Matemáticas/Teoría de conjuntos/Intuitiva/Notación de conjuntos y el conjunto vacío

1.2.1. Si $\,x$ es un conjunto cuyos elementos son $a_{1},a_{2},\ldots \,a_{n}$ y solo ellos, es común representar a este conjunto $\,x$ por extensión

$\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\}$,

si $\,n$ (al que llamaremos cardinalidad) no es un número muy grande.

Por ejemplo $\{a,e,i,o,u\}$ representa por extensión el conjunto de las vocales del español y su cardinalidad es 5.

Tenga en cuenta que en un conjunto no hay elementos repetidos, por ejemplo el conjunto $\{a,a\}$ es el mismo conjunto $\{a\}$

1.2.2. Nótese que, de acuerdo con esa notación,

$a\in x$ es equivalente a $\{a\}\subseteq x$.

1.2.3. Existe otra forma común de representar conjuntos, llamada por comprensión. Si $\,x$ es el conjunto de todos aquellos elementos $\,a$ que verifican una propiedad $\,\phi$, entonces $\,x$ se representa también por

$\{a\mid \phi (a)\}$.

1.2.4. Así, si $\,\phi (a)$ es la propiedad $\,a=a$, entonces el conjunto

$\{a\mid a=a\}$

claramente contiene cualquier cosa.

1.2.5. Mientras tanto, si $\,\phi (a)$ es la propiedad $a\neq a$, entonces el conjunto

$\{a\mid a\neq a\}$

no contiene nada. Este conjunto sin elementos lo llamaremos conjunto vacío, y lo representaremos por $\varnothing$. Tenemos que $\varnothing \subseteq x$ para cualquiera que sea el conjunto $\,x$ (pues esto sería falso sólo si existiera algún elemento en $\varnothing$ que no estuviera en el conjunto $\,x$, lo cual es absurdo pues $\varnothing$ no contiene nada).

Por otro lado,

$x\subseteq \varnothing$ implica $x=\varnothing$

para cualquier conjunto $\,x$. Efectivamente, pues si fuera $x\subseteq \varnothing$ y $x\neq \varnothing$, entonces $\varnothing$ tendría por lo menos un elemento que no está en $\,x$, lo que es imposible.

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