Se define cómo cualquier ecuación que contenga un logaritmo y se resuelve usando las siguientes propiedades
log
a
(
x
)
=
b
{\displaystyle \log _{a}(x)=b}
Con operaciones simples
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Los logaritmos se utilizan generalmente para hacer más simples las operaciones. Por ejemplo, se pueden multiplicar dos números utilizando una tabla de logaritmos y sumando.
log
b
(
x
y
)
=
log
b
(
x
)
+
log
b
(
y
)
{\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)\!\,}
porque
b
x
⋅
b
y
=
b
y
+
x
{\displaystyle b^{x}\cdot b^{y}=b^{y+x}}
log
b
(
x
y
)
=
log
b
(
x
)
−
log
b
(
y
)
{\displaystyle \log _{b}\!\left({\begin{matrix}{\frac {x}{y}}\end{matrix}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)}
porque
b
x
b
y
=
b
x
−
y
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {b^{x}}{b^{y}}}\end{matrix}}=b^{x-y}}
log
b
(
x
y
)
=
y
log
b
(
x
)
{\displaystyle \log _{b}(x^{y})=y\log _{b}(x)\!\,}
porque
(
b
n
)
y
=
b
n
y
{\displaystyle (b^{n})^{y}=b^{ny}\!\,}
log
b
(
x
y
)
=
log
b
(
x
)
y
{\displaystyle \log _{b}\!\left(\!{\sqrt[{y}]{x}}\right)={\begin{matrix}{\frac {\log _{b}(x)}{y}}\end{matrix}}}
porque
x
y
=
x
1
/
y
{\displaystyle {\sqrt[{y}]{x}}=x^{1/y}}
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Los logaritmos y exponenciales (antilogaritmos) con la misma base se cancelan.
b
log
b
(
x
)
=
x
{\displaystyle b^{\log _{b}(x)}=x}
porque
a
n
t
i
l
o
g
b
(
log
b
(
x
)
)
=
x
{\displaystyle \mathrm {antilog} _{b}(\log _{b}(x))=x\!\,}
log
b
(
b
x
)
=
x
{\displaystyle \log _{b}(b^{x})=x\!\,}
porque
log
b
(
a
n
t
i
l
o
g
b
(
x
)
)
=
x
{\displaystyle \log _{b}(\mathrm {antilog} _{b}(x))=x\!\,}
log
a
b
=
log
c
b
log
c
a
{\displaystyle \log _{a}b={\log _{c}b \over \log _{c}a}}
Esta identidad se requiere para evaluar logaritmos con calculadoras. La mayoría de las calculadoras sólo pueden procesar ln y log10 , pero no por ejemplo log2 . Para encontrar log2 (3), basta calcular log10 (3) / log10 (2) (ó bien ln(3)/ln(2), que da idéntico resultado).
Demostración: A partir de un logaritmo tal que:
y
=
log
a
b
→
a
y
=
b
{\displaystyle y=\log _{a}b\rightarrow a^{y}=b}
Tomando
log
c
{\displaystyle \log _{c}}
log
c
a
y
=
log
c
b
{\displaystyle \log _{c}a^{y}=\log _{c}b\,}
Se despeja
y
{\displaystyle y}
y
log
c
a
=
log
c
b
{\displaystyle y\log _{c}a=\log _{c}b\,}
y
=
log
c
b
log
c
a
{\displaystyle y={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a}}\,}
Finalmente, como
y
=
log
a
b
{\displaystyle y=\log _{a}b}
log
a
b
=
log
c
b
log
c
a
{\displaystyle \log _{a}b={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a}}}
Esta fórmula tiene varias consecuencias:
log
a
b
=
1
log
b
a
{\displaystyle \log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}}
log
a
n
b
=
1
n
log
a
b
{\displaystyle \log _{a^{n}}b={\frac {1}{n}}\log _{a}b}
a
log
b
c
=
c
log
b
a
{\displaystyle a^{\log _{b}c}=c^{\log _{b}a}}
log
b
1
=
0
{\displaystyle \log _{b}1=0\!\,}
porque
b
0
=
1
{\displaystyle b^{0}=1\!\,}
log
b
b
=
1
{\displaystyle \log _{b}b=1\!\,}
porque
b
1
=
b
{\displaystyle b^{1}=b\!\,}
![{\displaystyle \log _{b}\!\left(\!{\sqrt[{y}]{x}}\right)={\begin{matrix}{\frac {\log _{b}(x)}{y}}\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fa4327beb2984c4f0548bee011606d7588db706)
![{\displaystyle {\sqrt[{y}]{x}}=x^{1/y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3ac55954aa0ab68281337cdf011c7e92b309446)
