Usuario:Pilonieta / Heurística / Ejercicio 21 Una rueda cuyo borde tiene la ecuación...

PURCELL, Edwin J., VARBERG, Dale. Calculo con geometria analitica, 6Ed. Mexico: Prentice Hall Iberoamericana, 1993.

Una rueda cuyo borde tiene la ecuacion$x^{2}+(y-6)^{2}=25$ gira rapidamente en sentido contrario a las manecillas del reloj. Una particula de lodo sale del borde en el punto (3,2) y vuela hacia la pared $x=11$. Aproximadamente a que altura golpeara la pared?

¿Que me dan?

• La ecuacion de la circunferencia $x^{2}+(y-6)^{2}=25$

• Un punto de la circunferencia, que coincide con el punto en donde la paritucula de lodo abandona la rueda

• La coordenada x del punto donde la particula de lodo tocara la pared

¿Que me piden?

Averiguar la coordenada y del punto donde la particula tocara la pared o el valor de la ordenada para una funcion lineal cuya abcisa es 11.

¿Cómo se relaciona lo que me dan con lo que me piden?

Archivo:HEURI21.JPG

La particula de lodo que sale de la rueda y toca la pared,nos proporciona una linea recta que por tocar un solo punto de la circunferencia,a saber (3,2) es tangente a la misma.

Se sabe que una recta tangente a una grafica cualquiera tiene pendiente igual a la derivada de la funcion o de la ecuacion que descirbe la grafica en el punto de interseccion entre ambas. En consecuencia la derivada de la ecuacion $x^{2}+(y-6)^{2}=25$ es igual a:

$y'={\frac {-2x}{2(y-6)}}$ que es igual a la pendiente.

Se sabe que la funcion de una recta esta dada por y=mx+b. En donde m=pendiente, b=punto de corte con el eje y, x=Variable independiente y la letra y=variable dependiente.

Si $m={\frac {-2x}{2(y-6)}}$ y el punto (3,2) pertenece a la recta, entonces se tiene que reemplazando en los valores de x y y en la pendiente tenemos: $m={\frac {-2(3)}{2(2-6)}}$=$m={\frac {3}{4}}$

Hasta el momento $y={\frac {3}{4}}(x)+b$

Para averiguar b reemplazamos los valores de x por 3 y de y por w, obteniendo que $b={\frac {-1}{4}}$

En consecuencia,$y={\frac {3}{4}}(x)+{\frac {-1}{4}}$

Una vez obtenida la ecuacion de la recta podemos reemplazar el valor de la variable independiente por 11, numero que corresponde a la abscisa del punto de golpe con la parded, para obtener la ordenada.

Remplanzado tenemos que: $y={\frac {3}{4}}(11)+{\frac {-1}{4}}=8$, valor que corresponde con valor de la ordenada que se nos pedia.

¿Como verifico que la relacion es cierta?

Por construccion logica de la relacion.