Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos/Abiertos y Cerrados

Introducción

Este capítulo estará dedicado completamente a la topología de los subconjuntos de un espacio métrico. Veremos como formalizar algunas de las principales nociones asociadas a “proximidad” entre puntos (o entre conjuntos, o entre puntos y conjuntos).

Cuando pensamos en una figura plana, podemos intuitivamente considerar puntos que están ya sea dentro de la figura, en el borde de la figura, o en el exterior de la figura. Aquí formalizaremos esas nociones. Introduciremos el cómodo lenguaje de vecindades y clasificaremos a los puntos por la cantidad de vecinos en un vecindario próximo.

Los lectores deberán seguir cuidadosamente las argumentaciones de las demostraciones y ejemplos, porque son básicas en el razonamiento topológico. Una mayoría de las demostraciones se basan en propiedades de conjuntos y sus operaciones, por lo que resultará conveniente echar un vistazo a las sección A.1 del apéndice A, donde se resumen las propiedades de las operaciones. También, usaremos propiedades de familias de conjuntos que aparecen en la sección B.5 del apéndice B.

En los ejemplos, proposiciones, etc. sugerimos hacer un dibujo de la situación. Un dibujo apropiado puede ayudar a la intuición y guiar en la formalización de la misma.

Los Conjuntos Abiertos

La primera noción que estudiaremos, conjunto abierto, representa la formalización de la intuición de puntos próximos o cercanos.

Definición. (Conjunto Abierto) Sea E un espacio métrico. Decimos que un subconjunto A de E es abierto, si y solo si, para cada punto x de A podemos hallar un número real r > 0 tal que la bola abierta de centro x y radio r está contenida en A.

(☩) Informalmente, un conjunto es abierto cuando contiene todos los vecinos suficientemente próximos a cada uno de sus puntos

Ejemplo 5.2.1. El semiplano H = {(x, y) ∈ R² : y > 0} es un conjunto abierto.

Resolución. Sea p = (x₀, y₀) un punto cualquiera del semiplano H. Debemos probar que hay un disco abierto con centro en p totalmente contenido en H. Sea r = y₀/2 y B = B_r(p). Entonces, para todo (x, y) en B, se tiene que

|y − y₀|² ≤ |x − x₀|² + |y − y₀0|²,

de donde

|y − y₀] ≤ p|x − x₀|² + |y − y₀|² = d((x, y), p) < r.

Como |y − y₀| < r es equivalente a y₀ − r < y < y₀ + r y y₀ − r = y₀ − y₀/2 = y₀/2 > 0, tenemos que (x, y) está en H. Lo que prueba que H es un abierto.

Proposición 5.2.1.
En cualquier espacio métrico, las bolas abiertas son conjuntos abiertos..

Demostración.

Sea B la bola abierta con centro a y radio r y sea x un punto cualquiera de B. Sea ρ = r − d(x, a) y sea V = B_ρ(x). Entonces, para todo z en V tenemos que

d(z, a) ≤ d(z, x) + d(x, a) < ρ + d(x, a) = r − d(x, a) + d(x, a) = r.

Lo que prueba que V está contenido en B; o sea que x es un punto interior de B.

Ejemplo 5.2.2. Sigue de la proposición que los intervalos abiertos acotados de la línea real son abiertos, ya que son bolas abiertas.

Introduciremos dos nociones auxiliares: vecindad y punto interior. Tales nociones nos ayudarán a expresar más significativamente algunas propiedades.

Definición. (Vecindad) Sea E un espacio métrico y sea A un subconjunto de E. Llamamos vecindad de A a cualquier conjunto V que contenga a un abierto que contiene a A. Cuando A = {p}, decimos que V es una vecindad de p.

Una vecindad abierta es una vecindad que como subconjunto del espacio es un conjunto abierto.

Definición. (Punto Interior) Sea E un espacio métrico y sea A un subconjunto de E. Decimos que un punto p es un punto interior de A, ssi, A es una veceidad de p; o sea, cuando haya un abierto U que contenga a p y que esté contenido en A.

Sigue de lo anterior que cada conjunto abierto, en particular, una bola abierta, es una vecindad abierta de cada uno de sus puntos y que, por lo tanto, cada uno de sus puntos es interior.

Vecindad es una noción auxiliar que simplifica la expresión, ya que decir “vecindad de p” es más simple que decir “un conjunto que contiene a un abierto que contiene a p” y nos da, además, la idea de proximidad o cercanía.

Algunas veces, por simplicidad de la expresión, hablaremos de una r–vecindad de un punto para referirnos a una vecindad que es una bola abierta de radio r con centro en el punto.

¿Cuándo no es abierto un conjunto A? Cuando haya, al menos, un punto p del conjunto tal que todas las bolas abiertas con centro en el punto p, contienen al menos un punto que no está en A. Es decir que cada bola abierta con centro en p interseca en forma no vacía al complemento de A.

Sigue de la observación anterior que cuando no hay tal punto, el conjunto es abierto. Un conjunto, en particular que no tiene ese tipo de puntos es el conjunto vacío, es decir que:

El conjunto vacío es un conjunto abierto.

Propiedades de Vecindades y Conjuntos Abiertos

Veremos algunas de las propiedades de los conjuntos abiertos y dejaremos como ejercicios las propiedades análogas para las vecindades (que se deducen casi en forma inmediata de las propiedades de los abiertos.

Supongamos que A y B fueran abiertos en un espacio métrico. ¿Que podríamos decir de A ∪ B? Supongamos que p fuera un punto de la reunión que, por definición de reunión, estaría tanto en A como en B. Si estuviera en A, habría una r–vecindad V de p totalmente contenida en A. Como V ⊂ A implica que V ⊂ A∪B, concluiríamos que A ∪ B es abierto. Un razonamiento análogo funciona para p en B. Revisando el argumento, vemos que si consideramos la reunión de más de dos abiertos, el mismo argumento es válido, inclusive para la reunión de una familia cualquiera de abiertos.

Sea (A_i), i ∈ I, una familia de abiertos y sea A = $\cup$ {A_i: i∈I}. Probaremos que A es abierto, razonando como arriba. Sea p un punto de A. Entonces (paso clave) hay al menos un i en I tal que p ∈ A_i. Como A_i es abierto, hay una r–vecindad V de p totalmente contenida en A_i. Luego, como V ⊂ A_i ⊂ A, concluimos que A es abierto.

¿Qué pasa con A ∩ B cuando A y B son abiertos? Primeramente, observemos que si la intersección es vacía, entonces se trata de un conjunto abierto. Supongamos que los conjuntos no fueran disjuntos y que p fuera un punto de la intersección. Como A es abierto, hay una r₁–vecindad de p totalmente contenida en A; análogamente, hay una r₂–vecindad de p totalmente contenida en B. Sea r el menor valor entre r₁ y r₂ y sea V = B_r(p), como r ≤ r_i, i = 1, 2, V ⊂ B(p;r₁) ⊂ A y V ⊂ B(p;r₂) ⊂ B. Como V está contenida tanto en A como en B, está contenida en A ∩ B, lo que prueba que dicho conjunto es abierto.

El argumento anterior se puede extender a una familia finita de abiertos, razonando por inducción (ver más abajo la demostración). Sin embargo, el argumento no vale necesariamente para familias infinitas, ya que puede que no haya valor mínimo de los radios y que el ínfimo de los mismos sea 0.

Ejemplo 5.2.3.
Consideremos la familia de abiertos (A_n), A_n =] - 1/n, 1/n[, donde n es un natural positivo.

Veremos que A = ∩{A_n : n∈N } = {0}, que es un conjunto que será, claramente, un conjunto que no es abierto ya que cualquier vecindad abierta con centro en 0 contiene números diferentes de 0.

Veamos una demostración formal de lo anterior. Suponer que hubiera un número real x que perteneciera a A. Sin perdida de generalidad, por la simetría de la situación, podemos suponer que x > 0. Por el principio arquimediano, siempre podremos hallar un n tal que 1/n < x. Pero esto implica que x no está en ]−1/n, 1/n[, por lo que no puede estar en A (que consiste de los elementos comunes a todos los A_n). Luego A = {0}. Resumimos las consideraciones anteriores en la siguiente importante proposición.

Proposición 5.2.2 (Propiedades de los Abiertos). Sea E un espacio métrico.

El conjunto vacío y todo el espacio E son abiertos.
La reunión de una familia cualquiera de abiertos es un abierto.
La intersección de una familia finita de abiertos es un abierto.

Demostración.

Trivialmente cada punto de E es interior a E. El resultado sobre el conjunto vacío sigue de una observación anterior
Probado arriba.
Sea A = A₁ ∩ A₂ ∩· · ·∩ A_n. Probaremos que A es abierto por inducción sobre n. Cuando n = 2 el resultado sigue de lo hecho arriba. Supongamos que la intersección de k conjuntos abiertos, k ≥ 2, fuera abierto. Consideremos la intersección de k + 1 abiertos
A = A₁ ∩ A₂ ∩ · · · ∩ A_k ∩ A_k+1 = (A₁ ∩ A_{2</> ∩ · · · ∩ A_k) ∩ A_k+1.}

Por la hipótesis de inducción, la intersección de los k primeros es un conjunto abierto cuya intersección con otro abierto es un abierto, por lo hecho arriba. Por inducción se tiene el resultado.

Proposición 5.2.3 (Propiedades de las Vecindades).
Sea A un subconjunto de un espacio métrico E. Entonces,

El espacio E es una vecindad de A.
La intersección de dos vecindades de A es una vecindad de A.
La reunión de una familia cualquiera de vecindades de A es una vecindad de A.
Cualquier conjunto que contiene a una vecindad de A es una vecindad de A.

Demostración.

W_{1}

W_{2}

A

U_{1}

U_{2}

A\subset U_{i}\subset W_{i}

i=1,2

A\subset U_{1}\cap U_{2}\subset W_{1}\cap W_{2}

Ejemplo 5.2.4. El intervalo abierto I =]a,+∞[ es un conjunto abierto en R, ya que es una reunión de abiertos.

]a,+∞[ = ∪ {]a, a + n[ : n∈ N⁺}

Sea x un número cualquiera que sea mayor que a. Entonces, x − a es positivo y hay, por lo tanto, un natural n mayor que x−a (PropiedadAarquimediana). Como x − a < n implica que x < a + n, tenemos que x está en ]a, a + n[ y, por lo tanto, en la reunión indicada. Esto prueba que el intervalo está contenido en la reunión de los ]a, a + n[’s. La inclusión inversa es trivial; de donde la igualdad.

Ejemplo 5.2.5.
El intervalo (semiabierto) A = [0, 1[ no es abierto.

Consideremos al punto 0 de A. Cualquier bola abierta con centro en 0 contiene números negativos que no están, por lo tanto, en A; por lo que 0 no es un punto interior de A, lo que implica que A no puede ser abierto.

Proposición 5.2.4.
Sea E un espacio métrico. Cualquier conjunto abierto A es igual a una reunión de bolas abiertas.

Demostración.

Base de los Abiertos. Cuando una familia de abiertos tiene la propiedad que cualquier abierto es una reunión de abiertos de la familia, se dice que familia es una base para los abiertos. El resultado de la proposición anterior expresa que las bolas abiertas son una base para los abiertos del espacio.

Ejemplo 5.2.6. Sea E un espacio métrico discreto con métrica 0–1. Entonces, para cada x de E, la (1/2)-vecindad de x contiene solamente a x. Por lo que deducimos que cada conjunto con un único punto es abierto. Como cualquier subconjunto de E es una reunión de conjuntos con un único elemento, concluimos que cada subconjunto de E es un abierto.

La siguiente proposición muestra un resultado casi trivial, pero muy importante más adelante.

Proposición 5.2.6 (Propiedad de Hausdorff).

Sean x, y puntos diferentes de un espacio métrico. Hay abiertos U y V tales que (i) x ∈ U, (ii) y ∈ V, y (iii) U ∩ V = ∅. (Decimos que dos puntos diferentes están separados por abiertos disjuntos.)

Demostración.

_r

3r = d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, x) < r + r = 2r.

Lo que es imposible, luego los conjuntos son disjuntos.

Los Abiertos en Rⁿ

Sabemos, del capítulo anterior, que hay varias métricas posibles en Rⁿ. Veremos, relaciones entre algunas de esas métricas. Como siempre, cuando no especificamos la métrica es porque se trata de la métrica euclidiana.

Ejemplo 5.2.7. Llamamos celda o caja abierta de R² a un conjunto de la forma ]a, b[×]c, d[. Probaremos que dicha celda abierta es un conjunto abierto.

Resolución. Sea C la celda indicada. Sea (x₀, y₀) en C. Observemos que a < x₀ < b y c < y₀ < d. Sea r = mín{x₀ − a, b − x₀, y₀ − c, d − y₀}. Luego, r ≤ x₀ −a ≤ ⇒ a ≤ x₀−r. Análogamente, tenemos que x₀ +r ≤ b, c ≤ y₀−r y y₀ + r < d. Sea B = B((x₀, y₀); r), y sea (x, y) un punto de B. Se tiene entonces que |x − x₀| ≤ d((x, y), (x₀, y₀)) < r. De donde, r < x − x₀ < r, o sea que x₀ − r < x < x₀ + r. Por las observaciones anteriores tenemos que a ≤ x₀ − r < x < x₀ + r ≤ b. Análogamente se verifica que c ≤ y₀ − r < y < y₀ + r ≤ d. Lo que prueba que (x, y) está en C. Por lo que B ⊂ C, o sea que C es abierto.

Ejemplo 5.2.8. Probaremos que los conjuntos abiertos respecto a la métrica--máxima son abiertos respecto a la métrica euclídea.

Sea C(p;r) la celda ]x_p − r, x_p + r[ × ]y_p − r, y_p + r[, donde

(x_p, y_p ) = p. De acuerdo al ejemplo anterior, dicha celda es un abierto de R² respecto a la métrica euclídea.

Lo que implica que cualquier bola abierta respecto a la métrica--máxima, es un abierto respecto a la métrica euclidiana.

Sea $U_{\text{max}}$ un abierto respecto a la distancia máxima. Por definición de abierto, esto quiere decir que para cada punto $p$ en $U_{\text{max}}$ , hay una celda $C(p,r)$ contenida en $U_{\text{max}}$ . Como $C(p;r)$ contiene a $B(p;r)$ , concluimos que $U_{\max }$ es un abierto euclídeo. Resumiendo,

Proposición 5.2.6. Cada abierto respecto a la métrica máxima es un abierto respecto a la métrica euclídea.

Observación 5.1. El resultado del ejemplo anterior no es trivial, ya que puede haber conjuntos con diferentes métricas y que los abiertos respecto a una de las métricas no sean necesariamente abiertos respecto a la otra métrica. Por ejemplo, con respecto a la métrica discreta cualquier subconjunto de los Reales es abierto, lo que no pasa con respecto a la métrica usual de los Reales. El resultado de ejemplo también sugiere investigar el converso, ¿son los abiertos euclidianos abiertos respecto a la métrica máxima?

Ejercicios 5.2

Decidir la validez o falsedad de cada uno de los siguientes enunciados. Explicar su respuesta.
1. 1/2 es un punto interior del intervalo abierto ]0,1[.
2. 1/2 es un punto interior del intervalo cerrado [0,1].
3. El intervalo cerrado [0,1] es una vecindad de 1/2.
4. El intervalo [0,1] es abierto.
¿Cuáles de los conjuntos siguientes son conjuntos abiertos en la línea real?
1. El intervalo semiabierto ]a, b].
2. El intervalo ]a,+∞[.
3. El intervalo [a,+∞].
4. {t ∈ R : t ≠ 0}.
5. El complemento del conjunto ]a, b[.
6. El complemento del conjunto [a, b].
7. El complemento de los Naturales.
8. El complemento de los Enteros.
9. El complemento de los Racionales.
¿Cuáles de los siguientes conjuntos son conjuntos abiertos en R² ?
1. A = {(x, y) ∈ R² : y < 2}.
2. B = {(x, y) ∈ R² : 2 < x < 5}.
3. C = {(x, y) ∈ R² : y = 5}.
Probar que R² \ {(0, 0)} es abierto.
Probar que el conjunto {(x, y) ∈ R² : x + y < 1} es abierto en R².
(♠) Probar que el conjunto {t ∈ R : sen(t) > 0} es abierto.
Un conjunto es acotado, ssi, hay una bola abierta que lo contiene.
El subconjunto de un conjunto formado por todos sus puntos interiores es un conjunto abierto.
Cuando en un conjunto todos los puntos son interiores, el conjunto es abierto
Probar que cuando V es una vecindad cualquiera de un punto p, hay una r–vecindad de p, contenida en V.
(Propiedad de Separación de Hausdorff) Sean x, y puntos diferentes de un espacio métrico. Probar que hay vecindades V, W de x y y, respectivamente, que son disjuntas.
Sea f : E → E′ una isometría de espacios métricos. La imagen de cualquier bola abierta B de E por f es una bola abierta B’de E′ de igual radio y cuyo centro es la imagen del centro de B. Usar lo anterior para probar que las imagen por una isometría de un abierto, es un conjunto abierto abierto.
Probar la proposición 5.2.3.
(Relaciones entre la métricas euclidiana y máxima del plano) En el ejemplo 5.2.5 se vió que cada abierto respecto a la métrica máximal es abierto respecto a la métrica euclidiana. Se trata ahora de probar el recíproco.
1. Probar que cada bola euclidiana contiene una celda C(p;r).
2. Concluir que cada abierto euclidiano es un abierto respecto a la métrica máxima
3. Un subconjunto V de R² es una vecindad de un punto p, ssi, contiene una caja ]a, b[×]c, d[ que contiene a p. (Este resultado ayuda a probar que ciertos subconjuntos de R² son abiertos, porque es más fácil, a veces, trabajar con cajas, que con bolas.) d) Generalizar los resultados del ejemplo citado y los de este ejercicios a R³.
4. Idem para Rⁿ.

Los Conjuntos Cerrados

En esta sección, introduciremos un concepto dual al de conjunto abierto: conjunto cerrado. Los intervalos cerrados de la línea real serán los ejemplos iniciales de la noción. La definición inicial no será muy ilustrativa desde el punto de vista topogeométrico, pero la presentamos de esta manera porque queremos, por razones que quedarán claras más adelante, usar abiertos en las definiciones de los conceptos importantes. Cuando veamos la noción de \textit{puntos de acumulación}, tendremos una imagen topogeométrica más clara del significado de cerrado. ^[1]

Definición. (Conjunto Cerrado) Sea E un espacio métrico. Decimos que un subconjunto F de E es un conjunto cerrado, ssi, su complemento es abierto.

Ejemplos 5.3.1. Cuando A es un subconjunto de otro X, su complemento en X se denota por X \ A. Cuando el conjunto X es el conjunto universal de la discusión, entonces podremos simbolizar el complemento de A por A^c.

Un intervalo cerrado de la línea real es un conjunto cerrado. [a, b]^c = ]−∞, a[ ∪ ]b,+∞[ (abierto) y ] −∞, a]^c = ]a,+∞[ (abierto)
El conjunto vacío y todo el espacio son cerrados, ya que sus complementos son abiertos.
Los Naturales son cerrados, porque su complemento es abierto N^c = ]-∞, 0[ ∪ {]n, n + 1[: n ∈ N}.
El intervalo ]0, 1] no es cerrado, ya que su complemento es la reunion de ]−∞, 0] con ]1,+∞[. El primer conjunto no es abierto, porque 0 no es un punto interior del conjunto, por lo que la reunión no es un abierto.

Ejemplo 5.3.2. Sea E un espacio discreto. Vimos en el ejemplo 5.2.6 que cada subconjunto de E es abierto, por lo que su complemento es cerrado, Luego, todos sus subconjuntos son cerrados, ya que sus complementos son abiertos.

Conclusión: en un espacio discreto los subconjuntos son abiertos y cerrados a la vez.

☞ Notemos los ejemplos muestran que hay conjuntos abiertos---pero no abiertos, conjuntos cerrados---pero no abiertos, conjuntos que no son ni abiertos ni cerrados, y otros que son abiertos y cerrados a la vez (el conjunto vacío y todo el espacio).

Puntos Aislados, Puntos de Acumulación

Para entender el significado topológico de la noción de cerrado, introduciremos dos conceptos: punto aislado y punto de acumulación, que se referirán a la cantidad de vecinos que puede tener un punto.

Veamos las posibilidades. Supongamos que tenemos un punto p de un espacio métrico y un conjunto A. Si tomamos una vecindad V de p ¿cuántos vecinos de V V están en A? Si hubiera una cantidad finitas de vecinos diferentes de p en A, tomando como r a la menor de las distancias entre esos vecinos y p, tendríamos que la r–vecindad de p no contendría puntos de A diferentes de p. →Tal punro será un punto aislado en A; algo opuesto serán los puntos de acumulación.

Definición. (Puntos Aislados, Puntos de Acumulación) Sea < E, d > un espacio métrico. Sea A un subconjunto de A y p un punto de E.

Decimos que un punto p de A es un punto aislado de A, ssi, hay una vecindad del punto que no contiene otro punto de A.
Decimos que un punto p (no necesariamente en A) es un punto de acumulación de A, ssi, cada vecindad del punto contiene al menos un punto de A diferente del punto p.

Ejemplo 5.3.3. Sea X = {a₁,..., a_n} un espacio métrico finito (por ejemplo un subconjunto finito de un espacio métrico). Sea p un punto cualquiera de X. El conjunto {d(p, a_i) : a_i ≠ p} es un conjunto finito. Si r es el menor de esos números, entonces la bola abierta con centro p y radio r no contiene otro punto de A, luego p es aislado.

Cada espacio métrico finito consiste solamente de puntos aislados.

Nuestro próximo ejemplo muestra que hay conjuntos infinitos tales que cada uno de sus puntos es aislado.

Ejemplo 5.3.4. Los Naturales en los Reales son un subconjunto infinito tal que todos sus puntos son aislados. En efecto, para cada número natural m, la bola abierta de centro m y radio 1/2 solamente contiene a un número natural m.

Ejemplo 5.3.5. Consideremos al subconjunto A = [0, 1] de los Reales.

Cualquier punto p en A=]0, 1[ es interior y la bola abierta con centro en p y contenida en A contiene puntos de A diferentes de p; es decir que p es un punto de acumulación de A.

Consideremos ahora a p = 0. Entonces, cualquier intervalo abierto centrado en 0, contiene números positivos que son elementos de A por lo que 0 es un punto de acumulación de A. Análogamente, se verifica que 1 es un punto de acumulación de A. Es decir que todos los puntos de [0, 1] son puntos de acumulación.

Consideremos al subconjunto B=]0, 1] de los Reales. Razonando como arriba, vemos que 0 es un punto de acumulación de B, aunque no pertenece a B.

Ejemplo 5.3.6. Sea A = {1/n : n es un natural positivo}∪{0}. Notemos que por la propiedad arquimediana de los Reales (ver sección 2.4.3) se tiene que para todo r > 0 hay un n tal que 1/n < r. Es decir que cualquier bola abierta con centro en 0 contiene puntos del conjunto diferentes del 0. Es decir que 0 es un punto de acumulación de A. Consideremos ahora al punto p = 1/n. Como los “vecinos” de p son 1/(n + 1) y 1/(n − 1) y como

{\frac {1}{n+1}}<{\frac {1}{n}}<{\frac {1}{n-1}}.

tomando r = (1/2)|(1/n) − (1/(n + 1)) es fácil verificar que la bola con centro 1/n y radio r contiene solamente al punto 1/n del conjunto. Es decir, que excepto por el 0 todos los puntos de A son puntos aislados.

Ejemplo 5.3.7. Los ejes de coordenadas del plano cartesiano son un conjunto cerrado porque su complemento es la reunión de los cuadrantes que son conjuntos abiertos.

La siguiente proposición caracteriza topogeométricamente a los conjuntos cerrados.

Proposición 5.3.1. Un conjunto F es cerrado, ssi, contiene a todos sus puntos de acumulación.

Demostración. Si F es el conjunto vacío o todo el espacio, el resultado es trivial. (Como el conjunto vacío no tiene puntos de acumulación, los contiene a todos)

Supongamos que F fuera un conjunto que contiene a todos sus puntos de acumulación y sea x un punto cualquiera del complemento de F. Como x no está en F, no puede ser un punto de acumulación de F. Por lo tanto, hay una bola abierta con centro en x que no contiene puntos de F, es decir que está contenida en F^c. Lo que prueba que F^c es un conjunto abierto y, por lo tanto, que F es cerrado.

Supongamos ahora que F fuera cerrado. Necesitamos probar que F contiene a todos sus puntos de acumulación. Si hubiera un punto de acumulación x de F que no estuviera en F, estaría en F^c. Pero, al ser F^c abierto, habría una bola abierta con centro en x totalmente contenida en F^c lo que implicaría que no puede contener punto alguno de F; o sea que no puede ser punto de acumulación. Luego, F debe contener a todos sus puntos de acumulación.

La siguiente proposición muestra que un punto de acumulación tiene muchos vecinos.

Proposición 5.3.2. Sea p un punto de acumulación de un conjunto A en un espacio métrico E. Cada vecindad de p tiene infinitos puntos de A.

Demostración.

₁

_n

₁

₂

₁

₂

₁

₂

₁

₂

₁

_k

₁

₂

_k

_{k+1}

_k

_{k+1}

_n

Como corolario, tenemos nuevamente que conjuntos finitos no pueden tener puntos de acumulación.

Proposición 5.3.3 (Caracterización métrica de los puntos de acumulación). Sea A un subconjunto de un espacio métrico E. Sea p un punto de E. Entonces, d(p,A) = 0, ssi, p está en A o es un punto de acumulación de A.

Demostración.

(⇒) Supongamos que d(p,A) = 0. Si p está en A no hay nada más que probar.

Supongamos que p no está en A y que no fuera un punto de acumulación de A.

Entonces, podríamos hallar un r > 0 tal que la r–vecindad de p fuera disjunta de A. Pero, eso implicaría que para todo a en A, d(p, a) ≥ r, de donde d(p,A) ≥ r, lo que contradice la hipótesis. Por lo tanto, si p no está en A debe ser un punto de acumulación de A.

(⇐) Si p está en A, se cumple que d(p,A) = 0. Supongamos que p fuera un punto de acumulación de A y que d(p,A) = d > 0. Entonces, habría un n tal que 1/n < d.

Por definición de punto de acumulación, la 1/n–vecindad de p contiene al menos un punto de A, digamos a, diferente de p. Luego,

d(p, a) < 1/n < d = ınf{d(p, x) : x ∈ A},

lo que es absurdo. Luego, d(p,A) = 0.

Bolas Cerradas y Esferas

Observaciones. Recordemos algunos hechos acerca de bolas cerradas y esferas.

En R², una bola cerrada es un círculo de igual centro y radio; mientras que la esfera es la circunferencia correspondiente.
En la línea real, la bola cerrada B_r[a] es el intervalo cerrado [a − r, a+ r] y la correspondiente esfera es el conjunto {a − r, a + r}.

Veamos que el apellido de cerradas es consistente con nuestro concepto de conjunto cerrado.

Proposición 5.3.4. Las bolas cerradas y las esferas son conjuntos cerrados.

Demostración. Sea F = B_r[a]. Probaremos que el complemento de F es un conjunto abierto. Si dicho complemento es vacío no hay nada que probar. :Supongamos que x es un punto de F^c. Entonces, se tiene que d(x, a) > r. Sea r′ = d(z, a) − r. r′ es un número positivo. Sea y un punto de B_r'(x).. :Entonces,d(x, a) ≤ d(x, y) + d(y, a), lo que implica que

d(y, a) ≥ d(x, a) − d(x, y) > d(x, a) − (d(x, a) − r) = r,

lo que muestra que y está en F^c. Es decir que F^c es abierto. Luego F es cerrado.

Sea S = S_r(a). Notemos que S^c es la reunion de los x tales que d(x, a) < r con los x tales que d(x, a) > r. Es decir que

S^c = B_r(a) ∪ B_r[a]^c.

Por lo tanto, S^c es abierto (reunión de abiertos) y, en consecuencia, S es cerrado.

La siguiente proposición es la dual de la proposición 5.2.2. sobre conjuntos abiertos.

Proposición 5.3.5 (Propiedades de los Cerrados). Sea E.un espacio métrico. Entonces,

El conjunto vacío y todo el espacio son conjuntos cerrados.
La reunión de una familia finita de cerrados es un conjunto cerrado.

La intersección de una familia cualquiera de cerrados es un cerrado.

Demostración.

_i

F^c = (∩F_i)^c = ∪(F_i)^c

Ejercicios 5.3

¿Cuándo un conjunto no es cerrado?
¿Cuando un punto no es punto de acumulación de un cierto conjunto?
¿Cuáles de los siguientes subconjuntos de la línea real son cerrados?

El conjunto Z de los enteros.
El conjunto Q de los racionales.
Un conjunto que contiene exactamente dos puntos.
Un intervalo de la forma [a, b[.
{x ∈ R : x = 1/n, n ∈ N+ }.
{x ∈ R : x ≠ 1/n, n ∈ N+ }.

4. ¿Cuáles de los conjuntos siguientes son abiertos? ¿cuáles son cerrados?

{x ∈ R : |x − 5| ≤ 3}.
{x ∈ R : |x − 2| > 5}.
∩n ∈ N[−1, 1/n[ en R.
A line in the plane R2.
{(x, y) ∈ R2 : |x − 3| < 2, |y − 5| > 1}.

5. ¿Cuándo un punto p NO es un punto de acumulación de un conjunto A?
6. ¿Cuáles son los puntos de acumulación del conjunto de los racionales positivos en R?
7. Sea A un subconjunto de R. ¿Es necesariamente el supremo de A un punto de acumulación de A?
8. Sea A un subconjunto no vacío, cerrado y acotado de la línea real. Probar que el supremo de A está en A. Enunciar y probar un teorema análogo para ínfimos.
9. Sea A un conjunto de números reales abierto, no vacío y acotado superior e inferiormente. Probar que el supremo y el ínfimo del conjunto no pertenecen al conjunto.
10. Sean A y B subconjuntos de la línea real. Cuando p es un punto de acumulación de A ∪ B, ¿necesariamente p es un punto de acumulación de A o de B?
11. Cada conjunto con exactamente un elemento es cerrado.
12. Probar que R2 \ {0, 0)} es abierto. (Este ejercicio apareció en la sección anterior, pero ahora hay una respuesta más fácil)
13. Sea Z2 = {(x, y) ∈ R2 : x, y son números enteros}. Probar que Z2 es un conjunto cerrado.
14. ¿Cuáles son los puntos de acumulación del conjunto {(x, y) ∈ R2 : 3x2 + 2y2 = 1}?
15. Probar que en un espacio discreto (con métrica 0–1) todos los subconjuntos son abiertos y cerrados.
16. Suponer que para toda r–vecindad del punto p hay un punto de A diferente de p. Probar que p es un punto de acumulación de A.
17. El punto a es un punto de acumulación de A, ssi, es un punto de acumulación de A \ {a}.
18. En un espacio métrico < E, d > sean p un punto de E y r > 0. Probar que

{x ∈ E : d(x, p) > r} es abierto, y
{x ∈ E : d(x, p) ≥ r} es cerrado.

19. Sea A un subconjunto de R.

Cuando A es un conjunto abierto y B = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ A}, entonces B es abierto.
Cuando A es un conjunto cerrado y B = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ A}, entonces B es cerrado

20. Explicar de dos manera diferentes (obviamente lógicamente equivalentes) por qué un conjunto finito de un espacio métrico tiene que ser cerrado.
21. Si d(x,A) > 0 hay una vecindad V de x tal que V ∩ A = ∅.
22. Dar ejemplos en la línea real de

un subconjunto infinito que no tiene punto de acumulación en R.
un subconjunto no vacío contenido en el conjunto de sus puntos de acumulación.
un subconjunto que tiene infinitos puntos de acumulación, pero que no contiene a ninguno de ellos.

23. Sea f : E → E′ una isometría de espacios métricos, probar que f envía conjuntos cerrados en conjuntos cerrados.

Interior, Borde, Exterior y Clausura

(☩) Consideremos una figura plana, por ejemplo un cuadrado. Intuitivamente podemos reconocer puntos que están en el interior de la figura en su borde o en su exterior. En esta sección formalizaremos dichas nociones.

Interior, Exterior

Recordemos que llamamos punto interior de un conjunto A a un punto que está contenido en un abierto que, a su vez, está contenido en A, o sea tal que A es una vecindad de p. Un punto es interior de un conjunto, cuando todos los vecinos son puntos del conjunto.
¿Cuándo un punto estará en el exterior de un conjunto? Intuitivamente tal punto deberá de estar en el complemento del conjunto, pero un punto en el borde del conjunto (pensemos en una bola cerrada de R2), no está totalmente afuera del conjunto.

Definición. (Interior, Exterior)
Sea X un espacio métrico y A un subconjunto de X Llamamos interior del conjunto A al subconjunto de A formado por todos sus puntos interiores. Simbolizaremos al interior de A por Ao o por Int(A).
Llamamos exterior del conjunto A al interior de su complemento.
Ext(A) := (Ac)o = Int(Ac).

La siguiente proposición resume las propiedades básicas del interior de un conjunto.
Proposición 5.4.1 (Propiedades del Interior de un Conjunto). Sean A y B subconjuntos de un espacio métrico. Se cumple lo siguiente.

El interior del conjunto A es un conjunto abierto que contiene a cualquier otro conjunto abierto contenido en A.
A es abierto, ssi, Ao = A.
(Ao)o =Ao.
Si A ⊂ B entonces Ao ⊂ Bo.
Ao ∪ Bo ⊂ (A ∪ B)o.
(A ∩ B)o = Ao ∩ Bo.

Demostración.

Sea A un conjunto. Si el interior de A es vacío entonces no hay nada más que probar. Supongamos que el interior de A no fuera vacío. Si A contiene a un abierto U, por definición de punto interior, cada punto de U es un punto interior de A, por lo que U está contenido en el Int(A). Como para cada punto de p del interior, hay una vecindad abierta Vp que lo contiene y está contenida en A. Sigue de lo anterior que la reunión V de todos los Vp es un abierto contenido en A y, por lo tanto, en Int(A). Como cada punto del interior está contenido en algún Vp y, por lo tanto, en V, ya que Int(A) es la reunión de las puntos interiores, concluimos que Int(A) un subconjunto de V. Luego, Int(A) = V, lo que prueba que el interior es abierto.
Si A es abierto, A es un abierto contenido en A, por lo que A ⊂ Ao. Como siempre el interior es un subconjunto del conjunto, tenemos la afirmación.
El interior es un conjunto abierto.
Si A ⊂ B entonces Ao ⊂ A implica que Ao ⊂ B. El resultado sigue de la parte (a).
Como Ao ⊂ A y Bo ⊂ B, tenemos que Ao ∩ Bo ⊂ A ∩ B, de donde el resultado.
Como A ∩ B ⊂ A,B se concluye que (A ∩ B)o ⊂ Ao,Bo. De donde, (A ∩ B)o ⊂ Ao ∩ Bo. Lo que concluye la demostración.

Corolario 5.4.2. El exterior de un conjunto es un conjunto abierto.

Clausura y Frontera

(☩) ¿Cómo definir el borde o frontera de un conjunto? Pensemos en un círculo abierto del plano, su borde es la circunferencia, que son los puntos del plano pegados al círculo. Formalmente, puntos de acumulación. Pudiéramos pensar que el borde consiste de los puntos de acumulación que no están en el conjunto, pero si a nuestro círculo abierto le agregamos inicialmente una semicircunferencia; intuitivamente, los puntos de la semicircunferencia son puntos de acumulación que están en el conjunto.

Veamos que tiene de especial un punto p del exterior de un conjunto A. Por definición, ese punto es interior al complemento de A. Por lo que hay una vecindad V del punto que está totalmente contenida en Ac. Luego, V ∩ A = ∅. Es decir que el punto p no es ni punto de A ni punto de acumulación de A. Cuando un punto no esté en el exterior de A, entonces deberá ser un punto de A o un punto de acumulación de A. Tales puntos recibirán un nombre especial: puntos de la clausura de A.

Definición. (Clausura). Sea A un subconjunto de un espacio métrico E. Llamamos clausura de A al conjunto denotado por Cl(A) o A-- y que está formado por los puntos que están en A o que son puntos de acumulación de A. Un punto de clausura de un conjunto es un punto de la clausura del conjunto.

Notemos que un punto p está en la clausura de A, ssi, para cada vecindad V de p, V ∩ A ≠ ∅. Algunos autores llaman adherencia a la clausura.
Usando la noción de clausura, definiremos la noción de frontera de un conjunto.

Definición. (Frontera) La frontera o borde de un conjunto A en un espacio métrico es el conjunto formado por los puntos comunes a las clausuras de A y de su complemento.
Fr(A) := Cl(A) ∩ Cl(Ac).

Ejemplo 5.4.1. Sea A =]a, b[⊂ R. La clausura de A es el intervalo cerrado [a, b]. El exterior de A es
]−∞,a[ ∪ ]b,+∞[ con clausura ]−∞,a] ∪ [b,+∞[. Luego, la frontera de ]a, b[ es el conjunto{a, b}, o sea el conjunto formado por sus extremos.

La notación usual para la clausura del conjunto A es A ¯ {\displaystyle {\overline {A}}} . Por razones tipográficas, no es fácil escribir lo anterior, por lo que usaremos Cl(A) o A--.
Sigue de la definición de clausura que los puntos de la clausura de un conjunto son o puntos del conjunto o puntos de acumulación del conjunto. Notemos que cuando un conjunto A es cerrado, coincide con su clausura.
Ejemplos 5.5.1.

Un conjunto cuyos puntos son todos aislados es un conjunto cerrado, por lo tanto es igual a su clausura.
La clausura de un intervalo real cualquiera con extremos a y b es el intervalo cerrado[a, b].
La clausura del conjunto vacío es el conjunto vacío. Sigue, también, de la definición de clausura que cuando un punto p no está la clausura de un conjunto, está en el exterior de ese conjunto, que es un conjunto abierto; es decir que el complemento de la clausura es abierto, lo que implica que la clausura es un conjunto cerrado. En símbolos, A-- = Cl(A) = (Ext(A))c = (Ac)o)c = Acoc.

Como veremos, en la siguiente proposición, se trata del cerrado más pequeño que contiene al conjunto. La proposición muestra las propiedades básicas de la clausura de un conjunto. Por comparación con la proposición 5.4.1 podemos afirmar que “clausura” e "interior” son nociones duales.
Proposición 5.4.3 (Propiedades de la Clausura de un conjunto). Sean A y B subconjuntos de un espacio métrico. Se cumple que

La clausura de un conjunto A es un conjunto cerrado que contiene a A y que está contenido en cualquier conjunto cerrado que contenga a A.
A es cerrado, ssi, Cl(A) = A.
Cl(Cl(A))= Cl(A).
Si A ⊂ B entonces Cl(A) ⊂ Cl(B).
La clausura de la union de A con B es igual a la reunión de la clausura de A con la clausura de B. Cl(A ∪ B) = Cl(A) ∪ Cl(B).
La clausura de la intersección de dos conjuntos está contenida en la intersección de la clausura de dichos conjuntos. Cl(A ∩ B) ⊂ Cl(A) ∩ Cl(B).

Demostración.

Sabemos que la clausura de A es el complemento del exterior de A, que es abierto, por lo que la clausura es cerrado. Si F es un conjunto cerrado que contiene a A, todos los puntos de A están en F. Por lo que cualquier punto de acumulación p de A también está en F, ya que cualquier vecindad de p contiene puntos de A y, por lo tanto, de F diferentes a p. Luego, F contiene a Cl(A).
Trivial.
La clausura es un conjunto cerrado.
Si A ⊂ B, como B ⊂ Cl(B), A está contenida en el cerrado Cl(B). De donde el resultado.
Como A ⊂ Cl(A) y B ⊂ Cl(B), tenemos que A ∪ B es un subconjunto de Cl(A ∪ B)— que es un conjunto cerrado, por lo tanto, Cl(A ∪ B) ⊂ Cl(A) ∪ Cl(B). Como A y B son subconjuntos de A ∪ B ⊂ Cl(A ∪ B), tenemos que A y B son subconjuntos de Cl(A ∪ B). Luego, Cl(A) ∪ Cl(B) ⊂ Cl(A ∪ B). Lo que prueba la igualdad indicada.
A ∩ B ⊂ A,B ⇒ Cl(A ∩ B) ⊂ Cl(A), Cl(B). De donde el resultado.

Conjuntos Densos

Sabemos de las propiedades de los números reales que en cada vecindad de un número real siempre hay al menos un número racional. Ver la sección 2.5.
En términos de lo visto en este capítulo, podemos expresar lo anterior diciendo que los Reales son la clausura de los Racionales. Generalizamos esa relación con la siguiente definición.

Definición. (Subconjunto Denso)
Sea E un espacio métrico. Decimos que un subconjunto A de E es denso en E, ssi, la clausura de A es igual a E (o sea que E = Cl(A)).

La observación anterior muestra que los Racionales son densos en los Reales. Opuesto a este concepto, tenemos lo siguiente: un conjunto es nunca denso en E, ssi, su clausura tiene interior vacío. Por ejemplo, los Naturales son un conjunto nunca denso de la línea real.

Ejercicios 5.4

Hallar el interior, exterior, frontera y clausura de cada uno de los siguientes conjuntos en la línea real.

[0, 1[.
{t ∈ R : |t − 5| < 3}.
{2n : n ∈ N}.
{1/(2n) : n ∈ N}
Los Racionales.
Q ∩ [0, 1].

Probar que

(Ao)o = Ao.
(A--)-- = A --.

Probar las afirmaciones de la proposición 5.4.3 usando la relación A-- = Acoc
Probar que el exterior de A es el complemento de la clausura de A.
Hallar el interior, exterior, frontera y clausura de cada uno de los siguientes conjuntos del plano R2.

{(x, y) ∈ R2 : y ≥ x2}.
El círculo unitario, {(x, y) : x2 + y2 ≤ 1}
{(x, y); |x| > 1, |y| ≥ 1}.
{(x, y) ∈ R2 : x > 0, xy < 1.}.

. Hallar la frontera de cada uno de los conjuntos siguientes:

A = {x, y) ∈ R2 : xy > 1}.
B = {(x, y) ∈ R2 : x2 < y}.
C = A ∩ B.

(Cubo Unitario) Llamamos cubo unitario al subconjunto de Rn denotado por In y definido por I n = { ( x i ) : 0 ≤ x i ≤ 1 , para todo 1 ≤ i ≤ n } . {\displaystyle {\mathbf {I} }^{n}=\{(x_{i}):0\leq x_{i}\leq 1,{\text{ para todo }}1\leq i\leq n\}.}
Hallar el interior, la clausura y la frontera del cubo unitario.

Demostrar que, en Rn, la clausura de una bola abierta es la bola cerrada del mismo centro y radio y su frontera es la esfera correspondiente. ¿Es lo anterior válido para cualquier espacio métrico?
Dar un ejemplo de un conjunto infinito que no tenga puntos interiores.
Hallar conjuntos A, B, C y D de la línea real tales que

Int(A) ∩ Int(B) = Int(A ∩ B).
Int(C) ∪ Int(D) Int(C ∪ D).

Hallar conjuntos A, B, C y D de la línea real tales que

Cl(A ∪ B) = Cl(A) ∪ Cl(B).
Cl(C ∩ D) ⊂ Cl(C) ∩ Cl(D, sin igualdad.

Investigar la validez total o parcial de los siguientes enunciados

Int(Cl(A)) = A.
Cl(A) ∩ A = A.
Cl(Int(A)) = A.
Fr(Cl(A)) = Fr(A)

(Clausura y Bolas Abiertas) Sea A un subconjunto de un espacio métrico.

Probar que cuando toda bola abierta de centro p contiene un punto de A diferente de p, entonces p es un punto de acumulación de A.
Probar que cuando toda bola abierta de centro p y radio 1/n, n natural, contiene un punto de A diferente de p, entonces p es un punto de acumulación de A.

Sea A un conjunto no vacío. Probar que x está en A cuando, y solo cuando, d(x,A) = 0.
Sea A un conjunto no vacío cualquiera en un espacio métrico < E, d >, A ≠ E. Demostrar las siguientes afirmaciones.

x ∈ Aco, ssi, d(x,A) > 0.
x ∈ Ao, ssi, d(x,Ac) > 0.

Si A y B son conjuntos no vacíos de < E, d >. Probar que d(Cl(A),Cl(B)) = d(A,B).
Probar que para cualquier conjunto A, la frontera de A coincide con la frontera del complemento de A.
Sean A y B son conjuntos cualesquiera de <E,d>, si Cl(A) ∩ Cl(B) = &empty: entonces Fr(A ∪ B) = Fr(A) ∪ Fr(B).
Probar que la frontera de la frontera de un conjunto está contenida en la frontera del conjunto.
Sea F un subespacio de < E, d > y A ⊂ F. Hallar relaciones entre el interior y la clausura de A en F con respecto al interior y la clausura en E.
Probar que los siguientes enunciados son equivalentes para un subconjunto A de un espacio métrico E.

A es denso en E.
Para todo x en E, d(x,A) = 0.
Para todo abierto no vacío U de E, U ∩ A ≠ ∅.

Sea A un subconjunto cualquiera de un espacio métrico E. B = Ac ∪ A es denso en E.
Demostrar que si A y B son abiertos y densos en un espacio métrico E, entonces A ∩ B también es denso.
Si A y B son conjuntos en un espacio métrico E tales que A ∪ B es denso en E y B es nunca–denso, entonces A es denso en E.
Dar un ejemplo de una sucesión de conjuntos densos cuya intersección no sea densa.
Demostrar que un conjunto A de un espacio métrico E es nunca–denso, ssi, para todo abierto U hay un abierto no vacío V contenido en U y tal que V ∩ A = ∅.
Sea f : E → E′ una isometría. Sea B = f(A), ¿qué podemos decir de la imagen del interior (resp. exterior, clausura, frontera) de A?

Espacios Ultramétricos

Los espacios ultramétricos se caracterizan por ser espacios métricos donde la métrica satisface la propiedad adicional
d ( x , y ) ≤ max { d ( x , z ) , d ( z , y ) } . {\displaystyle d(x,y)\leq \max\{d(x,z),d(z,y)\}.}
Vimos en el capítulo anterior que los Racionales con el valor absoluto p--ádico
| x p | = p − v p ( x ) , {\displaystyle |x_{p}|=p^{-v_{p}(x)},}
cuando x &neq; 0,y |0|,sub>p = 0; donde si x = m/n, vp(m) (resp. vp(n)) es el exponente de la mayor potencia de p que divide a m (resp. a n). Por su parte, vp_p(x) = vp(m) - vp(n). Vimos, también, que en cualquier espacio ultramétrico se cumple lo siguiente.

Cada punto de una bola, sea abierta o cerrada, es un centro de la bola.
Cuando dos bolas tienen intersección no vacía, aquella cuyo radio es menor o igual que el radio de la otra, está contenida en la otra bola.

Proposición 5.5.1. En un espacio ultramétrico se cumple que las bolas abiertas, las bolas cerradas y las esferas son conjuntos abiertos y cerrados a la vez.

Demostración. Probaremos lo afirmado acerca de las bolas abiertas y dejaremos el resto como ejercicio. Las bolas abiertas son siempre conjuntos abiertos, luego solamente tenemos que probar que son cerrados. Sea B=B(x;r). Si B no tiene puntos de acumulación, B es trivialmente un conjunto cerrado. Sea p un punto de acumulación de B, entonces cada bola abierta con centro en p tiene intersección no vacía con B \ {p}$; en particular B(p;r). Sigue de lo anterior que $B(p;r)=B$; lo que implica que p está en B. Como B contiene a todos sus puntos de acumulación es un conjunto cerrado.

Ejercicios 5.5

Probar lo que falta de la demostración de la proposición~ 8.5.1..
Sea Q con el valor absoluto 5--ádico.

Los únicos valores del valor absoluto p--ádico son potencias enteras de 5 o 0.
Si r no es una potencia de 5, entonces la esfera S(0;r) es vacía.
Verificar que la bola abierta con centro en 0 y radio 5 es diferente de la bola cerrada con igual centro y radio. Usar lo anterior para concluir que en un espacio ultramétrico no se cumple necesariamente que: (i) la clausura de una bola abierta, es la bola cerrada de igual centro y radio; (ii) el interior de una bola cerrada, es la bola abierta de igual centro y radio (iii) las bolas abiertas tienen frontera no vacía. Todas las afirmaciones anteriores son válidas en espacios euclídeos.
Hallar ejemplos de bolas concéntricas de distinto radio que son iguales.

\end{enumerate}

Ejercicios del Capítulo 5

A. Cierto o Falso

Cada espacio métrico discreto es finito.
En un espacio métrico, cada conjunto con un único punto es cerrado.
Hay conjuntos abiertos cuya frontera es vacía.
Hay conjuntos cerrados que no contienen puntos de acumulación.
Un punto es de acumulación de un conjunto cuando cada abierto que contiene al punto tiene intersección no vacía con el conjunto.
Una bola abierta nunca es un conjunto cerrado
La frontera de un conjunto está contenida en el conjunto.
Un punto que no es punto de acumulación de un conjunto es un punto asilado del conjunto.

B. Hacer lo indicado o probar las afirmaciones.

Sea A un conjunto no vacío de números reales acotado superiormente. Si s = sup(A) no es elemento de A, entonces s es un punto de acumulación de A.
Hallar una familia infinita de subconjuntos cerrados de R cuya reunión no sea cerrada.
Hallar una familia infinita de subconjuntos abiertos de R cuya intersección no sea abierta.
Dar ejemplos en la línea real de:

un subconjunto infinito que no tiene puntos de acumulación,
un subconjunto no vacío contenido en el conjunto de sus puntos de acumulación,
un subconjunto que tiene infinitos puntos de acumulación, pero que no contiene a ninguno de ellos.

Todo conjunto abierto y no vacío en R contiene números racionales e irracionales.
Todo intervalo cerrado en R es intersección de una sucesión de abiertos.
Cada vecindad V de un punto de la frontera del conjunto A es tal que V ∩ A ≠ ∅ y V ∩ Ac ≠ &empty:.
A abierto implica que Int(A) = Cl(A) \ Fr(A). ¿Vale lo anterior para un conjunto cualquiera?
Sea A un subconjunto no vacío de un espacio métrico E. Sean Vr(A) = {x ∈ E : d(x,A) < r} y Wr(A) = {x ∈ E : d(x,A) ≤ r}. Entonces,

Vr(A) es una vecindad abierta de A.
Wr(A) es un conjunto cerrado.
La intersección de todos los Vr(A), r > 0, es la clausura de A.

Si A y B son conjuntos en un espacio métrico < E, d >, probar que (A ∩ B)′ ⊂ A′ ∩ B′, y (A ∪ B)′ = A′ ∪ B′.
(donde X’ es el conjunto derivado de X, o sea aquel subconjunto formado por los puntos de acumulación de X). Dar un ejemplo donde la primera relación es una inclusión propia.

A es abierto y B cualquiera en un espacio < E, d >. Probar que A ∩ Cl(B) ⊂ Cl(A ∩ B), y Cl(A ∩ Cl(B)) ⊂ Cl(A ∩ B).
Si A es abierto y B cualquiera en un espacio < E, d >, probar que <centger> A ∩ B = ∅ ⇒ A ∩ B = ∅.
Sea A un subconjunto de Rn y p un vector cualquiera. Sea p+A = {p+x : x ∈ A}. la traslación de A por p.

Si A es abierto, p + A, también es abierto.
¿Qué se puede decir de p + F, cuando F es cerrado?

. Sean A, B subconjuntos de Rn. Sea A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B}.
a) Investigar si A + B es abierto, cuando al menos uno de los conjuntos (A, B) lo es, o cuando ambos lo son.
Investigar si A + B es cerrado, cuando al menos uno de los conjuntos (A, B) lo es, o cuando ambos lo son.
Investigar la relación entre A, B, y A + B.
Investigar la relación entre Int(A + B) e Int(A), Int(B).

Sea A un subconjunto de Rn. Sea −A = {−a : a ∈ A}.

Investigar si −A es abierto (resp. cerrado) cuando A lo es.
Investigar la relación entre Cl(−A) y Cl(A).
Investigar la relación entre Int(−A) e Int(A).

16. (Espacios Ultramétrico) Ver definición en la sección 4.7. Sea E un espacio ultramétrico. Probar las siguientes afirmaciones.

Cuando dos bolas (abiertas o cerradas ambas) tienen un punto en común, las bolas coinciden.
Probar que las bolas abiertas son conjuntos cerrados.
Probar que las bolas cerradas son conjuntos abiertos.
Dos bolas abiertas diferentes de radio r contenidas en una bola cerrada de radio r tienen una distancia igual a r.

Referencias

↑ En Álgebra hay una noción de conjunto cerrado respecto a una operación, para indicar que cuando los operandos están en un conjunto, el resultado de la operación con esos operandos, también está en el conjunto. Para distinguir las dos nociones, en este texto ``cerrado algebraicamente significará cerrado en el sentido del Álgebra.

[1] En Álgebra hay una noción de conjunto cerrado respecto a una operación, para indicar que cuando los operandos están en un conjunto, el resultado de la operación con esos operandos, también está en el conjunto. Para distinguir las dos nociones, en este texto ``cerrado algebraicamente significará cerrado en el sentido del Álgebra.

[1]

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Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos

Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos/Abiertos y Cerrados

Introducción

Los Conjuntos Abiertos

Propiedades de Vecindades y Conjuntos Abiertos

Los Abiertos en Rn

Ejercicios 5.2

Los Conjuntos Cerrados

Puntos Aislados, Puntos de Acumulación

Bolas Cerradas y Esferas

Ejercicios 5.3

Interior, Borde, Exterior y Clausura

Interior, Exterior

Clausura y Frontera

Conjuntos Densos

Ejercicios 5.4

Espacios Ultramétricos

Ejercicios 5.5

Ejercicios del Capítulo 5

Referencias

Los Abiertos en Rⁿ