Matemáticas/Teoría de conjuntos/Introducción

DefiniciónEditar

Un conjunto es una colección bien definida de objetos. Tales objetos se llaman elementos del conjunto, y estos pueden tener distinta naturaleza (números, países, autos, etc.).

De manera general, los conjuntos serán denotados por letras mayúsculas ( ), mientras que los elementos serán denotados por letras minúsculas ( ).

Ejemplos de conjuntos

  1.  , el conjunto de los números dígitos.
  2.  , el conjunto de los colores del aroíris.
  3.  , el conjunto de las vocales.


Nota

Cuando un conjunto está descrito por sus elementos, y en éste algún elemento se repite más de una vez, tal elemento debe ser considerado solo una vez en la escritura final del conjunto.

Por ejemplo

  •  
  •  


PertenenciaEditar

La pertenencia es el concepto que relaciona los dos conceptos básicos vistos (conjunto y elemento). El s'imbolo que representa la pertenencia es  , y escribimos

  •   si es que el elemento   pertenece al conjunto  .
  •   si es que el elemento   no pertenece al conjunto  .


Ejemplo de pertenenciaEditar

Si  , entonces podemos decir que

  •  
  •  

Conjuntos por Extensión y por ComprensiónEditar

Un conjunto está descrito por extensión cuando son exhibidos todos y cada uno de sus elementos.

Un conjunto está descrito por comprensión cuando lo que representa al conjunto es una propiedad que cumplen sus elementos.

Así, por ejemplo, el conjunto

 

está descrito primero por comprensión y luego por extensión.

Ejemplo ExtensiónEditar

Escribir por extensión el conjunto  .

Sol:

Ejemplo Extensión

Ejemplo ComprensiónEditar

Escribir por comprensión el conjunto  .

Sol:

Ejemplo Comprensión

SubconjuntoEditar

Sean   conjuntos. Diremos que   es subconjunto de  , lo que denotaremos por  , si y solo si todos los elementos del conjunto   perteneces al conjunto  .

Ejemplo

Consideremos los conjuntos   y  .

Podemos ver que  , pues los tres elementos del conjunto   están en el conjunto  .

También, podemos ver que el conjunto   no es subconjunto del conjunto  , lo que denotamos por  , pues hay dos elementos, 4 y 5, del conjunto   que no están en el conjunto  .

Si el conjunto   es subconjunto del conjunto  , gráficamente se ve de la siguiente forma

 
 

Igualdad de conjuntosEditar

Sean   y   dos conjuntos. Diremos que el conjunto   es igual al conjunto  , lo que denotaremos por  , si y solo si   y  .

Algunos conjuntos importantesEditar

Conjunto VacíoEditar

Es el conjunto que no contiene ningún elemento en su interior.

Es representado por el símbolo  .

Conjunto PotenciaEditar

El conjunto potencia de un conjunto   es el conjunto formado por todos los subconjuntos de  , incluidos el conjunto vacío y el mismo conjunto  .

El conjunto potencia de   es denotado por  .

Si el conjunto   tiene   elementos, entonces el conjunto potencia,   tiene   elementos.

EjemploEditar

Consideremos el conjunto  . Queremos describir a  , el conjunto potencia de  .

Sol:

Conjunto Potencia

Conjunto UniversoEditar

El conjunto universo es un conjunto de referencia, que se usa para el estudio de subconjuntos de elementos con alguna propiedad determinada.

Por ejemplo, si los conjuntos con los que se trabaja son conjuntos cuyos elementos son letras, entonces el conjunto universo , para este caso, es el conjunto formado por todas las letras del abecedario.

En tanto, si los conjuntos con los que se trabaja son conjuntos cuyos elementos son números, entonces el conjunto universo, para este caso, es el conjunto formado por todos los números reales.


Ejercicios Propuestos de ConjuntosEditar

Desarrollar los siguientes Ejercicios propuestos de conjuntos