Precálculo/Introducción

Precálculo

Introducción

En el mercado de los libros universitarios abundan los libros referentes a precálculo. No obstante, la gran mayoría de ellos son volúmenes enormes con una gran cantidad de material teórico, de tal forma que si un estudiante deseara estudiar alguno de esos textos de manera completa batallaría mucho para poder leer y procesar todo ese contenido. Además, en general dichos textos están escritos con un enfoque para ingenieros, evitando con ello la formalidad matemática para centrarse más en la parte práctica operativa de aplicación de métodos a la solución de problemas. Sin embargo, la experiencia me ha enseñado que indudablemente un buen ingeniero necesita tener buenas bases matemáticas con algo de formalismo y análisis.

Pensando en ello, estos “apuntes de precálculo” diseñados para ingenieros, están escritos con la finalidad de cubrir la necesidad de los estudiantes de poseer un texto breve pero conciso, que además tenga un poco más de rigor matemático que el común denominador de libros que tratan sobre el tema, sin ser demasiado formales, teniendo en mente el público al que van dirigidos: estudiantes de ingenierías y áreas económico-administrativas; no obstante que también pueden servir para estudiantes de primer semestre de licenciaturas tales como matemáticas o física.

Por otro lado, pensando en particular en los alumnos de mi alma máter, la Universidad de Guadalajara (en específico el Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingenierías), estos “apuntes de precálculo” están escritos para cubrir el 100% de los programas de estudio de dicha asignatura, y con ello poder abarcar en especial los últimos temas de dichos programas, que casi nunca se alcanzan a abordar.

También cabe señalar que estos apuntes están elaborados siguiendo una metodología pedagógica que he aprendido en mis años de asesorías a estudiantes, la cual consiste en tres pilares. Primeramente al introducir un tema nuevo, lo primordial es que queden perfectamente claros los conceptos que subyacen tras el desarrollo de dicho tema, es decir, qué significa cada nueva definición e idea matemática, lo cual es fundamental para el pleno dominio posterior de las distintas áreas del conocimiento. Por lo tanto, dichos conceptos son explicados de la forma más clara que me es posible, introduciendo ejemplos ilustrativos y sencillos que aterricen las ideas abstractas. Una vez conseguido el primer pilar, en segundo lugar hay que enseñar la parte operativa, es decir, hay que enseñar a realizar y dominar los distintos procedimientos o técnicas matemáticas basados en los conceptos previamente vistos, lo cual se logra mediante la resolución de algunos ejemplos y la posterior realización de muchos ejercicios por parte del estudiante, algunos de los cuales son incluidos en este texto, existiendo procedimiento y respuesta para los ejercicios impares y respuesta para los pares, sin embargo, se sugiere que el alumno trate de resolverlos sin ver la solución, y que solo atienda a su solución en el caso de que le surja alguna duda en el desarrollo de la misma, o cuando ya los haya resuelto, para comparar su desarrollo y respuesta con el dado en el texto. Ya por último, está la parte de análisis y solución de problemas, los cuales son escritos en orden creciente de dificultad, y en los que el estudiante ya no ha de resolver ejercicios mecanizados, sino verdaderos problemas donde surgen situaciones nuevas no vistas en el material del texto (lo cual ocurre en la vida real), y para las cuales el alumno ha de reflexionar y analizar los problemas, observando lo que se le da, lo que se le pide, y pensando cómo ha de llegar a la solución del problema, para lo cual es fundamental que hayan quedado claros los conceptos expuestos en el pilar primero, pues de lo contrario será imposible resolver dichos problemas si ni siquiera se entiende de qué tratan. De los problemas, los impares tienen procedimiento de solución y respuesta, y los pares solo respuesta, empero, al igual que con los ejercicios, se recomienda que el alumno solo acuda a su solución en el caso de que le surja alguna duda o para contrastar su desarrollo y resultado. Mas es importante señalar que los procedimientos dados en este texto no tienen por qué coincidir con los que el estudiante emplee, pues por lo regular en la vida real existen muchos caminos para llegar a una misma solución.

Es importante recalcar que para que se pueda consolidar el proceso de enseñanza-aprendizaje, es responsabilidad del estudiante poner también de su parte, invirtiendo horas en el repaso de los conceptos y en la realización de ejercicios y problemas. Solo así se aprenden las matemáticas y cualquier ciencia.

Ya por último quiero mencionar que he añadido al final de la sección de ejercicios y problemas algunos proyectos de aplicación, los cuales muestran al estudiante que las matemáticas en efecto tienen infinitas aplicaciones en el mundo real, pues la naturaleza está diseñada en un lenguaje matemático y nos compete a los ingenieros y científicos descifrar dicho lenguaje. Aunque para realizar estos proyectos evidentemente también se requiere algo de análisis e ingenio, requisitos indispensables para todo verdadero ingeniero.

Espero que les pueda ser de utilidad mi obra.

Carlos Oscar Rodríguez Leal.

Convenios y notaciones.

Símbolo	Se leé	Significado
=	es igual a, igual a	símbolo de igualdad de ambos lados de una ecuación
$:=$	se define como	símbolo de igualdad por definición
$\equiv$	es equivalente a	símbolo de equivalencia de números ó expresiones numéricas
$\rightarrow$	entoces, por lo tanto, se deduce que	símbolo lógico condicional o de implicación
$\leftrightarrow$	si y solo si, solamente si, es equivalente a	símbolo lógico bicondicional o de equivalencia de expresiones lógicas o proposiciones
$\in$	pertenece
$\notin$	no pertenece
$|$ ó $:$	tal que
$\forall$	todo, para todo
$\{\ldots \}$		representa un conjunto, donde en lugar de puntos suspensivos se pone la regla de definición del conjuto
$\{\},\phi$	conjunto vacío, fi	representa al conjunto que no posee elementos
$\subset$	es subconjunto de	símbolo de subconjunto
$\supset$	es superconjunto de	símbolo de superconjunto
$\cup$	unión	símbolo de unión de conjuntos
$\cap$	intersección	símbolo de intersección de conjuntos
\	menos	símbolo de diferencia de conjuntos
$A^{c}$	A complemento, ó complemento de A	complemento del conjunto $A$
$\times$	producto cartesiano de	producto cartesiano de conjuntos
$(a,b)$	a be	par ordenado de elementos $a$ y $b$
$f:A\rightarrow B$	$f$ de $A$ a $B$	función $f$ cuyo dominio de definición es $A$ y cuyo codominio es $B$
$a\mapsto f(a)$	"a" a efe de "a"	definición de una función
$f[A]$	efe de A	es el conjuto de todas las imágenes de elementos de A
$\circ$	composición	símbolo de composición de dos funciones
$f^{-1}$	efe inversa	representa la función inversa de la función $f$
$1_{A}$	uno A	función idéntica cuyo dominio es el conjunto $A$

1. Breve Definición Informal de los Sistemas Axiomáticos

Artículo principal: Sistemas axiomáticos

Definición 1.1. Sistema axiomático. Un sistema axiomático es la construcción rigurosa (lógicamente hablando) de una teoría deductiva. Podemos decir de manera informal que un sistema axiomático consta, a groso modo, de:

1. Conceptos no definidos: En matemáticas como en cualquier quehacer intelectual, hay conceptos que necesitan definirse con precisión, pero para ello se requieren de otros conceptos más generales que los incluyan, los cuales a su vez se necesitan definir mediante otros conceptos más generales y así sucesivamente. Por ello, como no podemos continuar con ese proceso infinitamente, hay algunos conceptos base de los que partimos y que aunque no los definamos con rigor, podemos entender intuitivamente de una manera clara a lo que se refieren. Por ejemplo, tenemos los conceptos de conjunto y elemento, en la teoría de conjuntos, o los conceptos de punto y recta en geometría euclidiana.
2. Proposiciones no demostradas: Son los axiomas, o enunciados cuya afirmación es evidente u obvia, y por ende no necesitan ser demostrados. Por ejemplo, en geometría euclidiana, en la teoría axiomática de Hilbert tenemos el siguiente axioma: "Para cada punto $P$ y cada punto $Q$ distinto de $P$, existe una única recta $l$ en la cual inciden $P$ y $Q$". Y en teoría axiomática de conjuntos, en el sistema axiomático de Zermelo-Fraenkel tenemos el axioma de extensión : "Dos conjuntos $A$ y $B$ son iguales si, y solo si, todo elemento de $A$ es un elemento de $B$ y todo elemento de $B$ es un elemento de $A$".
3. Reglas lógicas de inferencia: Son las reglas lógicas que podemos aplicar sobre la base de conceptos no definidos y proposiciones no demostradas para de esa forma deducir nuevas proposiciones, los teoremas, los cuales a su vez podemos usar para deducir nuevos teoremas, y así sucesivamente, construyendo de esa forma el edificio de nuestro sistema axiomático. Por ejemplo, podemos razonar que: “si dos cosas A y B son iguales a una tercera cosa C, entonces serán iguales entre sí”, y luego aplicar dicho principio lógico de transitividad a nuestras demostraciones. Otro principio sumamente importante, llamado el principio de identidad [1](el cual es el principio fundamental de la lógica y la filosofía), nos dice que toda entidad es idéntica a sí misma: “es cierto que el objeto a es el objeto a”.
4. Proposiciones demostradas: Como se mencionó en el párrafo anterior, son los teoremas, es decir, proposiciones ya no evidentes como lo son los axiomas, y que por lo tanto deben ser demostradas a partir de los conceptos no definidos, las proposiciones no demostradas y otros teoremas previamente demostrados. Dichas demostraciones se realizan a partir de las reglas lógicas de inferencia, que por lo regular son leyes lógicas: principios formales del pensamiento racional deductivo. Ejemplo de proposición que puede y debe ser demostrada es la afirmación: Si A es subconjunto de B y B es subconjunto de C, entonces A es subconjunto de C. Otro ejemplo es la afirmación: “Si el conjunto A posee la misma cardinalidad (es del mismo tamaño) que el conjunto B y el conjunto B posee la misma cardinalidad que el conjunto C, entonces los conjuntos A y C también poseen la misma cardinalidad”. La aseveración anterior se demuestra usando la primera regla lógica de transitividad expuesta en en punto tres de esta lista.

Una vez definidos los sistemas axiomáticos, ya estamos listos para comenzar con nuestra introducción al apasionante mundo de la teoría de conjuntos.

2. Teoría de Conjuntos Elemental.

Artículo principal: Matemáticas/Teoría de conjuntos

Conjuntos, definiciones y propiedades generales.

Definición 2.1. Conjunto. Colección de objetos bien definidos.

Definición 2.2. Elementos. Son los objetos que pertenecen a un conjunto.

Los conjuntos se simbolizan con letras mayúsculas y sus elementos con letras minúsculas. Si un elemento $a$ pertenece a un conjunto $A$, lo representamos matemáticamente como $a\in A$, lo cual se lee: "a pertenece a A"; y si un elemento $b$ no pertenece a un conjunto $A$, lo expresamos como $b\not \in A$ y lo leemos como: "b no pertenece a A".

Un conjunto se puede especificar ya sea por extensión (o enumeración) o por descripción.

Definición 2.3. Especificación por extensión o enumeración. Cuando un conjunto es finito y consta de los $n$ elementos $a_{1},a_{2},\ldots a_{n}$, entonces se puede expresar por la enumeración de todos sus elementos separados por comas y encerrados entre llaves: $A=\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\}$.

Definición 2.4. Especificación por descripción. Si $P$ es una propiedad y $a$ un objeto, entonces $A=\{x|P(x)\}$ denota el conjunto de objetos que poseen la propiedad $P$ (los elementos de $A$). Otra forma de denotar los elementos de un conjunto es expresando explícitamente algunos de sus elementos y luego poniendo puntos suspensivos en los lugares apropiados, siendo que queda entendido de manera implícita el total de elementos.

Ejemplo 2.1.

1. El conjunto de todas las vocales minúsculas del alfabeto español se puede especificar por extensión como: $V=\{a,e,i,o,u\}$. Y por descripción como: $V=\{x|x$ es una vocal minúscula del alfabeto español $\}$
2. El conjunto de todos los animales de Villa Fantasía se puede determinar por enumeración así: $A=\{chango_{1},chango_{2},caballo,tigre,guacamaya\}$.
3. El conjunto de todos los números naturales se puede representar por descripción como: $\mathbb {N} =\{1,2,3,4,5,\ldots \}$, donde el símbolo $\mathbb {N}$ se utiliza exclusivamente para denotar dicho conjunto.
4. $\mathbb {N} _{0}=\{0,1,2,3,4,5,\ldots \}$
5. $\mathbb {Z} =\{\ldots ,-3,-2,-1,1,2,3,\ldots \}$
6. El conjunto de todos los números pares se puede expresar por descripción como: $P=\{n\ |$ n es múltiplo de 2 $\}$.
7. El conjunto de los números impares: $I=\{n\ :\ n\in \mathbb {Z} ,n$ no es múltiplo de 2 $\}$.
8. El conjunto de los dígitos: $D=\{0,1,2,\ldots ,9\}.$

Definición 2.5. Igualdad de conjuntos. Dos conjuntos $A$ y $B$ son iguales solo si poseen exactamente los mismos elementos, i.e. son el mismo conjunto, lo que implica que $\forall x\in A\rightarrow x\in B$ y que $\forall x\in B\rightarrow x\in A$. Lo anterior se representa como $A=B$, y se leé: "A es igual a B". En caso contrario se dice que los conjuntos $A$ y $B$ son distintos, lo que se simboliza como $A\neq B$, y se leé: A es distinto de B"; y significa que "$\exists x\in A:x\not \in B$ ó $\exists x\in B:x\not \in A$

Nota 2.1. Dos conjuntos son iguales si contienen los mismos elementos sin importar que estén ordenados de diferentes maneras en su especificación por extensión.

Ejemplo 2.2. $A=\{chango_{1},chango_{2},caballo,tigre,guacamaya\}=\{chango_{2},caballo,guacamaya,tigre,chango_{1}\}\neq \{chango_{1},chango_{2},caballo,tigre\}=\{x\ |\ x$ es un mamífero de Villa Fantasía$\}$.

Definición 2.6. Conjuntos finitos e infinitos. Un conjunto es finito cuando consta de $n$ elementos diferentes, siendo $n$ un número natural o el cero: $n\in \mathbb {N} _{0}$. En cas contrario se dice que dicho conjunto es infinito.

Definición 2.7. Subconjuntos y superconjuntos: Se dice que un conjunto $A$ es subconjunto de un conjunto $B$ si todo elemento de $A$ pertenece a $B$, o en notación matemática: $A\subset B\leftrightarrow \forall x\in A\rightarrow x\in B$ y se leé (A es subconjunto de B ó A está contenido en B); y en ese caso se dice que $B$ es superconjunto de $A$, ó $B\supset A$ (se leé: B es superconjunto de A"), donde los símbolos $\subset$ y $\supset$ son los símbolos de subconjunto y superconjunto respectivamente.

Definición 2.8. Familias o clases. A los conjuntos cuyos elementos son a su vez conjuntos los llamaremos familias o clases, lo cual se expresa como $A=\{B_{i}\},$ donde $A$ es un conjunto cuyos elementos son los conjuntos $B_{i}$.

Ejemplo 2.3. Sea el conjunto de todos los puntos del plano, cada recta del plano es a su vez un subconjunto de puntos por lo que el conjunto de todas las rectas del plano es la familia o clase de las rectas del plano en este contexto.

Definición 2.9. Conjuntos universal y vacío. En las aplicaciones particulares de la teoría de conjuntos podemos trabajar con una familia de conjuntos de la cual un conjunto sea superconjunto de todos los demás; dicho conjunto se llama conjunto universal o universo del discurso y se denota por $U$. Además, el conjunto vacío se define como el conjunto que no posee elementos, y se simboliza como $\phi \equiv \{\}$; este conjunto se considera finito y subconjunto de cualquier otro conjunto, ya que no contradice a la definición de subconjuntos. Así, para todo conjunto $A$, $\phi \subset A\subset U$.

Ejemplo 2.4.

1. El conjunto de los changos de Villa Fantasía del ejemplo 2.1 es un subconjunto del conjunto de animales de Villa Fantasía: $C=\{chango_{1},chango_{2}\}\subset A=\{chango_{1},chango_{2},caballo,tigre,guacamaya\}$. Otros conjuntos son el conjunto de mamíferos de Villa Fantasía: $M=\{chango_{1},changa_{2},tigre,caballo\}$, y el conjunto de aves de ese mismo lugar: $V=\{guacamaya\}$; siendo que en ese contexto el conjunto universal es el conjunto de los animales de Villa Fantasía: $A=\{chango_{1},changa_{2},tigre,caballo,guacamaya\}$.
2. El conjunto de todos los puntos del plano será nuestro universo, y la familia de las rectas del plano será una familia de subconjuntos de dicho universo, al igual que la familia de los triángulos.

Ejemplo 2.5. $\{\phi \}\neq \phi \equiv \{\}$, ya que $\{\phi \}$ tiene un elemento, el conjunto vacío, mientras que el conjunto vacío mismo no contiene elemento alguno.

Proposición 2.1. Todo conjunto es subconjunto de sí mismo: $A\subset A$

Demostración:

Aplicaremos las leyes de la lógica-matemática como reglas lógicas de inferencia. Por lo tanto:

1. $\forall x\in A\rightarrow x\in A$ (principio lógico de identidad)
2. $A\subset A$, donde hemos aplicado la definición 2.7 a 1. $\blacksquare$

Proposición 2.2. Definición equivalente de igualdad de conjuntos. Una vez definidos los subconjuntos podemos establecer una definición equivalente para la igualdad de conjuntos como $A=B$ solo si $A\subset B$ y $B\subset A$.

Demostración: Como la proposición implica una bicondicional ($A=B\leftrightarrow A\subset B\land B\subset A$), tenemos que demostrar primero en un sentido y después en el otro, es decir, primero demostraremos que $A=B\rightarrow A\subset B\land B\subset A$ y luego deberemos demostrar que $A\subset B\land B\subset A\rightarrow A=B$.

Primera parte: Hipótesis: $A=B$. Por demostrar: $A\subset B\land B\subset A$

Demostración:

1. Como $A=B$, tenemos debido a la proposición 2.1 que $A\subset B$ y $B\subset A$

Segunda parte: Hipótesis: $A\subset B\land B\subset A$. Por demostrar: $A=B$

Demostración:

1. Como $A\subset B$ (por hipótesis), tenemos que $\forall a\in A\rightarrow a\in B$ (debido a la definición 2.7).
2. De igual forma, como $B\subset A$, entonces $\forall a\in B\rightarrow a\in A$.
3. Por lo tanto, de 1. y 2. debido a la definición 2.5. vemos que $A=B$. $\blacksquare$

Proposición 2.3. Propiedad transitiva. Si $A\subset B$ y $B\subset C$ entonces $A\subset C$.

Ejemplo 2.6. Tomemos al conjunto de todos los animales como nuestro universo (el reino animalia en biología). Entonces el conjunto de todos los leones es un subconjunto del conjunto de todos los felinos. A su vez el conjunto de todos los felinos es un subconjunto del conjunto de todos los mamíferos. En consecuencia podemos afirmar que el conjunto de todos los leones es un subconjunto del conjunto de todos los mamíferos.

Operaciones con conjuntos.

Definición 2.10. Unión de conjuntos. La unión de dos conjuntos $A$ y $B$, denotada como $A\cup B$ es el conjunto compuesto de todos los elementos que pertenecen a $A$ ó a $B$, es decir:

$A\cup B=\{x:x\in A\ \lor \ x\in B\}$. La unión de varios conjuntos (cero, uno, dos o más), representada como $\cup _{i}A_{i}$, es el conjunto conformado por todos los elemento que pertenecen a por lo menos uno de los conjuntos $A_{i}.$

Definición 2.11. Intersección de conjuntos. La intersección de dos conjuntos $A$ y $B$ es el conjunto de todos los elementos que pertenecen simultáneamente a $A$ y a $B$:

$A\cap B=\{x:x\in A\ \land \ x\in B\}$. La intersección de varios conjuntos (cero, uno, dos o más), simbolizada como $\cap _{i}A_{i},$ es el conjunto conformado por todos los elementos que pertenecen simultáneamente a cada conjunto $A_{i}.$

Definición 2.12. Conjuntos disjuntos. Se dice que dos conjuntos $A$ y $B$ son disjuntos si no poseen elementos en común, i.e. $A\cap B=\phi$.

Definición 2.13. Diferencia de conjuntos. La diferencia de $A$ y $B$, representada como $A\setminus B$, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a $A$ y no pertenencen a $B$:

$A\setminus B=\{x:x\in A\land x\not \in B\}$.

Definición 2.14. Complemento de un conjunto. El complemento de un conjunto $A$, representado como $A^{c}$, es el conjunto conformado por todos los elementos que no pertenecen a $A$, respecto al conjunto universal:

$A^{c}=\{x:x\not \in A\}=U\setminus A$.

Ejemplo 2.7. Sea nuestro universo el conjunto de todos los animales de Villa Fantasía del ejemplo 2.1. Entonces tendremos lo siguiente:

1. Sean $M:=\{x:$ x es un mamifero$\}$ y $V=\{y:y$ es un ave$\}$, entonces $M\cup V=U$, es decir, el conjunto universal de todos los animales de Villa Fantasía. Además $M\cap V=\phi$, i.e. $M$ y $V$ son disjuntos.
2. Dados los siguientes subconjuntos de l conjunto universal de animales de Villa Fantasía: $B:=\{chango_{1},caballo,tigre\},$ $C=\{chango_{2},caballo,tigre\}$; entonces $B\cup C=\{x|x$ es un mamífero$\}$, $B\cap C=\{caballo,tigre\}$, $B\backslash C=\{chango_{1}\}$, $B^{c}=\{chango_{2},guacamaya\}$

Proposición 1.4. Leyes del álgebra de conjuntos. Los conjuntos cumplen con las siguientes leyes.

Leyes del álgebra de conjuntos
Leyes de idempotencia 1.1 $A\cup A=A$ 1.2 $A\cap A=A$
Leyes asociativas 2.1 $(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$ 2.2 $(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$
Leyes conmutativas 3.1 $A\cup B=B\cup A$ 3.2 $A\cap B=B\cap A$
Leyes distributivas 4.1 $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$ 4.2 $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$
Leyes de identidad 5.1 $A\cup \phi =A$ 5.2 $A\cap \phi =\phi$ 5.3 $A\cup U=U$ 5.4 $A\cap U=A$
Leyes de complemento 6.1 $A\cup A^{c}=U$ 6.2 $A\cap A^{c}=\phi$ 6.3 $(A^{c})^{c}=A$ 6.4 $U^{c}=\phi$ 6.5 $\phi ^{c}=U$
Leyes de De Morgan 7.1 $(A\cup B)^{c}=A^{c}\cap B^{c}$ 7.2 $(A\cap B)^{c}=A^{c}\cup B^{c}$

Demostración de las leyes conmutativas.

1. De la definición 2.10 y la ley lógica conmutativa de la disyunción, tenemos que $A\cup B=\{x:x\in A\ \lor \ x\in B\}=\{x:x\in B\ \lor \ x\in A\}=B\cup A$.
2. De la definición 2.11 y la ley lógica conmutativa de la conjunción, tenemos que $A\cap B=\{x:x\in A\ \land \ x\in B\}=\{x:x\in B\ \land \ x\in A\}=B\cap A$.$\blacksquare$

Definición 2.15. Conjuntos producto. Dados dos conjuntos A y B, el conjunto producto ó producto cartesiano de A y B, denotado como $A\times B$, se define como el conjunto de todos los pares ordenados de elementos de A y B respectivamente, es decir:

$A\times B=\{(a,b):a\in A,b\in B\}$,

donde el orden de los elementos del par sí importa, i.e. en general $(a,b)\not =(b,a)$.

Ejemplo 2.8. El plano cartesiano. Cuando $A=B=\mathbb {R}$ los pares ordenados $(a,b)\in \mathbb {R} \times \mathbb {R}$ se representan gráficamente como puntos o coordenadas en el plano cartesiano (ver Figura 1).

Definición 2.16. Conjuntos producto generalizados. El concepto de conjunto producto puede generalizarse de manera natural para cualquier número finito de conjuntos. El conjunto producto de los conjuntos $A_{1},A_{2}\ldots ,A_{n}$, representado como $A_{1}\times A_{2}\times \ldots \times A_{n}$, es el conjunto de todas las n-adas ó n-uplas de elementos de cada conjunto respectivo, i.e.

$A_{1}\times A_{2}\times \ldots \times A_{n}=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}):a_{i}\in A_{i}\ \forall i=1,\ldots ,n$.

Funciones

Definición 2.17. Función. Una función ó aplicación es una relación o regla entre dos conjuntos A y B que asocia a cada elemento del conjunto A un "único" elemento del conjunto B, y se denota por

$f:A\rightarrow B$, Si a $a\in A$ le corresponde el elemento $b\in B$, entonces podemos expresar dicha correspondencia como $b=f(a),$ donde $f(a)$ es la evaluación de $f$ en $a$, por lo que otra forma de denotar a $f$ es $a\mapsto f(a).$

Nota 2.3. De la definición 2.16 vemos que no es posible que existan dos elementos $b,c\in B$ ($b\neq c$) tales que $f(a)=b$ y $f(a)=c$, $\forall a\in A$. Por el contrario, sí es posible (está permitido) que para dos elementos $a,b\in A$ exista un mismo elemento $c\in B$ de tal manera que $f(a)=c$ y $f(b)=c$ (ver Figura 2).

Definición 2.18. Dominio y codominio. Sea $f:A\rightarrow B$ una función, al conjunto A se le llama dominio de f y al conjuto B se le llama codominio de f. Si $b=f(a),$ se dice que $b$ es el valor de $f$ en $a$ ó que $b$ es la imagen de $a$ por $f$.

Definición 2.19. Imagen o rango. La imagen o rango de $f:A\rightarrow B$, definido como $f[A]=\{f(a):a\in A\},$es el conjunto de todas las imágenes de elementos de $A$.

Nota 2.4. Debe observarse que algunos elementos de $B$ pudieran no pertenecer a $f[A]$, i.e. $f[A]\subset B$ (ver Figura 2).

Definición 2.20. Gráfica de f: De las definiciones 2.17 y 2.18 concluimos que una función $f$ se puede poner en correspondencia con un subconjunto del conjunto de todos los pares ordenados de su dominio A y de su codominio B: $(f:A\rightarrow B)\leftrightarrow \{(a,f(a)):a\in A\},$ es decir, $f$ queda perfectamente determinada por un único subconjunto de $A\times B$. Al conjunto $\{(a,f(a)):a\in A\}$se le llama gráfica de f.

Ejemplo 2.9. Función cuadrática. La función $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,\ x\mapsto f(x)=x^{2}$que asigna a cada número real su cuadrado, es decir, $y=f(x)=x^{2},$ tiene como dominio y codominio a $\mathbb {R}$, sin embargo posee como imagen o rango a los reales positivos mas el cero, es decir: $\mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}$. Además, se presenta a continuación una tabla donde se evalúa a $f$ en algunos valores y se muestra su gráfica (ver Figura 3).

$x$	-2.5	-2	-1	0	1	2	2.5
$f(x)$	6.25	4	1	0	1	4	6.25

Definición 2.21. Igualdad de funciones. Dos funciones $f,g:A\rightarrow B$ son iguales, lo que se expresa como $f=g$, si $f(a)=g(a),\forall a\in A;$ en caso contrario se dice que $f$ y $g$ son distintas, es decir si $\exists a\in A\ t.q.\ f(a)\neq f(b),$ lo cual se representa como $f\neq g$ (ver figura 4).

Definición 2.22. Función constante. Una función $f:A\rightarrow B$ es constante si para algún $b_{0}$ fijo, $b_{0}\in B$, se tiene que$f(a)=b_{0},\forall a\in A.$

Ejemplo 2.10. Función constante. La función de variable real $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,$ definida como $x\mapsto f(x)=1,$es una función constante (ver Figura 5).

Definición 2.23. Función composición. Dadas dos funciones $f:A\rightarrow B,\ g:B\rightarrow C,$ una función $h:A\rightarrow C$ se llamará función composición de $f$ y $g$ (en ese orden), lo cual se denota como $g\circ f$, si $\forall a\in A,h(a)=(g\circ f)(a):=g(f(a))$(ver Figura 6).

Definición 2.24. Restricción y prolongación de $f$. Sean $f:A\rightarrow B$ y $C\subset A$. La restricción de $f$ a $C,$ simbolizada como $f|_{C}$, es la función definida como $f|_{C}:(C\subset A)\rightarrow B,$ i.e. el dominio de $f|_{C}$ queda restringido al subconjunto $C$ de $A.$ De igual forma, dada una función $g:C\rightarrow B$, si definimos alguna $f:A\rightarrow B$, con $A\supset C$, tal que $f|_{C}=g,$ entonces se dice que $f$ es una prolongación de $g.$

Nota 2.5. Dada la función composición $h=g\circ f,$ con $f:A\rightarrow B$ y $g:B\rightarrow C,$ en general el dominio de $g$ se restringe a un subconjunto $D\subset B$ dado por la imagen de $f;$ es decir $f[A]=D\subset B$ será el dominio restringido de $g$ (ver Figura 6).

Definición 2.25. Función inyectiva. Una función $f:A\rightarrow B$ es inyectiva si a elementos distintos del dominio les corresponden imágenes distintas i.e. $f(a)=f(b)$ implica que $a=b$. También se dice que es una función 1-1 (uo a uno) (ver Figura 7).

Definición 2.26. Función sobreyectiva. Una función $f:A\rightarrow B$ es sobreyectiva si para todo elemento $b$ del codominio existe un elemento $a$ del dominio cuya imagen es $b$, es decir, si $\forall b\in B\ \exists a\in A\ t.q.f(a)=b$ (ver Figura 8)

Definición 2.27. Función biyectiva. Una función $f:A\rightarrow B$ es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva, lo que significa que a todo elemento del dominio le corresponde un único elemento del codominio y viceversa, o lo que es lo mismo, $f$ define una relación biunívoca entre $A$ y $B$ (ver Figura 9).

Definición 2.28. Función inversa. Sea $f:A\rightarrow B$ una función biyectiva, y sea $g:B\rightarrow A$ otra función biyectiva, tal que $\forall b\in B,\ g(b)=a\in A\ t.q.f(a)=b,$entonces $g$ se define como la función inversa de $f$ y se denota por $g:=f^{-1}$ (ver figura 10).

Definición 2.29. Función idéntica. Dada una función $f:A\rightarrow A$, tal que la imagen de un elemento es él mismo, i.e. $\forall a\in A\ f(a)=a$, dicha función se llama función identidad o función idéntica y se denota como $f:=1_{A}.$

Proposición 2.5. Dadas $f:A\rightarrow B$ y $f^{-1}:B\rightarrow A,$entonces $f^{-1}\circ f=1_{A}$ y $f\circ f^{-1}=1_{B}$ (ver Figura 11).

Proposición 2.6. Sean $f:A\rightarrow B,\ 1_{A}:A\rightarrow A$ y $1_{B}:B\rightarrow B,$entonces se cumple que $f\circ 1_{A}=f$ y $1_{B}\circ f=f$.

Definición. 2.30. Conjuntos equipotentes. Se dice que dos conjuntos $A$ y $B$ son coordinables o equipotentes si existe una función biyectiva o relación biunívoca entre ellos, es decir, que a cada elemento del conjunto $A$ le corresponde un único elemento del conjunto $B$ y viceversa (ver Figura 12).

Definición 2.31. Función de dos variables. Una función $f$ de dos variables, es una regla que asocia a cada par ordenado $(a,b),a\in A,b\in B,$uno y solamente un elemento $c\in C.$ El conjunto $A\times B$ es el dominio de $f$ y $C$ es el codominio de $f$. Además expresamos dicha función como $f:A\times B\rightarrow C.$

Definición 2.32. Función multivariable. De manera análoga, definimos en general a una función multivariable $f:A_{1}\times A_{2}\times \ldots \times A_{n}\rightarrow B$ como una regla que asocia a cada $n$-ada ordenada $(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}),a_{1}\in A_{1},a_{2}\in A_{2},\ldots ,a_{n}\in A_{n},$uno y solamente un elemento $b\in B.$ El conjunto $A_{1}\times A_{2}\times \ldots \times A_{n}$ es el dominio de $f$ y $C$ su codominio.

Definición 2.33. Gráfica de una función multivariable. Aplicando la definición 2.20 a una función multivariable $f:A_{1}\times A_{2}\times \ldots \times A_{n}\rightarrow B$, cuyo dominio es $D=A_{1}\times A_{2}\times \ldots \times A_{n},$tendremos que su gráfica ha de ser el conjunto $\{(a,f(a)):a\in D\},$es decir, la n+1-eada o n+1-upla$\{(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},f(a)):a_{1}\in A_{1},a_{2}\in A_{2},\ldots ,a_{n}\in A_{n}\}.$

Particiones y clases

Definición 2.31. Partición de un conjunto. Una familia no vacía $\{B_{i}\}$ de subconjuntos de un conjunto $A$, forma una partición de $A$ si

1. La unión de todos los subconjuntos $B_{i}$ es el conjunto $A$, Lo cual, en símbolos matemáticos se expresa como $\cup _{i}B_{i}=A.$
2. Todos los conjuntos $B_{i}$ son mutuamente disjuntos, i.e. $B_{m}\cap B_{n}=\phi ,\forall B_{m},B_{n}\in \{B_{i}\}$(ver figura 13).

Definición 2.32. Clases de equivalencia. Dada una partición $\{B_{i}\}$ de un conjunto $A$, a los elementos $B_{n}\in \{B_{i}\}$ se les llama clases de equivalencia.

Definición 2.33. Representantes de clase. Sea $A$ un conjunto, $\{B_{i}\}$ una partición de $A$, y $B_{n}\in \{B_{i}\}$ un elemento de la partición. Dado un elemento $b_{n}\in B_{n},$ se dice que $b_{n}$ es un representante de la clase de equivalencia $B_{n},$ además podemos denotar a dicha clase mediante un representante a través de la expresión $[b_{n}]=B_{n}.$

Estructuras algebraicas.

Artículo principal: Álgebra Abstracta/Estructuras Algebraicas

Definición 3.1. Operación binaria. Dado un conjunto $A$, una operación binaria $*$ sobre $A$ es una función de dos variables $*:A\times A\rightarrow A,$ expresada como $*(a,b):=a*b=c\in A,\forall a,b\in A.$

Definición 3.2. Cerradura. Una operación binaria es cerrada, lo cual significa que $\forall a,b\in A\rightarrow a*b=c\in A,$ es decir, que la aplicación de la operación sobre dos elementos cualesquiera de $A$ siempre nos dará otro elemento de $A,$ i.e. la operación siempre está definida en $A$ para cualesquiera dos elementos dados en $A$.

Ejemplo 3.1. Sea $\mathbb {N} =\{1,2,3,4,5,\ldots \}$ el conjunto de los números naturales, la operación de adición "$+$" es una operación binaria y por ende cumple con la propiedad de cerradura (la suma de dos números naturales siempre nos resulta en otro número natural), por ejemplo: $1+2=3.$

Ejemplo 3.2. Sea $\mathbb {N}$ dotado con la operación de sustracción "$-$", dicha operación no es cerrada, pues por ejemplo $1-2$ no está definido en $\mathbb {N}$, ya que $1-2=-1\notin \mathbb {N} .$

Definición 3.3. Estructura algebraica. Una estructura algebraica es un par ordenado $(A,*,\circ ,\star ,\ldots ),$ siendo $A$ un conjunto y $(*,\circ ,\star )$ un conjunto ordenado de operaciones binarias definidas sobre $A$ que cumplen con una lista de propiedades. La cantidad de operaciones binarias así como las propiedades particulares que se cumplan determinará el tipo de estructura algebraica.

Definición 3.4. Grupo. Un ejemplo de estructura algebraica es el grupo , el cual se define como el par $(G,*),$ donde $G$ es un conjunto y $*$ una operación binaria definida en $G$ que cumple con las siguientes propiedades:

1. Asociatividad: $\forall a,b,c\in G,(a*b)*c=a*(b*c)$i.e. podemos escribir simplemente $a*b*c$, omitiendo el uso de paréntesis innecesarios.
2. Existencia del elemento neutro: $\exists e\in G\ t.q.\forall a\in G,\ a+e=e+a=a.$ Al elemento $e$ se le llama elemento neutro o elemento identidad.
3. Existencia del elemento inverso: $\forall a\in G\ \exists b\in G,t.q.a*b=b*a=e.$ El elemento inverso se suele representar como $a^{-1}.$

Definición 3.5. Grupo abeliano. Un grupo abeliano o grupo conmutativo es un grupo que también cumple con la siguiente propiedad:

• Conmutatividad: $\forall a,b\in G,a*b=b*a.$

Ejemplo 3.3. La estructura algebraica $(\mathbb {N} ,+)$ no es un grupo, pues aunque en $\mathbb {N}$ sí se cumple la propiedad 1. de los grupos así como la conmutatividad, ahí no existen ni el elemento identidad ni el elemento inverso de ningún número natural.

Ejemplo 3.4. La estructura algebraica $(\mathbb {Z} ,+)$, donde $\mathbb {Z} =\{\ldots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots \}$ es el conjunto de los números enteros, y $+$ es la operación de adición usual, es un grupo abeliano, ya que la operación es cerrada, por ejemplo $-2+1=-1\in \mathbb {Z}$, y además:

1. $\forall l,m,n\in \mathbb {Z} ,(l+m)+n=l+(m+n)=l+m+n$ (asociatividad).
2. $\exists 0\in \mathbb {Z} \ t.q.\forall m\in \mathbb {Z} ,0+m=m+0=m.$Por ejemplo, $3+0=0+3=3$ (elemento identidad).
3. $\forall m\in \mathbb {Z} \ \exists -m\in \mathbb {Z} ,t.q.m+-m=-m+m=0.$Por ejemplo, $-2+2=2+-2=0$ (elemento inverso).
4. $\forall m,n\in \mathbb {Z} ,m+n=n+m$ (conmutatividad).

Ejemplo 3.5. La estructura algebraica $(\mathbb {Z} ,*)$, donde $*$ se define de la siguiente forma: $m*n=2+(m+n),$ siendo la operación "$+$" la operación binaria de adición usual, es evidentemente cerrada para $*$; además:

1. Asociatividad:$\forall l,m,n\in \mathbb {Z} ,(l*m)*n=2+(2+l+m)+n=2+2+l+m+n=2+l+2+m+n=2+l+(2+m+n)=l*(m*n),$donde hemos usado las propiedades asociativa y conmutativa de la operación adición "$+$".
2. Elemento identidad:$\exists -2\in \mathbb {Z} \ t.q.\forall m\in \mathbb {Z} ,-2*m=2+(-2+m)=(2+-2)+m=m=2+-2+m=2+m+-2=2+(m+-2)=m*(-2),$donde utilizamos nuevamente las propiedades asociativa y conmutativa de la adición.
3. Elemento inverso:$\forall m\in \mathbb {Z} \ \exists -(m+4)\in \mathbb {Z} ,t.q.m*[-(m+4)]=2+m+-(m+4)=2+m+-m+-4=2+(m+-m)+-4=2+-4=-2,$donde una vez más se han utilizado las propiedades asociativa y conmutativa, además de la existencia del elemento inverso en $\mathbb {Z}$, así como la propiedad $-(m+n)=-m+-n,$la cual se demostrará más adelante (siendo en este caso $n=4$). Solo falta demostrar la otra igualdad, es decir, que $-(m+4)*m=-2,$ lo cual se deja como ejercicio en la sección de problemas.
4. Conmutatividad:$\forall m,n\in \mathbb {Z} ,m*n=2+(m+n)=2+(n+m)=n*m,$en donde otra vez hemos utilizado la propiedad conmutativa.

Por lo tanto, al ser "$*$" cerrada y cumplirse las cuatro propiedades anteriores, vemos que la estructura $(\mathbb {Z} ,*)$ de hecho es un grupo abeliano.

Definición 3.6. Campo. Un campo (o cuerpo) es una terna $(F,+,\cdot )$, donde $F$ es un conjunto y, $+$ y $\cdot$ son dos operaciones binarias abstractas sobre $F$ llamadas adición y multiplicación, respectivamente, que cumplen con las siguientes propiedades (además de las obvias cerraduras):

• Para la adición: $(F,+)$ es un grupo abeliano, es decir, se cumplen las propiedades siguientes:

1. Asociatividad aditiva: $\forall a,b,c\in F,\ (a+b)+c=a+(b+c)=a+b+c,$pues al haber asociatividad los paréntesis son redundantes y por ello se pueden omitir.
2. Existencia del elemento identidad o neutro aditivo: $\forall a\in F\ \exists e\in F,$ t.q. $a+e=e+a=a$
3. Existencia del elemento inverso aditivo: $\forall a\in F\ \exists -a\in F,$t.q. $a+-a=-a+a=e,$ donde al inverso aditivo de $a$ lo hemos representado como $-a.$
4. Conmutatividad aditiva: $\forall a,b\in F\ a+b=b+a.$

• Para la multiplicación: $(F,\cdot )$ es también un grupo abeliano, es decir, tendremos las siguientes propiedades:

1. Asociatividad.
2. Existencia del elemento identidad o neutro
3. Existencia del elemento inverso.
4. Conmutatividad.

• Además, para las operaciones $+$ y $\cdot$ combinadas tendremos una propiedad más: $(F,+,\cdot )$ satisface la propiedad distributiva:

1. $\forall a,b,c\in F,\ a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ (distributividad por izquierda) y $(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a$ (distributividad por derecha).

Ejemplo 3.6. Dado el conjunto de los números racionales $\mathbb {Q} :=\{{\frac {m}{n}}:m,n\in \mathbb {Z} \},$i.e. el conjunto de los quebrados o fracciones, tenemos que la triupla $(\mathbb {Q} ,+,*),$con la adición y multiplicación usuales, es un campo, ya que verifica todas las propiedades de la definición anterior.

4. Conjuntos ordenados

Definición 4.1. Orden. Dado un conjunto $A,$un orden en $A$es una relación o regla entre cada dos elementos de dicho conjunto, representado por $<,$tal que posee las siguientes dos propiedades

1. Si $x,y\in A$una y solo una de las siguientes proposiciones es cierta: $x<y,x=y$ó $y<x$(ley de tricotomía).
2. Si $x<y$ y $y<z,$entonces $x<z$(propiedad transitiva).

La expresión $x<y$ se lee "x es menor que y" o "x precede a y".

Cuando $x<y$ también puede escribirse $y>x.$ Además, la expresión $x\leq y$ significa que $x<y$ ó $x=y$ (pero no ambos). De lo anterior se establece que $x\geq y\rightarrow y\leq x\rightarrow x>y$ ó $x=y.$

Definición 4.2. Conjunto ordenado. Un conjunto ordenado es aquel en el que se ha definido un orden.

Ejemplo 4.1. Sea $\mathbb {Z} :=\{1,2,3,\ldots \},$dicho conjunto es ordenado, donde el orden se puede definir como $m<n$ si $n-m\in \mathbb {N} :=\{1,2,3,\ldots \}.$

Definición 4.2. Campo ordenado. Un campo ordenado es un campo $F$ que también es un conjunto ordenado y donde además se cumplen las siguientes dos propiedades:

1. $x+y<x+z,\ \forall x,y,z\in F$ y $y<z$
2. $x*y>0\ \forall x,y\in F$ y $x>0,\ y>0.$

Figura 1. Plano Cartesiano

Construcción de los conjuntos de números y sus propiedades.

Construcción de los conjuntos numéricos. (Capítulo en construcción)

Definición 5.1. Sucesión fundamental de conjuntos. La sucesión de conjuntos finitos: $\{\},\{a\},\{a,b\},\{a,b,c\},\{a,b,c,d\},\ldots$, en la cual comenzamos con el conjunto vacío y cada conjunto posterior al conjunto vacío tiene un elemento más que el inmediatamente anterior, representa la sucesión fundamental de los conjuntos finitos . Es claro que en esta sucesión no existen dos conjuntos distintos que sean equipotentes, por lo que dado un conjunto finito cualquiera, éste es coordinable con uno y solo un conjunto de la sucesión.

Definición 5.2. Construcción de los números naturales. El conjuto vacío es equipotente consigo mismo. Además, todo conjunto de un elemento ha de ser equipotente con el segundo elemento de la sucesión. De la misma forma todo conjunto de dos elementos es equipotente con el tercer elemento de la sucesión. Y así sucesivamente. Por lo tanto, los conceptos abstractos de uno, dos, tres, ..., representan la propiedad común a todos los conjuntos coordinables con algún elemento de la sucesión fundamental (a partir de su segundo elemento) y por lo tanto coordinables entre sí. Así pues, un número natural es un concepto abstracto que representa cierta propiedad común a todos los conjuntos coordinables entre sí y que no son el conjunto vacío. A los números naturales los denotamos como $\mathbb {N} :=\{1,2,3,4,5,\ldots \},$ donde el elemento $i$-ésimo representa a todos los conjuntos equipotentes con el elemento $(i+1)$-ésimo de la sucesión, es decir, los números naturales son una medida de la cantidad de elementos de un conjunto finito dado, al compararlo con su respectivo conjunto equipotente de la sucesión fundamental. También podemos definir una extensión de los números naturales, dada por $\mathbb {N} _{0}:=\{0,1,2,3,4,5,\ldots \}=\mathbb {N} \cup \{0\},$donde el número cero, simbolizado como $0$, representa al conjunto vacío, i.e. es una medida del conjunto sin elemetos, una medida de la "nada".

Axioma 5.1. Propiedades de los números naturales bajo la adición. El conjunto de los naturales mas el número cero: $\mathbb {N} _{0}\equiv \mathbb {N} \cup \{0\}=\{0,1,2,3,4,5,\ldots ,\}$ dotado de la operación binaria de la adición se representa como el par ordenado $(\mathbb {N} _{0},+)$ y poseé las siguientes propiedades:

1. Asociatividad: $\forall m,n,p\in \mathbb {N} _{0}$ se tiene que $(m+n)+p=m+(n+p)$.
2. Conmutatividad: $\forall m,n\in \mathbb {N} _{0}$ resulta que $m+n=n+m$ (el orden de los sumandos no altera la suma).
3. Existencia del elemento neutro o identidad (bajo la adición): $\forall m\in \mathbb {N} _{0}\ \exists \ 0\in \mathbb {N} _{0}:m+0=0+m=m$.

Definición 5.3. Cardinalidad de conjuntos. La cardinalidad de un conjunto $A$ es la cantidad de elementos que contiene dicho conjunto, donde, si es un conjunto finito, se define formalmente como el número perteneciente a $\mathbb {N} _{0}$ que asociamos con el elemento de la sucesión fundamental que es coordinable con dicho conjunto $A$; y se simboliza como #$A$. Así pues, si $A$ es finito y posee $n$ elementos (con $n\in \mathbb {N} _{0}$), entonces #$A=n$, y si $A$ posee infinitos elementos, lo que significa que no es coordinable con ningún elemento de la sucesión fundamental, entonces se dice que #$A$ es infinita.

Ejemplo 5.1.

1. El conjunto de animales de Villa Fantasía del ejemplo 2.1 es finito y consta $5$ animales: #$A=5$.
2. El conjunto de todos los leones de Villa Fantasía ($L$) es vacío, ya que en Villa Fantasía no tiene leones: $L=\{\}:=\phi \rightarrow$#$L=0$.
3. La cardinalidad del conjunto de los números naturales es infinita: #$\mathbb {N}$ es infinita.

Definición 5.4. Construcción de los números enteros. En el axioma 5.1 vimos que los números naturales cumplen con tres propiedades bajo la suma, sin embargo no cuenta con números inversos. Así, si queremos efectuar la sustracción de dos números del conjunto $\mathbb {N} _{0},$ $m-n,$donde $n>m,$dicha resta no está definida en el conjunto $\mathbb {N} _{0},$