Matemáticas/Álgebra/Ecuaciones/Ecuaciones exponenciales

Caso A

Teniendo que ambos miembros de la ecuación se pueden expresar como potencia de la misma base, se resuelven poniendo ambos miembros como potencias de la misma base e igualando los exponentes. Ejemplo de este caso: resolver la ecuación $2^{x+3}+2^{x}=72\,$ . Se siguen los siguientes pasos:

• 2^{x + 3} puede expresarse como 2³ · 2^x:

$2^{3}\cdot 2^{x}+2^{x}=72\,$

• se opera con todos los exponentes posibles:

$8\cdot 2^{x}+2^{x}=72\,$

$9\cdot 2^{x}=72\,$

• En este caso se puede simplificar ambos términos dividiendo entre 9:

$2^{x}=8\,$

• Ahora es sencillo resolver la ecuación factorizando el segundo término y sustituyendo:

$2^{x}=2^{3}\rightarrow \ x=3\,$

Caso B

En este caso puede realizarse un cambio de variable. Es el caso de $9^{x}-7\cdot 3^{x}-18=0\,$ . Se siguen los siguientes pasos:

• Se factoriza 9 en 3² para que tenga la misma base que 7 · 3^x:

$3^{2x}-7\cdot 3^{x}-18=0\,$

• Se realiza el cambio de variable 3^x = z, por lo que 3^2x = z², y tenemos:

$z^{2}-7z-18=0\rightarrow \ z={\frac {7\pm {\sqrt {49+72}}}{2}}={\frac {7\pm 11}{2}}\rightarrow \ z_{1}=9;z_{2}=-2\,$

• Se deshace el cambio de variable:

$3^{x}=9\rightarrow \ 3^{x}=3^{2}\rightarrow \ x=2$

La única solución es x = 2, ya que las potencias de 3 siempre son positivas, por lo que 3^x = - 2 no puede cumplirse.

Caso C

Cuando la ecuación no puede realizarse por medio de ninguna de las dos maneras anteriores, se pueden aplicar logaritmos. Tal es el caso de $5^{x+2}-3^{x}=0\,$.

Lo que sucede acá es que hay una igualdad, es decir, ambos lados de la ecuación tienen el mismo valor o son lo mismo, si a un lado de la igualdad se le resta -3^x y al otro lado también entonces la igualdad se mantiene, de esta forma se realizan los despejes de variables para conocer el valor de la incógnita (x) en la ecuación.

• Se transponen términos (en este caso el término negativo pasa al otro lado sumando):

$5^{x+2}=3^{x}\,$

• Se aplican logaritmos decimales a los dos términos:

$(x+2)log5=xlog3\,$

• Se opera con las propiedades de los logaritmos y se transponen términos:

$xlog5+2log5=xlog3\,$

$xlog5-xlog3=-2log5\,$

$x(log5-log3)=-2log5\,$

$x={\frac {-2log5}{log5-log3}}\,$

$x\approx -6,30\,$