Matemáticas/Teoría de conjuntos/Introducción

Definición

Un conjunto es una colección bien definida de objetos. Tales objetos se llaman elementos del conjunto, y estos pueden tener distinta naturaleza (números, países, autos, etc.).

De manera general, los conjuntos serán denotados por letras mayúsculas $(A,B,C...)$ , mientras que los elementos serán denotados por letras minúsculas $(a,b,c,...)$ .

Ejemplos de conjuntos

$A=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ , el conjunto de los números dígitos.
$B=\{rojo,naranja,amarillo,verde,azul,a{\tilde {n}}il,violeta\}$ , el conjunto de los colores del arcoíris.
$C=\{a,e,i,o,u\}$ , el conjunto de las vocales.

Nota

Cuando un conjunto está descrito por sus elementos, y en éste algún elemento se repite más de una vez, tal elemento debe ser considerado solo una vez en la escritura final del conjunto.

Por ejemplo

$\{1,1,2,3\}=\{1,2,3\}$
$\{a,a,b,b,c,d,e\}=\{a,b,c,d,e\}$

Pertenencia

La pertenencia es el concepto que relaciona los dos conceptos básicos vistos (conjunto y elemento). El símbolo que representa la pertenencia es $\in$ , y escribimos

$x\in A$ si es que el elemento $x$ pertenece al conjunto $A$ .
$x\notin A$ si es que el elemento $x$ no pertenece al conjunto $A$ .

Ejemplo de pertenencia

Si $A=\{2,4,6,8,10\}$ , entonces podemos decir que

$2\in A$
$3\notin A$

Conjuntos por Extensión y por Comprensión

Un conjunto está descrito por extensión cuando son exhibidos todos y cada uno de sus elementos.

Un conjunto está descrito por comprensión cuando lo que representa al conjunto es una propiedad que cumplen sus elementos.

Así, por ejemplo, el conjunto

$A=\{x:x\ \mathrm {es} \ \mathrm {par} \ \mathrm {y} \ 2\leq x\leq 10\}=\{2,4,6,8,10\}$

está descrito primero por comprensión y luego por extensión.

Ejemplo Extensión

Escribir por extensión el conjunto $A=\{x:x\ \mathrm {es} \ \mathrm {real} \ \mathrm {y} \ x^{2}=0\}$ .

Sol:

Ejemplo Extensión

Ejemplo Comprensión

Escribir por comprensión el conjunto $D=\{4,9,16,...\}$ .

Sol:

Ejemplo Comprensión

Subconjunto

Sean $A\ \mathrm {y} \ B$ conjuntos. Diremos que $B$ es subconjunto de $A$ , lo que denotaremos por $B\subseteq A$ , si y solo si todos los elementos del conjunto $B$ perteneces al conjunto $A$ .

Ejemplo

Consideremos los conjuntos $B=\{1,2,3\}$ y $A=\{1,2,3,4,5\}$ .

Podemos ver que $B\subseteq A$ , pues los tres elementos del conjunto $B$ están en el conjunto $A$ .

También, podemos ver que el conjunto $A$ no es subconjunto del conjunto $B$ , lo que denotamos por $B\not \subseteq A$ , pues hay dos elementos, 4 y 5, del conjunto $A$ que no están en el conjunto $B$ .

Si el conjunto $B$ es subconjunto del conjunto $A$ , gráficamente se ve de la siguiente forma

B\subseteq A

Igualdad de conjuntos

Sean $A$ y $B$ dos conjuntos. Diremos que el conjunto $A$ es igual al conjunto $B$ , lo que denotaremos por $A=B$ , si y solo si $A\subseteq B$ y $B\subseteq A$ .

Algunos conjuntos importantes

Conjunto Vacío

Es el conjunto que no contiene ningún elemento en su interior.

Es representado por el símbolo $\phi$ .

Conjunto Potencia

El conjunto potencia de un conjunto $A$ es el conjunto formado por todos los subconjuntos de $A$ , incluidos el conjunto vacío y el mismo conjunto $A$ .

El conjunto potencia de $A$ es denotado por ${\mathcal {P}}(A)$ .

Si el conjunto $A$ tiene $n$ elementos, entonces el conjunto potencia, ${\mathcal {P}}(A)$ tiene $2^{n}$ elementos.

Ejemplo

Consideremos el conjunto $B=\{0,1,2,3\}$ . Queremos describir a ${\mathcal {P}}(B)$ , el conjunto potencia de $B$ .

Sol:

Conjunto Potencia

Conjunto Universo

El conjunto universo es un conjunto de referencia, que se usa para el estudio de subconjuntos de elementos con alguna propiedad determinada.

Por ejemplo, si los conjuntos con los que se trabaja son conjuntos cuyos elementos son letras, entonces el conjunto universo , para este caso, es el conjunto formado por todas las letras del abecedario.

En tanto, si los conjuntos con los que se trabaja son conjuntos cuyos elementos son números, entonces el conjunto universo, para este caso, es el conjunto formado por todos los números reales.

Ejercicios Propuestos de Conjuntos

Desarrollar los siguientes Ejercicios propuestos de conjuntos

Revisar el siguiente tema: Operaciones entre Conjuntos.