Problemario de Señales y Sistemas/Señales Periódicas

Señales Periódicas

En esta serie de problemas se busca que el estudiante se familiarice con el concepto período, frecuencia y suma de señales periódicas (cuando son señales sinusoidales, ¿puede extenderse a la multiplicación?.

Problemas

Problema 2 02 08

Para las señales que se listan a continuación determine cuáles son periódicas y cuáles no. Para las señales periódicas calcule su período y frecuencia (rad/s), su área absoluta, energía, potencia y valor RMS en un período. En todos los casos grafique la señal en el intervalo -6<t<6. Si hubiera señales complejas grafique parte real e imaginaria.

1. $y_{1}(t)=\sin \left({\frac {\pi }{3}}t\right)+\sin \left({\frac {2\pi }{5}}t\right)+\sin \left(2\pi t+{\frac {\pi }{6}}\right)+\cos \left(10\pi t+{\frac {\pi }{3}}\right)\,$
2. $y_{2}(t)=\sin(2t)+(10+2i)\cos(2\pi t)+e^{jt}\,$
3. $y_{3}(t)=\sin(2\pi t)+\sin({\sqrt {2}}\pi t)\,$

Problema #1

Para las señales que se listan a continuación determine cuáles son periódicas y cuáles no. Para las señales periódicas calcule su período y frecuencia (rad/s), su área absoluta, energía, potencia y valor RMS en un período. En todos los casos grafique la señal en el intervalo -6<t<6. Si hubiera señales complejas grafique parte real e imaginaria.

1. $x_{1}(t)=\sin \left({\frac {1}{3}}t\right)+\cos \left({\frac {1}{2}}t+{\frac {\pi }{5}}\right)+\sin(2t+2)\,$
2. $x_{2}(t)=\sin(2\pi t)+e^{j5\pi t}\,$
3. $x_{3}(t)=\sin(3t)+\sin({\sqrt {3}}t)+\sin(3{\sqrt {3}}t)\,$

Problema #1. Subproblema 1=

Realizado por Esteban Bacilio 05-37871

1. $x_{1}(t)=\sin \left({\frac {1}{3}}t\right)+\cos \left({\frac {1}{2}}t+{\frac {\pi }{5}}\right)+\sin(2t+2)\,$

Se tienen w1=1/3; w2=1/2; w3=2;. Se puede ver que la razón de cualquier par de frecuencias individuales es una fracción racional => la señal es periódica.

La frecuencia natural wn es el MCD de las frecuencias individuales: wn=MCD(1/3,1/2,2)=1/6 rad/seg.

El período natural correspondiente Tn=2$\pi ,$/wn=2$\pi ,$/(1/6)=12$\pi ,$

La Potencia de la señal X1(t) es la suma de las potencias individuales:

$P=P_{1}+P_{2}+P_{3}={\frac {1}{Tn}}\int _{0}^{Tn}\sin \left({\frac {1}{3}}t\right)dt+{\frac {1}{Tn}}\int _{0}^{Tn}\cos \left({\frac {1}{2}}t+{\frac {\pi }{5}}\right)dt+{\frac {1}{Tn}}\int _{0}^{Tn}\sin(2t+2)dt={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}={\frac {3}{2}}[W]\,$

El valor rms de la señal: $x_{rms}={\sqrt {(P)}}={\sqrt {\frac {3}{2}}}\,$

Entonces la energía en un período Tn: $E=Tn.P=18[J]\,$

La gráfica de esta señal es la siguiente:

a) Para un tiempo entre -6 < t < 6

b) Para un tiempo entre -80 < t < 80 ( En donde podemos apreciar la frecuencia y periodo fundamental.

Problema #1. Subproblema 2=

Realizado por Esteban Bacilio 05-37871

1. $x_{2}(t)=\sin(2\pi t)+e^{j5\pi t}\,$

como $x_{2}(t)=e^{j5\pi t}=\cos(5\pi t)+j\cdot \sin(5\pi t)\,$

nos queda: $\sin(2\pi t)+\cos(5\pi t)+j\cdot \sin(5\pi t)\,$

Parte real. Se tienen w1=2 y w2=5, entonces, como la razón de ambas frecuencias es un número racional: w1/w2=2/5 => la parte real de la señal es periódica.

La frecuencia natural wn de la parte real: $w_{n}=MCD(5\pi ,2\pi )=\pi \,$ El período, Tn=2.

La Potencia de esta señal en un período Tn es la suma de las potencias individuales:

$P=P_{1}+P_{2}={\frac {1}{Tn}}\int _{0}^{Tn}\sin(2\pi t)dt+{\frac {1}{Tn}}\int _{0}^{Tn}\cos(5\pi t)dt={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}=1[W]\,$

El valor rms de la señal (para la parte real): $x_{rms}={\sqrt {(P)}}=1\,$

La energía en un período Tn: $E=Tn.P=2[J]\,$

La gráfica de la parte real de la función para un intervalo de tiempo entre -6 < t < 6:

Parte imaginaria. La señal está dada por un solo seno => es periódica

La gráfica de la parte imaginaria:

Problema #1. Subproblema 3

Realizado por Euro Rivero 03-36396

1. $x_{3}(t)=\sin(3t)+\sin({\sqrt {3}}t)+\sin(3{\sqrt {3}}t)\,$

Se tienen las frecuencias individuales: w1=3 w2=${\sqrt {3}}\,$ w3=$3{\sqrt {3}}\,$

La razón entre un par de frecuencias: w1/w2= $3/{\sqrt {3}}\,$ nos da un número no racional => la señal no es periódica.

La gráfica de esta señal es: