Álgebra Abstracta/Teoremas de Sylow

En este apéndice, obtendremos algunos de los resultados más importantes de la teoría de grupos finitos, uno de los cuales es una forma más débil del recíproco del teorema de Lagrange. Éste será el primer resultado que obtendremos.

Teorema 1 (Primer teorema de Sylow): Sea $G$ un grupo y $p$ un numero primo. Si $p^{k}$ divide el orden de $G$, entonces $G$ tiene un subgrupo de orden $p^{k}$.

Demostración: Por inducción sobre $|G|$. Para $|G|=1$ se cumple, pues en ese caso ninguna potencia de un número primo divide a $|G|$. Supongamos el teorema cierto para todo grupo de orden menor que $|G|$. Supongamos que $|G|=p^{k}m$. Para todo $g\in G$, $|G|=[G:C(g)]|C(g)|$, y si $p^{k}$ divide a $|C(g)|$ para algún $g\in G$, entonces la hipótesis de inducción nos da un subgrupo de $C(g)$ de orden $p^{k}$ y el teorema es cierto. Si $p^{k}$ no divide a $C(g)$ para ningún $g\in G$, entonces $p$ debe dividir a $[G:C(g)]$ para todo $g\in G$ no contenido en $Z(G)$, y así $p$ divide a $\sum _{|g^{G}|>1}[G:c(g)]$, donde la suma recorre las clases de conjugación de más de un elemento. Entonces la ecuación de clases

$|G|=|Z(G)|+\sum _{|g^{G}|>1}[G:C(g)],$

nos dice que $p$ divide a $|Z(G)|$, y sabemos que, al ser $Z(G)$ abeliano, este contiene un elemento $z$ de orden $p$. Ya que $\langle z\rangle <Z(G)$, $\langle z\rangle$ es normal en $G$, y podemos formar el grupo cociente $G/\langle z\rangle$, el cual es de orden divisible por $p^{k-1}$ (pues $|G/\langle z\rangle |=|G|/|\langle z\rangle |=p^{k-1}m$). Aplicando la hipótesis de inducción, $G/\langle z\rangle$ tiene un subgrupo de orden $p^{k-1}$ que por el teorema de correspondencia es de la forma $H/\langle z\rangle$ para algún subgrupo $H<G$, y $|H|=|H/\langle z\rangle ||\langle z\rangle |=p^{k-1}p=p^{k}$.

Así, por ejemplo, el grupo alternado $A_{5}$ de orden $60=2^{2}\cdot 3\cdot 5$ tiene subgrupos de orden 2, 4, 3 y 5, y el grupo alternado $A_{6}$ de orden $360=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5$ tiene subgrupos de orden 2, 4, 8, 3, 9 y 5, pues todos estos números son potencias de números primos que dividen al orden de cada grupo.

En particular, tenemos el

Corolario 2 (Cauchy): Si $G$ es un grupo y $p$ es un número primo divisor del orden de $G$, entonces $G$ tiene un elemento de orden $p$.

La formulación de los resultados restantes que obtendremos en esta sección se hacen en términos de la definición siguiente.

Definición. Sea $G$ un grupo y $p$ un número primo. Si $S$ es un grupo de orden $p^{k}$ y $p^{k}$ divide a $|G|$ y $p^{k+1}$ no divide a $|G|$, entonces $S$ se dice un $p$-subgrupo de Sylow.

Por el teorema de Lagrange, si $S$ es un $p$-subgrupo de Sylow, entonces no hay un $p$-subgrupo de orden mayor que el de $S$, pues el orden de éste no dividiría al orden de $G$, y por ello no puede ser un subgrupo de $G$. Por lo tanto, un $p$-subgrupo de Sylow es un $p$-subgrupo maximal. Por el primer teorema de Sylow, un grupo siempre tiene al menos un $p$-subgrupo de Sylow para cada primo $p$, si bien es posible que éste sea trivial (cuando $p^{0}$ es la mayor potencia de $p$ que divide al orden del grupo). Notemos que si $H$ es un $p$-subgrupo de Sylow de $G$, entonces $gHg^{-1}$ es también un $p$-subgrupo de Sylow, puesto que este subgrupo es la imagen de $H$ por el automorfismo interno dado por $h\longmapsto ghg^{-1}$. En consecuencia, un $p$-subgrupo de Sylow es normal en $G$ si y sólo si éste es el único $p$-subgrupo de Sylow de $G$.

La demostración del segundo teorema de Sylow que daremos aquí depende del lema siguiente.

Lema 3: Sea $G$ un grupo y $p$ un número primo divisor del orden de $G$. Si $G$ actúa sobre el conjunto $S$ y si representamos por $\mathrm {fij} (S)=\{s\in S\mid gs=s{\mbox{ para todo }}g\in G\}$ al conjunto de los puntos fijos de $S$ bajo la acción de $G$ sobre $S$, entonces $|\mathrm {fij} (S)|\equiv |S|\,(\mathop {\mbox{mód}} p).$

Demostración: Sabemos que $S$ es la unión disjunta de las órbitas $\Omega _{s}$ ($s\in S$), y $\mathrm {fij} (S)$ es la unión de las órbitas de un sólo elemento, de modo que

$|S|=|\mathrm {fij} (S)|+\sum _{s\notin \mathrm {fij} (S)}|\Omega _{s}|$

pero $p||\Omega _{s}|$ para todo $s\notin \mathrm {fij} (S)$, luego $p$ divide a $|S|-|\mathrm {fij} (S)|$ y con esto $|\mathrm {fij} (S)|\equiv |S|\,(\mathop {\mbox{mód}} p).$

Teorema 4 (Segundo teorema de Sylow): Sea $G$ un grupo finito y $p$ un número primo divisor del orden de $G$. Si $P$ es un $p$-subgrupo de Sylow, entonces todo $p$-grupo está contenido en algún $gPg^{-1}$ para cierto $g\in G$. En particular, cualesquiera dos $p$-subgrupos de Sylow son conjugados.

Demostración: Sea $H$ un $p$-subgrupo de $G$ (no necesariamente de Sylow) y $P$ un $p$-subgrupo de Sylow. El subgrupo $H$ actúa sobre el conjunto de clases laterales $G/P$ por medio de traslación izquierda, y por el Lema 3 sabemos que $|\mathrm {fij} (G/P)|\equiv [G:P]\,(\mathop {\mbox{mód}} p)$, pero como $p$ no divide a $[G:P]$, debe ser $|\mathrm {fij} (G/P)|\neq 0$, luego $\mathrm {fij} (G/P)$ es no vacío y existe al menos un $g\in G$ tal que $hgP=gP$ para todo $h\in H$, lo que equivale a $g^{-1}Hg<P$, luego $H<gPg^{-1}$. Si $H$ es un $p$-subgrupo de Sylow, entonces $|H|=|gPg^{-1}|$, lo que implica $H=gPg^{-1}$.

Teorema 5 (Tercer teorema de Sylow): Sea $G$ un grupo finito, $p$ un número primo y $\mathrm {Syl} _{p}(G)$ el conjunto de todos los $p$-subgrupos de Sylow de $G$. Entonces $|\mathrm {Syl} _{p}(G)|\equiv 1\,(\mathop {\mbox{mód}} p)$ y $|\mathrm {Syl} _{p}(G)|$ divide a $|G|$.

Demostración: Sea $P$ un $p$-subgrupo de Sylow y consideremos la acción de $P$ sobre $\mathrm {Syl} _{p}(G)$ por conjugación. Por supuesto $P\in \mathrm {fij} (\mathrm {Syl} _{p}(G))$, y si $H$ es otro $p$-subgrupo de Sylow tal que $H\in \mathrm {fij} (\mathrm {Syl} _{p}(G))$, entonces $P<N_{G}(H)$, por lo que $P$ y $H$ son también $p$-subgrupos de Syolow de $N_{G}(H)$, y por el segundo teorema de Sylow, son conjugados en $N_{G}(H)$, pero al ser $H$ normal en $N_{G}(H)$, debe ser $P=H$. Por lo tanto $|\mathrm {fij} (\mathrm {Syl} _{p}(G))|=1$, y el Lema 3 nos da $|\mathrm {Syl} _{p}(G)|\equiv 1\,(\mathop {\mbox{mód}} p)$. Puesto que $\mathrm {Syl} _{p}(G)$ se obtiene conjugando $P$ por cada elemento de $G$, y puesto que el número de subgrupos conjugados de $P$ es $[G:N_{G}(P)]$, tenemos $|\mathrm {Syl} _{p}(G)|=[G:N_{G}(P)]$, el cual divide a $|G|$.