Matemáticas/Teoría de conjuntos/Intuitiva/Conjuntos

Lo principal para nuestro desarrollo de la teoría (intuitiva) de conjuntos es aceptar que es posible ‘comprimir’ o ‘substancializar’ una colección o conjunto (que para este caso son lo mismo) de cualesquiera objetos diferentes y, así, poder considerarla como un todo o, mejor dicho, como una única cosa que tratar. Los objetos de un conjunto se llaman elementos de dicho conjunto.

1.1.1. Desde luego, la relación más básica de la teoría de conjuntos es la que existe entre los elementos y su conjunto: la relación de pertenencia. Como es la regla hoy en día, escribiremos

$a\in x$

para indicar que el objeto $a$ es uno de los elementos del conjunto $x$. Es decir, el símbolo "$\in$", una versión de la letra griega $\epsilon$ (épsilon), lo usaremos para representar la relación de pertenencia^[1]. Los argumentos de una relación son los objetos que acompañan a esa relación. En el ejemplo $a\in x$, los argumentos de la relación $\in$ son $\,a$ (primer argumento) y $\,x$ (segundo argumento). Así, puede decirse que los primeros argumentos de la relación $\in$ pertenecen al universo de los elementos, mientras que los segundos argumentos de esta misma relación pertenecen al universo de los conjuntos. Si aceptamos que todo es un conjunto (algo que, por ciertas razones que se verán en su momento, haremos cuando se desarrolle la teoría axiomática de conjuntos), entonces los primeros y segundos argumentos de $\in$ pertenecen al mismo universo.

La negación de $a\in x$ la escribiremos

$a\notin x$.

Ejemplo: Consideremos el conjunto $\,x=\{1,2,3,4,5\}$. Con esto lo que estamos haciendo es denominar por $\,x$ al conjunto $\,\{1,2,3,4,5\}$. Pues bien, podemos decir entonces que $1\in x$ y que $7\notin x$.

1.1.2. Diremos que dos conjuntos $\,x$ e $\,y$ son iguales, lo que se representa por $\,x=y$, si y solo si $\,x$ e $\,y$ consisten de los mismos elementos. Así pues, $\,x=y$ siempre que

$a\in x$ si y solo si $a\in y$

para todo elemento $\,a$ (i.e. si todo elemento de $\,x$ es elemento de $\,y$ y, recíprocamente, si todo elemento de $\,y$ es elemento de $\,x$).

Ejemplo: Siguiendo con nuestro ejemplo, según nuestro criterio vemos que $\,\{1,2,3,4,5,\}=\{1,1,1,1,1,1,1,2,3,3,3,4,5,5,5,1\}$. En efecto, cada uno de los elementos del conjunto de la izquierda es un elemento del conjunto de la derecha, y viceversa. Podemos pues considerar que ambos conjuntos son iguales, y, como hicimos antes, podemos identificar entonces como $\,x$ a cualquiera de ambos.

1.1.3. Por otra parte, como un hecho más general que la igualdad, un conjunto $\,x$ es subconjunto de otro $\,y$, lo que se representa por

$x\subseteq y$,

siempre que

$a\in x$ implica $a\in y$

para cualquiera que sea el elemento $\,a$ (i.e., si todo elemento de $\,x$ es elemento de $\,y$). Claramente

$x\subseteq x$

para todo conjunto $\,x$, por lo que se dice que la relación $\subseteq$ es reflexiva. También tenemos que

$x\subseteq y$ y $y\subseteq x$si y solo si $\,x=y$,

y que

$x\subseteq y$ y $y\subseteq z$ implica $x\subseteq z$

para cualesquiera conjuntos $\,x$, $\,y$ y $\,z$. Estos dos hechos muestran, respectivamente, que la relación $\subseteq$ es antisimétrica y transitiva (véase más adelante relaciones).

1.1.4. Si $x\subseteq y$ y $x\neq y$ (i.e. si $\,y$ tiene por lo menos un elemento más que $\,x$) se dice que $\,x$ es subconjunto propio de $\,y$, lo cual se representa por

$x\subset y$.

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^ Peano fue el primero en representar la relación de pertenencia por la letra $\,\epsilon$ en sus Arithmetices Principia (1889), por ser la primera letra de la palabra griega ${\acute {\epsilon }}\sigma \tau {\grave {\iota }}$, que significa "está".

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