Álgebra Abstracta/Anillo de Polinomios

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Álgebra Abstracta


IntroducciónEditar

El Álgebra se creó para la resolución de ecuaciones polinómicas. Primeramente, se estudiaron las ecuaciones lineales y cuadráticas, para extenderse posteriormente a ecuaciones polinómicas de grados superiores. En los curso básicos, los polinomios son usualmente considerados como funciones polinómicas. Examinaremos, a continuación, dicha noción y veremos que es insuficiente para nuestros propósitos. Luego de ese análisis, daremos una definición formal de polinomios con coeficientes en cualquier anillo, así como de operaciones que proveerán al conjunto de polinomios de una estructura de anillo.

Posteriormente, veremos que para polinomios con coeficientes en un cuerpo tendremos una teoría de divisibilidad análoga a aquella de los enteros..

Las Funciones Polinómicas RealesEditar

Las funciones polinómicas reales son funciones de   en   tales que

 

donde los  's son números reales. El lector, seguramente, conoce algunas de las propiedades de esas funciones y su relación con las ecuaciones polinómicas con coeficientes reales. Claramente, podríamos generalizar tales funciones de manera que sus coeficientes pertenecieran a un cuerpo cualquiera e inclusive a un anillo cualquiera. Sin embargo, para los propósitos algebraicos necesitaremos una noción más general que llamaremos polinomio formal. Algebraicamente, los polinomios formales tendrán muchas de la propiedades de las funciones polinómicas, pero permitirán estudiar de manera más cómoda y eficiente las ecuaciones polinómicas. Los siguientes ejemplos ilustrarán la necesidad de polinomios formales.

Ejemplo.

Recordemos que un cero de una función polinómica   es un número   del dominio de la función tal que   Consideremos la función polinómica   de   en   tal que   Observemos que un "cero" de esa función es el número irracional   que no pertenece al dominio de la función.

El problema no es que la función tenga dominio los racionales y no todos los reales, ya que la función   tal que   tampoco tiene ceros reales, aunque sí complejos.

Es decir que un problema con las funciones y sus ceros, es que puede haber "ceros" de la función que vivan fuera del dominio de la función.


Ejemplo.

Consideremos el cuerpo   y sean   y   funciones de   en si mismo tales que   y   La tabla siguiente muestra los valores de las funciones.

 

Como para todo   de   se cumple que   tenemos que las funciones polinómicas   y   son iguales, aunque sus grados son diferentes. Nosotros no queremos que polinomios de diferentes grados sean iguales, por lo que necesitaremos una noción diferente a funciones polinómicas.


Búsqueda de una definiciónEditar

Queremos que nuestros polinomios formales tengan propiedades análogas a funciones polinómicas, inclusive que se escriban de manera parecida. Para buscar una definición adecuada, examinaremos las propiedades de la suma y la multiplicación de las funciones polinómicas, especialmente cuando se realizan esas operaciones por coeficientes separados---es decir, cuando solo escribimos los coeficientes.

La sumaEditar

Sean   y   Hallar la suma de   y   Las expresiones polinómicas pueden escribirse con los grados en forma ascendente, o en forma descendente. Hemos usado la forma ascendente, porque será más útil para nuestros propósitos.

A la derecha, hemos mostrado el cómputo mediante coeficientes separados, donde se ve claramente que la suma consiste en sumar los coeficientes de los términos de igual grado de los sumandos. Notemos que la notación ascendente de los polinomios, permite alinear fácilmente los términos iniciales. Si llamamos   y   a los coeficientes de los términos de grado   de los sumandos, y si   es el coeficiente del término de grado   del resultado, tenemos que

  (16-1


Esa afirmación supone que cuando un término de un polinomio no aparece, su coeficiente es cero.

La multiplicación de polinomiosEditar

Examinaremos la multiplicación, tratando de ver el patrón de generación de los coeficientes del producto. Sean   y   dos funciones polinómicas. Veamos la generación de los primeros términos del producto.

Reuniendo los términos de igual grado, obtenemos que

 

Observemos que en cada coeficiente de un término del producto, el valor de la suma de los subíndices de cada uno de los factores de los sumandos que determinan al coeficiente, es igual al grado del término. Por lo que si llamamos   al coeficiente del término de grado   del producto, se cumplirá que

  (16-2


Observemos, nuevamente, que si no hubiésemos escrito las potencias de   (método de los coeficientes separados), habríamos obtenido el resultado, efectuando los mismos cómputos. Es decir que para las operaciones lo único importante son los coeficientes y su posición dentro del polinomio, por lo que podríamos representar el polinomio

 

como una sucesión

 

Esa es precisamente la vía que adoptaremos. Nuestros polinomios formales serán sucesiones de números o, en general, de elementos de un anillo, que se operan de acuerdo a las relaciones en las ecuaciones (16-1) y (16-2), y cuyos términos son todos nulos a partir de un cierto término en adelante.

Las Definiciones FormalesEditar

Sea   un anillo (conmutativo o no) con identidad. Simbolizaremos por   al conjunto formado por todas las sucesiones de   en   es decir todas las funciones de   en   El valor de   en   se denota por   y se dice que es el término  --ésimo de la sucesión.

Dotaremos a   de operaciones de suma y multiplicación análogas a las de la suma y multiplicación de las funciones polinómicas. Por ahora, no nos restringiremos a sucesiones que tengan solamente un número finito de términos no nulos; más tarde, consideraremos esa restricción.

La sumaEditar

Sean   y   dos sucesiones de   La suma de esas sucesiones es la sucesión denotada por   y tal que

  (16-3


Es decir que el término  --ésimo de la suma es la suma de los términos  --ésimos de los sumandos.

Notemos que la suma definida es la suma usual de sucesiones que corresponde a la suma de funciones definida punto a punto. Sabemos de trabajos anteriores que tal suma es asociativa, conmutativa, que tiene como neutro la función constante cero (para todo    ), y que cada función   tiene un opuesto aditivo   tal que   Por lo que   es un grupo abeliano.

La multiplicaciónEditar

Sean   y   dos sucesiones de   Definiremos el producto   de esas sucesiones por una relación idéntica a aquella en la ecuación (16-2), es decir que

  (16-4


Nos interesa probar que   es un anillo con identidad. Para eso, nos falta por probar que la multiplicación es asociativa, distributiva y que hay una función identidad para la multiplicación.


Lema A. La multiplicación definida en (16-4) es asociativa.

    Demostración: Sean     y   tres sucesiones de   en   Para todo   se cumple que
     

    Lo que prueba la asociatividad. (La clave de la demostración es observar que todos los sumandos son de la forma indicada en la última sumatoria.)



Lema B. La multiplicación definida es distributiva.

    Demostración: Sean     y   tres funciones de   en   Para todo   se cumple que
     

    Análogamente, se verifica la distributividad por la derecha.


Identificación de   con un subanillo de  

Con cada   en   asociaremos la función   tal que   y   para todo   Como sucesión, tenemos que  

Sea   tal que   Claramente,   es una función inyectiva, Probaremos que es un homomorfismo de anillos.

Cuando   y   son elemento de   se cumple que   mientras que para   tenemos que   Luego,

  (16-5


Veamos la situación con la multiplicación.

 

Con   se tiene que

 

La última sumatoria es igual a cero, ya que   implica que   Veamos la primera sumatoria.

 

Como cada uno de los sumandos es nulo, se tiene que para  

 

Luego,

  (16-6


Las relaciones (16-5) y (16-6) nos dicen que la función   es efectivamente un homomorfismo que además es inyectivo. Por lo tanto,   es isomorfo (como anillo) con su imagen. Usando ese monomorfismo, identificaremos los elementos de   con sus imágenes, por lo cual consideraremos a   como un subanillo de  

Veamos, ahora, que sucede cuando se multiplica un elemento de   por una sucesión cualquiera.

Lema C. Sean   en   y   en   Se cumple que   (Es decir que cada término de la sucesión se multiplica por  )

    Demostración:
     


Corolario C.1.   Es decir que 1 es una identidad en  

Todo el trabajo anterior muestra la siguiente proposición.

Proposición 1. El conjunto   con las operaciones definidas arriba tiene la estructura de un anillo con identidad que contiene a   como subanillo. Cuando   es conmutativo,   también lo es.

    Demostración: Queda de ejercicio probar la parte de la conmutatividad de la multiplicación, cuando el anillo   es conmutativo.


El Anillo de los PolinomiosEditar

Un polinomio puede considerarse, intuitivamente, como una sucesión donde todos sus términos son nulos, excepto, a lo más, una cantidad finita de ellos. Formalizaremos lo anterior, empezando con la siguiente definición.

Sea   en   Llamamos soporte de la sucesión   al subconjunto de   formado por todos los   tales que  


Con los preparativos anteriores, estamos listos para definir la noción formal de polinomio.

Definición. (Polinomio Formal) Sea   un anillo con identidad. Un polinomio (formal) con coeficientes en   es una sucesión en   con soporte finito.


En términos de sucesiones, un polinomio es una sucesión con un número finito de términos no nulos. Sea   Intuitivamente,   corresponde al polinomio   Para obtener formalmente lo anterior, definiremos al polinomio   También, deberemos probar que la suma y el producto de polinomios es un polinomio, es decir que forman un subanillo de   Previamente, introduciremos el símbolo de Kronecker que nos ayudará a expresar más concisamente nuestras definiciones y demostraciones.

Definición. (Símbolo de Kronecker) Llamamos símbolo de Kronecker a la expresión   definida como:

 


Por ejemplo, cada elemento   de   define la función   que es tal que  

Definición. (Indeterminada) Llamamos indeterminada con respecto al anillo   a la sucesión de   simbolizada   y tal que

 

Es decir que  

Claramente,   es un polinomio.

Proposición 2. Sea   la indeterminada, entonces

  1.   es decir que   es la sucesión que tiene todos sus términos nulos, con la excepción del  --ésimo que es igual a 1.
  2.  
  3.   para todo   en  

    Demostración:
  1. Por inducción sobre     implica que   También,   Supongamos que para   se cumple que   Entonces,
     

    El único sumando con   es aquel donde   y, por lo tanto, el correspondiente   es igual a   Lo que implica que   Por inducción, se tiene el resultado.

  2. Ejercicio.
  3. Probaremos primeramente que  
     

    Suponer el resultado para todo   Es decir que para todo   en   se cumple que   Entonces,

     

    El resultado sigue por inducción.


Proposición 3. El conjunto de los polinomios determina un subanillo con identidad de   que será denotado por   y que diremos que se trata del anillo de polinomios en una indeterminada con coeficientes en el anillo  ,

    Demostración: Necesitamos tan sólo probar que la suma y el producto de sucesiones con soporte finito son sucesiones con soporte finito. Sean   y   dos polinomios tales que para   se tiene que   y para   se cumple que   Entonces, si   se tiene que al ser   mayor que   y   que   Es decir que   es un polinomio.
    Sea ahora   Entonces,
     

    Los sumandos de la primera sumatoria tiene un factor   con   lo que implica que   por lo que esa sumatoria es 0. Observemos que en la segunda sumatoria, se tiene que   Entonces,   Por lo que los  's son todos nulos, haciendo la segunda sumatoria nula. Luego,   es un polinomio.


A continuación, veremos como recuperar la notación tradicional de polinomios.

Proposición 4. Sea   una sucesión no nula con   para     o sea un polinomio. Sea   Entonces,  

    Demostración: Claramente,   si   Sea   tal que  
     

    Por lo que las dos sucesiones son iguales.


La proposición muestra como podemos expresar un polinomio como una suma finita de términos de la forma   Usaremos esa notación, de ahora en adelante.

NomenclaturaEditar

Sea   un polinomio de   al que expresaremos como   donde   (fj en la notación anterior de sucesiones).

  • Cada uno de los  's se llama un coeficiente del polinomio  
  • Cualquiera de los coeficientes puede ser nulo. Cuando todos los coeficientes sean nulos, diremos que se trata del polinomio nulo o cero.
  • Cada uno de los sumandos que aparecen en la definición de   se llama un término del polinomio. Cada término es de la forma   donde   es un elemento del anillo y   es un número entero tal que   llamados, respectivamente, el coeficiente del término y el grado del término. Dicho termino es el s--ésimo término. Cuando el coeficiente de un término es cero, se puede eliminar de la presentación del polinomio. Por ejemplo, podemos escribir   como  
  • El primer sumando,   es el término constante. Como   cuando   dicho término tiene grado 0. Los términos constantes se identifican con los elementos de  
  • Supongamos que   no es el polinomio nulo. Entonces, al menos uno de los coeficientes de   no es nulo. Sea   el mayor de los enteros tales que   Decimos que el término   es el término líder del polinomio y que   es el coeficiente líder del polinomio. En tal caso, llamamos grado del polinomio al numero   Por lo tanto, el grado de un polinomio no nulo es siempre un número entero positivo o cero, al que denotaremos por   Por definición de grado, para todo   se tiene que si   entonces  
  • Cuando el coeficiente líder sea igual a 1, diremos que se trata de un polinomio mónico.
  • El polinomio nulo no tiene coeficiente líder, por lo que según la definición dada arriba no tiene grado. Resultará conveniente adoptar el siguiente convenio para el grado del polinomio cero
     

    Notemos que esa definición garantiza que el polinomio nulo tiene un grado menor que cualquier polinomio no nulo.

  • Cuando dos polinomios   y   son escritos como sumatoria de términos, los polinomios son iguales, ssi, ambos son nulos o, tienen igual grado y los coeficientes correspondientes iguales.

Grados de la Suma y el ProductoEditar

Sean   y   dos polinomios con grados   y   respectivamente. Mirando a la demostración de la proposición sobre la suma y multiplicación de polinomios, vemos que tenemos cotas para los grados de la suma y el producto de dos polinomios.

En primer lugar, tenemos que el grado de la suma nunca excede el grado de los sumandos, o sea que

 

La desigualdad puede ser estricta, por ejemplo considerar   Pero, puede haber también otras circunstancias que hagan estricta a la desigualdad anterior.

Ejemplo.

Sea   (enteros modulo 6) y sean     Entonces,  


Con respecto a la multiplicación, tenemos que

 

El siguiente ejemplo muestra que la desigualdad puede ser estricta.

Ejemplo.

Sea   se tiene que

 

El grado, en el ejemplo anterior, es menor que la suma de los grados, ya que los coeficientes lideres de los factores eran divisores de cero. Cuando uno de ellos no es un divisor de cero, tenemos la igualdad.

Proposición 5. Sean   y   polinomios en   tales que el coeficiente líder de al menos uno de esos polinomios no es un divisor de cero. Entonces,

 

Además, el coeficiente líder del producto es el producto de los coeficientes lideres de los factores.

    Demostración: Si uno de los polinomios es nulo, el resultado es trivialmente válido. Supongamos que   y   donde   Entonces, el término  --ésimo es aquel del mayor grado posible del producto. Se tiene que
     

    Si   se cumple que   por lo que   Igualmente, si   entonces   Es decir que el único posible sumando no nulo en la sumatoria anterior es   Como   o   no son divisores de cero, se tiene que   De donde el resultado.


Corolario 5.1. Cuando   es un dominio de integridad, entonces   también lo es.

    Demostración: Cualquier polinomio no nulo tiene un coeficiente líder que no es un divisor de cero. Si   y   son polinomios no nulos, el coeficiente líder del producto   es igual al producto de los coeficientes lideres de   y   por lo que no puede ser nulo.


Observación. Sean   y   anillos tales que   es un subanillo de   Entonces, cada polinomio en   puede considerarse un polinomio en   Por lo que siempre consideraremos que   es un subanillo de   Por ejemplo, se cumple que

 

Cuerpo de las Fracciones RacionalesEditar

Vimos arriba que cuando   es un dominio de integridad, en particular un cuerpo,   también es un dominio de integridad. Sabemos del capítulo pasado que todo dominio de integridad puede extenderse a un cuerpo de fracciones del anillo.

Definición. (Cuerpo de las Fracciones Racionales) Sea   un dominio de integridad. Llamamos cuerpo de las fracciones racionales al cuerpo de fracciones del dominio de integridad   Notación:  


Polinomios en varias variableEditar

Sea   un anillo con identidad, entonces   también es un anillo con identidad, por lo que podríamos considerar polinomios con coeficientes en   Si llamamos   a la indeterminada correspondiente, tendríamos el anillo con identidad   que simbolizamos de forma abreviada como   Usando de base ese último anillo, podemos obtener   etc.

Anillo de las Series Formales de PotenciasEditar

Volvamos al anillo   de las sucesiones con términos en un anillo   Poniendo   al igual que para los polinomios, tendremos, por la demostración de la proposición de representación como sumatoria de los polinomios, que podríamos escribir cada sucesión como un polinomio de grado infinito, o sea como una sumatoria sin fin

 

El lector habrá encontrado en sus cursos de Cálculo expresiones análogas llamadas series de potencias. Por tal razón, llamaremos a los elementos de   series de potencias formales. Simbolizaremos a   como   y diremos que se trata del anillo de las series de potencias formales en una indeterminada con coeficientes en el anillo  


EjerciciosEditar

  1. Sea el anillo   Sean     Hallar           usando directamente las definiciones de operaciones con sucesiones.
  2. Sean   y   polinomios en   Hallar        
  3. Efectuar las operaciones indicadas en   simplificar las expresiones resultantes y ordenarlas por orden creciente de los exponentes de los monomios.
     
  4. Efectuar las operaciones indicadas en   simplificar las expresiones resultantes y ordenarlas por orden decreciente de los exponentes de los monomios.
     
  5. Usar el método de coeficientes separados para realizar las operaciones indicadas en  
    1.  ;
    2.  ;
    3.   y
    4.  
  6. Completar las demostraciones de las proposiciones, cuando lo requieran.
  7. Probar que cuando   es un anillo conmutativo,   también lo es.
  8. Hallar dos polinomios   y   en   tales que el grado de la suma de   con   sea inferior a los grados de cada uno de los sumandos, pero que  
  9. Hallar polinomios en   tales que el grado del producto sea inferior a la suma de los grados de los factores.
  10. ¿Cuántos polinomios distintos de segundo grado, de tercer grado, ... , de enésimo grado podemos formar sobre el cuerpo  ?
  11. Sean   y   elementos de   Hallar  
  12. Sean   y   dos series en   Hallar el producto de   con  
  13. Hallar       tales que:  
  14. Hallar un polinomio   tal que  
  15. Hallar las relaciones entre       y   para que el polinomio
     

    sea un cuadrado perfecto.

  16. Cuando   es un dominio de integridad, los únicos polinomios invertibles en   son aquellos de grado cero y cuyo coeficiente líder es una unidad de  
  17. Sea   Obtener el polinomio en la indeterminada   que se obtiene de   al sustituir   por  
  18. Sea   un polinomio de segundo grado sobre un cuerpo   Probar que hay una sustitución del tipo   que convierte a   en un polinomio cuyo coeficiente del término lineal es nulo.
  19. Sea   un polinomio de tercer grado sobre un cuerpo   Probar que hay una sustitución del tipo   que convierte a   en un polinomio cuyo coeficiente del término cuadrático es nulo.
  20. Sean     , \ldots elementos de un anillo conmutativo   Expandir cada uno de los polinomios siguientes sobre   y representar la expresión resultante como un nuevo polinomio. Generalizar los resultados.
    1.  
    2.  
    3.  
    4.  


  21. Sean     indeterminadas sobre un anillo conmutativo con identidad   Entonces:
     

    Donde,  


  22. Sean       elementos de un anillo conmutativo. Hallar una fórmula para  
  23. Sea   Sean     en   tales que   y   para todo número   Hallar        
  24.   Sean     en   tales que     Escribir de forma explícita como sucesiones a   y   Hallar          
  25. Simplificar en  ---el cuerpo de las fracciones racionales sobre  ---las siguientes fracciones.  
  26. Cuando   es un dominio de integridad,   el anillo de series formales con coeficientes en   también lo es. El cuerpo de fracciones de   se denota por   Como polinomios son series de potencias, se tiene que los polinomios no nulos son invertibles en   Probar que en   se cumple que:
    1.  
    2.  
    3.  
    4.  


La Evaluación de un PolinomioEditar

En esta sección, veremos como definir ceros de un polinomio. Sea   un anillo conmutativo con identidad y sea   el anillo de polinomios en la indeterminada   con coeficientes en   Supongamos que   fuera un superanillo de   o sea un anillo que contiene a   (pero no necesariamente conmutativo), y que   fuera un elemento de   que conmuta con todos los elementos de   (En particular, si   fuera conmutativo, cualquier elemento de  )

Definición. (Evaluación) En la situación anterior, sea   un polinomio con coeficientes en   Llamamos evaluación de   en   al elemento de   definido por
 

Decimos que ese elemento de   es el valor de   en   y usaremos la notación funcional   para representarlo.


Convenio Notacional. Notemos que la notación   pudiera ser ambigua, ya que si consideramos a   como una sucesión o sea una función con dominio     puede indicar el coeficiente  --ésimo del polinomio o la evaluación de   en   que en general son dos cosas diferentes. Por lo que de ahora en adelante, la notación funcional se usará únicamente para la evaluación de polinomios y los polinomios siempre se presentarán como suma de términos.


Funciones polinómicas. Cuando   sea un elemento de   (que es obviamente un superanillo de si mismo) entonces   es un elemento de   Por lo que tenemos asociada a cada polinomio   de   una función   que diremos que es la función polinómica definida por   A menos que haya un riesgo de confusión, usaremos el mismo nombre para dicha función.

Volviendo a la situación de la definición, tenemos para cada   que es un elemento de   una función que asigna a cada polinomio   de   su evaluación en     Denotaremos esa función por   La siguiente proposición muestra que esa función es un homomorfismo de anillos.

Proposición 6. Sean   y   polinomios con coeficientes en   Sea   un elemento de un superanillo   del anillo   y que permuta con los elementos de   Entonces,

 

Luego,

 

    Demostración: Ejercicio.


Sigue de la proposición que   es un homomorfismo de anillos.


Proposición 7. (Extensión de Homomorfismos) Sean   y   anillos conmutativos con identidad, y   un homomorfismo de anillos con identidad. Entonces, hay una función  

 

que es un homomorfismo de anillos.

Es decir que   asigna a cada polinomio de   el polinomio de   que resulta al reemplazar los coeficientes del primer polinomio por sus imágenes por  

    Demostración: Sean   y   Entonces,
    •  
    •  


Nomenclatura. Decimos que   es el homomorfismo inducido por  

Sea   el supramorfismo canónico,   Entonces, diremos que el polinomio   es el polinomio obtenido de   por reducción módulo  

Ejemplo.

La reducción de   módulo 2 es igual a  


Sustitución de IndeterminadaEditar

Sea   un anillo conmutativo con identidad y sea     es un superanillo de   y cada uno de sus elementos permuta con los elementos de   Por lo que podemos evaluar cada polinomio en   en un elemento   de   o sea en otro polinomio, digamos,   de   El resultado se dice que es la sustitución de la indeterminada o variable   por  

Ejemplo.

Sea   y sea  

  • Sea   Entonces,  
  • Sea   Entonces
     

Los Ceros de un PolinomioEditar

Definición. (Cero de un Polinomio) Sean   un anillo conmutativo con identidad,   un superanillo de   y   un polinomio con coeficientes en   Decimos que un elemento   de   que permuta con los elementos de   es un cero o raíz del polinomio   ssi,  

Denotaremos por   (o simplemente   cuando el conjunto de donde se toman los ceros sea claro del contexto) al conjunto formado por todos los ceros de   en  


Observación. Sea   un superanillo de   entonces  


Ejemplo.

Sea   un polinomio en   Entonces,   Por lo que 2 es un cero del polinomio  

Se ve claramente que  


Ejemplo.

Sea   un polinomio en   Entonces, claramente   lo que prueba que   es un cero del polinomio   Además es el único cero en   Por lo que,   pero  



Ejemplo.

Sea   un polinomio en  

Entonces, claramente   lo que prueba que   son ceros del polinomio   Sabemos que esos números no son racionales, por lo que   pero   lo que indica porque no podemos omitir el anillo donde estamos considerando los ceros en la notación   cuando se trabaja simultáneamente con varios anillos.


Los ejemplos anteriores muestran, además, que los ceros de un polinomio no tienen porque vivir en el anillo de los coeficientes, aunque ese anillo sea un cuerpo.

PROBLEMA BÁSICO DEL ÁLGEBRA

Dado un anillo   y un polinomio   en   determinar todos los posibles ceros de  


Como lo muestran los ejemplos anteriores, para hallar los ceros, a lo mejor será necesario extender el anillo donde están los coeficientes del polinomio.

Números y Enteros AlgebraicosEditar

Definición. (Número Algebraico, Entero Algebraico) Un número complejo   se llama número algebraico cuando es un cero de un polinomio con coeficientes en   Un número algebraico es un entero algebraico cuando es un cero de un polinomio mónico con coeficientes enteros.


Ejemplo.

  es un entero algebraico, ya que es un cero de  


Ejemplo.

Hallar un polinomio en   tal que   sea un cero del polinomio.

Resolución. Pongamos   Entonces,

 

Luego,   es un polinomio con el cero indicado.


EjerciciosEditar

  1. Evaluar cada uno de los siguientes polinomios de       en los números indicados a continuación.
     
  2. Para cada uno de los números siguientes verificar que se trata de un número algebraico, hallando de manera explícita un polinomio anulado por ese número. En cada caso indicar si el número es, o no, un entero algebraico.
     
  3. Sean   y   anillos con identidad y sea   un homomorfismo de anillos y sea   un elemento de   que permuta con los elementos de la imagen de   Probar que hay un único homomorfismo de anillos   tal que  
  4. Sea   en   y sea   una matriz   Probar que   es un cero de   o sea que   es la matriz nula.
  5. Sea   en   y sea   una matriz   Probar que   es un cero de  
  6. Sea   un anillo conmutativo con identidad. Sea   tal que
     

      es un homomorfismo de anillos con identidad.

  7. Sea   Sea   el conjunto de todas las sucesiones   Con operaciones punto a punto, o sea que
     

    Verificar que   es un anillo conmutativo con identidad. Probar que el polinomio   de   tiene infinitos ceros.