Demostracion de un caso particular finito de la forma invertida
Y t = Ψ 1 Y t − 1 + e t {\displaystyle Y_{t}=\Psi _{1}Y_{t-1}+e_{t}} ...(1)
Ψ 2 = Ψ 3 = Ψ 4 = . . . = 0 {\displaystyle \Psi _{2}=\Psi _{3}=\Psi _{4}=...=0}
Recorriendo el modelo hacia tras se tiene
Y t − 1 = Ψ 1 Y t − 2 + e t − 1 {\displaystyle Y_{t-1}=\Psi _{1}Y_{t-2}+e_{t-1}} ...(2)
sustituyendo 2 en 1
Y t = Ψ 1 [ Ψ 1 Y t − 2 + e t − 1 ] + e t {\displaystyle Y_{t}=\Psi _{1}\left[\Psi _{1}Y_{t-2}+e_{t-1}\right]+e_{t}}
Se obtiene
Y t = Ψ 1 2 Y t − 2 + Ψ 1 e t − 1 + e t {\displaystyle Y_{t}=\Psi _{1}^{2}Y_{t-2}+\Psi _{1}e_{t-1}+e_{t}} ...(3)
realizando lo mismo para
Y t − 2 = Ψ 1 Y t − 3 + e t − 2 {\displaystyle Y_{t-2}=\Psi _{1}Y_{t-3}+e_{t-2}} ...(4)
Sustituyendo 4 en 3
Y t = Ψ 1 2 ( Ψ 1 Y t − 3 + e t − 2 ) + Ψ 1 e t − 1 + e t {\displaystyle Y_{t}=\Psi _{1}^{2}(\Psi _{1}Y_{t-3}+e_{t-2})+\Psi _{1}e_{t-1}+e_{t}}
Y t = Ψ 1 3 Y t − 3 + Ψ 1 2 e t − 2 + Ψ 1 e t − 1 + e t {\displaystyle Y_{t}=\Psi _{1}^{3}Y_{t-3}+\Psi _{1}^{2}e_{t-2}+\Psi _{1}e_{t-1}+e_{t}}
generalizando
Y t = ∑ i = 1 ∞ Ψ t − i i + e t {\displaystyle Y_{t}=\sum _{i=1}^{\infty }\Psi _{t-i}^{i}+e_{t}}
...(1)
...(2)
![{\displaystyle Y_{t}=\Psi _{1}\left[\Psi _{1}Y_{t-2}+e_{t-1}\right]+e_{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6974f24995beeeedbfe4b68b9a96d79f9ed27fdc)
...(3)
...(4)
