X-a_{1})(X-a_{2}).$
    3. $P_{3}=(X-a_{1})(X-a_{2})(X-a_{3}).$
    4. $P_{4}=(X-a_{1})(X-a_{2})(X-a_{3})(X-a_{4}).$

    
    

21. Sean $X,$ $Y$ indeterminadas sobre un anillo conmutativo con identidad $A.$ Entonces: $(X+Y)^{n}=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}X^{i}Y^{n-i}.$

    Donde, ${\binom {n}{i}}={\dfrac {n!}{i!(n-i)!}}.$

    
    

22. Sean $x,$ $y,$ $z$ elementos de un anillo conmutativo. Hallar una fórmula para $(x+y+z)^{n}.$
23. Sea $A=\mathbb {Z} .$ Sean $f,$ $g$ en $A^{\mathbb {N} }$ tales que $f_{n}=1$ y $g_{n}=n$ para todo número $n.$ Hallar $-2f+3g,$ $6f-5g,$ $f^{2},$ $g^{2}.$
24. $A=\mathbb {Z} .$ Sean $,$ $g$ en $A^{\mathbb {N} }$ tales que $f_{n}=\delta _{2,n},$ $g_{n}=\delta _{3,n}.$ Escribir de forma explícita como sucesiones a $f$ y $g.$ Hallar $f+g,$ $f-g,$ $fg,$ $f^{2},$ $g^{2}.$
25. Simplificar en $\mathbb {Q} (X)$---el cuerpo de las fracciones racionales sobre $\mathbb {Q}$---las siguientes fracciones. ${\begin{matrix}a.&{\dfrac {X}{X^{3}+2X}}.&b.&{\dfrac {X^{3}-5X^{2}+6X}{X^{2}-2X}}.\\[2mm]c.&{\dfrac {X^{4}-1}{X^{2}-1}}.&d.&{\dfrac {X^{6}-64}{X^{3}-8}}.\end{matrix}}$
26. Cuando $A$ es un dominio de integridad, $A[[X]],$ el anillo de series formales con coeficientes en $A,$ también lo es. El cuerpo de fracciones de $A[[X]]$ se denota por $A((X)).$ Como polinomios son series de potencias, se tiene que los polinomios no nulos son invertibles en $A((X)).$ Probar que en $\mathbb {Z} ((X))$ se cumple que:
    1. ${\dfrac {1}{1-X}}=1+X+X^{2}+...+X^{n}+....$
    2. ${\dfrac {1}{1+X}}=1-X+X^{2}-...+(-1)^{n}X^{n}+....$
    3. ${\dfrac {1}{(1-X)^{2}}}=1+2X+...+(n+1)X^{n}+....$
    4. ${\dfrac {1}{1-X^{2}}}=1+X^{2}+...+X^{2n}+....$

    
    

La Evaluación de un Polinomio

En esta sección, veremos como definir ceros de un polinomio. Sea $A$ un anillo conmutativo con identidad y sea $A[X]$ el anillo de polinomios en la indeterminada $X$ con coeficientes en $A.$ Supongamos que $B$ fuera un superanillo de $A,$ o sea un anillo que contiene a $A$ (pero no necesariamente conmutativo), y que $\alpha$ fuera un elemento de $B$ que conmuta con todos los elementos de $A.$ (En particular, si $B$ fuera conmutativo, cualquier elemento de $B.$)

Definición. (Evaluación) En la situación anterior, sea $f=\sum _{i=0}^{m}a_{i}X^{i}$ un polinomio con coeficientes en $A.$ Llamamos evaluación de $f$ en $\alpha ,$ al elemento de $B$ definido por $\sum _{i=0}^{m}a_{i}\alpha ^{i}.$

Decimos que ese elemento de $B$ es el valor de $f$ en $\alpha$ y usaremos la notación funcional $f(\alpha )$ para representarlo.

Convenio Notacional. Notemos que la notación $f(x)$ pudiera ser ambigua, ya que si consideramos a $f$ como una sucesión o sea una función con dominio $\mathbb {N} ,$ $f(n)$ puede indicar el coeficiente $n$--ésimo del polinomio o la evaluación de $f$ en $n,$ que en general son dos cosas diferentes. Por lo que de ahora en adelante, la notación funcional se usará únicamente para la evaluación de polinomios y los polinomios siempre se presentarán como suma de términos.

Funciones polinómicas. Cuando $\alpha$ sea un elemento de $A$ (que es obviamente un superanillo de si mismo) entonces $f(\alpha )$ es un elemento de $A.$ Por lo que tenemos asociada a cada polinomio $f$ de $A[X]$ una función $\alpha \mapsto f(\alpha ),$ que diremos que es la función polinómica definida por $f.$ A menos que haya un riesgo de confusión, usaremos el mismo nombre para dicha función.

Volviendo a la situación de la definición, tenemos para cada $\alpha$ que es un elemento de $B,$ una función que asigna a cada polinomio $f$ de $A[X]$ su evaluación en $\alpha ,$ $f(\alpha ).$ Denotaremos esa función por ${\rm {{ev}_{\alpha }.}}$ La siguiente proposición muestra que esa función es un homomorfismo de anillos.

Proposición 6. Sean $f$ y $g$ polinomios con coeficientes en $A.$ Sea $\alpha$ un elemento de un superanillo $B$ del anillo $A$ y que permuta con los elementos de $A.$ Entonces,

$(f+g)(\alpha )=f(\alpha )+g(\alpha ),{\text{ y }}(fg)(\alpha )=f(\alpha )g(\alpha )$

Luego,

${\rm {{ev}_{\alpha }(f+g)={\rm {{ev}_{\alpha }(f)+{\rm {{ev}_{\alpha }(g),{\text{ y }}{\rm {{ev}_{\alpha }(fg)={\rm {{ev}_{\alpha }(f){\rm {{ev}_{\alpha }(g).}}}}}}}}}}}}$

Demostración: Ejercicio.

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Sigue de la proposición que ${\rm {{ev}_{\alpha }:A[X]\longrightarrow B}}$ es un homomorfismo de anillos.

Proposición 7. (Extensión de Homomorfismos) Sean $A$ y $B$ anillos conmutativos con identidad, y $\phi :A\longrightarrow B$ un homomorfismo de anillos con identidad. Entonces, hay una función ${\widetilde {\phi }}:A[X]\longrightarrow B[X],$

${\widetilde {\phi }}(a_{0}+a_{1}X+\dots +a^{m}X^{m}):=\phi (a_{0})+\phi (a_{1})X+\dots +\phi (a_{m})X^{m},$

que es un homomorfismo de anillos.

Es decir que ${\widetilde {\phi }}$ asigna a cada polinomio de $A[X|,$ el polinomio de $B[X]$ que resulta al reemplazar los coeficientes del primer polinomio por sus imágenes por $\phi$

Demostración: Sean $f=\sum _{i}a_{i}X^{i}$ y $g=\sum _{j}{b_{j}}X^{j}.$ Entonces,
• ${\begin{array}{rcl}{\widetilde {\phi }}(f)+{\widetilde {\phi }}(g)&=&\displaystyle \sum _{i}\phi (a_{i})X^{i}+\sum _{j}\phi (b_{j})X^{j}=\sum _{k}(\phi (a_{k})+\phi (b_{k})X^{k}\\&=&\sum _{k}\phi (a_{k}+b_{k})X^{k}={\widetilde {\phi }}(f+g).\end{array}}$
• ${\begin{array}{rcl}{\widetilde {\phi }}(f){\widetilde {\phi }}(g)&=&\displaystyle \sum _{i+j}\phi (a_{i})\phi (b_{j})X^{i+j}=\sum _{i+j}\phi (a_{i}b_{j})X^{i+j}={\widetilde {\phi }}(fg).\end{array}}$

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Nomenclatura. Decimos que ${\widetilde {\phi }}$ es el homomorfismo inducido por $\phi .$

Sea $\nu :\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} _{m}$ el supramorfismo canónico, $x\mapsto [x].$ Entonces, diremos que el polinomio ${\widetilde {\nu }}(f)$ es el polinomio obtenido de $f$ por reducción módulo $\mathbf {m} .$

Ejemplo.

La reducción de $f=X^{3}+3X^{2}+2X+5$ módulo 2 es igual a $g=X^{3}+X^{2}+1.$

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Sustitución de Indeterminada

Sea $A$ un anillo conmutativo con identidad y sea $B=A[X],$ $B$ es un superanillo de $A$ y cada uno de sus elementos permuta con los elementos de $A.$ Por lo que podemos evaluar cada polinomio en $A[X]$ en un elemento $b$ de $B,$ o sea en otro polinomio, digamos, $g$ de $A[X].$ El resultado se dice que es la sustitución de la indeterminada o variable $X$ por $g(X).$

Ejemplo.

Sea $A=\mathbb {Z}$ y sea $f=X^{2}-5X+6.$

• Sea $g(X)=X^{2}.$ Entonces, $f(X^{2})=(X^{2})^{2}-5(X^{2})+6=X^{4}-5X^{2}+6.$
• Sea $g(X)=3X-2.$ Entonces $f(3X-2)=(3X-2)^{2}-5(3X-2)+6=9X^{2}-27.$

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Los Ceros de un Polinomio

Definición. (Cero de un Polinomio) Sean $A$ un anillo conmutativo con identidad, $B$ un superanillo de $A$ y $f$ un polinomio con coeficientes en $A.$ Decimos que un elemento $\alpha$ de $B$ que permuta con los elementos de $A$ es un cero o raíz del polinomio $f,$ ssi, $f(\alpha )=0.$

Denotaremos por $V_{B}(f)$ (o simplemente $V(f),$ cuando el conjunto de donde se toman los ceros sea claro del contexto) al conjunto formado por todos los ceros de $f$ en $B.$

Observación. Sea $C$ un superanillo de $B,$ entonces $V_{B}(f)\subset V_{C}(f).$

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Ejemplo.

Sea $f(X)=X^{2}-5X+6$ un polinomio en $\mathbb {Z} [X].$ Entonces, $f(2)=2^{2}-5*2+6=4-10+6=0.$ Por lo que 2 es un cero del polinomio $f.$

Se ve claramente que $V_{\mathbb {Z} }(f)=\{2,3\}.$

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Ejemplo.

Sea $f(X)=2X-3$ un polinomio en $\mathbb {Z} [X].$ Entonces, claramente $f(3/2)=0,$ lo que prueba que $3/2$ es un cero del polinomio $f.$ Además es el único cero en $\mathbb {Q} .$ Por lo que, $V_{\mathbb {Z} }(f)=\emptyset ,$ pero $V_{\mathbb {Q} }=\{3/2\}.$

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Ejemplo.

Sea $g(X)=X^{2}-3$ un polinomio en $\mathbb {Z} [X]<\mathbb {Q} [X].$

Entonces, claramente $g(\pm {\sqrt {3}})=0,$ lo que prueba que $\pm {\sqrt {3}}$ son ceros del polinomio $g.$ Sabemos que esos números no son racionales, por lo que $V_{\mathbb {Q} }=\emptyset ,$ pero $V_{\mathbb {R} }=\{\pm {\sqrt {3}}\},$ lo que indica porque no podemos omitir el anillo donde estamos considerando los ceros en la notación $V_{A}(f),$ cuando se trabaja simultáneamente con varios anillos.

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Los ejemplos anteriores muestran, además, que los ceros de un polinomio no tienen porque vivir en el anillo de los coeficientes, aunque ese anillo sea un cuerpo.

PROBLEMA BÁSICO DEL ÁLGEBRA Dado un anillo $A$ y un polinomio $f$ en $A[X],$ determinar todos los posibles ceros de $f.$

Como lo muestran los ejemplos anteriores, para hallar los ceros, a lo mejor será necesario extender el anillo donde están los coeficientes del polinomio.

Números y Enteros Algebraicos

Definición. (Número Algebraico, Entero Algebraico) Un número complejo $z$ se llama número algebraico cuando es un cero de un polinomio con coeficientes en $\mathbb {Z} .$ Un número algebraico es un entero algebraico cuando es un cero de un polinomio mónico con coeficientes enteros.

Ejemplo.

${\sqrt {2}}$ es un entero algebraico, ya que es un cero de $X^{2}-2.$

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Ejemplo.

Hallar un polinomio en $\mathbb {Z} [X]$ tal que ${\dfrac {{\sqrt {7}}-2{\sqrt {3}}}{5}}$ sea un cero del polinomio.

Resolución. Pongamos $x={\dfrac {{\sqrt {7}}-2{\sqrt {3}}}{5}}.$ Entonces,

${\begin{array}{lrcll}&x&=&{\dfrac {{\sqrt {7}}-2{\sqrt {3}}}{5}}\\\implies &5x&=&{\sqrt {7}}-2{\sqrt {3}}\\\implies &5x+2{\sqrt {3}}&=&{\sqrt {7}}\\\implies &25x^{2}+20x{\sqrt {3}}+12&=&49&\quad {\text{(cuadrando)}}\\\implies &25x^{2}-37&=&-(20{\sqrt {3}})x\\\implies &625x^{4}-1850x^{2}+1369&=&1200x^{2}&\quad {\text{(cuadrando)}}\\\implies &625x^{4}-3050x^{2}+1369&=&0\end{array}}$

Luego, $625X^{4}-3050X^{2}+1369$ es un polinomio con el cero indicado.

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Ejercicios

1. Evaluar cada uno de los siguientes polinomios de $\mathbb {Q} [X],$ $f=X^{2}-4X+1,$ $g=X^{3}-3X^{2}+3X-3,$ en los números indicados a continuación. $1,\ 2,\ {\sqrt {3}},\ 2+{\sqrt {3}},\ 1+{\sqrt[{3}]{2}}.$
2. Para cada uno de los números siguientes verificar que se trata de un número algebraico, hallando de manera explícita un polinomio anulado por ese número. En cada caso indicar si el número es, o no, un entero algebraico.
   ${\begin{matrix}a.&{\sqrt {2}}.&\quad &b&3-{\sqrt {7}}.\\c.&{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}.&\quad &d.&{\sqrt {5}}+{\sqrt[{3}]{2}}.\\e.&{\dfrac {1+{\sqrt {-3}}}{2}}.&\quad &f.&{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}.\\\end{matrix}}$
3. Sean $A$ y $B$ anillos con identidad y sea $f:A\longrightarrow B$ un homomorfismo de anillos y sea $b$ un elemento de $B$ que permuta con los elementos de la imagen de $f.$ Probar que hay un único homomorfismo de anillos ${\widetilde {f}}:A[X]\longrightarrow B$ tal que ${\widetilde {f}}(X)=b,$
4. Sea $f=X^{2}-5X+1$ en $\mathbb {R} [X]$ y sea $M={\begin{bmatrix}3&1\\5&2\end{bmatrix}}$ una matriz $2\times 2.$ Probar que $M$ es un cero de $f,$ o sea que $f(M)$ es la matriz nula.
5. Sea $f=X^{2}+X+1$ en $\mathbb {R} [X]$ y sea $M={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&-{\sqrt {3}}\\{\sqrt {3}}&1\end{bmatrix}}$ una matriz $2\times 2.$ Probar que $M$ es un cero de $f.$
6. Sea $A$ un anillo conmutativo con identidad. Sea $\varphi :A[X]\longrightarrow A$ tal que $\varphi (a_{0}+a_{1}X+\dots +a_{n}X^{n})=a_{0}+a_{1}+\dots +a_{n}.$

   $\varphi$ es un homomorfismo de anillos con identidad.

7. Sea $A=\mathbb {Z} _{2}.$ Sea $F$ el conjunto de todas las sucesiones $s:\mathbb {N} \longrightarrow A,$ Con operaciones punto a punto, o sea que $(f+g)_{n}:=f_{n}+g_{n}{\text{ y }}(fg)_{n}:=f_{n}\cdot g_{n}.$

   Verificar que $F$ es un anillo conmutativo con identidad. Probar que el polinomio $X^{2}-X$ de $F[X]$ tiene infinitos ceros.